Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

III  PLOHE

8  PRVA DIFERENCIJALNA FORMA PLOHE

Gaussove veličine prvog reda

Podsjetimo se: Krivulja u prostoru jednoznačno je određena dvjema lokalnim invarijantnim veličinama -> fleksijom i torzijom kao funkcijama duljine luka.
Slično, ploha u (E^3) jednoznačno je određena lokalnim invarijantnim veličinama koje se zovu prva i druga diferencijalna forma plohe.
Prva diferencijalna forma služi za mjerenje na plohi (duljina luka krivulje na plohi, kut između dviju krivulja na plohi, površina omeđenog dijela plohe), pa izvod prve forme započinjemo izračunavanjem diferencijala ds duljine luka krivulje α na plohi S.	 
Zadano:
- ploha S ...	(Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v) =  x(u, v) (Overscript[i, ⟶])+ y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+  z(u, v)(Overscript[k, ⟶]),	(u, v) ∈ D 
- krivulja α ⊂ S, 
	α ...	(Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t)),  t∈ I.						(7)
Računamo diferencijal ds duljine luka krivulje α:
	s(t) = (∫_a^t)|(OverDot[(Overscript[r, →])]) (t)|dt, 	
	ds = | (OverDot[(Overscript[r, →])]) (t)| dt = |d(Overscript[r, →])|, 	tj. "prirast po tangenti"
Prema (7) slijedi da je 
	ds = |d(Overscript[r, →])| = |((∂(OverVector[r]))/(∂u))((d u)/(d t))+((∂(OverVector[r]))/(∂v))((d v)/(d t))| dt = |((∂(OverVector[r]))/(∂u))du+((∂(OverVector[r]))/(∂v))dv|,
	(ds^2) = (((d(Overscript[r, →])))^2)=  (((((∂(OverVector[r]))/(∂u))du+((∂(OverVector[r]))/(∂v))dv))^2),
	(ds^2) = (((d(Overscript[r, →])))^2)= (((((∂(OverVector[r]))/(∂u))))^2)(du^2) + 2((∂(OverVector[r]))/(∂u))((∂(OverVector[r]))/(∂v))du dv +(((((∂(OverVector[r]))/(∂v))))^2)(dv^2),	 ((∂(OverVector[r]))/(∂u))=(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) , ((∂(OverVector[r]))/(∂v))=(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]).

Za plohu S definiramo funkcije  E, F, G: D⟶ ℝ  na sljedeći način:
	E = ((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])^2)= (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ,  	F = (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ,       G = ((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])^2)= (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])		(8)
E, F, G - Gaussove osnovne veličine prvog reda  ili  koeficijenti prve diferencijalne forme
Slijedi:
	(ds^2)= E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2)     ≡ I					(9)
	Prva diferencijalna forma plohe  (OverVector[r]) = (OverVector[r]) (u,v), ili
	Prva fundamentalna forma plohe  (OverVector[r]) = (OverVector[r]) (u,v), ili
	Metrička (kvadratna) forma plohe  (OverVector[r]) = (OverVector[r]) (u,v).

Duljina luka krivulje na plohi

Slijedi izvod formule za izračunavanje duljine luka krivulje na plohi.
Zadano:
- ploha S ...	(Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v),	  (u, v) ∈ D 
- krivulja α...	(Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t)),   t ∈ I 	
Prva diferencijalna forma: 
	(ds^2)= (((d(Overscript[r, →])))^2)= E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2) 
Dijeljenjem s (dt^2) slijedi:
	((((ds/dt)))^2)=(((((d(Overscript[r, →]))/dt)))^2)=E ((((du/dt)))^2) + 2 F ((du dv)/(dt dt)) + G ((((dv/dt)))^2),
	 (ds/dt)=|(OverDot[(Overscript[r, ⟶])])(t)|=(Sqrt[ E ((((du/dt)))^2) + 2 F (du/dt) (dv/dt) + G ((((dv/dt)))^2)]), 
odnosno
	(Underscript[s = (∫_(Subscript[t, 1])^(Subscript[t, 2]))(Sqrt[ E ((((du/dt)))^2) + 2 F (du/dt) (dv/dt) + G ((((dv/dt)))^2)])dt, ─]) .				(10)
	Duljina luka krivulje na plohi od točke A ((OverVector[r])((Subscript[t, 1])))  do točke B ((OverVector[r])((Subscript[t, 2]))).

Kut između dviju krivulja na plohi

Kut između dviju krivulja na plohi definira se kao kut između njihovih tangenata u presječnoj točki.
Neka su krivulje α i β na plohi S dane jednadžbama:
	α……(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])(t) =(Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t)),		u = u(t),   v = v(t),
	β……(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])(t) =(Overscript[r, ⟶])((OverBar[u])(t), (OverBar[v ])(t)),		u = (OverBar[u])(t),   v = (OverBar[v ])(t).
Njihovi tangentni vektori:			Diferencijali:
	(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])])= ((d(Subscript[(OverVector[r]), 1]))/dt)= (Subscript[(OverVector[r]), u])(du/dt)+ (Subscript[(OverVector[r]), v])(dv/dt),		     d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])= (Subscript[(OverVector[r]), u]) du + (Subscript[(OverVector[r]), v]) dv,
	 (OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])])= ((d(Subscript[(OverVector[r]), 2]))/dt)= (Subscript[(OverVector[r]), u])((d(OverBar[u]))/dt)+ (Subscript[(OverVector[r]), v])((d(OverBar[v]))/dt),		     d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])= (Subscript[(OverVector[r]), u]) d(OverBar[u]) + (Subscript[(OverVector[r]), v]) d(OverBar[ v]) . 
Označimo:  ω = ∠((OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])]),(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])])) 			ω = ∠(d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1]), d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2]))

 	(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])])·(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])])=|(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])])||(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])])| cosω,		 d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])· d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])= |d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])| |d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])| cosω.

Slijedi:
	cosω = (((OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])])·(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])]))/(|(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])])||(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])])|)) = ((d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])·d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2]))/(|d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])| |d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])|))= ((( (Subscript[(OverVector[r]), u])du+(Subscript[(OverVector[r]), v])dv)( (Subscript[(OverVector[r]), u])d(OverBar[u])+(Subscript[(OverVector[r]), v])d(OverBar[v])))/((Sqrt[( (Subscript[(OverVector[r]), u])du+(Subscript[(OverVector[r]), v])dv)· ( (Subscript[(OverVector[r]), u])du+(Subscript[(OverVector[r]), v])dv)])(Sqrt[( (Subscript[(OverVector[r]), u])d(OverBar[u])+(Subscript[(OverVector[r]), v])d(OverBar[v]))· ( (Subscript[(OverVector[r]), u])d(OverBar[u])+(Subscript[(OverVector[r]), v])d(OverBar[v]))]))),
	
	(Underscript[cosω = ((E du d(OverBar[u]) + F( du d(OverBar[v])  +d(OverBar[u]) dv)+G dv d(OverBar[v]))/((Sqrt[E (du^2)+2F du dv  +  G (dv^2)])(Sqrt[E d((OverBar[u])^2)+2F d(OverBar[u]) d(OverBar[v])  + G d((OverBar[v])^2)]))), ─]).	(11)

Specijalni slučajevi

Svi navedeni specijalni slučajevi lako slijede iz formule (11):
a)	Kut između neke krivulje i u- krivulje (α je neka krivulja, β je u- krivulja ⇒ (OverBar[v]) = const., d(OverBar[v]) =0):
 	cosω = ((E du d(OverBar[u]) + Fd(OverBar[u]) dv)/(d(OverBar[u])(Sqrt[E ])(Sqrt[E (du^2)+2F du dv  +  G (dv^2)])))= ((E du + F dv)/((Sqrt[E]) (Sqrt[E (du^2)+2F du dv  +  G (dv^2)])))	
 b)	Kut između neke krivulje i v- krivulje (α je neka krivulja,  β je v- krivulja ⇒ (OverBar[u]) = const., d(OverBar[u]) = 0)
 	Izračunava se analogno prethodnom.
 c)	Kut između u- krivulje i v- krivulje 
 	(α je u- krivulja ⇒ v = const., dv = 0,   β je v- krivulja ⇒ (OverBar[u]) = const., d(OverBar[u]) = 0):
 	cosω = (( F du d(OverBar[v])  )/(du(Sqrt[E ])d(OverBar[v])(Sqrt[G ])))=(( F   )/((Sqrt[E ])(Sqrt[G ]))).	
 d)	Krivulje α i β su međusobno okomite ⇔ cosω = 0, 	tj.
 	E du d(OverBar[u]) + F( du d(OverBar[v])  +d(OverBar[u]) dv)+G dv d(OverBar[v]) = 0. 
 e)	Koordinatne linije (u- i v- krivulje) su međusobno okomite ⇔ F = 0 .

Površina omeđenog dijela plohe

Slijedi izvod formule za izračunavanje površine omeđenog dijela plohe.
U tu svrhu pretpostavimo da je ΔK element područja K na karti plohe S koje je omeđeno parametarskim v- linijama ( u i u+du), i parametarskim u- linijama ( v i v+dv), kako je prikazano na slici 08.1. Površinu ΔK aproksimiramo površinom ΔS paralelograma čije su stranice vektori  (Subscript[(OverVector[r]), u]) du  i  (Subscript[(OverVector[r]), v]) dv:
	ΔS = | (Subscript[(OverVector[r]), u]) du × (Subscript[(OverVector[r]), v]) dv| = |(Subscript[(OverVector[r]), u])×(Subscript[(OverVector[r]), v])| du dv.
Slijedi:
	(Underscript[S = (Underscript[∫∫, (K)])dS = (Underscript[∫∫, D]) |(Subscript[(OverVector[r]), u])×(Subscript[(OverVector[r]), v])| du dv = (Underscript[∫∫, D]) (Sqrt[EG-(F^2)])du dv ,, ─])		(12)
	 Površina područja K, pri čemu je D - zatvoreno područje u uv-ravnini takvo da je (Overscript[r, ⟶])(D)=K.

			
	Slika 08.1

Dokaz jednakosti:  |(Subscript[(OverVector[r]), u])×(Subscript[(OverVector[r]), v])(|^2) = EG - (F^2):
	 (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])· (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])= |(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])| |(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])| cosα  ((/)^2)
	 (Underscript[|(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])| = |(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])| |(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])| sinα  ((/)^2), ─])  
	 
	   ((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])· (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])))^2) = |(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])(|^2) |(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(|^2) (cos^2)α 	
	(Underscript[|(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(|^2) = |(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])(|^2) |(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(|^2) (sin^2)α , ─]) 
Zbrajanjem posljednjih dviju jednakosti slijedi
	((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])· (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])))^2)+ |(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(|^2) = ((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])· (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])) ((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])· (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])) ((sin^2)α + (cos^2)α),
odnosno	
	|(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(|^2) = ((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])^2)· ((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])^2) - ((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])· (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])))^2)= EG - (F^2) ◼

Izraz   EG-(F^2)= (W^2)  nazivamo diskriminanta prve diferencijalne forme ili Weingartenova funkcija.
Uvjet  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ≠ (Overscript[0, ⟶]) sada postaje EG - (F^2)≠ 0.
Iz svega do sada rečenog u ovom poglavlju jasno je shvatiti zašto se za  I  kaže da zadaje metriku plohe.

Svojstvo invarijantnosti veličina E, F, G, odnosno ds, dS

Promatra se ponašanje veličina E, F, G pri
(1)	promjeni položaja plohe u prostoru tj. promjeni koordinatnog sustava,
(2)	promjeni parametarske mreže na plohi.

Pokazuje se da vrijedi sljedeće (analitički dokaz ćemo preskočiti):
(1)	Metričke veličine E, F, G su invarijantne prema promjeni položaja plohe u prostoru, tj. prema promjeni koordinatnog sustava. To je i zorno jasno jer parametarska mreža na plohi ostaje ista pomičemo li plohu.	
(2)	Veličine E, F, G  nisu invarijantne prema promjeni parametarske mreže na plohi. To je jasno i iz zorne predodžbe jer promjenom parametarske mreže na plohi mijenja se njena jednadžba, pa "novi" (OverBar[E]), (OverBar[F]), (OverBar[G]) ne moraju biti jednaki "starima". 	
	Međutim, invarijantni su ds i dS. To je i zorno jasno jer mijenjanjem parametrizacije na plohi ne mijenja se duljina luka krivulje na plohi kao ni površina omeđenog dijela plohe.

Zadaci

01 	Zadana je ploha parametrizacijom
	(({{x=a sin u sin v }, {y=b cos u           }, {z=a sin u cos v}})	u ∈ [0, π] ,  v ∈ [0, 2 π]    
	a) Napisati implicitnu jednadžbu plohe, napisati o kojoj se plohi radi i skicirati  ju.
	b) Što su u i v krivulje odarane parametrizacije? Naći njihove jednadžbe tj. prikazati ih kao presjek dviju ploha.
	c) Izračunati koeficijente i ispisati prvu kvadratnu formu.

Rješenje:

a)	
		(({{x=a sin u sin v ((/)^2) }, {y=b cos u ((/)^2)          }, {z=a sin u cos v ((/)^2)}})  
		⇒   ((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))+((z^2)/(a^2))=(sin^2) u (sin^2) v +(cos^2) u +(sin^2) u (cos^2) v =(sin^2) u((sin^2) v+(cos^2) v)+(cos^2) u =1
		      ((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))+((z^2)/(a^2))=1;	   rotacioni elipsoid

b)	u - krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const.) 		
		(({{x=a sin u sin (Subscript[v, 0])((/)^(2 ))}, {y=b cos u((/)^2)             }, {z=a sin u cos (Subscript[v, 0])((/)^2)}})
		Riješimo se parametra u:
		Iz prve i druge jednadžbe, odnosno druge i treće jednadžbe dobivamo:
		⇒   (({{((x^2)/((a^2)(sin^2) (Subscript[v, 0])))+((y^2)/(b^2))=1      eliptički  valjak  }, {((y^2)/(b^2))+((z^2)/((a^2)(cos^2) (Subscript[v, 0])))=1      eliptički  valjak }})
		Dakle,  u - krivulje su krivulje koje nastaju kao presjek gornjih dvaju eliptičkih valjaka. Iz slike i znajući da se radi o elipsoidu zaključujemo da su to elipse.
	 	v - krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const.) 		
		(({{x=a sin (Subscript[u, 0]) sin v((/)^(2 ))}, {y=b cos  (Subscript[u, 0])((/)^2)             }, {z=a sin  (Subscript[u, 0]) cos v((/)^2)}})	
		Riješimo se parametra v:	
		(x^2)+(z^2)=(a^2)(sin^2) (Subscript[u, 0]) (sin^2) v +(a^2)(sin^2) (Subscript[u, 0]) (cos^2) v =(a^2)(sin^2) (Subscript[u, 0]) ((sin^2) v+(cos^2) v)=(a^2)(sin^2) (Subscript[u, 0])
		⇒   (({{(x^2)+(z^2)=(a^2)(sin^2) (Subscript[u, 0])     kružni  valjak     }, {y=b cos (Subscript[u, 0])                  ravnina              }})
		 v-krivulje su krivulje koje nastaju kao presjek valjka i ravnine. To su kružnice paralelne s xz ravninom, polumjera r=a sin (Subscript[u, 0]) sa središtem u točki  (0, b cos (Subscript[u, 0]),0).

c)	(Overscript[r, ->])(u,v)={a sin u sin v, b cos u, a sin u cos v}
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)={a cos u sin v,- b sin u,a cos u cos v}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)={a sin u cos v, 0,-a sin u sin v}
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=(((a cos u sin v))^2)+(((- b sin u))^2)+(((a cos u cos v))^2)=(a^2) (cos^2) u+(b^2) (sin^2) u
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=(a^2) sin u cos u sin v cos v- (a^2) sin u cos u sin v cos v=0
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=(((a sin u cos v))^2)+(((-a sin u sin v))^2)=(a^2) (sin^2) u
I≡ (ds^2)=((a^2) (cos^2) u+(b^2) (sin^2) u)(du^2)+(a^2) (sin^2) ((udv)^2)

02	Zadana je ploha  (Overscript[r, ⟶])(u, v) = ((Sqrt[1+(u^2)])cos v)(Overscript[i, ⟶])+((Sqrt[1+(u^2)])sin v)(Overscript[j, ⟶])+u(Overscript[k, ⟶]),     u∈ℝ, v∈[0,2π].
	a) Napisati implicitnu jednadžbu plohe, zaključiti koja je to ploha i skicirati ju.
	b) Naći jednadžbe koordinatnih krivulja plohe. Vidi sliku!
	c) Izračunati koeficijente i ispisati prvu kvadratnu formu.

Rješenje:

a)	(x^2)+(y^2)-(z^2)=1;      jednoplošni hiperboloid
			
	b)	u - krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const.) 			
		(({{x=(Sqrt[1+(u^2)])cos(Subscript[v , 0])}, {y=(Sqrt[1+(u^2)])sin (Subscript[v, 0]) }, { z=u                              }})					
		Riješimo se parametra u:			
		Iz prve i treće jednadžbe slijedi jednadžba hiperboličkog valjka   ((x^2)/((cos^2) (Subscript[v, 0])))-(z^2)=1;
		Iz druge i treće jednadžbe slijedi jednadžba hiperboličkog valjka   ((y^2)/(((sin )^2) (Subscript[v, 0])))-(z^2)=1.
		 u- krivulje nastaju kao presjeci gornjih dvaju hiperboličkih valjaka. Na slici se vidi da su to hiperbole.
		
		v - krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const.)
		(({{x=(Sqrt[1+((Subscript[u, 0])^2)])cosv }, {y=(Sqrt[1+((Subscript[u, 0])^2)])sin v}, {z=(Subscript[u, 0])                           }}) 			
		Riješimo se parametra v:
		Iz prve i druge jednadžbe slijedi jednadžba kružnog valjka   (x^2)+(y^2)=1+((Subscript[u, 0])^2);
		z=(Subscript[u, 0]) je ravnina paralelna s xy ravninom.
		 v- krivulje su kružnice paralelne s xy ravninom, a dobiju se kao presjeci valjka i ravnine. Ispisati polumjer i koordinate središta.

c)	(Overscript[r, ->])(u,v)={(Sqrt[1+(u^2)])cos v,(Sqrt[1+(u^2)])sin v,u}
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)={(u/(Sqrt[1+(u^2)]))  cos v,(u/(Sqrt[1+(u^2)])) sin v, 1}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)={-(Sqrt[1+(u^2)])sin v,(Sqrt[1+(u^2)])cos v,0}
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=((((u/(Sqrt[1+(u^2)]))  cos v))^2)+((((u/(Sqrt[1+(u^2)])) sin v))^2)+1=((u^2)/(1+(u^2)))+1
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=-(u/(Sqrt[1+(u^2)]))  cos v (Sqrt[1+(u^2)])sin v+(u/(Sqrt[1+(u^2)])) sin v(Sqrt[1+(u^2)])cos v=0
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=(((-(Sqrt[1+(u^2)])sin v))^2)+((((Sqrt[1+(u^2)])cos v))^2)=1+(u^2)
I≡ (ds^2)=(((u^2)/(1+(u^2)))+1)(du^2)+((u^2)+1) (dv^2)

03	Zadana je ploha  (Overscript[r, ⟶])(u, v) = (u+v)(Overscript[i, ⟶])+((u^2)-(v^2))(Overscript[j, ⟶])+((u^2)+(v^2))(Overscript[k, ⟶]),     u,v∈ℝ \ 0.
	a) Izračunati koeficijente prve kvadratne forme.
	b) Napisati izraz za duljinu luka u-krivulje (v=2) od (Subscript[u, 1])=1 do (Subscript[u, 2])=2. 
	    Napisati izraz za duljinu luka v-krivulje (u=5) od (Subscript[v, 1])=-1 do (Subscript[v, 2])=1.
	    Izračunati duljine lukova.

Rješenje:

a)

Clear[u,v,r,EE,F,G,ds]

r[u_,v_]:={u+v,(u^2)-(v^2),(u^2)+(v^2)}

(Subscript[r, u])=(∂_u)(r[u,v])

(Subscript[r, v])=(∂_v)(r[u,v])

EE=(Subscript[r, u]).(Subscript[r, u])

F=(Subscript[r, u]).(Subscript[r, v])

G=(Subscript[r, v]).(Subscript[r, v])

EE (du^2)+2F du dv+G (dv^2)

b)

Prva kvadratna forma:    (ds^2) =E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2)
	u- krivulja,  v=2,  dv=0   ⇒    ds =(Sqrt[ E (du^2)])=(Sqrt[ E ])du   ⇒  s = (∫_(Subscript[u, 1])^(Subscript[u, 2]))(Sqrt[E ])du
	v- krivulja,  u=5,  du=0   ⇒    ds =(Sqrt[ G (dv^2)])=(Sqrt[ G ])dv   ⇒  s = (∫_(Subscript[v, 1])^(Subscript[v, 2]))(Sqrt[G ])dv
	Ovisi li duljina luka u- krivulje o odabiru parametra v? 
	Ovisi li duljina luka v- krivulje o odabiru parametra u?
	Što nam to govori?

Duljine lukova izračunajte sami! Bit će vam potreban integral:

∫(Sqrt[1+(x^2)])\[DifferentialD]x

Vizualizacija zadatka.
	Ploha, u- krivulja (v=2; zeleno) i dvije v- krivulje (u=1, u=2; crveno):

04	Neka je  d (s^2)=d (u^2)+(u^2)d (v^2)  prva diferencijalna forma neke plohe S. Izračunati površinu na S omeđenu sa: u∈[0,2], v∈[0,1].

Rješenje :

Formula:       S = (Underscript[∫∫, (K)])d S = (Underscript[∫∫, D]) |(Subscript[(OverVector[r]), u])×(Subscript[(OverVector[r]), v])| d u d v = (Underscript[∫∫, D]) (Sqrt[E G-(F^2)])d u d v ,
	  d (s^2)=d (u^2)+(u^2)d (v^2)    ⇒    E=1,  F=0,  G=(u^2),    E G -(F^2)=(u^2)     ⇒      S=(∫_0^1)(∫_0^2) ud u d v =2

05	Zadana je sfera S... (Overscript[r, ⟶])(u, v) = (r sin u cos v)(Overscript[i, ⟶])+(r sin u sin v)(Overscript[j, ⟶])+r cos u(Overscript[k, ⟶]),     u∈[0,π], v∈[-π,π].
	a)	Što su koordinatne krivulje tog predočenja plohe?
	b)	Izračunati koeficijente prve kvadratne forme.
	c)	Postoje li singularne točke dane parametrizacije? Ako da, koje i zašto?
	d) 	Izračunati duljinu meridijana i jedne proizvoljno odabrane paralele.
	e)	Izračunati element površine sfere što ga zatvaraju (Subscript[v, 1])=0, (Subscript[v, 2])=(π/2)  i  (Subscript[u, 1])=0, (Subscript[u, 2])=(π/2).  
		Koji je to dio površine cijele plohe?

Zadatak riješite sami! To je zadatak kojeg bi svi studenti/ce trebali biti u stanju riješiti.

06	Zadana je ploha S...   (Overscript[r, ⟶])(u, v) = ( (u^2)+(v^2))(Overscript[i, ⟶])+( (u^2)-(v^2))(Overscript[j, ⟶])+u v(Overscript[k, ⟶]),     u,v∈ℝ.
	a)	Naći prvu kvadratnu formu.
	b)	Izračunati diferencijal duljine luka za krivulje u=2, v=1, v=a u.
	c)	Izračunati duljinu luka krivulje v=a u  između točaka njenog presjeka s krivuljama u=1, u=2. 
	d)	Provjeriti da li postoje singularne točke (linije) plohe.

Rješenje :

Ad a)	(Overscript[r, ->])(u,v)={(u^2)+(v^2),(u^2)-(v^2),u v}
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)={2u,2u, v}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)={2 v,-2 v,u}
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=8(u^2)+(v^2)
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=u v
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=8(v^2)+(u^2)	
		d (s^2) = (8(u^2)+(v^2)) d (u^2) + 2 u v d u d v + (8(v^2)+(u^2)) d (v^2)

Ad b)	d s =(Sqrt[ (8(u^2)+(v^2)) d (u^2) + 2 u v d u d v + (8(v^2)+(u^2)) d (v^2)])
		u =2  ->    d u=0     ->     d s =(Sqrt[ (8(v^2)+4) d (v^2)])=2d v (Sqrt[2(v^2)+1])    ->    s =2(∫_(Subscript[v, 1])^(Subscript[v, 2])) (Sqrt[2(v^2)+1])d v  
		v =1  ->    d v=0     ->     d s =(Sqrt[ (8(u^2)+1) d (u^2)])=d u (Sqrt[8(u^2)+1])         ->    s =(∫_(Subscript[u, 1])^(Subscript[u, 2])) (Sqrt[8(u^2)+1])d u  
		v =a u  ->    d v=a d u     ->     d s =...=2 u(Sqrt[2(a^4)+(a^2)+2])d u              ->    s =2(Sqrt[2(a^4)+(a^2)+2])(∫_(Subscript[u, 1])^(Subscript[u, 2])) u d u

Ad c)	d s =2 u(Sqrt[2(a^4)+(a^2)+2])d u 
 s =2(Sqrt[2(a^4)+(a^2)+2])(∫_1^2)  u d u =2(Sqrt[2(a^4)+(a^2)+2]) (Subscript[(((u^2)/2)), 1]^2) =(Sqrt[2(a^4)+(a^2)+2])(4-1)=(Underscript[3(Sqrt[2(a^4)+(a^2)+2]), –—————————])

Ad d)	(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)={2u,2u, v}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)={2 v,-2 v,u}
		(Overscript[N, ->])=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])={2((u^2)+(v^2)) ,-2((u^2)-(v^2)) ,-8u v}
		(Overscript[N, ->])(Overscript[=, ?])(Overscript[0, ->])	    tj.     {(u^2)+(v^2) ,-(u^2)+(v^2) ,-4u v}(Overscript[=, ?]){0 ,0 ,0}       ili     |(Overscript[N, ->])|(Overscript[=, ?])|(Overscript[0, ->])|
		 Za u = v = 0  dobije se singularna točka parametrizacije:  (Overscript[r, ->])(0,0)={0,0,0}.

Vizualizacija zadatka.	  
	Ploha, krivulja v =a u  (v=2; zeleno) i dvije v- krivulje (u=1, u=2; crveno):

Sažetak poglavlja

Izvod prve diferencijalne forme plohe.
Definicija koeficijenata prve diferencijalne forme.
Izvod formule za izračunavanje duljine luka krivulje na plohi.
Izvod formule za izračunavanje kuta između dviju krivulja na plohi.
Izvod formule za izračunavanje površine omeđenog dijela plohe.
Invarijantnost veličina E, F, G, odnosno ds, dS.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju odrediti prvu diferencijalnu formu plohe zadane vektorskom/parametarskom jednadžbom te ju primijeniti za izračunavanje duljine luka krivulje na plohi, kuta između dviju krivulja na plohi i površine omeđenog dijela plohe.