Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

PROSTORNE KRIVULJE

4  FRENETOV TROBRID

Frenetov trobrid kod krivulja parametriziranih  prirodnim parametrom

Definicija trobrida

Zadana je krivulja   α : I ⟶(E^3),   I ⊆ ℝ,   jednadžbom (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(s), pri čemu je s prirodni parametar.
Krivulji α pridružit ćemo 3 vektorska polja. 
Vektorsko polje duž krivulje α je preslikavanje koje svakom  t ∈ I  pridružuje vektor  (Overscript[a, ⟶])(t)={(Subscript[a, x])(t), (Subscript[a, y])(t), (Subscript[a, z])(t)} u točki  α(t).
Vektorsko polje je diferencijabilno ako je pripadna vektorska funkcija diferencijabilna, a ona je, kao što znamo diferencijabilna ako su skalarne komponente diferencijabilne funkcije.

1°) POLJE TANGENATA

Polje tangenata definira se formulom:
		(Overscript[(t^( o)), ⟶])(s) = (Overscript[r, ⟶])'(s) .						(12)
Polje je jedinično, tj.
 		|(Overscript[(t^( o)), ⟶])(s)| = |(Overscript[r, ⟶])'(s)| = 1.
Moramo znati: Ako vektor ima konstantan modul, on je okomit na svoju derivaciju. Stoga,  
		|(Overscript[(t^( o)), ⟶])(s)| = |(Overscript[r, ⟶])'(s)| = 1   ⇒    (Overscript[(t^( o)), ⟶]) ∟  (Overscript[(t^( o)), ⟶])'(s)     tj.  (Overscript[r, ⟶])'(s)  ∟ (Overscript[r, ⟶])''(s)
Pravac određen vektorom  (Overscript[(t^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))  nazivamo tangentom.
Budući da znamo da je  (Overscript[(t^( o)), ⟶])(s) = (Overscript[r, ⟶])'(s) ={x',y',z'}, lako je zapisati jednadžbu tangente krivulje u točki (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = { (Subscript[x, o]),  (Subscript[y, o]), (Subscript[z, o])} :
	- kanonaska jednadžba:
		  ((x-(Subscript[x, o]))/((Subscript[x, o])')) = ((y-(Subscript[y, o]))/((Subscript[y, o])'))= ((z-(Subscript[z, o]))/((Subscript[z, o])'))(=μ)	(znamo točku i vektor smjera)
	- parametarska jednadžba: 
		({{x=(Subscript[x, o])+μ (Subscript[x, o])'}, {y=(Subscript[y, o])+μ (Subscript[y, o])'}, {z=(Subscript[z, o])+μ (Subscript[z, o])'}})

2°) POLJE GLAVNIH NORMALA

Polje glavnih normala definira se formulom: 		
		(Overscript[(n^( o)), ⟶])(s)= (((Overscript[(t^( o)), ⟶])')/(|(Overscript[(t^( o)), ⟶])'|)).							(13)
Pravac određen vektorom  (Overscript[(n^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))  nazivamo glavnom normalom.
Budući da je
		 (Overscript[(n^( o)), ⟶])(s)= (((Overscript[(t^( o)), ⟶])')/(|(Overscript[(t^( o)), ⟶])'|))=(((Overscript[r, ⟶])''(s))/(|(Overscript[r, ⟶])''(s)|))= (({x'',y'',z''})/(|(Overscript[r, ⟶])''(s)|)), 
jednadžba glavne normale točkom (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = { (Subscript[x, o]),  (Subscript[y, o]), (Subscript[z, o])} glasi:
	- kanonska jednadžba:
		 ((x-(Subscript[x, o]))/(((Subscript[x, o]))'')) = ((y-(Subscript[y, o]))/(((Subscript[y, o]))''))= ((z-(Subscript[z, o]))/(((Subscript[z, o]))''))(=μ) 	(znamo točku i vektor smjera)
	- parametarska jednadžba: 
		({{x=(Subscript[x, o])+μ (Subscript[x, o])''}, {y=(Subscript[y, o])+μ (Subscript[y, o])''}, {z=(Subscript[z, o])+μ (Subscript[z, o])''}})

3°) POLJE BINORMALA

Polje binormala definira se formulom: 		
		(Overscript[(b^( o)), ⟶])(s) = (Overscript[(t^( o)), ⟶])(s) × (Overscript[(n^( o)), ⟶])(s) 					(14)
Pravac određen vektorom  (Overscript[(b^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))  nazivamo binormalom  krivulje α u točki α((Subscript[s, o])).
Budući da je
		  (Overscript[(b^( o)), ⟶])((Subscript[s, o])) = (Overscript[(t^( o)), ⟶])((Subscript[s, o])) ×  (Overscript[(n^( o)), ⟶])((Subscript[s, o])) = (((Overscript[r, ⟶])'× (Overscript[r, ⟶])'')/(|(Overscript[r, ⟶])''|))=
		  = (1/(|(Overscript[r, ⟶])''|))|({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶])}, {(Subscript[x, o])', (Subscript[y, o])', (Subscript[z, o])'}, {(Subscript[x, o])'', (Subscript[y, o])'', (Subscript[z, o])''}})| =  (1/(|(Overscript[r, ⟶])''|))(|({{(Subscript[y, o])', (Subscript[z, o])'}, {(Subscript[y, o])'', (Subscript[z, o])''}})|(Overscript[i, ⟶])+|({{(Subscript[z, o])'}, {(Subscript[z, o])''}})({{(Subscript[x, o])'}, {(Subscript[x, o])''}})|(Overscript[j, ⟶])+|({{(Subscript[x, o])', (Subscript[y, o])'}, {(Subscript[x, o])'', (Subscript[y, o])''}})|(Overscript[k, ⟶])), 
jednadžba binormale točkom (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = { (Subscript[x, o]),  (Subscript[y, o]), (Subscript[z, o])} glasi:
	- kanonska jednadžba:
		  ((x-(Subscript[x, o]))/(|({{(Subscript[y, o])', (Subscript[z, o])'}, {(Subscript[y, o])'', (Subscript[z, o])''}})|)) = ((y-(Subscript[y, o]))/(|({{(Subscript[z, o])'}, {(Subscript[z, o])''}})({{(Subscript[x, o])'}, {(Subscript[x, o])''}})|))= ((z-(Subscript[z, o]))/(|({{(Subscript[x, o])', (Subscript[y, o])'}, {(Subscript[x, o])'', (Subscript[y, o])''}})|))(=μ)	(znamo točku i vektor smjera)
	- parametarska jednadžba: 
		({{  x=(Subscript[x, o])+μ|({{(Subscript[y, o])', (Subscript[z, o])'}, {(Subscript[y, o])'', (Subscript[z, o])''}})|}, {  y=(Subscript[y, o])+μ|({{(Subscript[z, o])'}, {(Subscript[z, o])''}})({{(Subscript[x, o])'}, {(Subscript[x, o])''}})|}, { z=(Subscript[z, o])+μ |({{(Subscript[x, o])', (Subscript[y, o])'}, {(Subscript[x, o])'', (Subscript[y, o])''}})|}})

Polja  (Overscript[(b^( o)), ⟶])(s),  (Overscript[(n^( o)), ⟶])(s)  i  (Overscript[(t^( o)), ⟶])(s) su ortogonalna i jedinična, tj.
		(Overscript[(t^( o)), ⟶])(s) · (Overscript[(n^( o)), ⟶])(s) = 0,	(Overscript[(n^( o)), ⟶])(s) · (Overscript[(b^( o)), ⟶])(s) = 0,	(Overscript[(b^( o)), ⟶])(s) · (Overscript[(t^( o)), ⟶])(s) = 0,	
		((Overscript[(t^( o)), ⟶])^2)= ((Overscript[(n^( o)), ⟶])^2)=((Overscript[(b^( o)), ⟶])^2)=1.
Vrijedi: 	(Overscript[(b^( o)), ⟶])= (Overscript[(t^( o)), ⟶])× (Overscript[(n^( o)), ⟶]), 		(Overscript[(t^( o)), ⟶])= (Overscript[(n^( o)), ⟶])× (Overscript[(b^( o)), ⟶]), 		(Overscript[(n^( o)), ⟶])= (Overscript[(b^( o)), ⟶])× (Overscript[(t^( o)), ⟶]).
Trojku vektora: 
		{ (Overscript[(t^( o)), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[(n^( o)), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[(b^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))}					(15)
nazivamo Frenetovim trobridom  ili  trobridom pratiocem krivulje α u točki α((Subscript[s, o])), (Subscript[s, o])∈ I.

REGULARNE I SINGULARNE TOČKE KRIVULJE

- regularne točke krivulje su one za koje je	 (Overscript[t, ⟶])≠ (Overscript[0, ⟶]), 	( (OverDot[(Overscript[r, ⟶])])(t) ≠(Overscript[0, ⟶]),   tj. |(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])(t)|≠0 ),
	- singularne točke su one za koje je		 (Overscript[t, ⟶])= (Overscript[0, ⟶]), 	( (OverDot[(Overscript[r, ⟶])])(t) = (Overscript[0, ⟶]),   tj. |(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])(t)|=0 ).
Trobrid pratilac definiran je u regularnim točkama krivulje. Krivulju zovemo glatkom ako su sve njezine točke regularne.

Jednadžbe ravnina

Vektori   (Overscript[(t^( o)), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[(n^( o)), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[(b^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))  razapinju 3 ravnine: 
	 (Overscript[(t^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))   i   (Overscript[(n^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))    ⟶  oskulaciona ravnina
	 (Overscript[(n^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))   i   (Overscript[(b^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))   ⟶  normalna ravnina
	 (Overscript[(t^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))   i   (Overscript[(b^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))    ⟶  rektifikaciona ravnina

NORMALNA RAVNINA

Ravnina točkom (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = { (Subscript[x, o]),  (Subscript[y, o]), (Subscript[z, o])},  okomita na vektor tangente  (Overscript[(t^( o)), ⟶])((Subscript[s, o])) = (Overscript[r, ⟶])'((Subscript[s, o]))={(Subscript[x, o])',(Subscript[y, o])',(Subscript[z, o])'} ima jednadžbu:
	(Subscript[x, o])'(x – (Subscript[x, o])) + (Subscript[y, o])'(y – (Subscript[y, o])) + (Subscript[z, o])'(z – (Subscript[z, o])) = 0			(16)

REKTIFIKACIONA RAVNINA

Ravnina točkom (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o]))  okomita na vektor glavne normale (Overscript[(n^( o)), ⟶])((Subscript[s, o])) = (( (Overscript[r, ⟶])''((Subscript[s, o])))/(| (Overscript[r, ⟶])''((Subscript[s, o]))|)), tj. na vektor (Overscript[r, ⟶])''((Subscript[s, o]))={(Subscript[x, o])'',(Subscript[y, o])'',(Subscript[z, o])''}  ima jednadžbu:
	(Subscript[x, o])''(x – (Subscript[x, o])) + (Subscript[y, o])''(y – (Subscript[y, o])) + (Subscript[z, o])''(z – (Subscript[z, o])) = 0			(17)

OSKULACIONA RAVNINA

Ravnina točkom (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o]))  okomira na vektor binormale    (Overscript[(b^( o)), ⟶])((Subscript[s, o]))= (((Overscript[r, ⟶])'× (Overscript[r, ⟶])'')/(|(Overscript[r, ⟶])''|)), tj. na vektor  (Overscript[r, ⟶])'((Subscript[s, o]))×(Overscript[r, ⟶])''((Subscript[s, o])) ima jednadžbu:
	|({{x-(Subscript[x, o]), y-(Subscript[y, o]), z-(Subscript[z, o])}, {(Subscript[x, o])', (Subscript[y, o])', (Subscript[z, o])'}, {(Subscript[x, o])'', (Subscript[y, o])'', (Subscript[z, o])''}})| = 0					(18)

Slika 04.1   Frenetov trobrid i pridružene ravnine u točki P krivulje α

Frenetov trobrid kod krivulja parametriziranih općim parametrom

Definicija trobrida

Neka je α… (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t), t ∈ I, I ⊆ ℝ krivulja parametrizirana općim parametrom.
Reparametriziramo krivulju:	s = s(t) = (∫_a^t)|(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])(t)|dt     ⇒     t = t(s)
Sada je  α… (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])[t(s)].

VEKTOR TANGENTE; TANGENTA

Naučili smo da je polje tangenata kod krivulja parametriziranih prirodnim parametrom definirano formulom  (Overscript[(t^( o)), ⟶])(s) = (Overscript[r, ⟶])'(s) .
Računamo(Overscript[r, ⟶])'(s) za krivulju α… (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])[t(s)] :
	(Overscript[r, ⟶])'(s) = ((d(Overscript[r, ⟶]))/(d s))= ((d(Overscript[r, ⟶]))/(d t))(dt/(d s))= (((d(Overscript[r, ⟶]))/(d t))/(ds/(d t)))= (((d(Overscript[r, ⟶]))/(d t))/(|((d(Overscript[r, ⟶]))/(d t))|))= ((OverDot[(Overscript[r, ⟶])])/(|(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])|))			( i )
Slijedi:
	- jedinični vektor tangente
		(Overscript[(t^( o)), ⟶])=((OverDot[(Overscript[r, ⟶])])/(|(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])|))							(19)
	- kanonaska jednadžba tangente
		((x-(Subscript[x, o]))/((Subscript[(OverDot[x]), o]))) = ((y-(Subscript[y, o]))/((Subscript[(OverDot[y]), o])))= ((z-(Subscript[z, o]))/((Subscript[(OverDot[z]), o])))(=μ)		
	- parametarska jednadžba tangente
		(({{x=(Subscript[x, o])+μ (Subscript[(OverDot[x]), o]) }, {y=(Subscript[y, o])+μ (Subscript[(OverDot[y]), o])}, {z=(Subscript[z, o])+μ (Subscript[(OverDot[z]), o])}})

VEKTOR BINORMALE; BINORMALA

Dalje, znamo da vektori (Overscript[r, ⟶])'(s)  i (Overscript[r, ⟶])''(s) razapinju oskulacionu ravninu te da je vektor binormale na nju okomit. Za krivulju α… (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])[t(s)]  računamo sada i (Overscript[r, ⟶])''(s):
	(Overscript[r, ⟶])''(s) 	= (((d^2)(Overscript[r, ⟶]))/(d (s^2)))=(d/(d s))(((d(Overscript[r, ⟶]))/(d s))) = (d/(d s))(((d(Overscript[r, ⟶]))/(d t))((d t)/(d s))) 
		 = (((d^2)(Overscript[r, ⟶]))/(d (t^2)))((d t)/(d s))((d t)/(d s)) + ((d(Overscript[r, ⟶]))/(d t))(((d^2)t)/(d (s^2)))= (((d^2)(Overscript[r, ⟶]))/(d (t^2)))(((((d t)/(d s))))^2)+ ((d(Overscript[r, ⟶]))/(d t))(((d^2)t)/(d (s^2)))
		= ((((d^2)(Overscript[r, ⟶]))/(d (t^2)))/(((((d s)/(d t))))^2))+ ((d(Overscript[r, ⟶]))/(d t))(((d^2)t)/(d (s^2)))= ((Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨])/(|(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])((|)^2)))+ (OverDot[(Overscript[r, ⟶])])(((d^2)t)/(d (s^2)))				( ii )
Iz ( i ) i ( ii ) slijedi da su vektori (Overscript[r, ⟶])'(s)  i (Overscript[r, ⟶])''(s) linearna kombinacija vektora (OverDot[(Overscript[r, ⟶])]) i (Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]). Zaključujemo da (OverDot[(Overscript[r, ⟶])]) i (Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]) također leže u oskulacionoj ravnini. 
Slijedi da je (Overscript[b, ⟶])= (OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]), odnosno:
	- jedinični vektor binormale:
		 (Overscript[(b^( o)), ⟶])= (((OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]))/(|(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨])|))						(20)
	- kanonaska jednadžba binormale:
		 ((x-(Subscript[x, o]))/(|({{(Subscript[(OverDot[y]), o]), (Subscript[(OverDot[z]), o])}, {(Subscript[(Overscript[y, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[z, ¨]), o])}})|)) = ((y-(Subscript[y, o]))/(|({{(Subscript[(OverDot[z]), o])}, {(Subscript[(Overscript[z, ¨]), o])}})({{(Subscript[(OverDot[x]), o])}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o])}})|))= ((z-(Subscript[z, o]))/(|({{(Subscript[(OverDot[x]), o]), (Subscript[(OverDot[y]), o])}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[y, ¨]), o])}})|))	
	- parametarsku jednadžbu binormale ispišite sami!

VEKTOR GLAVNE NORMALE; GLAVNA NORMALA

Sada je lako ispisati izraz za jedinični vektor glavne normale. Budući da je glavna normala okomita i na binormalu i na tangentu, to je (Overscript[n, ⟶])=(Overscript[b, ⟶])× (Overscript[t, ⟶]), odnosno (Overscript[n, ⟶])= ( (OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨])) × (OverDot[(Overscript[r, ⟶])]). 	   
Slijedi jedinični vektor glavne normale:
		(Overscript[(n^( o)), ⟶])= ((((OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]))×(OverDot[(Overscript[r, ⟶])]))/(|((OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]))×(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])|))						(21)		
Izračunajmo dalje produkte (OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨])  i  ((OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]))×(OverDot[(Overscript[r, ⟶])]) u točki (Overscript[r, ⟶])((Subscript[t, o])):	
		(OverDot[(Overscript[(Subscript[r, o]), ⟶])])×(Overscript[(Overscript[(Subscript[r, o]), ⟶]), ¨]) = |({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶])}, {(Subscript[(OverDot[x]), o]), (Subscript[(OverDot[y]), o]), (Subscript[(OverDot[z]), o])}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[y, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[z, ¨]), o])}})| = (Underscript[(Underscript[|({{(Subscript[(OverDot[y]), o]), (Subscript[(OverDot[z]), o])}, {(Subscript[(Overscript[y, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[z, ¨]), o])}})|, ⏟]), = l])(Overscript[i, ⟶])+(Underscript[(Underscript[|({{(Subscript[(OverDot[z]), o])}, {(Subscript[(Overscript[z, ¨]), o])}})({{(Subscript[(OverDot[x]), o])}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o])}})|, ⏟]), = m])(Overscript[j, ⟶])+(Underscript[(Underscript[|({{(Subscript[(OverDot[x]), o]), (Subscript[(OverDot[y]), o])}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[y, ¨]), o])}})|, ⏟]), = n])(Overscript[k, ⟶]),
		((OverDot[(Overscript[(Subscript[r, o]), ⟶])])×(Overscript[(Overscript[(Subscript[r, o]), ⟶]), ¨])) × (OverDot[(Overscript[(Subscript[r, o]), ⟶])])=|({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶])}, {(Subscript[(OverDot[x]), o]), (Subscript[(OverDot[y]), o]), (Subscript[(OverDot[z]), o])}, {l, m, n}})|
Slijedi kanonaska jednadžba glavne normale:		
		((x-(Subscript[x, o]))/(|({{(Subscript[(OverDot[y]), o]), (Subscript[(OverDot[z]), o])}, {m, n}})|)) = ((y-(Subscript[y, o]))/(|({{(Subscript[(OverDot[z]), o])}, {n}})({{(Subscript[(OverDot[x]), o])}, {l}})|))= ((z-(Subscript[z, o]))/(|({{(Subscript[(OverDot[x]), o]), (Subscript[(OverDot[y]), o])}, {l, m}})|))
Parametarsku jednadžbu glavne normale ispišite sami!

Jednadžbe ravnina

Nakon gornjih izvoda dovoljno je poznavati osnove analitičke geometrije prostora kako bi se razumjelo kako su nastale formule koje slijede.

NORMALNA RAVNINA

(Subscript[(OverDot[x]), o])(x – (Subscript[x, o])) + (Subscript[(OverDot[y]), o])(y – (Subscript[y, o])) + (Subscript[(OverDot[z]), o])(z – (Subscript[z, o])) = 0				(22)

REKTIFIKACIONA RAVNINA

|({{x-(Subscript[x, o]), y-(Subscript[y, o]), z-(Subscript[z, o])}, {(Subscript[(OverDot[x]), o]), (Subscript[(OverDot[y]), o]), (Subscript[(OverDot[z]), o])}, {l, m, n}})| = 0						(23)

OSKULACIONA RAVNINA

|({{x-(Subscript[x, o]), y-(Subscript[y, o]), z-(Subscript[z, o])}, {(Subscript[(OverDot[x]), o]), (Subscript[(OverDot[y]), o]), (Subscript[(OverDot[z]), o])}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[y, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[z, ¨]), o])}})| = 0						(24)

Zadaci

01	Naći glavnu normalu, binormalu i oskulacionu ravninu krivulje  α : ℝ⟶(E^3), zadane kao presjek ploha  x=(y^2) i  (x^2)=z, u točki M (1,1,1).

Rješenje:
	x = (y^2),  (x^2)=z;	 Uzmemo li da je y = t  slijedi parametarski prikaz krivulje:  x=(t^2),   y = t,  z = (t^4).
				Točka M (1,1,1) se dobije za  t = 1.
	
	Upotrebit ćemo formule:    (OverDot[(Overscript[r, ⟶])])= (OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]),	(Overscript[n, ⟶])= ( (OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨])) × (OverDot[(Overscript[r, ⟶])]);	 
	glavna normala.……((x-1)/31)=((y-1)/26)=((z-1)/(-22))
	binormala……((x-1)/6)=((y-1)/(-8))=((z-1)/(-1)),		
	oskulaciona ravnina...... 6(x-1)-8(y-1)-1(z-1)=0;      6x – 8y – z + 3 = 0

02	Naći tangentu, binormalu i normalnu ravninu krivulje  α : ℝ⟶(E^3), zadane sa  (Overscript[r, →]) (t) = 2cos t  (Overscript[i, →]) + 2 sin t(Overscript[j, →]) + 4 t (Overscript[k, →]) , u točki M (2,0,0).

Rješenje:
	Točka M (2,0,0) se dobije za  t = 0.
				
	Upotrebit ćemo formule:    (Overscript[t, ⟶])=(OverDot[(Overscript[r, ⟶])]),       (Overscript[b, ⟶])= (OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]);
	  tangenta……((x-2)/0)=(y/1)=(z/2)		
	binormala……((x-2)/0)=(y/(-2))=(z/1),		
	normalna  ravnina......y+2z=0

03	Naći jedinični vektor tangente, jedinični vektor binormale i jednadžbu normalne ravnine krivulje  α : ℝ⟶(E^3), zadane sa
	 (Overscript[r, →]) (t) = (cos t +(sin^2)t) (Overscript[i, →]) +  sin t(1-cos t)(Overscript[j, →]) -cos t (Overscript[k, →])  u točki koja se dobije za  t=(π/2) .
	 Provjeriti da li je krivulja glatka!

Rješenje:
		Za  t=(π/2) dobije se   (Overscript[r, →]) ((π/2)) =  (Overscript[i, →]) +  (Overscript[j, →])    tj.  točka  M (1,1,0).
	
	Upotrebit ćemo formule:    (Overscript[(t^( o)), ⟶])=   ((OverDot[(Overscript[r, ⟶])])/(|(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])|)),       (Overscript[(b^( o)), ⟶])= (((OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]))/(|(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨])|))
	jedinični vektor tangente   ……(Overscript[(t^( o)), ⟶])= (1/(Sqrt[3])){-1,1,1}      
	jedinični vektor  binormale……(Overscript[(b^( o)), ⟶])= (1/(Sqrt[14])){1,-2,3},
	normalna  ravnina……   -(x-1)+(y-1)+z=0;          -x+y+z=0
	
	Krivulja nije glatka budući da je |(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])(0)|=0.

Zadatak riješen u Mathematici:

Clear[r,t]

r[t_]:={Cos[t]+(((Sin[t]))^2),Sin[t](1-Cos[t]),-Cos[t]}

prvad=D[r[t],t]

norma=Simplify[Sqrt[prvad.prvad]]

FindRoot[norma==0,{t,0}]

drugad=D[r[t],{t,2}]

prvad=prvad/.t->π/2

drugad=drugad/.t->π/2

r=r[(π/2)]

t=prvad;
Print["Vektor tangente ... ",t]

b=prvad\[Cross]drugad;
Print["Vektor binormale ... ",b]

n=(prvad\[Cross]drugad)\[Cross]prvad;
Print["Vektor glavne normale ... ",n]

oskrav=b[[1]](x-r[[1]])+b[[2]](y-r[[2]])+b[[3]](z-r[[3]]);
Print["Oskulaciona ravnina ... ",Simplify[oskrav]==0]

rektrav=n[[1]](x-r[[1]])+n[[2]](y-r[[2]])+n[[3]](z-r[[3]]);
Print["Rektifikaciona ravnina ... ",Simplify[rektrav]==0]

normrav=t[[1]](x-r[[1]])+t[[2]](y-r[[2]])+t[[3]](z-r[[3]]);
Print["Normalna ravnina ... ",Simplify[normrav]==0]

Clear[r,t]

krivulja = ParametricPlot3D[ {Cos[t]+(Sin[t])^2,Sin[t](1- Cos[t]),- Cos[t]},{t, -Pi,Pi},
   PlotStyle -> {RGBColor[1, 0, 1], Thickness[0.01]},AxesLabel -> {"x", "y", "z"}, 
   PlotRange -> {{-1.5,1.5},{-1.5,1.5},{-1.5,1.5}}];

tangenta=ParametricPlot3D[{-t+1,t+1,t},{t,-5,5},
PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.008]},AxesLabel->{"x","y","z"},PlotRange->{{-2,2},{-2,2},{-2,2}}];

binormala=ParametricPlot3D[{t+1,-2t+1,3t},{t,-3,0.5},
PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.008]},AxesLabel->{"x","y","z"},PlotRange->{{-2,2},{-2,2},{-2,2}}];

glnormala=ParametricPlot3D[{-5t+1,-4t+1,-t},{t,-0.7,0.2},
PlotStyle->{RGBColor[0,1,1],Thickness[0.008]},AxesLabel->{"x","y","z"},PlotRange->{{-2,2},{-2,2},{-2,2}}];

Show[krivulja,tangenta, binormala, glnormala,Graphics3D[{PointSize[0.04],Point[{1,1,0}] }]]

04	Naći one oskulacione ravnine krivulje α ... (Overscript[r, →]) (t) = { t, (t^2), (t^3)}  kole prolaze točkom  M (2,-(1/3), -6).

Rješenje:
	Da bismo našli jednadžbu oskulacione ravnine potreban nam je vektor binormale i točka krivulje.
	Vektor binormale naći ćemo po formuli   (Overscript[(b^( )), ⟶])=(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])×(Overscript[(Overscript[r, ⟶]), ¨]).
	Nakon kratkog računa slijedi da je  (Overscript[(b^( )), ⟶])={ 3(t^2),-3t, 1}.
	Jednadžba oskulacione ravnine dane krivulje u nekoj njenoj točki (Subscript[T, 0])((Subscript[t, 0]), ((Subscript[t, 0])^2), ((Subscript[t, 0])^3)) je oblika 
		 3((Subscript[t, 0])^2)(x-(Subscript[t, 0]))- 3(Subscript[t, 0])(y-((Subscript[t, 0])^2)) +1(z-((Subscript[t, 0])^3))=0
	Među svim oskulacionim ravninama tražimo onu kola prolazi danom točkom M. 
	To zači da koordinate točke M moraju zadovoljavati jednadžbu ravnine.
	Uvrstimo koordinate točke M u jednadžbu oskulacione ravnine i nađimo parametar (Subscript[t, 0]) koji nam daje točku krivulje.
	Dobivamo tri rješenja:  (Subscript[t, 1])=-1, (Subscript[t, 2])=1, (Subscript[t, 3])=6 
	Zaključujemo da postoje tri oskulacione ravnine s traženim svojstvom: 
		(Subscript[t, 1])=-1   ->    (Overscript[((Subscript[b, 1])^( )), ⟶])={ 3,3, 1}  i  (Subscript[T, 1])(-1, 1, -1)     ->       3(x+1)+ 3(y-1) +1(z+1)=0
		(Subscript[t, 2])=1      ->    (Overscript[((Subscript[b, 2])^( )), ⟶])={ 3,-3, 1}  i  (Subscript[T, 2])(1, 1, 1)        ->       3(x-1)- 3(y-1) +1(z-1)=0
		(Subscript[t, 3])=6      ->    (Overscript[((Subscript[b, 3])^( )), ⟶])={108,-18, 1}  i  (Subscript[T, 3])(6,36,216)      ->       108(x-6)-16(y-36) +1(z-216)=0

Sažetak poglavlja

Pojam vektorskog polja. Vektorsko polje duž krivulje α (α : I ⟶(E^3),   I ⊆ ℝ, otvoren skup) je preslikavanje koje svakom  t ∈ I  pridružuje vektor  (Overscript[a, ⟶])(t)={(Subscript[a, x])(t), (Subscript[a, y])(t), (Subscript[a, z])(t)} u točki  α(t).
Dalje sami!
Polje tangenata, polje glavnih normala i polje binormala.
Frenetov trobrid.
Regularna/singularna točka krivulje.
Pojam glatke krivulje.
Ravnine razapete vektorima Frenetovog trobrida.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju odrediti vektore Frenetovog trobrida dane krivulje, jednadžbe njihovih pravaca nosioca i jednadžbe ravnina koje razapinju. Bit će im jasan pojam glatke krivulje.

Slika 04.2

Frenetov trobrid (tangenta, glavna normala i binormala) duž Vivianijeve krivulje (dvaput klikni na sliku):