Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

III  PLOHE

9   DRUGA DIFERENCIJALNA FORMA PLOHE

Gaussove veličine drugog reda

U 8. poglavlju smo se upoznali s pojmom prve diferencijalne forme plohe (I). Naučili smo da I služi za mjerenja na plohi (izračunavanje duljina luka krivulje na plohi, kuta između dviju krivulja na plohi, površine omeđenog dijela plohe).
Sada nas zanima kakav oblik ima ploha u okolini neke točke. Odgovor na to pitanje se dobiva proučavanjem svojstava krivulja na plohi koje prolaze tom točkom. 
		
		
		Slika 09.1  Uočite dvije krivulje plohe točkom T.
		Uočite kut θ =∡(((OverVector[N])^o), ((OverVector[n])^o)) ; kut između normale plohe i glavne normale krivulje na plohi.

Krivulja parametrizirana prirodnim parametrom

Neka je (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v) karta plohe S klase ≥ 2. Tada u svakoj točki karte postoji jedinični vektor normale ((Overscript[N, ⟶])^o).
Neka je α krivulja na S, 
	α… 	(Overscript[r, ⟶])(s) = (Overscript[r, ⟶])(u(s), v(s)),    s - duljina luka
Neka su ((OverVector[t])^o), ((OverVector[n])^o) vektor tangente odnosno vektor glavne normale krivulje u nekoj točki P , κ fleksija ili prva zakrivljenosti krivulje u P a ((OverVector[N])^o) jedinični vektor normale plohe u istoj točki. ((OverVector[N])^o)i ((OverVector[n])^o) općenito nisu kolinearni vektori već zatvaraju neki kut θ,
	θ =∡(((OverVector[N])^o), ((OverVector[n])^o)) 									(13)
Nije teško razumjeti (vidii sliku 09.1) da za neki odabrani smjer vektora u tangencijalnoj ravnini plohe točkom P postoji beskonačno mnogo krivulja na plohi koje prolaze točkom P i kojima je odabrani smjer vektora vektor tangente  ((OverVector[t])^o). Mijenjanjem krivulje mijenja se njena zakrivljenost κ, smjer vektora glavne normale pa time i kut θ. Pitamo se da li su, i ako jesu kako, θ i κ povezani. Odgovor će nam dati izračun vrijednosti  κ cos θ.
	κ cos θ =κ ((OverVector[n])^o)·((OverVector[N])^o)= ((OverVector[N])^o)·κ ((OverVector[n])^o)=((OverVector[N])^o)·((OverVector[t])^o)'=((OverVector[N])^o)·(((d^2)(OverVector[r]))/(ds^2))				(14)
	(Iskoristili smo Frenet - Serretove formule: ((OverVector[t])^o)'= (((d^2)(OverVector[r]))/(ds^2))= κ ((OverVector[n])^o))
Izračunamo ((d(OverVector[r]))/ds) i (((d^2)(OverVector[r]))/(ds^2)) kako bismo (14) dalje raspisali.
	((d(OverVector[r]))/ds)=((d(OverVector[r]))/du) ((d u)/ds)+((d(OverVector[r]))/dv) ((d v)/ds),
	(((d^2)(OverVector[r]))/(ds^2))=(d/ds)(((d(OverVector[r]))/du) ((d u)/ds)+((d(OverVector[r]))/dv) ((d v)/ds) )=((((d^2)(OverVector[r]))/(du^2))(((((d u)/ds)))^2)+2(((d^2)(OverVector[r]))/(du dv)) ((d u)/ds)((d v)/ds) +(((d^2)(OverVector[r]))/(dv^2))(((((d v)/ds)))^2)+((d(OverVector[r]))/du) ((((d )^2)u)/(ds^2))+((d(OverVector[r]))/dv) ((((d )^2)v)/(ds^2))).
Slijedi:	
	κ cos θ  = ((OverVector[N])^o)· (((d^2)(OverVector[r]))/(ds^2)) = ((OverVector[N])^o)·((((d^2)(OverVector[r]))/(du^2))(((((d u)/ds)))^2)+2(((d^2)(OverVector[r]))/(du dv)) ((d u)/ds)((d v)/ds) +(((d^2)(OverVector[r]))/(dv^2))(((((d v)/ds)))^2)+((d(OverVector[r]))/du) ((((d )^2)u)/(ds^2))+((d(OverVector[r]))/dv) ((((d )^2)v)/(ds^2))), tj.
	κ cos θ = ((OverVector[N])^o)·(Subscript[(OverVector[r]), uu]) ((((du/ds)))^2)+2 ((OverVector[N])^o)·(Subscript[(OverVector[r]), uv])(du/ds)(dv/ds) + ((OverVector[N])^o)·(Subscript[(OverVector[r]), vv])((((dv/ds)))^2).			(15)
	(Uočili ste da su isčezli umnošci ((OverVector[N])^o)·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]),  ((OverVector[N])^o)·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]). To je zbog toga što su vektori tangenata (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) i (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) na u- odnosno v- krivulju promatranom točkom okomiti na vektor normale ((OverVector[N])^o).)
Definiramo funkcije  L, M, N: D⟶ ℝ  na sljedeći način:
	L (u,v) = ((OverVector[N])^o)· (Subscript[(OverVector[r]), uu])= (1/W)[((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]))·(Subscript[(OverVector[r]), uu])] = (1/W)((Subscript[(OverVector[r]), u]),(Subscript[(OverVector[r]), v]),(Subscript[(OverVector[r]), uu]) )
	M (u,v)=((OverVector[N])^o)· (Subscript[(OverVector[r]), uv]) = (1/W)[((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]))·(Subscript[(OverVector[r]), uv])] = (1/W)((Subscript[(OverVector[r]), u]),(Subscript[(OverVector[r]), v]),(Subscript[(OverVector[r]), uv]) )
	N (u,v)=((OverVector[N])^o)· (Subscript[(OverVector[r]), vv]) = (1/W)[((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]))·(Subscript[(OverVector[r]), vv])] = (1/W) ((Subscript[(OverVector[r]), u]),(Subscript[(OverVector[r]), v]),(Subscript[(OverVector[r]), vv]) )
	L, M, N - Gaussove osnovne veličine drugog reda  ili  koeficijenti druge diferencijalne forme
Slijedi:
	κ cos θ=L ((((du/ds)))^2)+2 M (du/ds)(dv/ds)+N ((((dv/ds)))^2)≡ II				(16)
	Druga diferencijalna forma plohe  (OverVector[r]) = (OverVector[r]) (u,v), ili
	Druga fundamentalna forma plohe  (OverVector[r]) = (OverVector[r]) (u,v), ili
	Druga kvadratna forma plohe  (OverVector[r]) = (OverVector[r]) (u,v).

Krivulja parametrizirana općim parametrom

Neka je sada krivulja na S parametrizirana općim parametrom t,
	α…	(Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t))     t ∈ I.
Kao prvo reparametriziramo krivulju duljinom luka (funkcijom  t = t (s)) i potom računamo  κ cos θ. 
Zbog reparametrizacije se unutar (15) javlja i sljedeće:  (du/ds)=(du/dt)(dt/ds),  (dv/ds)=(dv/dt)(dt/ds). Nakon sređivanja dobivamo
 	κ cos θ=((((L((du/dt)))^2) + 2 M (du/dt)(dv/dt) + N ((((dv/dt)))^2))/(E ((((du/dt)))^2) + 2 F (du/dt)(dv/dt) + G ((((dv/dt)))^2))), 
odnosno,
	κ cos θ=((L (du^2) + 2 M du dv + N (dv^2))/(E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2)))(=(II/I))				(17)
	
Označimo li smjer (du/dv)=μ, relacija (17) poprima oblik:   
	κ cos θ=((L (μ^2) + 2 M μ + N )/(E (μ^2) + 2 F μ + G)).

Značenje dobivene relacije

Relacija (17) predstavlja osnovnu formulu za ispitivanje krivulje na plohi u njenoj proizvoljnoj točki.
Desna strana ovisi o:
1)   Točki P(u,v) plohe (o veličinama E, F, G, L, M, N, koje se računaju u točki P),
2)   Smjeru krivulje α na plohi koji je određen diferencijalima du, dv, tj. (du/dv). 
Zaključak: Desna strana u (17), tj.(II/I) ima istu vrijednost za sve krivulje koje prolaze točkom P(u,v) plohe S i imaju u njoj zajedničku tagentu  ((OverVector[t])^o)! Zbog toga za dobivanje imformacija o plohi u okolišu neke točke nije nužno promatrati sve krivulje na plohi nego samo ravninske, a i među njima samo “najljepše”, takozvane normalne presjeke.

Geometrijska interpretacija druge diferencijalne forme

Neka je  (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v) karta na plohi S klase ≥ 2. Tada u svakoj točki karte postoji jedinični vektor normale ((Overscript[N, ⟶])^o).
Zanima nas oblik plohe u okolini neke točke. U tu svrhu neka je P promatrana točka, τ tangencijalna ravnina plohe točkom P i neka je Q točka plohe u neposrednoj blizini točke P koja je obuhvaćena istom kartom. Sa d označimo udaljenost točke Q od ravnine τ. d nam kazuje koliko je ploha "zakrivljena".

	
	Slika 09.2
Iz slike 09.2 je jasno da se tražena udaljenost dobiva projekcijom vektora (Overscript[P Q, ⟶])  na jedinični vektor normale ((Overscript[N, ⟶])^o), tj.
	d=(Overscript[P Q, ⟶]) ·((Overscript[N, ⟶])^o). 									(18)
d≷0, budući da se Q može nalaziti “iznad” ili “ispod” ravnine τ.
	d=?
Neka su točkama P, Q  pridruženi radijvektori (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u,v), odnosno (Overscript[r, ⟶]) (u+d u, v+d v).
	(Overscript[P Q, ⟶])=(Overscript[r, ⟶]) (u+d u, v+d v)-(Overscript[r, ⟶])(u,v)=?
Do toga ćemo doći pomoću Taylorovog teorema, tj. razvijemo funkciju (Overscript[r, ⟶])(u,v) do trećeg člana u okolini točke P:
	(Overscript[r, ⟶]) (u+d u, v+d v)=(Overscript[r, ⟶])(u,v)+d(OverVector[r])+ (1/2)(d^2)(OverVector[r])+(Overscript[o, ->]),   gdje je (Overscript[o, ->]) vektor ostatka 
	(Overscript[r, ⟶]) (u+d u, v+d v)-(Overscript[r, ⟶])(u,v)=d(OverVector[r])+ (1/2)(d^2)(OverVector[r])+(Overscript[o, ->])
Dobiveni izraz uvrstimo u (18): 
	d=(Overscript[P Q, ⟶]) ·((Overscript[N, ⟶])^o)=((Overscript[r, ⟶]) (u+d u, v+d v)-(Overscript[r, ⟶])(u,v))·((Overscript[N, ⟶])^o)=(d(OverVector[r])+ (1/2)(d^2)(OverVector[r])+(Overscript[o, ->]))·((Overscript[N, ⟶])^o) 
	                                 =(Underscript[(Underscript[d(OverVector[r])·((Overscript[N, ⟶])^o), ⏟]), = 0])+(1/2)(d^2)(OverVector[r])·((Overscript[N, ⟶])^o)+(Underscript[(Underscript[(Overscript[o, ->])·((Overscript[N, ⟶])^o), ⏟]), skalar])  =  (1/2)(Underscript[(Underscript[(d^2)(OverVector[r])·((Overscript[N, ⟶])^o), ⏟]), II])+o
Napomena: Isčezavanje prvog člana slijedi iz činjenice da je diferencijal  d(Overscript[r, →]) = ((∂(OverVector[r]))/(∂u))du+((∂(OverVector[r]))/(∂v))dv  okomit na normalu plohe u istoj točki.
Dobili smo da je
	 d=(1/2)II +o 									(19)
Dakle, II je glavni dio dvostruke projekcije vektora (Overscript[P Q, ⟶])  na ((Overscript[N, ⟶])^o), dok je |II| glavni dio dvostruke udaljenosti točke Q od tangencijalne ravnine u P. Sad je i zorno jasno da druga diferencijalna forma plohe određuje oblik plohe u okolini neke njene točke.

Normalni presjek i normalna zakrivljenost plohe u danom smjeru

Normalni presjek plohe S u točki P u smjeru vektora ((OverVector[t])^o) je ravninska krivulja γ koja nastaje tako da plohu u promatranoj točki siječemo ravninom koja prolazi jadnim pravcem tangencijalne ravnine (tj. smjerom ((OverVector[t])^o)) i normalom ((OverVector[N])^o) na plohu S u točki P.
Svaka druga ravnina koja prolazi istim pravcem (tj. smjerom ((OverVector[t])^o)) ali ne i normalom ((OverVector[N])^o), siječe plohu u krivulji koju nazivamo kosi presjek.⋄
Dakle, ravninska krivulja γ plohe S je krivulja normalnog presjeka ako je θ = 0  ili  θ = π, gdje je kao što znamo  θ =∡(((OverVector[N])^o), ((OverVector[n])^o)) . 
Normalna zakrivljenost plohe u danom smjeru je zakrivljenost normalnog presjeka u tom smjeru i označava se (Subscript[K, n]).
(Subscript[K, n]) može biti  +  ili  - ovisno o tome da li je  θ = 0  ili  θ = π:
	(Subscript[K, n]) > 0   ->    ((OverVector[N])^o) i  ((OverVector[n])^o) su s iste strane tangencijalne ravnine plohe točkom P (slika 09.4),
	(Subscript[K, n]) < 0   ->    ((OverVector[N])^o) i  ((OverVector[n])^o) su s raznih strana tangencijalne ravnine plohe točkom P (slika 09.3).
	
					
	Slika 09.4   θ =∡(((OverVector[N])^o),((OverVector[n])^o))=0					Slika 09.3   θ =∡(((OverVector[N])^o),((OverVector[n])^o))=π
Veza između zakrivljenost (Subscript[K, n]) krivulje normalnog presjeka i zakrivljenosti κ krivulje kosog presjeka koje u P imaju zajedničku tangentu dana je relacijom
	(Subscript[K, n])=κ cos θ	(Meusnierov teorem)  						(20)
Kako je  –1 ≤ cos θ ≤ 1  zaključujemo da normalni presjek plohe ima najmanju zakrivljenost od svih krivulja na plohi koje prolaze jednom točkom i imaju zajedničku tangentu u toj točki.
Kao i ranije, sa (Subscript[R, n]) =(1/(Subscript[K, n])) označavamo polumjer zakrivljenosti normalnog presjeka. 
Iz (17) i (20) slijedi da se za plohu S zadanu vektorskom jednadžbom (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u,v) normalna zakrivljenost u regularnoj točki P(u,v)  izražava pomoću I i II diferencijalne forme na sljedeći način:
	(Subscript[K, n])=((L (du^2) + 2 M du dv + N (dv^2))/(E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2)))=(II/I)					(21)
Označimo li smjer (du/dv)=μ, relacija (9) poprima oblik: 
	(Subscript[K, n])=((L (μ^2) + 2 M μ + N )/(E (μ^2) + 2 F μ + G)).							(22)

Klasifikacija točaka na plohi
Eliptičke, hiperboličke, paraboličke točke plohe

Da bi se ispitao oblik plohe S u okolišu neke točke P(u,v) ispituje se zakrivljenost normalnog presjeka u toj točki. To znači da treba ispitati predznak desne strane jednadžbe (21) odnosno (22), kada se mijenja omjer μ = du/dv.
Mijenjanjem omjera du/dv dobiju se različite tangente u tangencijalnoj ravnini plohe S a time i različiti normalni presjeci, odnosno različite krivulje na plohi u promatranoj točki.
Zbog  I = (ds^2) > 0, predznak desne strane u izrazu za (Subscript[K, n]) ovisi samo o predznaku brojnika, tj. o predznaku druge diferencijalne forme plohe, odnosno o predznaku njene diskriminante LN - (M^2).
Dakle,
	(Subscript[K, n])=0   ⇒   L (μ^2) + 2 M μ + N = 0   ⇒    (Subscript[μ, 1,2]) = ((-2M±(Sqrt[4(M^2) - 4LN]))/(2L))= ((-M±(Sqrt[(M^2) - LN]))/L).

Mogućnosti:

1)   Eliptička točka plohe - točka u kojoj je ispunjeno LN-(M^2)>0  
	- (Subscript[K, n]) (forma II) će imati uvijek isti predznak mijenjanjem omjera μ = (du/dv).
	- Oko eliptičke točke ploha se nalazi s jedne strane tangencijalne ravnine.
	- Specijalni slučaj eliptičke točke je umbilička (kružna, sferna) točka: točka plohe za koju vrijedi  L : M : N = E : F : G. Iz (22) slijedi da je u tom slučaju  (Subscript[K, n])= const.= c, tj. normalna zakrivljenost u kružnoj točki ne ovisi o smjeru (du/dv). Normalni presjeci su tada kružnice na plohi. Osim toga  L : M : N = E : F : G   ⇒  LN - (M^2)= (c^2)(EG - (F^2)) > 0. 
	- Primjeri ploha koje imaju samo eliptičke, odnosno sferne točke: elipsoid, sfera.

Slika 09.5

2)   Hiperbolička točka plohe - točka u kojoj je ispunjeno LN-(M^2)<0   
	- Postoje vrijednosti  (Subscript[μ, 1]) = (Subscript[((du/dv)), 1]),  (Subscript[μ, 2]) = (Subscript[((du/dv)), 2]) za koje je (Subscript[K, n]) = 0.  To znači da (Subscript[K, n]) mijena predznak mijenjanjem omjera μ = (du/dv). 
	- Smjerovi (Subscript[μ, 1]) i (Subscript[μ, 2]) rastavljaju okolinu hiperboličke točke u 4 dijela: dva nasuprotna dijela plohe nalaze se ispod a druga dva iznad tangencijalne ravnine.
	- Ploha se lokalno ponaša kao "sedlasta" ploha.
	- Primjeri ploha koje imaju samo hiperboličke točke: jednoplošni hiperboloid, hiperbolički paraboloid (hipar, sedlo).

Slika 09.6

3)   Parabolička točka plohe - točka u kojoj je ispunjeno  LN-(M^2)=0 
	- Postoji dvostruka vrijednost (Subscript[μ, 1]) = (Subscript[μ, 2]) za koju je (Subscript[K, n]) = 0.
	- (Subscript[K, n]) će, osim za vrijednost (Subscript[μ, 1]) = (Subscript[μ, 2]) za koju je jednaka nuli, imati uvijek isti predznak (pozitivni ili negativni) mijenjanjem omjera μ = (du/dv).
	- Oko paraboličke točke ploha će se u jednostavnijem slučaju nalaziti s jedne strane tangencijalne ravnine.
	- Primjeri ploha koje imaju paraboličke točke: valjak, stožac.

Slika 09.7

- Specijalni slučaj paraboličke točke je ravninska točka (točka spljoštenosti). To je točka u kojoj je ispunjeno  L=M=N=0 , tj. (Subscript[K, n]) = 0 za svaki smjer μ. Jednostavni primjer plohe koja ima ravninske točke je ravnina a složeniji ploha pod nazivom majmunsko sedlo.

Primjer.  Eliptičke (ljubičasto područje), paraboličke (crveno područje) i hiperboličke (zeleno područje) točke torusa

Slika 09.8

Asimptotski smjerovi  i  asimptotske krivulje

Smjer μ=du:dv u točki plohe za koji je
	II = L (du^2) + 2 M du dv + N (dv^2) = 0							(23)
nazivamo asimptotski smjer.  Kako je (Subscript[K, n])=(II/I)  i  I = (ds^2) > 0, asimptotski smjerovi su također i smjerovi u kojima je (Subscript[K, n])= 0.
Vrijedi:
	- u eliptičkoj točki nema asimptotskih smjerova;	
	- u hiperboličkoj točki postoje dva različita asimptotska smjera;
	- u paraboličkoj točki postoji jedan asimptotski smjer;
	- u ravninskoj točki je svaki smjer asimptotski.	
Asimptotska krivulja (asimptotska linija) je krivulja na plohi kod koje je smjer tangente u svakoj njenoj točki asimptotski smjer. Dakle, krivulja na plohi je asimptotska linija ako i samo ako smjer njene tangente u svakoj točki zadovoljava (23), za neku kartu (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v) koja točku sadrži. 
Za svaku asimptotsku liniju (zbog (Subscript[K, n])=κ cos θ) je  κ cos θ=0. Postoje dvije mogućnosti:
- Ako je κ = 0 asimptotska linija je pravac.
- Ako je κ ≠ 0 onda je cos θ = 0,  θ=(π/2)  tj.  (Overscript[(N^o), ⟶])∟ (Overscript[(Subscript[n, o]), ⟶]).  To znači da je asimptotska krivulja ona krivulja na plohi kod koje se tangencijalna ravnina plohe podudara u svakoj točki s oskulacionom ravninom te krivulje.
Diferencianalna jednadžba asimptotskih linija:
	(Ldu^2)+2Mdudv+(Ndv^2) = 0.
Uočimo da, ukoliko su parametarske u- i v- linije plohe ujedno i asimptotske linije, onda u svakoj točki plohe jednakost (23) vrijedi za smjer du:dv=1:0, odnosno za smjer du:dv=0:1. Zbog toga je L=N=0. Vrijedi i obrat. Naime vrijedi
Teorem.   u- i v- linije plohe su ujedno i asimptotske linije ako i samo ako je u svakoj točki plohe  L=N=0.

link: Vizualizacije

Zadaci

01 	Zadana je sfera  S... (Overscript[r, ⟶])(u, v) = (a cos u sin v)(Overscript[i, ⟶])+(a sin u sin v)(Overscript[j, ⟶])+a cos v(Overscript[k, ⟶]), u∈[0,2π], v∈[0,π].
		  	       
	a)	Izračunati koeficijente prve kvadratne forme. 
	b)	Izračunati koeficijente druge kvadratne forme.
	c)	Napisati izraz za zakrivljenost normalnog presjeka. Konkretno, izračunati zakrivljenost normalnog presjeka u točki  P(u, v) = P(π/2, π), za smjer μ = (( du)/dv) = 1, a=5. 	Ovisi li zakrivljenost normalnog presjeka (Subscript[K, n]) o parametrima u i v? Ovisi li (Subscript[K, n]) o izboru točke? Što nam to govori?	Što je normalni presjek sfere u bilo kojoj njenoj točki?

Rješenje:

Ad a)	(Overscript[r, ->])(u,v)={a cos u sin v, a sin u sin v, a cos v}
		Izračunajte derivacije:
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)= ...
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)= ...
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u u])(u,v)= ...
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u v])(u,v)= ...
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), v v])(u,v)= ...
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=(a^2)(sin^2) v
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=0
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=(a^2)  
		
	Ad b)	W=(Sqrt[E G -(F^2)])=(Sqrt[(a^4) (sin^2) v])=(a^2) sin v 
		L=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), u u]))=a (sin^2) v
M=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), u v]))=0
N=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), v v]))=a 
		
	Ad c)	(Subscript[K, n])=(II/I)=((a (sin^2)v (du^2) + a (dv^2))/((a^2)(sin^2)v (du^2)  + (a^2) (dv^2))) 	(*)
		(Subscript[K, n]) u točki  P(u, v) = P(π/2, π), za smjer μ = (( du)/dv) = 1, a=5:
		Dijeljenjem brojnika i nazivnika s (dv^2) slijedi 
		(Subscript[K, n])= ((a(sin^2)v ((du^2)/(dv^2)) + a)/((a^2)(sin^2)v ((du^2)/(dv^2))  + (a^2) ))=(1/a) (((a (sin^2)v  (μ^2) + a)/(a(sin^2)v  (μ^2) + a)))=(1/5)  
		Polumjer zakrivljenosti normalnog presjeka:  (Subscript[R, n])=5
		Lako je odgovoriti na ostala pitanja budući da je u svakoj točki sfere  (Subscript[K, n])=(II/I)=(1/a), gdje je a polumjer sfere. Da bi se to zaključilo dovoljno je pojednostavniti izraz (*).

02 	Zadana je ploha parametrizacijom
	(({{x=u cos v}, {y=u sin v}, {z=2 v       }})	u, v ∈ ℝ    		
	a)	Odrediti normalnu zakrivljenost plohe. 
	b)	Naći izraz kojim se određuje vrsta točaka na plohi. 
	c)	Sami: Kojoj vrsti točaka pripadaju točke zavojne plohe? Vježbati izračun normalne zakrivljenosti u nekoj, po volji odabranoj točki plohe, u nekom, također proizvoljno odabranom smjeru.

Rješenje:

Koeficijenti prve i druge kvadratne forme

r[u_,v_]:={u Cos[v],u Sin[v],2v}

(Subscript[r, u])=(∂_u)(r[u,v])
(Subscript[r, v])=(∂_v)(r[u,v])
(Subscript[r, uu])=(∂_(u,u))(r[u,v])
(Subscript[r, uv])=(∂_(u,v))(r[u,v])
(Subscript[r, vv])=(∂_(v,v))(r[u,v])
normalaplohe=(Subscript[r, u])\[Cross](Subscript[r, v]); Print["(Overscript[N, ⟶])=",normalaplohe]

EE=Simplify[EE=(Subscript[r, u]).(Subscript[r, u])]

F=Simplify[F=(Subscript[r, u]).(Subscript[r, v])]

G=Simplify[G=(Subscript[r, v]).(Subscript[r, v])]

W=Sqrt[EE G - (F^2)]

L=Simplify[(1/W)((Subscript[r, u])\[Cross](Subscript[r, v]).(Subscript[r, uu]))]

M=Simplify[(1/W)((Subscript[r, u])\[Cross](Subscript[r, v]).(Subscript[r, uv]))]

NN=Simplify[(1/W)((Subscript[r, u])\[Cross](Subscript[r, v]).(Subscript[r, vv]))]

Normalna zakrivljenost

(Subscript[K, n])=((L (du^2)+2M du dv+NN (dv^2))/(EE (du^2)+2F du dv+G (dv^2)))

Vrsta točaka na plohi

L NN - (M^2)

03 	Naći asimptotske linije plohe iz prethodnog zadatka (02).

Rješenje:

U prethodnom zadatku smo izračunali:
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=1
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=0
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=4+(u^2) 
		W=(Sqrt[E G -(F^2)])=(Sqrt[4+(u^2)])
		L=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), u u]))=0
M=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), u v]))=-(2/(Sqrt[4+(u^2)]))
N=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), v v]))=0
	Asimptotske linije:	
		(Subscript[K, n])=0       ⇒     -(2/(Sqrt[4+(u^2)]))dudv =0        ⇒     du=0&     dv=0  
		du = 0  ⇒   u = const.,  odakle zaključujemo da su v krivulje (zavojnice) asimptotske linije.
		dv = 0  ⇒   v = const.,  odakle zaključujemo da su u krivulje (pravci) asimptotske linije.

Vizualizacija zadatka: Dvije istaknute asimptotske linije (u = π/2, v = 0) na zavojnoj plohi.

04 	Odnosi se na zadatke  8/01 do 8/06.
	a)	Odrediti (Subscript[K, n]).
	b)	Ispitati vrstu točaka na plohi. 
	c)	Vježbati izračun normalne zakrivljenosti u nekoj, po volji odabranoj točki plohe, u nekom, također proizvoljno odabranom smjeru.

05 	Zadana je ploha  (x^2)+(y^2)=(a^2). 
	a)	Napisati jednu parametrizaciju plohe.
	b)	Odrediti normalnu zakrivljenost plohe. 
	c)	Ispitati vrstu točaka na plohi. 
	d)	Naći asimptotske linije plohe.

Rješenje

a)	Parametrizacija valjka
		(({{x=a cos u}, {y=a sin u}, {z=v           }})	u ∈ [0, 2π],  v ∈ R  		
		u - krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const.) su kružnice
		v - krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const.) su izvodnice
		
	b)	(Overscript[r, ->])(u,v)={a cos u, a sin u,v}
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)={-a sin u,- a cos u,0}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)={0, 0,1}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), u u])(u,v)={-a cos u, a sin u,0}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), u v ])(u,v)={0,0,0}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v v])(u,v)={0,0,0}
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=(a^2),       F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=0,        G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=1
E G-(F^2)=(a^2)
L=a,                           M=0,                        N=0
	(Subscript[K, n])=(II/I)=((a  (du^2) )/((a^2) (du^2)  +  (dv^2))) 	
	c)	L N-(M^2)=0    ->   točke su paraboličke	
	
	d) 	Budući da su točke paraboličke postoji jedan asimptotski smjer. Iz slike je jasno da su to izvodnice valjka, tj.v- krivulje.
		Računom:  (Subscript[K, n])=0    ⇒   (du^2)=0,   du=0,  u=const.  tj. v- krivulje

Sažetak poglavlja

Izvod druge diferencijalne forme plohe.
Definicija koeficijenata druge diferencijalne forme.
Geometrijska interpretacija druge diferencijalne forme plohe.
Normalni presjek plohe u nekoj njenoj točki. Kosi presjek plohe u nekoj njenoj točki.
Normalna zakrivljenost plohe u danom smjeru. 
Meusnierom teorem.
Klasifikacija točaka na plohi.
Asimptotski smjerovi. Asimptotske krivulje.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju odrediti drugu diferencijalnu formu plohe zadane vektorskom/parametarskom jednadžbom te ju primijeniti za izračunavanje zakrivljenosti određenog normalnog presjeka plohe. Razumjet će vezu između vrste točaka na plohi i oblika plohe, te će biti u stanju zaključiti o postojanju asimptotskih smjerova na nekom jdnostavnijim plohama (npr. na plohama drugog reda).