Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

UVOD

2   NEKI VAŽNIJI POJMOVI VEKTORSKE ANALIZE

Vektorske funkcije skalarnog argumenta (vektorske funkcije realne varijable)

Definicija vektorske funkcije

Označimo:
	(Subscript[X, 0]) = {(Overscript[OT, ⟶]) | T ∈ (E^3)} 	- vektorski prostor svih radijvektora točaka T ∈ (E^3) u odnosu na točku O.
Vektorska funkcija skalarnog argumenta  je svako preslikavanje sa nepraznog skupa I realnih brojeva u vektorski prostor (Subscript[X, 0]) radijvektora, tako da je svakom elementu t ∈ I pridružen vektor (Overscript[u, ⟶])(t) ∈ (Subscript[X, 0]) (slika 02.1). 
	
	Slika 02.1

Rabi se oznaka:  (Overscript[u, ⟶])=(Overscript[u, ⟶])(t).
I = ⟨a,b⟩,  [a,b],  ⟨a,b],  [a,b⟩  ili  ⟨–∞, +∞⟩.	
Napomena:  Analognu definiciju smo imali za funkciju   f: I⟶ ℝ, za koju kažemo da je skalarna funkcija i označavamo f = f(x).

Zadavanje vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t)

Vektorska funkcija zadaje se s tri skalarne funkcije  (Subscript[u, x])(t),  (Subscript[u, y])(t),  (Subscript[u, z])(t): 	 (Overscript[u, ⟶])(t) = (Subscript[u, x])(t)(Overscript[i, ⟶])+ (Subscript[u, y])(t)(Overscript[j, ⟶])+ (Subscript[u, z])(t)(Overscript[k, ⟶]).

Kraći zapis:	(Overscript[u, ⟶])={(Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z])} 
Skalarne funkcije (Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z]) : I⟶ℝ
	({{(Subscript[u, x])=(Subscript[u, x])(t)}, {(Subscript[u, y])=(Subscript[u, y])(t)}, {(Subscript[u, z])=(Subscript[u, z])(t)}})|     ovo su koordinatne funkcije vektorske funkcije
Napomena:  Pojmovi uvedeni kod vektora i kod funkcija uvode se i kod vektorskih funkcija.

Skalarni produkt

Neka su (Overscript[u, ⟶])=(Overscript[u, ⟶])(t) = {(Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z])}  i (Overscript[v, ⟶])=(Overscript[v, ⟶])(t) = {(Subscript[v, x]), (Subscript[v, y]), (Subscript[v, z])}  dvije vektorske funkcije.	
Skalarni produkt  (Overscript[u, ⟶])·(Overscript[v, ⟶]) se definira kao preslikavanje sa I u  ℝ:
	((Overscript[u, ⟶])·(Overscript[v, ⟶]))(t) = (Overscript[u, ⟶])(t)·(Overscript[v, ⟶])(t),	t ∈ I
	((Overscript[u, ⟶])·(Overscript[v, ⟶]))(t) =(Subscript[u, x])(t)·(Subscript[v, x])(t) + (Subscript[u, y])(t)·(Subscript[v, y])(t) + (Subscript[u, z])(t)·(Subscript[v, z])(t)

Vektorski produkt

Vektorski produkt (Overscript[u, ⟶])×(Overscript[v, ⟶]) se definira kao preslikavanje sa I u (Subscript[X, 0]):
	((Overscript[u, ⟶])×(Overscript[v, ⟶]))(t) =  (Overscript[u, ⟶])(t) × (Overscript[v, ⟶])(t),	  t ∈ I
	 ((Overscript[u, ⟶])×(Overscript[v, ⟶]))(t)=|({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶])}, {(Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z])}, {(Subscript[v, x]), (Subscript[v, y]), (Subscript[v, z])}})| 

Po analogiji se definira mješoviti produkt triju vektorskih funkcija kao i višestruki produkti vektorskih funkcija.

Ograđenost, limes i neprekidnost

Ograđena funkcija

(Overscript[u, ⟶])=(Overscript[u, ⟶])(t) je ograđena na intervalu I ako postoji skalar M > 0 takav da je|(Overscript[u, ⟶])(t)|≤M,  za  ∀ t ϵ I.
To znači da postoji sfera polumjera M oko ishodišta takva da je svaka točka T (tj. (Overscript[OT, ⟶]) ) unutar sfere.

Limes (granična vrijednost)

Limes (granična vrijednost) vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) definira se analogno kao i limes skalarne funkcije.
Za vektor (Overscript[a, ⟶]) kažemo da je limes vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) u točki (Subscript[t, o]) i pišemo
	(lim_(t→(Subscript[t, o])))(Overscript[u, ⟶])(t) = (Overscript[a, ⟶])
ako za svaki (broj) ε > 0 postoji (broj)  δ(ε) > 0 takav da 
	0 < | t – (Subscript[t, o])| < δ    ->    |(Overscript[u, ⟶])(t) – (Overscript[a, ⟶])| < ε.
Svojstva limesa vektorske funkcije odgovaraju svojstvima limesa skalarne funkcije koja ste naučili u Matematičkoj analizi (vidi skriptu: Matematika I).

Neprekidnost

Vektorska funkcija (Overscript[u, ⟶])(t) definirana u (Subscript[t, 0]) je neprekidna u (Subscript[t, 0]) ako je 
	(lim_(t-(Subscript[t, 0])))(Overscript[u, ⟶])(t) = (Overscript[u, ⟶])((Subscript[t, 0])).
Funkcija je neprekidna na intervalu I ako je neprekidna u svakoj točki  intervala.

Derivacija i diferencijal

Prirast vektorske funkcije

Prirast vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) je vektor definiran sa:
	Δ(Overscript[u, ⟶]) = Δ(Overscript[u, ⟶])(t) = (Overscript[u, ⟶])(t + Δt) – (Overscript[u, ⟶])(t)	(skica!)

Derivacija vektorske funkcije

Derivacija vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) po skalarnom argumentu je nova vektorska funkcija definirana sa: 
	(Overscript[u, ⟶])'(t) = ((d(Overscript[u, ⟶]))/dt)=  (lim_(Δt⟶0))((Δ(Overscript[u, ⟶]))/(Λt)) = (lim_(Δt⟶0))(((Overscript[u, ⟶])(t-Δt) -(Overscript[u, ⟶])(t))/(Δt))
Ako je  (Overscript[u, ⟶])(t) = (Subscript[u, x])(t)(Overscript[i, ⟶]) +  (Subscript[u, y])(t)(Overscript[j, ⟶]) +  (Subscript[u, z])(t)(Overscript[k, ⟶]) , onda je   (Overscript[u, ⟶])'(t) =  (Subscript[u, x])'(t)(Overscript[i, ⟶]) +  (Subscript[u, y])'(t)(Overscript[j, ⟶]) +  (Subscript[u, z])'(t)(Overscript[k, ⟶]).
Za vektorske funkcije kažemo da su diferencijabilne  ili  derivabilne ako su njihove koordinatne funkcije derivabilne i neprekidne.

Diferencijal

Diferencijal funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) je izraz: 	
	d(Overscript[u, ⟶])=(Overscript[u, ⟶])'(t) dt.

Derivacije višeg reda

Derivacije višeg reda definiraju se induktivno:
	((Overscript[u, ⟶])^((n)))(t) = ((((Overscript[u, ⟶])^((n-1)))(t)))'=(((d^n)(Overscript[u, ⟶]))/(d (t^n))).

Diferencijal višeg reda

(d^k)(Overscript[u, ⟶])(t) = ((Overscript[u, ⟶])^((k)))(t)((dt)^k)
Na primjer,   (d^2)(Overscript[u, ⟶])(t) = d [d (Overscript[u, ⟶])(t)] = d [(Overscript[u, ⟶])'(t)dt ] = (Overscript[u, ⟶])''(t)(dt^2)

Funkcije klase (C^n)

Za vektorsku funkciju (ili skalarnu funkciju) kažemo da je klase (C^n) na otvorenom intervalu I ako ona ima u svakoj točki intervala I neprekidne derivacije n-tog reda (tj. ako ima na I derivacije n-tog reda i one su neprekidne funkcije).
	klasa (C^0)  - neprekinuta vektorska funkcija
	klasa (C^1)  - ima prvu derivaciju koja je neprekinuta vektorska funkcija
	klasa (C^∞) - vektorske funkcije koje u svakoj točki intervala I imaju derivaciju svakog reda
Vrijedi: 
Teorem. Vektorska funkcija (Overscript[u, ⟶])(t) = (Subscript[u, x])(t)(Overscript[i, ⟶]) + (Subscript[u, y])(t)(Overscript[j, ⟶]) + (Subscript[u, z])(t)(Overscript[k, ⟶]) pripada klasi (C^m) na intervali I ako i samo ako njene komponente (Subscript[u, x])(t), (Subscript[u, x])(t), (Subscript[u, z])(t) pripadaju klasi (C^m) na I.◼

Pravilo deriviranja

Neka je  (Overscript[u, ⟶])= (Overscript[u, ⟶])(t)  vektorska funkcija diferencijabilna na intervalu (Subscript[I, t]), i neka je  t = t (θ) skalarna funkcija diferencijabilna na intervali (Subscript[I, θ]),  pri čemu je slika  t ((Subscript[I, θ]))  sadržana i (Subscript[I, t]). 
 Tada je (Overscript[u, ⟶])=  (Overscript[u, ⟶])(t) = (Overscript[u, ⟶])(t (θ))  diferencijabilna na (Subscript[I, θ])  i vrijedi:
 	((d(Overscript[u, ⟶]))/(dθ))=((d(Overscript[u, ⟶]))/dt)·((d t)/(d θ)).

Hodograf vektorske funkcije

Neka je (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t)  vektorska funkcija definirana na otvorenom intervalu I ⊆ ℝ.
Hodografom zadane vektorske funkcije zovemo skup svih točaka (Subscript[T, 0]) koje su vrhovi radijvektora za koje je (Subscript[t, 0]) ∈ I.
Kod hodografa ne govorimo nista o derivabilnosti funkcije!
Ako je (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t)  još i derivabilna vektorska funkcija onda hodograf zovemo krivuljom.
Vektor(Overscript[t, ⟶])=(((d(Overscript[r, ⟶]))/dt))((Subscript[t, 0])) kojem je početak u točki (Subscript[T, 0]), nazivamo tangentni vektor krivulje (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t) u točki (Subscript[T, 0]).

Zadaci

01	Izračunati mješoviti umnožak danih vektorskih funkcija: (Overscript[a, ⟶])(t)={1,t,(t^2)}, (Overscript[b, ⟶])(t)={-t,2t,(t^3)}, (Overscript[c, ⟶])(t)={(t^2),-1,t}.

Zadatak je riješen u Mathematici.
	Definiramo vektorske funkcije, računamo umnožak i pojednostavnjujemo rješenje:

a[t_]:={1,t,t^2}
b[t_]:={-t,2t,t^3}  
c[t_]:={t^2,-1,t}

a[t].(b[t]\[Cross]c[t])

Simplify[%]

Clear[a,b,c]

Rješenje:
	(Overscript[u, ⟶])'(t) = (3(t^2)+2)(Overscript[i, ⟶]) + cos t(Overscript[j, ⟶]) + (e^t)(Overscript[k, ⟶])
	(Overscript[u, ⟶])''(t) = 6t(Overscript[i, ⟶]) – sin t(Overscript[j, ⟶]) + (e^t)(Overscript[k, ⟶])
	((Overscript[u, ⟶])'')'(t) = 6(Overscript[i, ⟶]) –cos t(Overscript[j, ⟶]) + (e^t)(Overscript[k, ⟶])

Mathematicom se zadatak rješava ovako:

u[t_]:={(t^3)+2t,Sin[t],(E^t)}
D[u[t],t]
D[u[t],{t,2}]
D[u[t],{t,3}]

Clear[u]

03	 Dana je vektorska funkcija  (Overscript[u, ⟶])(t) = a cos t (Overscript[i, ⟶]) – a sin t (Overscript[j, ⟶]),    θ = (((1+(t^2)))^(1/2)),  t ≻ 0.  Izračunati  ((d(Overscript[u, ⟶]))/(dθ)).

Rješenje:	
	Koristimo činjenicu da za skalarne funkcije  θ = θ (t)  za koje je  ((dθ)/dt)≠ 0, vrijedi  (dt/(dθ)) = (1/((dθ)/dt)).

((d(Overscript[u, ⟶]))/(dθ)) = ((d(Overscript[u, ⟶]))/dt)·(dt/(dθ)) = ((d(Overscript[u, ⟶]))/dt)·(1/((d θ)/(d t))) = (({- a sin t(Overscript[i, ⟶]) - a cos t (Overscript[j, ⟶])})/((1/2)(((1+(t^2)))^(-1/2))2t))=  – (a/t)(Sqrt[1+(t^2)]){sin t(Overscript[i, ⟶]) + cos t (Overscript[j, ⟶])}

Mathematicom se zadatak može riješiti ovako:

u[t_]:={a Cos[t],-a Sin[t]}
θ[t_]:=Sqrt[1+(t^2)]
D[u[t],t]/D[θ[t],t]
Clear[u,θ]

04	   Vektorska funkcija (Overscript[r, ⟶])(t) = a cos t(Overscript[i, ⟶]) + a sin t(Overscript[j, ⟶]) predstavlja kružnicu polumjera a sa središtem u ishodištu. Odredite tangentu na kružnici u točki t ∈ I  i diskutirajte njezin smjer.

Rješenje:
	Kao prvo pokažimo da se zbilja radi o kružnici kako piše u zadatku:
	x = a cos t | 2  
	y = a sin t | 2
	Zbrajanjem gornjih dviju jednadžbi dobivamo poznatu jednadžbu:   (x^2)+(y^2)=(a^2).
	Tangenta u proizvoljnoj točki:
	(Overscript[r, ⟶])(t) = a cos t(Overscript[i, ⟶])+a sin t(Overscript[j, ⟶])		(Overscript[r, ⟶])(t) = {a cos t, a sin t}
	((d(Overscript[r, ⟶]))/dt)= – a sin t(Overscript[i, ⟶]) + a cos t(Overscript[j, ⟶])		(Overscript[t, ⟶]) =(Overscript[r, ⟶])'(t) = {– a sin t, a cos t}
	Smjer u odnosu na radij vektor točke na kružnici:		
	(Overscript[r, ⟶])(t)·(Overscript[r, ⟶])'(t) = ?
	– (a^2)sin t cos t + (a^2)sin t  cos t=0    ⟹   (Overscript[r, ⟶])(t) ∟ (Overscript[r, ⟶])'(t)
	
	|(Overscript[r, ⟶])(t)| = ?	|(Overscript[r, ⟶])(t)| = (Sqrt[(a^2) (cos^2)t+(a^2) (sin^2)t])= a = konstanta
	|(Overscript[r, ⟶])'(t)| = ?	|(Overscript[r, ⟶])'(t)| = (Sqrt[(a^2) (sin^2)t+(a^2) (cos^2)t])= a = konstanta
	
	Vizualizacija zadatka:

05	  Razviti u Taylorov red funkciju (Overscript[u, ⟶])(t) = cos t(Overscript[i, ⟶]) + sin t(Overscript[j, ⟶]), u okolišu točke  (Subscript[t, 0])=0. Skicirati krivulju i aproksimacije.

Taylorov red glasi:	 (Overscript[u, ⟶]) (t)=(Overscript[u, ⟶]) ((Subscript[t, 0]))+((t-(Subscript[t, 0]))/(1!))(Overscript[u, ⟶])' ((Subscript[t, 0]))+((((t-(Subscript[t, 0])))^2)/(2!))(Overscript[u, ⟶])'' ((Subscript[t, 0]))+⋯ 
	(Overscript[u, ⟶])(t) = cos t(Overscript[i, ⟶])+ sin t(Overscript[j, ⟶])={cos t, sin t},		(Overscript[u, ⟶])(0)={1, 0}
	(Overscript[u, ⟶])'(t) = – sin t(Overscript[i, ⟶])+ cos t(Overscript[j, ⟶])={-sin t, cos t},		(Overscript[u, ⟶])'(0)={0, 1}
	(Overscript[u, ⟶])''(t) = – cos t(Overscript[i, ⟶])– sin t(Overscript[j, ⟶])={-cos t, -sin t},		(Overscript[u, ⟶])''(0)={-1, 0}
	(Overscript[u, ⟶])'''(t) =  sin t(Overscript[i, ⟶])– cos t(Overscript[j, ⟶])={sin t, -cos t},		(Overscript[u, ⟶])'''(0)= {0, -1}

	(Underscript[(Underscript[(Underscript[(Underscript[(Overscript[u, ⟶]) (t)≈{1, 0}, ⏟])+t{0, 1}, ⏟])+((t^2)/2){-1, 0}, ⏟])+((t^3)/6){0,-1}, ⏟])
	Aproksimacije funkcije:	
	(Subscript[(Overscript[u, ⟶]), 0])(t) = {1, 0} =(Overscript[i, ⟶])+ 0(Overscript[j, ⟶])=(Overscript[i, ⟶]),
	(Subscript[(Overscript[u, ⟶]), 1]) (t)≈{1, 0}+t{0, 1}={1, t}=(Overscript[i, ⟶])+t(Overscript[j, ⟶]),
	(Subscript[(Overscript[u, ⟶]), 2]) (t)≈{1, 0}+t{0, 1}+(t^2){-1, 0}={1-((t^2)/2), t}=(1-((t^2)/2))(Overscript[i, ⟶])+t(Overscript[j, ⟶]),
	(Subscript[(Overscript[u, ⟶]), 3]) (t)≈{1, 0}+t{0, 1}+((t^2)/2){-1, 0}+((t^3)/6){0,-1}={1-((t^2)/2), t-((t^3)/6)}=(1-((t^2)/2))(Overscript[i, ⟶])+(t-((t^3)/6))(Overscript[j, ⟶])	
	
	Ilustracija zadatka:

06	  Razviti u Taylorov red funkciju (Overscript[u, ⟶])(t) = (e^t)(Overscript[i, ⟶]) + ((t^3)+t)(Overscript[j, ⟶]), u okolišu točke  (Subscript[t, 0])=0. Skicirati krivulju i aproksimacije.

Mathematicom se zadatak rješava ovako:

t0=0;

u[t_]:={(E^t),(t^3)+t}

u[t0]

der1=D[u[t],t]//Simplify

der1=%/.t->t0

der2=D[u[t],{t,2}]

der2=%/.t->t0

der3=D[u[t],{t,3}]

der3=%/.t->t0

u[t]=u[t0]+((t-t0)/1)der1+((((t-t0))^2)/2)der2+((((t-t0))^3)/6)der3

Iz posljednjeg rezultata ispišite i na slici potražite pojedine aproksimacije:

07 	  Odrediti koje krivulje su hodografi danih vektorskih funkcija.

Kako bi se zadatak lakše riješio krivulje su nacrtane u Mathematici. Upotrebljene su naredbe za crtanje parametarski zadanih funkcija.

a)	 (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[i, ⟶]) -4(t^2)(Overscript[j, ⟶])+3(t^2)(Overscript[k, ⟶]),	    (Overscript[r, ⟶])(t) = {1,-4(t^2), 4(t^2)},  t∈ℝ

(Overscript[r, ⟶])(t) = {1,-4(t^2), 4(t^2)} →(({{x=1
y=-4(t^2)}, {z=4(t^2)     }})  →(({{x=1    }, {y=-z}})   →   (Underscript[((x-1)/0)=(y/(-1))=(z/1), ———————])   pravac

r1=ParametricPlot3D[{1,-4(t^2),3(t^2)},{t,-8,8},
PlotStyle->{Red,Thickness[0.01]},AxesLabel->{"x","y","z"},PlotRange->{{0,1.5},{-5,2},{-1,4}}]

b)	 (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[a, ⟶]) cos t+(Overscript[b, ⟶]) sin t,  gdje je  (Overscript[a, ⟶]) = {1,2}, (Overscript[b, ⟶]) = {-2,1}, t ∈ [0, 2π], (Overscript[a, ⟶])⊥(Overscript[b, ⟶])

(Overscript[r, ⟶])(t) = {cos t-2 sin t,2cos t+ sin t}  →  (({{x=cos t-2 sin t}, { y=2cos t+sin t}})	
	Kvadriranjem i zbrajanjem ovih dviju jednakosti slijedi (Underscript[(x^2)+(y^2)=5, ———————]), jednadžba kružnice.

a={1,2};  b={-2,1};
a.b
a Cos[t]+b Sin[t]
r[t_]:=a Cos[t]+b Sin[t]

r2=ParametricPlot[r[t],{t,0,2Pi},
PlotStyle->{Green,Thickness[0.007]},AxesLabel->{"x","y"},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}}]

c)	Riješite zadatak ako je (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[a, ⟶])cos t+(Overscript[b, ⟶]) sin t, t ∈ [0, 2π], pri čemu vektori (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶]) nisu međusobno okomiti. (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶]) odaberite po volji, u ravnini.

d)	 (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[a, ⟶]) cos t+(Overscript[b, ⟶]) sin t,  gdje je  (Overscript[a, ⟶]) = {1,2,3}, (Overscript[b, ⟶]) = {-2,1,0}, t ∈ [0, 2π], a⊥b

Ovdje se za razliku od zadatka pod b) radi o krivulji u 3D.	
	(Overscript[r, ⟶])(t) = {cos t-2 sin t,2cos t+ sin t,3 cos t}  →  (({{x=cos t-2 sin t
y=2cos t+ sin t}, {z=3 cos t                 }})  	
	O kojoj se krivulji radi možemo odrediti na primjer ovako:
	Kvadriranjem i zbrajanjem prvih dviju jednakosti slijedi (Underscript[(x^2)+(y^2)=5, ———————]), jednadžba valjka.
	cos t=(z/3) (iz treće jednakost) uvrstimo u prvu i drugu jednakost, riješimo se sin t i sredimo. 
	Slijedi  (Underscript[3x+6y-5z=0, ———————————]), jednadžba ravnine.
	Dakle, krivulja je presječna krivulja valjka i ravnine. U općem slučaju radi se o elipsi.

a={1,2,3};  b={-2,1,0};
a.b
a Cos[t]+b Sin[t]
r[t_]:=a Cos[t]+b Sin[t]

r4=ParametricPlot3D[r[t],{t,0,2Pi},
PlotStyle->{Green,Thickness[0.01]},AxesLabel->{"x","y","z"},PlotRange->{{-3,3},{-3,3},{-3,3}}]

e)	 (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[a, ⟶]) (t^2)+(Overscript[b, ⟶]) t,  gdje je  (Overscript[a, ⟶]) = {1,2}, (Overscript[b, ⟶]) = {-2,1},  t∈ℝ

(Overscript[r, ⟶])(t) = {-2t +(t^2),t+2(t^2)} →(({{x=-2t +(t^2)}, {y=t+2(t^2)    }})
	 (({{x=-2t +(t^2)/(-2)}, {y=t+2(t^2)                    }})|+	→	  -2x+y=-3t((/)^(  2))     (i)
	(({{x=-2t +(t^2)         }, {y=t+2(t^2)   /(2)}})|+		→	   x+2y=5(t^2) 	 (ii)
	
	Iz (i) i (ii) slijedi  20(x^2)-20 x y+5(y^2)-9x-18y=0, jednadžba krivulje drugog reda. 
	O kojoj se krivulji radi može se odrediti na primjer pomoću determinante matrice M=(({{20, -10}, {-10,      5}})), 
	njene kvadratne forme. Kako je det M = 0 i det(({{     20, -10, -4.5}, {-10,     5, -9}, {-4.5, -9,     0}}))≠0 zaključujemo da se radi o paraboli.

a={1,2};  b={-2,1};a (t^2)+b t 
r[t_]:=a (t^2)+b t

r5=ParametricPlot[r[t],{t,-2,2},
PlotStyle->{Red,Thickness[0.01]},AxesLabel->{"x","y"},PlotRange->{{-2,5},{-2,5}}]

f)	 (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[a, ⟶]) ch t+(Overscript[b, ⟶]) sh t,  gdje je  (Overscript[a, ⟶]) = {1,2}, (Overscript[b, ⟶]) = {-2,1},  t∈ℝ,  a⊥b

(Overscript[r, ⟶])(t) = {ch t-2 sh t,2ch t+ sh t}  →  (({{x=ch t-2 sh t}, { y=2ch t+sh t}})	
	Sličnim postupkm kao u zadatku pod e) dobiva se  20 x y+15(y^2)+1=0, jednadžba krivulje drugog reda. 
	Iz  det(({{0, -10}, {-10,      15}}))<0  i det(({{     0, -10, 0}, {-10,    15, 0}, {     0,    0, 1}}))≠0 zaključujemo da se radi o hiperboli.

a={1,2};  b={-2,1};
a.b
 a Cosh[t]+b Sinh[t]
r[t_]:=a Cosh[t]+b Sinh[t]

r6=ParametricPlot[{r[t],-r[t]},{t,-5,5},
PlotStyle->{{Pink,Thickness[0.01]},{Pink,Thickness[0.01]}},AxesLabel->{"x","y"},PlotRange->{{-10,10},{-10,10}}]

Sažetak poglavlja

Vektorska funkcija. Vektorska funkcija skalarnog argumenta je svako preslikavanje sa nepraznog skupa S ⊆ ℝ u vektorski prostor (Subscript[X, 0]) radijvektora, tako da je svakom elementu t ∈ S pridružen vektor u (Subscript[X, 0]). 
Zadavanje vektorske funkcije.  Vektorska funkcija (Overscript[u, ⟶])=(Overscript[u, ⟶])(t) se zadaje s tri skalarne funkcije (Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z]) : S⟶ℝ
	({{(Subscript[u, x])=(Subscript[u, x])(t)}, {(Subscript[u, y])=(Subscript[u, y])(t)}, {(Subscript[u, z])=(Subscript[u, z])(t)}})|,   pri čemu je  (Overscript[u, ⟶])(t) = (Subscript[u, x])(t)(Overscript[i, ⟶])+ (Subscript[u, y])(t)(Overscript[j, ⟶])+ (Subscript[u, z])(t)(Overscript[k, ⟶])
Dalje sami! Odgovore potražite unutar poglavlja.
Veza limesa vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])=(Overscript[u, ⟶])(t)  i limesa njenih skalarnih funkcija  (Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z]). 
Veza derivabilnosti vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])=(Overscript[u, ⟶])(t)  i derivabilnosti njenih skalarnih funkcija  (Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z]).
Vektorska funkcija klase (C^0), klase (C^1), klase (C^2). 
Pojam hodografa zadane vektorske funkcije.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će razumjeti način zadavanja vektorske funkcije skalarnog argumenta. Bit će u stanju vršiti računske operacije s i nad vektorskim funkcijama u prostoru (E^3):  skalarni i vektorski produkt dviju vektorskih funkcija, mješoviti produkt, derivacije višeg reda, diferencijal.