Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

III  PLOHE

7  TANGENCIJALNA RAVNINA I NORMALA PLOHE

Tangencijalna ravnina

Zadano:
ploha S ...  (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v) ,  točka T ∈ S
Povucimo točkom T sve moguće krivulje koje leže na plohi, i tangente na te krivulje u istoj točki. Sve tangente leže u jednoj ravnini koju nazivamo tangencijalnom ravninom plohe u točki T. Označavamo je grčkim slovom τ (tau).
Čime je određena tangencijalna ravnina? 
Dvama ukrštenim pravcima zadanom točkom, tj. vektorima (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])  i  (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) točkom T, tj. tangentama na  u- i v- krivulje koje prolaze točkom T :
	(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) = ((∂(Overscript[r, ⟶]))/(∂u))= ((∂x)/(∂u))(Overscript[i, ⟶])+ ((∂y)/(∂u))(Overscript[j, ⟶])+ ((∂z)/(∂u))(Overscript[k, ⟶]),
	(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) = ((∂(Overscript[r, ⟶]))/(∂v))= ((∂x)/(∂v))(Overscript[i, ⟶])+ ((∂y)/(∂v))(Overscript[j, ⟶])+ ((∂z)/(∂v))(Overscript[k, ⟶]).
Podsjetimo se, vektor tangente krivulje α : I ⟶ S  na plohi, dane sa  (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t)) ,  t ∈ I :
	(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])(t) = ((d(Overscript[r, ⟶]))/dt)= ((∂(Overscript[r, ⟶]))/(∂u))(du/dt)+ ((∂(Overscript[r, ⟶]))/(∂v))(dv/dt)=(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])(du/dt)+(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(dv/dt).		
Normala plohe
Pravac koji prolazi točkom T okomito na tangencijalnu ravninu zove se normala na plohu u točki T. Vektor smjera normale dobije se sa:
	(Overscript[N , ⟶]) = (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]),      tj.    	(Overscript[N , ⟶]) = (({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶])}, {((∂x)/(∂u)), ((∂y)/(∂u)), ((∂z)/(∂u))}, {((∂x)/(∂v)), ((∂y)/(∂v)), ((∂z)/(∂v))}})). 					(5)
Jedinični vektor normale: 	(Overscript[(N^o), ⟶]) = (((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]))/(|(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])|)).
		
	Slika 07.1   Tangencijalna ravnina τ plohe S u točki T.

Regularne i singularne točke plohe.
Singularne točke koordinatne (parametarske) mreže.

Regularne točke plohe - točke u kojima je definirana, odnosno u kojima postoji, tangencijalna ravnina.
	Uvijet:	 (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ≠ (Overscript[0, ⟶]),  barem za jednu parametrizaciju.
Gornji uvjet znači da vektori  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) i (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) nisu kolinearni i da određuju tangencijalnu ravninu.		
Singularne točke plohe - točke u kojima nije definirana tangencijalna ravnina i za koje je
	(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) = (Overscript[0, ⟶]),  za svaku parametrizaciju plohe.			 
Singularne točke koordinatne (parametarske) mreže - 
	(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) = (Overscript[0, ⟶])  može biti ispunjeno u pojedinim točkama plohe a da te točke ipak nisu singularne točke plohe, tj. u njima postoje tangencijalne ravnine, kako je to pokazano na slici 07.2. Ponovimo, polovi sfere ili rotacionog elipsoida su singularne točke koordinatne mreže, u njima se sastaju svi meridijani. 
	
	Slika 07.2   Sfera i singularna točka T (pol) njene parametarske mreže.

Jednadžba tangencijalne ravnine

({{ 
Jednadžba   plohe
, 
Jednadžba  tangencijalne  ravnine u točki  (Subscript[T, 0])=((Subscript[x, o]),(Subscript[y, o]),(Subscript[z, o])) plohe}, {
F(x,y,z) = c
, 
(Subscript[(((∂F)/(∂x))), o])(x-(Subscript[x, o]))+(Subscript[(((∂F)/(∂y))), o])(y-(Subscript[y, o]))+(Subscript[(((∂F)/(∂z))), o])(z-(Subscript[z, o]))=0}, {
z = f(x,y)
, 
z-(Subscript[z, o])=(Subscript[(((∂z)/(∂x))), o])(x-(Subscript[x, o]))+(Subscript[(((∂z)/(∂y))), o])(y-(Subscript[y, o]))}, {

 x = x(u,v)
y = y(u,v)
z = z(u,v)
,                     
                                det(({{x-(Subscript[x, o]), y-(Subscript[y, o]), z-(Subscript[z, o])}, {(Subscript[(((∂x)/(∂u))), o]), (Subscript[(((∂y)/(∂u))), o]), (Subscript[(((∂z)/(∂u))), o])}, {(Subscript[(((∂x)/(∂v))), o]), (Subscript[(((∂y)/(∂v))), o]), (Subscript[(((∂z)/(∂v))), o])}}))=0
  ili
(Subscript[(((∂(y,z))/(∂(u,v)))), o])(x-(Subscript[x, o]))+(Subscript[(((∂(z,x))/(∂(u,v)))), o])(y-(Subscript[y, o]))+(Subscript[(((∂(x,y))/(∂(u,v)))), o])(z-(Subscript[z, o]))=0  
}})    (6)

Zadaci

01	Naći jednadžbu tangencijalne ravnine i jednadžbu normale plohe S ... (Overscript[r, ->])(u,v)={u+cos v, u-sin v,u}, u∈ℝ, v∈[0,2π]  u točki M(1,0,1). Ispitati postoje li singularne točke parametarske mreže. Za vježbu, sami odredite jednasžbe koordinatnih (u-, v-) krivulja plohe.

Rješenje:
	Kao prvo izjednačimo {u+cos v,u-sin v,u}={1,0,1}.
	Slijedi da se točka M(1,0,1)  dobije za  u=1, v=(π/2) .
	  (Overscript[r, ->])(u,v)={u+cos v, u-sin v,u}
	  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])={1,1,1},			(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])(M)={1,1,1}
	  (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])={-sin v,-cos v,0},		(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(M)={-1,0,0}
	  (Overscript[N , ⟶]) = (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])={0,-1,1}
	  τ ...  0(x-1)-1(y+0)+1(z-1)=0,  odnosno
	  τ ...    -y+z -1=0 
	Ispitajmo dalje postoje li singularne točke dane parametarske mreže.
	  (Overscript[N , ⟶]) = (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])={cos v, -sin v,-cos v+sin v}
	Izjednačavanjem  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])× (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])={0,0,0}, tj.  {cos v, -sin v,-cos v+sin v}={0,0,0}, 
	lako se zaključuje da su sve točke regularne.
	Slike vam mogu pomoći prilikom nalaženja jednadžbi koordinatnih (u-, v-) krivulja plohe!

02	Zadana je ploha (Overscript[r, ->])(u,v)={u cos v, u sin v, 2u}, u∈ℝ, v∈[0,2π] ; 
	a)	Napisati implicitnu jednadžbu plohe.
	b)	Odrediti koordinatne krivulje plohe.
	c)	Naći jednadžbu tangencijalne ravnine i normale u proizvoljnoj točki plohe.
	d)	Naći jednadžbu tangencijalne ravnine, normale plohe i tangente na krivulju u=2 u točki (u=2, v=(π/2)).

Traženo odredite sami. Usporedite sa zadatkom 6/02 (šesto poglavlje, drugi zadatak)! Slike plohe vam mogu pomoći:

03	Zadana je ploha   (x^2)-2(y^2)-3(z^2)-4=0. Naći jednadžbu tangencijlne ravnine i jednadžbu normale u točki M(3,1,-1).

Ploha je zadana u obliku F(x,y,z)=0 pa ćemo koristiti formulu:  (Subscript[(((∂F)/(∂x))), o])(x-(Subscript[x, o]))+(Subscript[(((∂F)/(∂y))), o])(y-(Subscript[y, o]))+(Subscript[(((∂F)/(∂z))), o])(z-(Subscript[z, o]))=0.

Zadatak je riješen u Mathematici:

r[x_,y_,z_]:=(x^2)-2(y^2)-3(z^2)-4

(Subscript[r, x])=(∂_x)(r[x,y,z])

(Subscript[r, y])=(∂_y)(r[x,y,z])

(Subscript[r, z])=(∂_z)(r[x,y,z])

(Subscript[r, x])=(Subscript[r, x])/.{x->3,y->1,z-> -1}

(Subscript[r, y])=(Subscript[r, y])/.{x->3,y->1,z-> -1}

(Subscript[r, z])=(Subscript[r, z])/.{x->3,y->1,z-> -1}

6

tangrav=(Subscript[r, x])(x-3)+(Subscript[r, y])(y-1)+(Subscript[r, z])(z+1);
Print["Vektor normale... ", (OverVector[N])=={(Subscript[r, x]),(Subscript[r, y]),(Subscript[r, z])}]
Print["Tangencijalna ravnina... ", Simplify[tangrav]==0]

Vizualizacija zadatka:

04	Zadana je ploha S... (Overscript[r, ->])(u,v)={u +cos v, u- sin v, λ u}, u,v∈ℝ ,  i  točka M  na plohi koja se dobije za (u=1, v=(π/2)).
	a)	Naći tangentu i normalnu ravninu na krivulju  u = 1 u točki M.
	b)	Naći tangentu i normalnu ravninu na krivulju  v = (π/2) u točki M.
	c)	Naći kut između krivulja  u = 1 i v = (π/2).
	d)	Pokazati da je tangenta u točki M na krivulju u=sin v ujedno i tangenta na krivulju u=1 u toj istoj točki.

a)	(Overscript[r, ->])(1,(π/2))={1 ,0, λ}   ->   M(1,0,λ) 
		u=1  -> v-krivulja  ...     (Overscript[r, ->])(1,v)={1 +cos v,1- sin v, λ} 
		Smjer vektora tangente na  v-krivulju  ...   (Subscript[(Overscript[r, ->]), v])={-sin v,- cos v,0};      u točki M  ...   (Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(M)={-1,0,0}
		Tangenta na  v-krivulju  u   točki  M ...   (Underscript[((x-1)/(-1))=(y/( 0))=((z-λ)/0), -----------------])  
		Normalna ravnina  ...  	  -1(x-1)+0(y-0)+0(z-λ)=0 ,   tj.   (Underscript[x=1, -----])   
	
	b)	Riješite sami prema a). 
	
	c)	Kut među krivuljama ≡ kut između njihovih tangenata u točki presjeka
		Smjer vektora tangente na krivulju u=1  u  točki  M...     (Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(M)={-1,0,0}
		Smjer vektora tangente na krivulju v=(π/2)  u  točki  M...     (Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(M)={1,1,λ}
		Kut među krivuljama:     cos φ =(((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])·(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]))/(|(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])|  |(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])|))=... =-(1/(Sqrt[2+(λ^2)]))
		
	d)	u=1  -> krivulja ...     (Overscript[r, ->])(1,v)={1 +cos v,1- sin v, λ} 	
		Smjer vektora tangente na  krivulju  u=1 ...            (Subscript[(Overscript[r, ->]), v])={-sin v,- cos v,0};    u točki M ...   (Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(1,(π/2))=(Underscript[{-1,0,0}, --------])
		u=sin v  -> krivulja ...     (Overscript[r, ->])(sin v,v)={sin v +cos v,sin v- sin v, λ sin v}={sin v+cos v, 0, λ sin v}
		Smjer vektora tangente na  krivulju  u=sin v ...     (Subscript[(Overscript[r, ->]), v])={cos v-sin v,0,λ cos v};    u točki M ...   (Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(1,(π/2))=(Underscript[{-1,0,0}, --------])

Sažetak poglavlja

Tangencijalna ravnina u točki plohe i njena jednadžba.
Normala u točki plohe i njena jednadžba.
Pojam regularne i singularne točke plohe te singularne točke parametaske mreže.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju odrediti jednadžbu tangencijalne ravnine i jednadžbu normale u točki plohe.
Razlikovat će pojmove: regularna točka plohe, singularna točka plohe, singularna točka parametaske mreže.