Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

PROSTORNE KRIVULJE

3  POJAM KRIVULJE. ZADAVANJE KRIVULJE

Definicija i zadavanje krivulje

DEFINICIJA KRIVULJE

Neka je  I otvoren interval realnih brojeva  i  α : I ⟶ (E^3) vekorska funkcija zadana sa
		α(t) = (x(t), y(t), z(t)),	
gdje su  x, y, z : I ⟶ ℝ  realne funkcije koje zovemo koordinatnim funkcijama od α tj.
		x = x(t),    y = y(t),   z = z(t).
Svaku diferencijabilnu funkciju α : I ⟶ (E^3) zovemo krivuljom u prostoru (E^3).
Znamo: α je diferencijabilno preslikavanje ako su x(t), y(t), z(t) diferencijabilna preslikavanja.
α(I) ⊂ (E^3) zovemo grafom krivulje α (slika 03.1).

	
	Slika 03.1

JEDNADŽBA KRIVULJE

Neka je α : I ⟶ (E^3) krivulja.
α(t) ϵ (E^3) identificiramo s radijvektorom točke  (Overscript[r, →]) (t)  i zadajemo na dva načina:
		(Overscript[r, →]) (t) = x(t) (Overscript[i, →]) + y(t) (Overscript[j, →]) + z(t) (Overscript[k, →])				(1)
		vektorska jednadžba  krivulje
		x = x(t),  y = y(t),  z = z(t)				(2)
		parametarska jednadžba  krivulje

U analitičkoj geometriji i diferencijalnom rečunu krivulje su često predočene u implicitnom ili eksplicitnom obliku, tj. jednadžbama:
		u (E^2)…  F(x,y) = 0   ili   y = f(x),
		u (E^3)… kao presjek dviju ploha:    (({{F(x,y,z)=0}, {G(x,y,z)=0}})   ili   (({{z=f(x,y)}, {z=g(x,y)}}).
Krivulju α zadanu vektorskom jednadžbom zapisivat ćemo ovako:
		α…… (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t),     t ϵ I.

Duljina luka krivulje

Jedno od najjednostavnijih i najvažnijih geometrijskih svojstava pridruženih krivulji je njena duljina. 
Neka je  (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t) jednadžba krivulje α .
 (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, 1]))  i  (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, 2]))  su radijvektori  dviju njenih točaka A i B, tj.  (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, 1]))=(Overscript[OA, ⟶]),  (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, 2]))=(Overscript[OB, ⟶]).
Realni broj
		s = (∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))|(Overscript[r, →]) ´(t)|dt					(3)
nazivamo  duljinom luka  krivulje α (duljinom krivulje α) od točke A do točke B. 
Ako je krivulja zadana parametarskim jednadžbama (2) duljina luka se zapisuje:

		s= (∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))(Sqrt[((((dx/dt)))^2)+((((dy/dt)))^2)+((((dz/dt)))^2)])dt			(4)
odnosno,
		s = (∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))(Sqrt[((((OverDot[x])))^2)+((((OverDot[y])))^2)+((((OverDot[z])))^2)])dt			(5)

Tangentni vektor. Reparametrizacija krivulje

TANGENTNI VEKTOR

Neka je zadana krivulja  α…… (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t),  t ϵ I.
Tangentnim vektorom  krivulje α u točki kojoj je radijvektor  (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, 0])),  (Subscript[t, 0]) ϵ I, zovemo vektor
		 (Overscript[t, →]) =  (Overscript[r, →])'((Subscript[t, 0]))=((d(Overscript[r, →]))/dt)((Subscript[t, 0])) 				(6)
s početakom u toj točki.
Općenito vrijedi:
		| (Overscript[t, →]) | = | (Overscript[r, →])'(t)| ≠ 1.				(7)
Ukoliko postignemo da je ispunjeno | (Overscript[t, →]) | = | (Overscript[r, →])'(t)| = 1  formule diferencijalne geometrije postaju znatno jednostavnije. 
To je uvijek moguće učiniti postupkom pod nazivom  reparametrizacija krivulje.

REPARAMETRIZACIJA

Neka je:	α : I ⟶ (E^3)			…zadana krivulja
		h : J⟶ I			…diferencijabilna bijekcija
		J - otvoreni interval realnih brojeva
		β = α ∘ h : J ⟶ (E^3)		…kompozicija funkcija h i α
Preslikavanje β zovemo reparametrizacijom krivulje α funkcijom h.
Vrijedi:		β(J) = α(I), 
		tj. graf od α se podudara s grafom od β,
		tj. radi se o istoj krivulji.

Postupak reparametrizacije krivulje

Umjesto općeg parametra t uvedimo parametar s, gdje je s duljina luka same krivulje. 
Na taj se način postiže da je duljina vektora tangente jednaka 1, tj. | (Overscript[r, →])'(s)| = 1.

Krivulja:	α…… (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t),	t ϵ I,  a ϵ I,  a - konstanta
Promatramo preslikavanje 
		s(t) = (∫_a^t)|(Overscript[r, →]) ´(t)|dt,	   s : I ⟶R		(8)
Kakvo je to preslikavanje?
	- neprekidno i monotono rastuće 
	- preslikava bijektivno interval  I  na neki interval  J  realnih brojeva (s : I ⟶J)
	- svaka takva funkcija ima inverznu funkciju; označimo njen inverz sa  t = t(s) : J⟶I 
	- inverz je diferencijabilna, monotono rastuća funkcija
	- reparametrizirajmo α funkcijom t = t(s), tj.  β = α ∘ t : J ⟶ (E^3)
	
Tangentni vektor tako reparametrizirane krivulje ima duljinu 1 a za krivulju kažemo da je parametrizirana prirodnim parametrom ili duljinom luka. Prirodni parametar označavamo sa s.

Teorem.  Krivulja reparametrizirana prirodnim parametrom s ima svojstvo da je duljina njenog vektora tangente jednaka 1.

Dokaz.
		α …		(Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t),	t = t(s)
		β = α ∘ t …	(Overscript[ρ, →]) = (Overscript[ρ, →]) (s) = (Overscript[r, →]) (t)∘ t(s) =  (Overscript[r, →]) [ t(s)]
Duljina vektora tangente:
		| (Overscript[ρ, →])' (s)| = ? 
		(Overscript[ρ, →])' (s) = (( (Overscript[r, →]) [ t(s)]))' = ((d(Overscript[r, →]))/ds)= ((d(Overscript[r, →]))/dt)·(dt/ds)
		s(t) = (∫_a^t)|(Overscript[r, →]) ´(t)|dt  /  deriviramo po t
		(ds/dt)= (d/dt)((∫_a^t)|(Overscript[r, →]) ´(t)|dt) = | (Overscript[r, →])' (t)| = |((d(Overscript[r, →]))/dt)|
Imamo sada:
		| (Overscript[ρ, →])' (s)| =  |((d(Overscript[r, →]))/dt)| ·|(dt/ds)| = (ds/dt)· |(dt/ds)| =  (ds/dt)· (dt/ds) = 1.◼

Duljina luka krivulje parametrizirane prirodnim parametrom

Neka je krivlja α… (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (s) reparametrizirana na gore opisani način.	
Duljina luka
		s = (∫_(Subscript[s, 1])^(Subscript[s, 2]))(Underscript[(Underscript[|(Overscript[r, →]) ´(s)|, ⏟]), =1])ds = (∫_(Subscript[s, 1])^(Subscript[s, 2]))ds = (Subscript[s, 2]) – (Subscript[s, 1])	(9)

Oznake za derivaciju

Neka je 	α … (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (s),	  s - prirodni parametar
Derivacija vektorske funkcije realne varijable po prirodnom parametru označava se:
		(Overscript[r, →])' = ((d(Overscript[r, →]))/ds)					(10)
Neka je 	α … (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t),	  t - opći parametar
Derivacija vektorske funkcije realne varijable po općem parametru označava se:
		(OverDot[(Overscript[r, →])]) = ((d(Overscript[r, →]))/dt)						(11)

Primjeri + interaktivne vježbe

Primjeri:   neke ravninske krivulje

1.	(Overscript[r, ->])(t) ={cos 2t, sin 4t},    t ∈ [0, π]

Slika je dobivena u Mathematici sljedećom naredbom:

ParametricPlot[{Cos [2t],Sin[ 4t]},{t,0,π}, Ticks->None,AxesLabel->{x,y},PlotRange->{{-1.5,1.5},{-1.5,1.5}},Epilog->Inset[1,{1.2,-0.2}]]

2.	(Overscript[r, ->])(t) ={ t - sin t, 1- cos },    t ∈ (-π, 4π)		(cikloida)

Slika je dobivena sljedećom naredbom:

ParametricPlot[{t-Sin [t],1-Cos[t]},{t,-π,4π}, Ticks->None,PlotRange->{{-π,4.5π},{-0.8,3}},AxesLabel->{x,y},Epilog->{Inset[0,{0.3,-0.5}],Inset[2π,{2π,-0.5}],
Inset[4π,{4π,-0.5}] }  ]

3.	(Overscript[r, ->])(t) ={ 2cos t - cos 2t, 2sin t - sin2t },    t ∈ [0, 2π]	    (kardioida)

Slika je dobivena sljedećom naredbom:

ParametricPlot[{2Cos [t]-Cos[2t],2Sin[t]-Sin[2t]},{t,0,2π}, Ticks->None,PlotRange->{{-3.5,2},{-3,3}},AxesLabel->{x,y},Epilog->Inset[1,{1,-0.4}]]

Primjeri:   neke prostorne krivulje

1.	(Overscript[r, ->])(t) ={2sin t, 2cos t, t/2},    t ∈ (0, 5π)     (kruzna zavojnica  ili  obična cilindrična spirala)

Slika je dobivena u Mathematici sljedećom naredbom::

ParametricPlot3D[{2Sin[t],2Cos [t],t/2},{t,0,5π}, Ticks->None,AxesLabel->{x,y,z}]

2.	(Overscript[r, ->])(t) ={(((2sin t))^2), 2sin t cos t, 2cos t},    t ∈ [0, 2π]     (Vivijanijeva krivulja)

Slika je dobivena sljedećom naredbom:

ParametricPlot3D[{(((2Sin[t]))^2),2Sin[t]Cos [t],2Cos [t]},{t,0,2π}, Ticks->None,AxesLabel->{x,y,z}]

3.	(Overscript[r, ->])(t) ={(e^t)cos t, (e^t)sin t, 2 t},    t ∈ [-π, π]

ParametricPlot3D[{(E^t)Cos [t], (E^t)Sin[t],4t},{t,-2π,2π}, Ticks->None,AxesLabel->{x,y,z}]

4.	(Overscript[r, ->])(t) ={2(t - sin t), 2(1 - cos t), 8cos t},    t ∈ (-4π, 6π)

ParametricPlot3D[{2(t-Sin[t]),2(1-Cos [t]),8Cos[t]},{t,-4π,5π}, Ticks->None,AxesLabel->{x,y,z}]

webMathematica datoteka za vježbu:  ParametricPlot2D

webMathematica datoteka za vježbu: ParametricPlot3D-krivulje

Zadaci

01	Skicirajte grafove krivulja u xy-ravnini zadanih vektorskim jednadžbama:

a)   (Overscript[r, ⟶])(t) = t(Overscript[i, ⟶]) +(t^2)(Overscript[j, ⟶]) ,     t ∈ ℝ
	 b)   (Overscript[r, ⟶])(t) = t(Overscript[i, ⟶]) +t(Overscript[j, ⟶]) ,       t ∈ ℝ   
	 c)   (Overscript[r, ⟶])(t) = cos t(Overscript[i, ⟶]) + sin t(Overscript[j, ⟶]) ,     t ∈ [0, 2π]

Rješenje:

a)   (Overscript[r, ⟶])(t) = t(Overscript[i, ⟶]) +(t^2)(Overscript[j, ⟶])
	     α ... (({{x=t}, { y=(t^2)}})
	     Riješimo se parametra t   →   y=(x^2)   tj.  parabola

b)   (Overscript[r, ⟶])(t) = t(Overscript[i, ⟶]) +t(Overscript[j, ⟶])
	     α ... (({{x=t}, { y=t}})
	     Riješimo se parametra t   →   y=x   tj.  pravac

c)   (Overscript[r, ⟶])(t) =cos t(Overscript[i, ⟶]) + sin t(Overscript[j, ⟶])
	     α ... (({{x=cos t}, {y=sin t}})
	     Riješimo se parametra t :   
	     (({{x=cos t ((/)^2)}, {y=sin t ((/)^2)}})(SuperPlus[/])  →   (x^2) + (y^2)=1   tj.  kružnica polumjera 1 sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava

02	Krivulja je zadana parametarskom jednadžbom:    x=a cos t,   y=a sin t,    z=b t ;     t ∈ ℝ, a>0,  b>0  
	  a)   Naći projekcije grafa krivulje na koordinatne ravnine. 
	  b)   Napisati jednadžbu krivulje kao presjek dviju ploha.

Rješenje:

Zadana krivulja je zavojnica:

a)   x=a cos t,   y=a sin t,    z=0           →      (x^2)+(y^2)=(a^2)       u ravnini     z=0
x=a cos t,   y=0,              z=b t        →      x=a cos (z/b)           u ravnini      y=0     
x=0,              y=a sin t,    z=b t         →      y=a sin (z/b)          u ravnini      x=0
	 b)   Promatramo projekcije  (x^2)+(y^2)=(a^2), x=a cos (z/b)   i   y=a sin (z/b)   kao plohe u (E^3).
	    Biramo po dvije od tih ploha. Njihovi presjeci daju traženo. 
	      Imamo 3 mogućnosti:
	      α ...    (x^2)+(y^2)=(a^2) ⋂  x=a cos (z/b)  ;
α ...    (x^2)+(y^2)=(a^2)  ⋂ y=a sin (z/b)  ;
α ...    x=a cos (z/b)  ⋂   y=a sin (z/b) .

Vizualizacija zadatka (za a = 2, b = 1/4):

Projekcija na xy ravninu i pripadajuća valjkasta ploha:

Projekcija na xz ravninu i pripadajuća valjkasta ploha:

Projekcija na yz ravninu i pripadajuća valjkasta ploha:

03	  Izračunati duljinu jednog zavoja zavojnice:    (Overscript[r, →]) (t) = a cos t  (Overscript[i, →]) + a sin t(Overscript[j, →]) + b t (Overscript[k, →]),      t ∈ ℝ, a>0,  b>0.

Zadatak je riješen u Mathematici:

r= {a Cos[t],a Sin[t], b t}

r'=D[r,t]

Simplify[Sqrt[r'.r']]

(∫_0^(2π))Sqrt[r'.r']\[DifferentialD]t

2 (Sqrt[(a^2)+(b^2)]) π

04	  Reparametrizirati običnu cilindričnu spiralu iz zadatka 03 na prirodni parametar i zatim izračunati duljinu jednog njenog zavoja.

Zadatak je riješen u Mathematici:

r= {a Cos[t],a Sin[t], b t}

r'=D[r,t]

Simplify[Sqrt[r'.r']]

s=(∫_0^t)Sqrt[r'.r']\[DifferentialD]t

Print["s=(Sqrt[(a^2) + (b^2)]) t"]

Clear[s,t]

Parametar t izražen kao funkcija prirodnog parametra s:

Solve[s==(Sqrt[(a^2)+(b^2)]) t,t]

t=(s/(Sqrt[(a^2)+(b^2)]));

Cilindrična spitala reparametrizirana prirodnim parametrom ima jednadžbu:

r1= {a Cos[t],a Sin[t], b t}

r1'=D[r1,s]

Simplify[Sqrt[r1'.r1']]

s=(∫_0^((2Pi(Sqrt[(a^2)+(b^2)]))))Sqrt[r1'.r1']\[DifferentialD]s

2 (Sqrt[(a^2)+(b^2)]) π

Clear[t]

05	  Izračunati duljinu krivulje zadane sa:   (Overscript[r, →]) (t) =  (e^t)  cos t (Overscript[i, →]) + (e^t) sin t(Overscript[j, →]) + (e^t) (Overscript[k, →]), od   t=0   do   t=1.

Zadatak je riješen u Mathematici:

r= {(E^t) Cos[t],(E^t) Sin[t],(E^t)}

r'=D[r,t]

Simplify[Sqrt[r'.r']]

(∫_0^1)(Sqrt[3]) (Sqrt[(E^(2 t))])\[DifferentialD]t

(Sqrt[3]) (-1+E)

Sažetak poglavlja

Definicija krivulje u (E^3).  Krivulja u (E^3) je svako diferencijabilno preslikavanje α : I ⟶ (E^3) ( I ⊂ ℝ, otvoren interval) zadano sa α(t) = (x(t), y(t), z(t)), gdje su  x, y, z : I ⟶ ℝ.
Neka je α : I ⟶ (E^3) , I ⊂ ℝ neka krivulja. Na koje se sve načine može zadati? Ispisati oblike njenih jednadžbi i navesti nazive:
	(Overscript[r, →]) (t) = x(t) (Overscript[i, →]) + y(t) (Overscript[j, →]) + z(t) (Overscript[k, →])		vektorska jednadžba krivulje
	 x = x(t),  y = y(t),  z = z(t)		parametarska jednadžba  krivulje
	(({{F(x,y,z)=0}, {G(x,y,z)=0}})   ili   (({{z=f(x,y)}, {z=g(x,y)}})   	krivulja zadana kao presjek dviju ploha 
Dalje sami! Odgovore potražite unutar poglavlja.
Formula za izračunavanje duljine luka krivulje α… (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t), t ϵ I.
Definicija pojma tangentnog vektora krivulje α… (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t), t ϵ I, u točki  (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, o])),  (Subscript[t, o]) ϵ I.
Pojam reparametrizacije krivulje.
Smisao reparametrizacije krivulje prirodnim parametrom s.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju ispisati različite oblike jednadžbe prostorne krivulje, odrediti tangentni vektor krivulje u nekoj njenoj točki i izračunati duljinu luka krivulje. Razumjeti će i pojam reperametrizacije krivulje i uočiti važnost reparametrizacije krivulje prirodnim parametrom.