Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

UVOD

1 OSNOVNI POJMOVI VEKTORSKE ALGEBRE

Pojam vektora

Podsjetimo se, skalarne veličine su na primjer udaljenost, površina, volumen,.... Vektorske veličine su na primjer ubrzanje, morska struja, vjetar,.... U čemu je razlika? Vektorske veličine su orijentirane dok skalarne to nisu.
Kao uvod u kolegij Diferencijalna geometrija  potrebno je ponoviti osnovne pojmove vektorske algebre - računske operacije s vektorima i svojstva tih operacija. 

Geometrijski prikaz vektora
Vektor se geometrijski, u 1D, 2D i 3D prostoru prikazuje kao strelica ili usmjerena dužina. 
Usmjerena dužina (Overscript[AB, →])  je dužina kojoj je A početna, a B završna točka. 
Dvije usmjerene dužine  (Overscript[AB, →])  i  (Overscript[CD, →])  su ekvivalentne ako je četverokut ABDC paralelogram, tj. ako postoji translacija koja prevodi jednu u drugu.
Sve međusobno ekvivalentne dužine čine klasu usmjerenih dužina koju nazivamo vektorom. 
Oznake:  (Overscript[AB, ⟶]), (Overscript[CD, ⟶]),... ili  (Overscript[a, →]), (Overscript[b, →]), (Overscript[v, →]), ....
Uobičajeno je, iako neprecizno, pisati  (Overscript[a, →]) =(Overscript[AB, →]), budući da (Overscript[a, →]) predstavlja klasu, a (Overscript[AB, →]) samo jednu usmjerenu dužinu iz te klase. Usmjerenu dužinu iz klase biramo po volji odabirom njene početne točke.
	
	Slika 01.1   Predstavnici vektora (Overscript[a, →]) i (Overscript[b, →])

Geometrijski, vektor je zadan s:
	•	prevcem nosiocem na kojem se vektor nalazi,
	 •	duljinom ili modulom:   |(Overscript[AB, ⟶])| = d(A,B),
	 •	orijentacijom na pravcu nosiocu.
Ponovimo dalje:	 
Nul-vektor. 		Vektor duljine 0. Oznaka: (Overscript[0, →]) 	Na primjer, (Overscript[0, →]) = (Overscript[AA, →]) = (Overscript[BB, →]) = ⋯
Kolinearni vektori.	Pripadaju istom ili paralelnim pravcima.
Komplanarni vektori.  	Pripadaju istoj ili paralelnim ravninama.
			
Slika 01.2  Kolinearni vektori na paralelnim pravcima a i b;  Komplanarni vektori u ravnini π

Računanje s vektorima

Množenje vektora skalarom (brojem)

X - skup svih vektora prostora (E^3)
ℝ - polje realnih brojeva
Neka je (Overscript[a, ⟶])ϵ X  i  λ∈ ℝ.
Umnožak ( ) vaktora i skalara je funkcija koja paru ((Overscript[a, ⟶]), λ) pridružuje vektor λ(Overscript[a, ⟶]).
Dakle,	( ):  X × ℝ⟶ X 	  
	((Overscript[a, ⟶]), λ)  ↦  λ(Overscript[a, ⟶])=(Overscript[b, ⟶]) ∈ X
Vektor (Overscript[b, ⟶]) = λ(Overscript[a, ⟶]) definiran je ovako:
	•	duljina: |(Overscript[b, ⟶])| = |λ(Overscript[a, ⟶])| = |λ|·|(Overscript[a, ⟶])|
	•	pravac nosioc vektora (Overscript[b, ⟶]) jednak je onome od (Overscript[a, ⟶])
	•	orjentacija: {({{ista za λ>0            }, {suprotna za λ<0}})
	
	
	Slika 01.3  (Overscript[a, ⟶]) = (Overscript[A B, →]), (Overscript[b, ⟶]) = λ(Overscript[a, ⟶]) = (Overscript[A C, →]), za λ > 0 i λ < 0

Svojstva operacije množenja sa skalarom:
	(1)  λ ((Overscript[a, →]) + (Overscript[b, →])) = λ (Overscript[a, →]) + λ (Overscript[b, →])
	(2)  (λ + μ) (Overscript[a, →]) = λ (Overscript[a, →]) + μ (Overscript[a, →])
	(3)  (λμ) (Overscript[a, →]) = λ (μ (Overscript[a, →]))	
	(4)  1 (Overscript[a, →]) = (Overscript[a, →])
Neki posebni slučajevi (za vektor (Overscript[a, →]) ≠ (Overscript[0, →])):
	⊳   λ = 0    →   λ(Overscript[a, ⟶])= 0 (Overscript[a, →]) = (Overscript[0, →]),  nul-vektor;  
	⊳   λ = -1  →   λ(Overscript[a, ⟶])= (-1)(Overscript[a, ⟶])= -(Overscript[a, ⟶]),   suprotni vektor;
	⊳  λ=(1/(| (Overscript[a, →])|))  →   (Overscript[(Subscript[a, o]), →])=((Overscript[a, →])/(| (Overscript[a, →])|)),  jedinični vektor (zaista, |(Overscript[(Subscript[a, o]), →])| =|((Overscript[a, →])/(| (Overscript[a, →])|))|=((| (Overscript[a, →])|)/(| (Overscript[a, →])|))=1)

Zbrajanje vektora

Slika 01.4  Zbrajanje vektora po pravilu trokuta i po pravilu paralelograma

(Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])∈ X;	
	(+):  X × X⟶ X 	
	((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]))  ↦ (Overscript[c, ⟶])= (Overscript[a, ⟶])+(Overscript[b, ⟶]) ∈ X
Svojstva operacije zbrajanja:
	(1)  (Overscript[a, ⟶])+(Overscript[b, ⟶])= (Overscript[b, ⟶])+ (Overscript[a, ⟶])			komutativnost
	(2)  ( (Overscript[a, ⟶])+(Overscript[b, ⟶])) +(Overscript[c, ⟶])= (Overscript[a, ⟶])+((Overscript[b, ⟶])+(Overscript[c, ⟶]))	asocijativnost		
	(3)  (Overscript[a, ⟶])+(–(Overscript[a, ⟶])) = (–(Overscript[a, ⟶])) + (Overscript[a, ⟶]) =(Overscript[0, ⟶])	postojanje suprotnog elementa			
	(4)  (Overscript[a, ⟶])+(Overscript[0, ⟶])=(Overscript[0, ⟶])+ (Overscript[a, ⟶])= (Overscript[a, ⟶])		postojanje neutralnog elementa
(X, +, ·) je vektorski (linearni) prostor

Razlika dvaju vektora (Overscript[a, ⟶])i (Overscript[b, ⟶]) defininira se na sljedeći način: 	(Overscript[a, ⟶])– (Overscript[b, ⟶]) = 
(Overscript[a, ⟶])+(-(Overscript[b, ⟶])) 
	Slika 01.5  Oduzimanje vektora

Linearna kombinacija vektora

Opći oblik linearne kombinacije vektora:	(Subscript[λ, 1])(Overscript[(Subscript[a, 1]), ⟶])+(Subscript[λ, 2])(Overscript[(Subscript[a, 2]), ⟶])+…+(Subscript[λ, n])(Overscript[(Subscript[a, n]), ⟶]).
Vektori (Overscript[(Subscript[a, 1]), ⟶]),(Overscript[(Subscript[a, 2]), ⟶]),…,(Overscript[(Subscript[a, n]), ⟶]) su linearno nezavisni ako iz
	 (Subscript[λ, 1])(Overscript[(Subscript[a, 1]), ⟶])+(Subscript[λ, 2])(Overscript[(Subscript[a, 2]), ⟶])+…+(Subscript[λ, n])(Overscript[(Subscript[a, n]), ⟶])=(Overscript[0, ⟶])   slijedi da su svi   (Subscript[λ, 1])=(Subscript[λ, 2])=…=(Subscript[λ, n])=0.
Vektori (Overscript[(Subscript[a, 1]), ⟶]),(Overscript[(Subscript[a, 2]), ⟶]),…,(Overscript[(Subscript[a, n]), ⟶]) su linearno zavisni ako nisu nezavisni, tj. ako iz
	(Subscript[λ, 1])(Overscript[(Subscript[a, 1]), ⟶])+(Subscript[λ, 2])(Overscript[(Subscript[a, 2]), ⟶])+…+(Subscript[λ, n])(Overscript[(Subscript[a, n]), ⟶])=(Overscript[0, ⟶])  slijedi da je barem jedan   (Subscript[λ, i])(i=1,…,n)  različit od  0. 
U tom se slučaju jedan od vektora može prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora.
	
Primjer.	Neka je 3(Overscript[a, ⟶])-(1/2)(Overscript[b, ⟶])=(Overscript[0, ⟶]). Možemo pisati  3(Overscript[a, ⟶])=(1/2)(Overscript[b, ⟶])  ili (Overscript[b, ⟶])=6(Overscript[a, ⟶]).
		Dakle, (Overscript[a, ⟶]) i(Overscript[b, ⟶]) su povezani relacijom (Overscript[b, ⟶])=λ(Overscript[a, ⟶]), pa zaključujemo da su linearno zavisni.
	
Koji je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora prostora?
	- na pravcu:  1; 	tj. svaka 2 vektora su linearno zavisna
	- u ravnini:   2; 	tj. svaka 3 vektora su linearno zavisna 
				(uz uvjet da nikoja dva ne leže na istom pravcu)
	- u prostoru:  3; 	tj. svaka 4 su linearno zavisna
				(uz uvjet da nikoja tri ne leže u istoj ravnini)

Skalarni produkt vektora

Neka su (Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])∈ X i neka je φ = ∢((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])),	0 ≤ φ ≤ ℼ.
Skalarni produkt (·) je funkcija koja paru vektora ((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])) pridružuje broj |(Overscript[a, ⟶])|| (Overscript[b, ⟶])|·cos φ.
Dakle,	(·):  X × X ⟶ ℝ
	((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])) ↦(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])= |(Overscript[a, ⟶])|| (Overscript[b, ⟶])|·cos φ  ∈ ℝ
Svojstva:
	(1)  (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[a, ⟶])≥ 0,   (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[a, ⟶])= 0  ⇔ (Overscript[a, ⟶])=(Overscript[0, ⟶])
	(2)  λ((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])) = (λ(Overscript[a, ⟶]))·(Overscript[b, ⟶])=(Overscript[a, ⟶])·(λ(Overscript[b, ⟶]))
	(3)   (Overscript[a, ⟶])(Overscript[b, ⟶])=(Overscript[b, ⟶])(Overscript[a, ⟶])	
	(4)  (Overscript[a, ⟶])·((Overscript[b, ⟶])+(Overscript[c, ⟶])) = (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])+(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])
Posljedice:
	(1)  (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶]) = 0    ⇔   (Overscript[a, ⟶])∟(Overscript[b, ⟶])  ili  (Overscript[a, ⟶])=(Overscript[0, ⟶])  ili  (Overscript[b, ⟶])=(Overscript[0, ⟶])
	 (2)  (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[a, ⟶]) = |(Overscript[a, ⟶])|·|(Overscript[a, ⟶])|·cos 0 = |(Overscript[a, ⟶])(|^( 2))   ⇒   |(Overscript[a, ⟶])(|^( ))=(Sqrt[(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[a, ⟶])])
	 (3)  cos φ = (((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶]))/(| (Overscript[a, ⟶]) ||(Overscript[b, ⟶])|))

Vektorski produkt vektora

Neka su (Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])∈ X i neka je φ = ∢((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])),	0 ≤ φ ≤ ℼ.
Vektorski produkt (×) je funkcija koja paru vektora ((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])) pridružuje vektor kojeg označavamo (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]).
Dakle,	(×): X × X⟶X
	((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])) ↦ (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]) ∈ X

Vektor (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]) je određen s:
	•	Modul:  |(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])| = |(Overscript[a, ⟶])|·|(Overscript[b, ⟶])|· sin∢((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]))
	     |(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])| je jednako površini paralelograma što ga tvore vektori (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶]).
	      
	•	Pravac nosioc vektora ((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])):  okomit je na ravninu određenu vektorima (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶])
	      (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶])kolinearni  ⇒  (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])= (Overscript[0, ⟶]),
	      (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])= (Overscript[0, ⟶]) ⇒   (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶])kolinearni  ili je barem jedan od njih (Overscript[0, ⟶]).
	      
	•	Orijentacija:  po pravilu desne ruke, tj. trojka vektora ((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) čini desnu trojku.

Svojstva vektorskog množenja:
	(1)  (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[a, ⟶])=(Overscript[0, ⟶])
	(2)  α((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) = (α(Overscript[a, ⟶])) × (Overscript[b, ⟶])= (Overscript[a, ⟶])× (α(Overscript[b, ⟶]))
	(3)  (Overscript[a, ⟶])×((Overscript[b, ⟶])+(Overscript[c, ⟶])) = (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])+(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[c, ⟶])
	(4)  (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])= – ((Overscript[b, ⟶])×(Overscript[a, ⟶]))

Višestruki produkti

Neka su (Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]) ∈ X.
Razmislite koji od sljedećih produkata imaju smisla:
      ({{(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])      }, {(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])×(Overscript[c, ⟶])     }, {(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])      }, {(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])×(Overscript[c, ⟶])  }}) 		({{((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶])        }, {(Overscript[a, ⟶])·((Overscript[b, ⟶])×(Overscript[c, ⟶]))        }, {((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶])       }, {((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))×(Overscript[c, ⟶])   }})

Vektorsko - skalarni produkt (mješoviti produkt)

(Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]) ϵ X
	( ): X × X × X ⟶ ℝ
	((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶])) ↦((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶])  ∈ ℝ
Zapisuje se:
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶]) = ((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]))	

|((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶])|  je jednako volumenu paralelopipeda kojeg razapinju vektori (Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]), tj. ((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶]) = ± V	. Predznak (+ ili –) ovisi o tome čine li (Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]) desni ili lijevi sustav. Kada su sva tri vektora u ravnini tada je V = 0.
Za mješoviti produkt vektora vrijedi ciklička zamjena:
((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶])) = ((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶])= ((Overscript[b, ⟶])×(Overscript[c, ⟶]))·(Overscript[a, ⟶])= ((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[a, ⟶]))·(Overscript[b, ⟶])= (Overscript[a, ⟶])·((Overscript[b, ⟶])×(Overscript[c, ⟶])) = (Overscript[b, ⟶])·((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[a, ⟶])) = (Overscript[c, ⟶])·((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) =
	      – ((Overscript[b, ⟶])×(Overscript[a, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶]) = – ((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[a, ⟶]) = …

Vektorsko - vektorski produkt

(Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]) ϵ X
	( ):  X × X × X ⟶ X
	((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶])) ↦  ((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) ×(Overscript[c, ⟶]) ∈  X

Vektor  ((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) ×(Overscript[c, ⟶])	je okomit na vektor (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]) i na vektor (Overscript[c, ⟶]) pa  leži u ravnini određenoj vektorima (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶]).

Ostali višestruki produkti

1) Skalarni produkt vektorskih produkata
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[d, ⟶])) = ((Overscript[a, ⟶])(Overscript[c, ⟶]))·((Overscript[b, ⟶])(Overscript[d, ⟶])) - ((Overscript[a, ⟶])(Overscript[d, ⟶]))·((Overscript[b, ⟶])(Overscript[c, ⟶])) = |({{(Overscript[a, ⟶])(Overscript[c, ⟶]),    (Overscript[b, ⟶])(Overscript[c, ⟶])}, {(Overscript[a, ⟶])(Overscript[d, ⟶]) , (Overscript[b, ⟶])(Overscript[d, ⟶])}})|
2) Vektorski produk vektorskih produkata
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))×((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[d, ⟶])) = (Overscript[b, ⟶])[(Overscript[a, ⟶])·((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[d, ⟶]))] – (Overscript[a, ⟶])[(Overscript[b, ⟶])((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[d, ⟶]))] = (Overscript[b, ⟶])((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]),(Overscript[d, ⟶])) – (Overscript[a, ⟶])((Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]),(Overscript[d, ⟶])),
	tj. linearna kombinacija vektora (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶]).
	
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))×((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[d, ⟶])) = (Overscript[c, ⟶])[((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[d, ⟶]))] – (Overscript[d, ⟶])[((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶]))] = (Overscript[c, ⟶])((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[d, ⟶])) – (Overscript[d, ⟶])((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶])),
	tj. linearna kombinacija vektora (Overscript[c, ⟶]) i (Overscript[d, ⟶]).

Vektori u koordinatnom zapisu

Neka je (X, +, ·) trodimenzionalni vektorski prostor.
Neka je (O; (Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶]))  desni pravokutni koordinatni sustav.  
 (Overscript[i, ⟶]),(Overscript[j, ⟶]),(Overscript[k, ⟶]) su linearno nezavisni, jedinični, međusobno okomiti vektori.
 O je ishodište koordinatnog sustava.
 Za svaku točku A vektor (Overscript[OA, →])  nazivamo radijvektorom (radijus vektorom) točke A.
 
 	Slika 01.6   Sustav (O; (Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶]))
 	
 Prikaz vektora u koordinatnom sustavu:
 Za točku A(x,y,z)  je  (Overscript[OA, ⟶]) = x(Overscript[i, ⟶])+y(Overscript[j, ⟶])+z(Overscript[k, ⟶])={x,y,z}.
 Dakle, vrijedi relacija
 	       točka A(x,y,z)  ↔  vektor   (Overscript[OA, ⟶])={x,y,z} 
 Neka je dalje (Overscript[OA, ⟶]) = (Overscript[a, ⟶]), 
          (Overscript[a, ⟶]) = (Subscript[a, x])(Overscript[i, ⟶])+(Subscript[a, y])(Overscript[j, ⟶])+(Subscript[a, z])(Overscript[k, ⟶])={(Subscript[a, x]), (Subscript[a, y]), (Subscript[a, z])}
	(Subscript[a, x]), (Subscript[a, y]), (Subscript[a, z]) - komponente vektora (Overscript[a, ⟶]), tj. skalarne projekcije vektora (Overscript[a, ⟶])  na koordinatne osi x, y, z   (npr. (Subscript[a, x])=(Overscript[a, ⟶]).(Overscript[i, ⟶]))

	Slika 01.7   Prikaz vektora (Overscript[a, ⟶]) u koordinatnom sustavu (O; (Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶]))
Vektorski prostor X={{(Subscript[a, x]), (Subscript[a, y]), (Subscript[a, z])}| (Subscript[a, x]),(Subscript[a, y]),(Subscript[a, z])∈ℝ} nazivamo euklidskim prostorom i označavamo (E^3).
U koordinatnom zapisu:          
- jednakost vektora:			 (Overscript[a, ⟶])=(Overscript[b, ⟶])⇔  (Subscript[a, x])=(Subscript[b, x]),  (Subscript[a, y])=(Subscript[b, y]),  (Subscript[a, z])=(Subscript[b, z])
- množenje vektora skalarom:		 λ(Overscript[a, ⟶]) = {λ(Subscript[a, x]), λ(Subscript[a, y]), λ(Subscript[a, z])}
- zbrajanje vektora:      		(Overscript[a, ⟶])+(Overscript[b, ⟶])= {(Subscript[a, x])+(Subscript[b, x]), (Subscript[a, y])+(Subscript[b, y]), (Subscript[a, z])+(Subscript[b, z])}
- skalarni umnožak:   			 (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])= (Subscript[a, x])(Subscript[b, x]) + (Subscript[a, y])(Subscript[b, y]) + (Subscript[a, z])(Subscript[b, z])		(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[a, ⟶])= (Subscript[a, x]^2) + (Subscript[a, y]^2) + (Subscript[a, z]^2) = |(Overscript[a, ⟶])((|)^( 2))
- vektorski umnožak:  		(Overscript[c, ⟶])=(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])=|({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶])}, {(Subscript[a, x]), (Subscript[a, y]), (Subscript[a, z])}, {(Subscript[b, x]), (Subscript[b, y]), (Subscript[b, z])}})|		
- mješoviti umnožak:		((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶])) = |({{(Subscript[a, x]), (Subscript[a, y]), (Subscript[a, z])}, {(Subscript[b, x]), (Subscript[b, y]), (Subscript[b, z])}, {(Subscript[c, x]), (Subscript[c, y]), (Subscript[c, z])}})|
- vektor dvjema točkama   A((Subscript[x, 1]), (Subscript[y, 1]), (Subscript[z, 1]))  i  B((Subscript[x, 2]), (Subscript[y, 2]), (Subscript[z, 2])): 
		(Overscript[AB, ⟶]) = ((Subscript[x, 2]) – (Subscript[x, 1]))(Overscript[i, ⟶]) + ((Subscript[y, 2]) – (Subscript[y, 1]))(Overscript[j, ⟶]) + ((Subscript[z, 2]) – (Subscript[z, 1]))(Overscript[k, ⟶])
		(Overscript[AB, ⟶]) = {((Subscript[x, 2]) – (Subscript[x, 1])),  ((Subscript[y, 2]) – (Subscript[y, 1])), ((Subscript[z, 2]) – (Subscript[z, 1]))}

Zadaci

01 	Dani su vektori (OverVector[a]) = {1, 2, –4},  (OverVector[b]) = {2, 0, 3}  i  (OverVector[c]) = {1, 0, 1}. 
	Izračunati sljedeće produkte: (OverVector[a])×(OverVector[b]), (OverVector[a])·(OverVector[b]), ((OverVector[a])·(OverVector[b]))(OverVector[c]), ((OverVector[a])·(OverVector[b]))·(OverVector[c]), (OverVector[a])·((OverVector[b])×(OverVector[c])), ((OverVector[a])×(OverVector[b]))·(OverVector[c]), ((OverVector[b])×(OverVector[a]))·(OverVector[c]), ((OverVector[a])×(OverVector[b]))×(OverVector[c]), (OverVector[a])×((OverVector[b])×(OverVector[c])).

Zadatak je riješen u Mathematici.
	U Mathematici se naredbe pokreću/evaluiraju pomoću: schift+enter.

a={1,2,-4};  b={2,0,3};  c= {1,0,1};

a\[Cross]b

a.b

(a.b)c

(a.b).c

a.(b\[Cross]c)

(a\[Cross]b).c

(b\[Cross]a).c

(a\[Cross]b)\[Cross]c

a\[Cross](b\[Cross]c)

02 	Za vektore iz zadatka 01 izračunati  (2(OverVector[a]) + 3(OverVector[b]) – 5(OverVector[c])) × ((OverVector[a]) – 2(OverVector[b]) – 4(OverVector[c])).

Provjerite dobiveni rezultat:

a={1,2,-4};  b={2,0,3};  c= {1,0,1};

(2a +3b-5c)\[Cross](a -2b-4c)

03 	Na vektorima iz zadatka 01 provjeriti sljedeće identitete:
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) ×(Overscript[c, ⟶])= (Overscript[b, ⟶])((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])) –(Overscript[a, ⟶])((Overscript[b, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])),  
	(Overscript[a, ⟶])×((Overscript[b, ⟶]) ×(Overscript[c, ⟶]))= (Overscript[b, ⟶])((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])) – (Overscript[c, ⟶])((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])).
	Napomena: Gornji se izrazi mogu zapisati i pomoću determinante:
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) ×(Overscript[c, ⟶])=|({{(Overscript[b, ⟶]) , (Overscript[a, ⟶]) }, {(Overscript[b, ⟶])·(Overscript[c, ⟶]), (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])}})| = (Overscript[b, ⟶])((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])) –(Overscript[a, ⟶])((Overscript[b, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])), 
	(Overscript[a, ⟶])×((Overscript[b, ⟶]) ×(Overscript[c, ⟶]))=|({{(Overscript[b, ⟶]) , (Overscript[c, ⟶]) }, {(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶]), (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])}})| = (Overscript[b, ⟶])((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])) – (Overscript[c, ⟶])((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])).

Provjera:

(a \[Cross] b)\[Cross] c
b(a.c) - a (b.c)

a \[Cross]( b\[Cross] c)
b(a.c) - c (a.b)

04	Provjeriti da li su vektori  (OverVector[a]) = {1, 2, –4},  (OverVector[b]) = {2, 0, 3}  i  (OverVector[c]) = {1, 0, 1}  linearno nezavisni.

Rješenje:
	Zadatak se može riješiti na više načina.

1. način
	Dovoljno je izračunati mješoviti umnožak vektora. 
	Zašto? Što se može zaključiti ako je mješoviti umnožak jednak nuli odnosno različit od nule?

a={1,2,-4};  b={2,0,3};  c= {1,0,1};

m = {a,b,c}; MatrixForm[m]

Det[m]

2. način
	Rješavanjem sustava jednadžbi  m x = v, gdje je x traženi vektor a v je nul-nektor.
	Što se može zaključiti ako je x nul-vektor odnosno ako x nije nul-vektor?

v={0,0,0};

x=LinearSolve[m,v]

Sažetak poglavlja

Osnovni pojmovi vektorske algebre.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju vršiti računske operacije s vektorima u prostoru (E^3): zbrajati vektore, množiti vektor sa skalarom, izračunati skalarni i vektorski produkt dvaju vektora, mješoviti produkt vektora.