Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

III  PLOHE

6  DEFINICIJA PLOHE I JEDNADŽBA PLOHE

Definicija plohe

Ploha je podskup S ⊂ (E^3), koji se može zadati na jedan od ova dva načina:
(1^o))	S = {(x, y, z) ∈ (E^3) :  F (x, y, z) = 0 },   gdje je F : (E^3) ⟶ ℝ diferencijabilna funkcija, dF ≠ 0.
(2^o))	S = {(x, y, z) ∈ (E^3) :  z = f (x, y) },   gdje je f : D ⟶  ℝ diferencijabilna funkcija a D otvoren i povezan skup u ravnini.
Primjer za (1^o):	  (x^2)+(y^2)+(z^2)-1=0     	Slika 06.1
Primjeri za (2^o):	  z=(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])        ;     z=-(Sqrt[1-(x^2)-(y^2)])   
					        Slika 06.2				     Slika 06.3
Do sada ste se u matematičkoj izobrazbi susretali s prethodna dva načina zadavanja ploha. To je prikladno kad se proučava ploha u cjelini. No, u diferencijalnoj geometriji proučavamo uglavnom lokalna svojstva ploha, pa je u tu svrhu najzgodnije vektorsko zadavanje:	
Neka je D ⊂ (E^2) otvoren i povezan skup. Neka je (Overscript[r, ⟶]):D⟶(E^3) vektorska funkcija dana formulom
	(Overscript[r, ⟶])(u,v) =x(u, v) (Overscript[i, ⟶])+y(u,v)(Overscript[j, ⟶])+z(u,v)(Overscript[k, ⟶])				(1)
gdje su  x, y, z : D ⟶  ℝ realne funkcije klase (C^1)(D), tj. imaju neprekidne prve parcijalne derivacije na D  i vrijedi
	rang (({{((∂x)/(∂u)), ((∂y)/(∂u)), ((∂z)/(∂u))}, {((∂x)/(∂v)), ((∂y)/(∂v)), ((∂z)/(∂v))}})) = 2.							(2)
Skup točaka euklidskog prostora 
	S = { (x, y, z) ∈ (E^3) :  x = x (u, v),  y = y (u, v),  z = z (u, v)}			
je tada je ploha, a uređen par (D,(Overscript[r, ⟶])) nazivamo parametrizacijom plohe S.
Uvjet (2) znači da je |({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶])}, {((∂x)/(∂u)), ((∂y)/(∂u)), ((∂z)/(∂u))}, {((∂x)/(∂v)), ((∂y)/(∂v)), ((∂z)/(∂v))}})|≠(Overscript[0, ⟶])  tj.  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ≠ (Overscript[0, ⟶])  ((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) i (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) nisu linerano zavisni).

	
	Slika 06.4  Vizualizacija nastajanja plohe: (Overscript[r, ⟶]):U⟶(E^3), gdje je U  otvoren i povezan skup u ravnini.

Jednadžba plohe

Nazivi jednadžbi ploha
	F (x, y, z) = 0					implicitna jednadžba plohe;
	 z = f (x, y)			        		eksplicitna jednadžba plohe;
	 x = x(u, v),  y = y(u, v),  z = z(u, v)		parametarska jednadžba plohe (u, v - parametri);
	(Overscript[r, ⟶])(u, v) =  x(u, v)(Overscript[i, ⟶])+ y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+ z(u, v)(Overscript[k, ⟶])     vektorska jednadžba plohe.
Naglasimo još jednom da su u diferencijalnoj geometriji najviše u upotrebi parametarski i vektorski prikazi ploha.

Karta plohe. Parametrizacija plohe

Za svaku se plohu može naći beskonačno mnogo parametarskih prikaza/jednadžbi.
Međutim, ploha ne mora u cjelosti dopustiti neki određeni parametarski prikaz! Što to znači? To znači da u nekoj točki, iako se radi o plohi, uvjet (2) nije ispunjen, tj. u toj točki je (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=(Overscript[0, ⟶]), za tu određenu parametrizaciju. Takva se točka naziva singularna točka parametrizacije, i obično se isključuje iz razmatranja.
Ipak, oko svake točke plohe postoji okolina koja dopušta neki parametarski prikaz. U tom slučaju govorimo o karti okoline. Parametrizaciju nazivamo kartom ako je  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ≠ (Overscript[0, ⟶]) u svakoj točki. Ovo nas zadovoljava jer ćemo za takve plohe proučavati lokalna svojstva, a ne plohu u cjelini. Takva je često susretana i u geodeziji važna ploha:  sfera. 
Plohu koju je u cjelosti moguće prekriti jednom kartom nazivamo  jednostavna ploha. 
Ukoliko je u nekoj točki  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=(Overscript[0, ⟶]) za svaku parametrizaciju, točku nazivamo singularna točka plohe, i isključuje se iz razmatranja.

Krivolinijske ili Gaussove koordinate na plohi

Neka je ploha zadana vektorskom jednadžbom (1), tj.
	S ... (Overscript[r, ⟶])(u, v) =  x(u, v) (Overscript[i, ⟶])+ y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+  z(u, v)(Overscript[k, ⟶]).
Neka je u jednadžbi plohe parametar  v = const. = c, a parametar u mijenjamo: 
	(1)  ⇒	(Overscript[r, ⟶])(u, c) =  x(u, c) (Overscript[i, ⟶])+ y(u, c)(Overscript[j, ⟶])+  z(u, c)(Overscript[k, ⟶]), 
	što je jednadžba krivulje na plohi koju nazivamo u-krivuljom (u-crtom) 
Analogno, neka je  u = const. = c, a parametar v mijenjamo: 
	(1)  ⇒	(Overscript[r, ⟶])(c, v) =  x(c, v) (Overscript[i, ⟶])+ y(c, v)(Overscript[j, ⟶])+  z(c, v)(Overscript[k, ⟶]).
	što je jednadžba krivulje na plohi koju nazivamo v-krivuljom (v-crtom)
Ovime smo dobili dvije familije krivulja na plohi.
Svakom točkom P(u,v) plohe S prolazi po jedna krivulja iz svake od tih familija. Brojeve 
	u = (Subscript[u, i]),	 v = (Subscript[v, j])									(3)
nazivamo krivolinijskim  ili  Gaussovim koordinatama točke P.

Krivulje na plohi

Zadano:
	ploha S  ... 	(Overscript[r, ⟶])(u, v) =  x(u, v) (Overscript[i, ⟶])+ y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+  z(u, v)(Overscript[k, ⟶]),
	krivulja α ...	 (Overscript[r, ⟶])= (Overscript[r, ⟶])(t) , t ∈ I,  I ⊂ ℝ.  
α zovemo krivuljom na plohi S ako ima prikaz 
	(Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t)),								(4)	
	gdje su u = u(t), v = v(t)  diferencijabilne funkcije u, v : I ⟶ ℝ. 
Jednadžbu (4) nazivamo vektorskom jednadžbom krivulje α na plohi S, a koordinatno glasi:
	 (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t))  =  x(u(t), v(t))(Overscript[i, ⟶])+ y(u(t), v(t))(Overscript[j, ⟶])+ z(u(t), v(t))(Overscript[k, ⟶]).
Parametarske u i v-crte su specijalan slučaj krivulja na plohi.

Primjeri

primjer 1 	Dvije parametrizacije sfere polumjera 1

1.  S ...(({{x=cos u cosv}, {y=sin u cosv }, {z=sin v             }})		-∞<u<∞,  v ∈ ⟨ – π/2, π/2⟩     
	v = const. ⇒  u - krivulje tj. paralele;     u = const. ⇒  v - krivulje tj. meridijani
	Gaussove (u, v) koordinate predstavljaju geografsku širinu  i  geografsku duljinu.
	Primijetite da je ovom parametrizacijom zadana sfera \ {sjeverni pol, južni pol}. 
	To je zbog toga što bi u slučaju da je  v ∈ [– π/2, π/2], u polovima, koji imaju koordinate (u, v) = (u, π/2) odnosno (u, v) = (u,- π/2), bilo  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=(Overscript[0, ⟶]). To bi bile singularne točke parametrizacije. Geometrijski se singularitet očituje time što se u sjevernom i južnom polu sastaju svi meridijani.
	Imamo dakle kartu, te sfera nije jednostavna ploha.

2.   S ...(({{x=sin u cosv}, {y=sin u sin v }, {z=cos u             }})		u ∈ [ 0, π],  v ∈ [ 0, 2π]   
	v = const. ⇒  u - krivulje tj. meridijani;    u = const. ⇒  v - krivulje tj. paralele
	Gaussove (u, v) koordinate su u matematici poznate kao sferne koordinate.
	I ovom je parametrizacijom zadana sfera \ {sjeverni pol, južni pol}. 
	 U polovima, koji imaju koordinate (u, v) = (0, v) odnosno (u, v) = (π, v) izračunajte (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]).
	Važna napomena: U zadacima, kao što je to slučaj u knjizi B. Žarinac-Frančula: Repetitorij i zbirka zadataka iz DG, je domena D često zadana kao zatvoreno područje. To je najčešće primjenjuje kod ploha drugog reda kako bi se olakšala vizualizacija zadatka. To smo iskoristili u i ovom parametarskom prikazu sfere. Ispravno bi bilo pisati ovako:   u ∈⟨0,π⟩,  -∞<v<∞. Slično je i kod krivulja, naime, za I se često uzima da je zatvoreni interval realnih brojeva.

primjer 2

Zadane su dvije plohe i jedna krivulja. Pokazati da krivulja leži na obje zadane plohe, tj. da predstavlja njihovu prodornu krivulju:  
Sfera ...	x = sin u cos v,    y = sin u sin v,    z = cos u,     u ∈ [ 0, π],  v ∈ [ – π, π]    
Valjak	...	x = (1 + cos v)/2,    y = (sin v)/2,    z = u,     	   u ∈ ℝ,  v ∈ [ – π, π]       
Vivijanijeva krivulja ...     x = (1 + cos t)/2,    y = (sin t)/2,    z = (sin t/2),     t ∈ [ – 2π, 2π]

Računamo implicitnu jednadžbu sfere:		Računamo implicitnu jednadžbu valjka:
	 x = sin u cos v ((/)^2) 				      2x = 1 + cos v ((/)^2) 
	  y = sin u sin v ((/)^2)  				2y = sin v ((/)^2)
	 (Underscript[z = cos u ((/)^2), ─])					(Underscript[z = u, ─])
	 ⇒  (x^2)+(y^2)+(z^2)=1				⇒ 4((x^2)+(y^2)) = (((1+cos v))^2)+(((sin v))^2)
	 						⇒ 4((x^2)+(y^2)) = 2+2 cos v
	 						⇒ 4((x^2)+(y^2)) = 2+2 cos v = 2·2x
	 							⋯⋯
							      ⇒ (((x-(1/2)))^2)+(y^2)=(1/4) 			    
Sada je lako provjeriti da parametarske jednadžbe Vivijanijeve krivulje zadovoljavaju obje dobivene jednadžbe. 
Vježba: 
Pokazati da zavojnica leži na valjku.
Valjak	...	x = 2cos v,    y = 2sin v,    z = u,     u ∈ ℝ,   -∞<v<∞    
		(u - krivulje su izvodnice,   v - krivulje su kruznice)
Zavojnica ...	x = 2cos t,    y = 2sin t,    z = t ,     t ∈ ℝ

primjer 3	Parametarske jednadžbe ploha drugog reda + kodovi za vizualizacije u Mathematici

sfera

ParametricPlot3D[
  {Cos[u] Cos[v],Sin[u] Cos[v], Sin[v]},
  {u, 0, 2Pi},{v, -Pi/2, Pi/2},AxesLabel->{x,y,z},Ticks->None]

elipsoid

ParametricPlot3D[
  {4 Sin[u] Cos[v],3Sin[u] Sin[v],3 Cos[u]},
  {u, 0, 2Pi},{v, -Pi/2, Pi/2},AxesLabel->{x,y,z},Ticks->None]

paraboloid

ParametricPlot3D[
  {2 u Cos[v],2 u Sin[v], u^2},
    {u, -Pi, Pi},{v, -Pi/2, Pi/2},AxesLabel->{x,y,z},Ticks->None]

jednoplosni hiperboloid

ParametricPlot3D[
  {Cosh[u] Cos[v],Cosh[u] Sin[v],Sinh[u]},
    {u, -Pi,Pi},{v, -Pi, Pi},AxesLabel->{x,y,z},Ticks->None]

dvoplosni hiperboloid

ParametricPlot3D[
 {4Sinh[u] Cos[v], 4Sinh[u] Sin[v], 5Cosh[u]},
    {u, -Pi,Pi},
    {v, -Pi, Pi},AxesLabel->{x,y,z},Ticks->None]

stožac

ParametricPlot3D[
  {2u Cos[v],2u Sin[v],3u},
    {u, -2Pi, 2Pi},{v, -Pi, Pi},AxesLabel->{x,y,z},Ticks->None]

valjak

ParametricPlot3D[
  {2 Cos[v],2 Sin[v], u},
    {u, 0, 2Pi},{v, -Pi, Pi},AxesLabel->{x,y,z},Ticks->None]

primjer 4	webMathematica datoteka za vježbu: ParametricPlot3D-plohe

Zadaci

01	U webMathematici (na stranici pod: Plohe online ) vježbati zadavanje ploha i uočiti u i v  krivulje na svakoj plohi.

02	Zadana je ploha  (Overscript[r, ⟶])(u, v) = u(Overscript[i, ⟶])+ u cos v(Overscript[j, ⟶])+ u sin v(Overscript[k, ⟶]),  u∈ℝ, v∈[0, 2 π].
	a) Napisati implicitnu jednadžbu plohe, zaključiti koja je to ploha i skicirati ju.
	b) Što su koordinatne krivulje tog predočenja plohe?
	c) Ispitati postoje li singularne točke parametrizacije.

Rješenje:	
	a)   (y^2)+(z^2)=(x^2);   stožac:  	
	b) 
	u - krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const.) 			v - krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const.) 
	(({{x=u             }, {y=u cos (Subscript[v, 0])}, {z=u sin (Subscript[v, 0])}})					(({{x=(Subscript[u, 0])             }, {y=(Subscript[u, 0]) cos v}, {z=(Subscript[u, 0]) sin v}})
	Riješimo se parametra u:			Riješimo se parametra v:
	(x/1)=(y/( cos (Subscript[v, 0])))=(z/(sin (Subscript[v, 0])))  (=u),			(({{x=(Subscript[u, 0])             }, {(y^2)+(z^2)=((Subscript[u, 0])^2)}}),
	tj. pravci ishodištem koo. sustava		tj. kružnice polumjera r=(Subscript[u, 0]) paralelne s YZ ravninom
	c)
	(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])={u, -u cos v,-u sin v}={0,0,0}   ⇒  u=0  ⇒  (Overscript[r, ⟶])(0, v)={0,0,0}
	⇒  Ishodište koordinatnog sustava je singularna točka parametrizacije. 
	Iz slike zaključujemo da je to singularna točka plohe.

03	Zadana je ploha   (Overscript[r, ->])(u,v)={u+cos v, u-sin v, u}, u∈ℝ, v∈[0,2π] .  
	a) Napisati implicitnu jednadžbu plohe.
	b) Što su koordinatne krivulje dane parametrizacija?
	c) Ispitati postoje li singularne točke parametrizacije.

Rješenje:
	a)   (x^2)+(y^2)+(z^2)-2x z-2y z-1=0		
	b)
	u - krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const.) 			Riješimo se parametra u:
	(({{x=u+  cos (Subscript[v, 0]) }, {y=u -sin (Subscript[v, 0])  }, {z=u                   }})				((x - cos (Subscript[v, 0]))/1)=((y + sin (Subscript[v, 0]))/( 1))=(z/1)  (=u)
	Dakle,  u - krivulje su pravci točkama (cos (Subscript[v, 0]), sin (Subscript[v, 0]), 0)  s vektorom smjera {1, 1, 1}.
	 
	v - krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const.) 			Riješimo se parametra v:
	(({{x=(Subscript[u, 0])+ cos v}, {y=(Subscript[u, 0]) -sin v }, {z=(Subscript[u, 0])                   }})				(({{x-(Subscript[u, 0])=cos v ((/)^2) }, {y-(Subscript[u, 0])=-sin v((/)^2)}})	 ⇒	(({{(((x-(Subscript[u, 0])))^2)+(((y-(Subscript[u, 0])))^2)=1 }, {z=(Subscript[u, 0])}})
	u - krivulje su kružnice polumjera r=1  na udaljenosti  z=(Subscript[u, 0]) od XY ravnine.
	Vizualizacija zadatka:
				 
	c)  Sami, po analogiji na prethodni zadatak.

04 	Zadana je ploha parametrizacijom
	(({{x=u cos v}, {y=u sin v}, {z=(u^2)       }})	u ∈ (SuperPlus[ℝ]),  v ∈ [0, 2π]     
	a)	Napisati implicitnu jednadžbu plohe, zaključiti o kojoj se plohi radi i skicirati ju. 
	b)	Odrediti  u i v krivulje dane plohe.
	c)	Naći jedinični vektor normale.

Rješenje:

a)	(x^2)+(y^2)=z  ->   rotacioni paraboloid	
	b)	(({{x=u cos v}, {y=u sin v}, {z=(u^2)       }})
		u - krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const.) 			
		Iz prve i treće jednadžbe slijedi jednadžba paraboličkog valjka   (x^2)=z (cos^2) (Subscript[v, 0]);
		Iz druge i treće jednadžbe slijedi jednadžba paraboličkog valjka   (y^2)=z (sin^2) (Subscript[v, 0]).
		Dakle, u - krivulje  su parabole koje se dobiju kao presjeci gornjih dvaju paraboličkih valjaka.
	
		v - krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const.)
		Iz prve i druge jednadžbe slijedi jednadžba kružnog valjka   (x^2)+(y^2)=((Subscript[u, 0])^2);
		z=((Subscript[u, 0])^2) je ravnina paralelna s XY ravninom.
		v - krivulje su kružnice paralelne s XY ravninom, a dobiju se kao presjeci valjka i ravnine.

c)	(Overscript[r, ->])(u,v)={u cos v,u sin v,(u^2)}
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)={cos v,sin v, 2u}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)={-u sin v,u cos v,0}
		(Overscript[(N^o), ⟶])=(((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), u]))/(|(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])|))=(1/(Sqrt[ 1+4(u^2)])){-2u cos v,-2u sin v,1}
		Postoje li singularne točke parametrizacije?
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])={-2(u^2) cos v,-2(u^2) sin v,u}=(Overscript[0, →])      za    u=0
		Odgovor je da ne postoje budući da iz definicije plohe čitamo da je u ∈ (SuperPlus[ℝ]).
		Dakle, ishodište koordinatnog sustava je izuzeto iz razmatranja.

05 	Ploha je zadana jadnadžbom u implicitnom obliku:  (x^2)+(y^2)=(a^2). Napisati jednu parametrizaciju plohe, zaključiti koja je to ploha.

Rješenje:

Ploha je valjak.
	Parametrizacija valjka	(({{x=a cos u}, {y=a sin u}, {z=v           }})	u ∈ [0, 2π],  v ∈ R  
			
		u - krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const.) su kružnice
		v - krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const.) su izvodnice

06       Ponoviti zadavanje, jednadžbe i izgled ploha drugog reda (u zbirci zadataka i na stranici pod: Pregled ploha drugog reda).

Sažetak poglavlja

Vektorsko zadavanje plohe.  Ploha se zadaje vektorskom funkcijom (Overscript[r, ⟶]):D⟶(E^3) , formulom (Overscript[r, ⟶])(u,v) =x(u, v) (Overscript[i, ⟶])+y(u,v)(Overscript[j, ⟶])+z(u,v)(Overscript[k, ⟶]), gdje je D ⊂ (E^2) otvoren i povezan skup,  x, y, z : D ⟶  ℝ realne funkcije klase (C^1)(U), tj. imaju neprekidne prve parcijalne derivacije na U  i vrijedi
rang (({{((∂x)/(∂u)), ((∂y)/(∂u)), ((∂z)/(∂u))}, {((∂x)/(∂v)), ((∂y)/(∂v)), ((∂z)/(∂v))}})) = 2. 
Načina zadavanja ploha i njihovi nazivi. F (x, y, z) = 0  nazivamo implicitnom jednadžbom plohe;  z = f (x, y) nazivamo eksplicitnom jednadžbom plohe;  x = x(u, v),  y = y(u, v),  z = z(u, v) nazivamo parametarskom jednadžbom plohe; (Overscript[r, ⟶])(u, v) =  x(u, v)(Overscript[i, ⟶])+ y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+ z(u, v)(Overscript[k, ⟶]) nazivamo vektorskom jednadžbom plohe.
Dalje sami!
Parametrizacija plohe. Karta plohe. Jednostavna ploha.
Koordinatne u- i v- krivulje na plohi (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v).
Vektorska jednadžba prostorne krivulje (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t)  na plohi (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v). 
Parametarske jednadžbe ploha drugog reda.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju ispisati barem jednu parametrizaciju sfere polumjera r, te naći jednadžbe njenih u- i v- krivulja. Iz parametarskih jednadžbi ploha drugog reda će, ispisivanjem jednadžbe plohe u implicitnom obliku, prepoznati o kojoj se plohi radi te ispitati postojanje singularnih točaka parametrizacije.