Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

III  PLOHE

10   GAUSSOVA I SREDNJA ZAKRIVLJENOST PLOHE

Glavne zakrivljenosti i glavni smjerovi

Neka je (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v) karta plohe S klase ≥ 2. Tada u svakoj točki karte postoji jedinični vektor normale ((Overscript[N, ⟶])^o).
Promatramo zakrivljenost (Subscript[K, n]) normalnog presjeka plohe S u točki P kao funkciju smjera μ = (du/dv) pravca u tangencijalnoj ravnini plohe točkom P:
	(Subscript[K, n])(μ) = ((L (μ^2) + 2 M μ + N )/(E (μ^2) + 2 F μ + G))						(24)		
Pitamo se za koje vrijednosti od μ funkcija (Subscript[K, n]) poprima ekstremne vrijednosti.
Ako takve vrijednosti postoje onda su to glavne zakrivljenosti plohe S u točki  P i označavamo ih s (Subscript[K, 1]) (najveću) i (Subscript[K, 2])   najmanju).
Pripadni smjerovi (Subscript[μ, 1]), (Subscript[μ, 2]) su glavni smjerovi plohe S u točki P, dok su  (Subscript[R, 1])= (1/(Subscript[K, 1])), (Subscript[R, 2]) = (1/(Subscript[K, 2]))  glavni polumjeri zakrivljenosti .

Nalaženje glavnih zakrivljenosti  
(minimuma i maksimuma fukcije (Subscript[K, n]))

Ekstrem funkcije (24) ćemo tražiti iz njenog implicitnog oblika:
	F((Subscript[K, n])(μ), μ) ≡	 (Subscript[K, n])(E(μ^2) + 2Fμ + G) - (L(μ^2) + 2Mμ + N) = 0,   ili
	F((Subscript[K, n])(μ), μ) ≡ 	((Subscript[K, n])E - L) (μ^2) + 2 ((Subscript[K, n])F - M) μ + ((Subscript[K, n])G - N) = 0		(25)
Deriviramo funkciju F po μ:
	((∂F)/(∂(Subscript[K, n])))· ((Subscript[dK, n])/(dμ))+ ((∂F)/(∂μ))= 0,	((Subscript[dK, n])/(dμ))= -(((∂F)/(∂μ))/((∂F)/(∂(Subscript[K, n]))))=((2μ((Subscript[K, n])E-L)+2((Subscript[K, n])F-M))/(E(μ^2)+2Fμ + G)).
Nužan uvjet za ekstrem:
	((Subscript[dK, n])/(dμ)) = 0   ->   ((∂F)/(∂μ))= 0   (vrijedi da je ((∂F)/(∂(Subscript[K, n])))≠ 0)   
	->   2μ ((Subscript[K, n])E-L)+2((Subscript[K, n])F-M) = 0,     μ=-(((Subscript[K, n])F-M)/((Subscript[K, n])E-L)).			(26)
Uvrstimo li u (25) dobiveni izraz za μ, nakon sređivanja slijedi kvadratna jednadžba po (Subscript[K, n]):
	(Underscript[((Subscript[K, n])^2) - ((EN-2MF+GL)/(EG-(F^2)))(Subscript[K, n]) + ((LN-(M^2))/(EG-(F^2)))= 0, ─]).					(27)
	
Rješenja kvadratne jednadžbe (27) su tražene ekstremne vrijednosti funkcije (Subscript[K, n]), tj. glavne zakrivljenosti (Subscript[K, 1]) i (Subscript[K, 2]) plohe S u točki P.

Nalaženje glavnih smjerova

Kako bi se odredili glavni smjerovi (Subscript[μ, 1])i (Subscript[μ, 2]) ponovo se koristi (25), tj. implicitni oblik funkcije (Subscript[K, n])=(Subscript[K, n])(μ). 
(Subscript[μ, 1]) i (Subscript[μ, 2]) se dobiju kao ekstremne vrijednosti, s tim da se pri računanju eliminira (Subscript[K, n]).
U tu je svrhu potrebno riješiti sustav jednadžbi (čine ga (25) i (26)):
	{({{((Subscript[K, n])E - L)(μ^2)+2 ((Subscript[K, n])F - M) μ+((Subscript[K, n])G - N)=0}, {μ((Subscript[K, n])E-L)+((Subscript[K, n])F-M) =0}})
Množenjem druge jednadžbe sa μ i oduzimanjem od prve, sustav se svodi na sljedeći:	
	{({{((Subscript[K, n])E - L)μ+((Subscript[K, n])F - M)=0}, {((Subscript[K, n])F-M)μ +((Subscript[K, n])G-N)=0}}).
Sredimo sustav po (Subscript[K, n]):
	{({{(Subscript[K, n])(Eμ+F)-(Lμ +M)=0}, {(Subscript[K, n])(Fμ+G)-(Mμ+N)=0}}).
Riješimo sustav po (Subscript[K, n]): 
	(Underscript[(FL-EM) (μ^2) + (GL-EN) μ + (GM-F N) = 0, ─]).				(28)
Rješenja (Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2]) kvadratne jednadžbe (28) su traženi glavni smjerovi plohe S u točki P. Glavni smjerovi su uvijek ortogonalni (dokaz slijedi niže na stranici).
Drugačiji zapis jednadžbe (28):
	 (Underscript[|({{(μ^2), -μ, 1}, {G, F, E}, {N, M, L}})|=0, ─]).								(29)

Glavne krivulje zakrivljenosti

Glavne krivulje zakrivljenosti (kraće: krivulje zakrivljenosti) plohe S jesu one krivulje na plohi čija je tangenta u svakoj točki paralelna s jednim od dva glavna smjera (Subscript[μ, 1]) i (Subscript[μ, 2]). 
Postoje dvije krivulje zakrivljenosti u svakoj točki plohe!
Jednadžba za određivanje krivulja zakrivljenosti slijedi iz jednadžbe (29) za određivanje glavnih smjerova kada se uvrsti μ = (du/dv).  Dakle, krivulje zakrivljenosti  (oblika v = v(u) ili u = u(v)) dobiju se rješavanjem diferencijalne jednadžbe
 	|({{(du^2), -dudv, (dv^2)}, {G, F, E}, {N, M, L}})|=0.							(32)
(32) se može zapisati i ovako:
	(FL - EM)(du^2)+ (GL - EN)dudv + (GM - FN)(dv^2) = 0.			(33)

Mreža  krivulja zakrivljenosti na plohi S

Pokazat ćemo da mreža krivulja zakrivljenosti na plohi S čini ortogonalnu mrežu. U tu je svrhu potreno riješiti dva zadatka.
Zadatak 1. 
Pokazati da uvijet ortogonalnosti dviju porodica krivulja na plohi koje su određene diferencijalnom jednadžbom
	A(u,v) (du^2)+ 2B(u,v)dudv + C(u,v)(dv^2) = 0				(*)
glasi	EC - 2BF + AG = 0.								(**)

Rješenje.

Označimo rješenja jednadžbe (*) sa
	(Subscript[((du/dv)), 1])=(du/dv)   i   (Subscript[((du/dv)), 2])=((d(OverBar[u]))/(d(OverBar[v]))).
Prema Vietovim formulama,
	(du/dv)+((d(OverBar[u]))/(d(OverBar[v])))= -((2B)/A)    i    (du/dv)·((d(OverBar[u]))/(d(OverBar[v])))=(C/A).
Uvrstimo dobiveno u uvijet ortogonalnosti dviju krivulja na plohi tj. u uvijet
	cos ω = ((Edud(OverBar[u]) + F(dud(OverBar[v]) + d(OverBar[u])dv) + Gdvd(OverBar[v]))/((Sqrt[(Edu^2)+ 2Fdudv + ((Gdv)^2)])·(Sqrt[Ed((OverBar[u])^2)+ 2Fd(OverBar[u])d(OverBar[v])+ Gd((OverBar[v])^2)])))=0.
Slijedi:
	Edud(OverBar[v])  + F(dud(OverBar[v]) + d(OverBar[u])du) +Gdvd(OverBar[v]) = 0 /:dvd(OverBar[v])
	E(du/dv)((d(OverBar[u]))/(d(OverBar[v])))+F((du/db)+((d(OverBar[u]))/(d(OverBar[v]))))+G=0,
	E(C/A)+F(-((2B)/A))+G=0, 
	EC –2FB +GA = 0,
što daje traženi uvijet.◼

Zadatak 2. 
Provjeriti da je uvijet EC –2FB +GA = 0 ispunjen za krivulje zakrivljenosti određene diferencijalnom jednadžbom (33).

Rješenje.

Usporedbom koeficijenata jednadžbi  (33) i (*) slijedi da je redom
	A = FL - EM,   2B = GL - EN,   C = GM - FN.
Provjerimo da li dobiveni A, B i C zadovoljavaju uvjet (**):
	EC –2FB +GA = E(GM - FN) - F(GL - EN) + G(FL - EM)=
		 =EGM - EFN - GLF + ENF + GFL + GEM = 0. ◼

Iz upravo dokazanog vidljivo je da je korisno koordinatnu u, v mrežu na plohi odabrati tako da se poklapa s mrežom krivulja zakrivljenosti. Kako se provjerava da li je koordinatna mreža baš tako zadana odgovor daje teorem koji slijedi.
Teorem. Parametarske krivulje na plohi jesu ujedno i krivulje zakrivljenosti onda i samo onda ako je u svakoj točki plohe ispunjeno F=0 i M=0.

Dokaz.
⟹
Neka su parametarske u, v krivulje ujedno i krivulje zakrivljenosti. One tvore ortogonalnu mrežu (F = 0), zbog E G-(F^2)>0 je i EG > 0 te predstavljaju rješenja diferencijalne jednadžbe (FL - EM)(du^2)+ (GL - EN)dudv + (GM - FN)(dv^2) = 0 (33). 	
Jednadžba (33) za u - linije:
	v=const., dv = 0   ⇒	(du^2)(FL - EM) = 0, 
				du ≠ 0,  FL - EM = 0, 
				EM = 0 (E ≠ 0)
				⇒  M = 0.
Jednadžba (33) za v - linije:
	u=const., du = 0   ⇒	(dv^2)(GM - FN) = 0
				dv ≠ 0,  GM -FN = 0,
				GM = 0 (G ≠ 0)
				⇒  M = 0.
⟸ (obrat)
Neka je F = M = 0. Iz (33) slijedi
	dudv(GL - EN) = 0, tj.
	dudv = 0, a odavde
	du = 0,  u=const. tj.  v - linije, odnosno
	dv = 0,  v=const.  tj.  u - linije.
Kako je još F = 0, to su u i v linije međusobno okomite. Dakle, krivulje zakrivljenosti su u i v linije.◼

Gaussova zakrivljenost plohe; srednja zakrivljenost plohe

Definicije

Gaussova (potpuna, totalna) zakrivljenost K plohe S u točki P je funkcija K : S ⟶ ℝ definirana formulom 
	(Underscript[K=(Subscript[K, 1])· (Subscript[K, 2]), ─]),									(30)
Srednja zakrivljenost H plohe S u točki P je funkcija H : S ⟶ ℝ definirana formulom 
	(Underscript[H = (1/2)((Subscript[K, 1])+(Subscript[K, 2])), ─]),								(31)
Iz kvadratne jednadžbe 
	(Subscript[K, n]^2)-((EN-2MF+GL)/(EG-(F^2)))(Subscript[K, n])+((LN-(M^2))/(EG-(F^2)))=0,
prema Vietovim formulama slijedi 
	(Underscript[K=(Subscript[K, 1])· (Subscript[K, 2])=((LN-(M^2))/(EG-(F^2))), ─]),		 (Underscript[H = (1/2)((Subscript[K, 1])+(Subscript[K, 2]))=(1/2)(((EN-2MF+GL)/(EG-(F^2))))., ─])
	
Minimalna ploha  - ploha kod koje je srednja zakrivljenost H u svakoj točki jednaka nuli ((Subscript[K, 1])=-(Subscript[K, 2])).
Ploha s konstantnom zakrivljenošću  - ploha kod koje je Gaussova zakrivljenost u svakoj točki konstantna. 
Na primjer: sfera, kružni valjak.
Pravčasta ploha - ploha kod koje za svaku njenu točku postoji bar jedan pravac koji leži na plohi. 
Razlikujemo:
•   razvojna pravčasta ploha je pravčasta ploha kod koje je za sve točke Gaussova zakrivljenost K = 0 ( (Subscript[K, 1])= 0 ili (Subscript[K, 2]) = 0). Na primjer:  valjkaste plohe,  stožaste pohe.
•   vitopera pravčasta ploha  je pravčasta ploha koja nije razvojna. Na primjer:  helikoid, jednokrilni hiperboloid, hiperbolni paraboloid.

Gaussova zakrivljenost ovisno o vrsti točaka na plohi

Iz formule K = (Subscript[K, 1])(Subscript[K, 2])=((LN-(M^2))/(EG-(F^2))) slijedi da predznak Gaussove zakrivljenosti ovisi samo o brojniku LN -(M^2) jer je nazivnik EG-(F^2) uvijek veći od nule.
Zbog toga, ovisno o vrsti točaka na plohi možemo o Gaussovoj zakrivljenosti plohe zaključiti sljedeće:
  i ) 	LN-(M^2) > 0   (eliptičke točke)   	->   (Underscript[K>0, ─])   	(sign (Subscript[K, 1]) = sign (Subscript[K, 2]))
 ii ) 	LN-(M^2) < 0   (hiperboličke točke)	->   (Underscript[K<0, ─]) 	(sign (Subscript[K, 1]) = – sign (Subscript[K, 2]))
iii ) 	LN-(M^2) = 0   (paraboličke točke)	->   (Underscript[K=0, ─]) 	
	Kod paraboličkih točaka postoje dva slučaja:
	 a)  (Subscript[K, 1])= 0,  (Subscript[K, 2])≠ 0   ili   (Subscript[K, 1])≠ 0, (Subscript[K, 2]) = 0
	 Smjer μ je istovremeno i asimptotski i jedan glavni smjer. To je jedini asimptotski smjer, a glavni postoji još jedan okomit na prvi kome pripada druga glavna zakrivljenost.
	 b)  (Subscript[K, 1])=0, (Subscript[K, 2])=0  
 	Ovo je specijalni slučaj paraboličke točke. Takvu točku nazivamo ravninska točka ili točka spljoštenosti. Svaki smjer μ je ujedni glavni i asimptotski. Primjer je ravnina, kod koje je svaka točka ravninska, ali ploha može imati i razne kompliciranije oblike. Na primjer, ploha poznata pod nazivom majmunsko sedlo (slika 10.1).

Slika 10.1   Ploha kojoj je svaka točka ravninska (majmunsko sedlo).

link: Vizualizacije Gaussove i srednje zakrivljenosti

Zadaci

01 	Zadana je sfera  S... (Overscript[r, ⟶])(u, v) = (a  cos u sin v)(Overscript[i, ⟶])+(a sin u sin v)(Overscript[j, ⟶])+a cos v(Overscript[k, ⟶]), u∈[0,2π], v∈[0,π].
		  	       
	Naći glavne, totalnu i srednju zakrivljenost sfere. 
	Napomena: Iskoristiti rezultate zadatka 9/01 za jednostavno nalaženje rješenja zadatka.

02 	Zadana je ploha parametrizacijom
	(({{x=u cos v}, {y=u sin v}, {z=2 v       }})	u, v ∈ ℝ    
	a)	Naći glavne, totalnu (Gaussovu) i srednju zakrivljenost plohe. 
		Prema totalnoj zakrivljenosti zaključiti o vrsti točaka na plohi.
	b)	Naći glavne smjerove i odrediti glavne krivulje zakrivljenosti.

Rješenje:
	a)	U zadatku 9/02 odredili smo sljedeće:
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=1
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=0
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=4+(u^2)  
		W=(Sqrt[E G -(F^2)])=(Sqrt[4+(u^2)])
		L=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), u u]))=0
M=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), u v]))=-(2/(Sqrt[4+(u^2)]))
N=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), v v]))=0 
	 	Glavne zakrivljenosti su rješenja  kvadratne jednadbe  ((Subscript[K, n])^2) - ((EN-2MF+GL)/(EG-(F^2)))(Subscript[K, n]) + ((LN-(M^2))/(EG-(F^2)))= 0.
	 	Glavne zakrivljenosti:	 (Subscript[K, 1])=(2/(4+(u^2))),   (Subscript[K, 2])=-(2/(4+(u^2)))  
	 	Totalna zakrivljenost:	 K=(Subscript[K, 1])(Subscript[K, 2])=-(4/(((4+(u^2)))^2));     Kako je K<0 zaključujemo da su točke hiperboličke.
	 	Srednja zakrivljenost:	 H=(((Subscript[K, 1])+(Subscript[K, 2]))/2)=0
	 b)	Glavni smjerovi su rješenja kvadratne jednadbe |({{(μ^2), -μ, 1}, {G, F, E}, {N, M, L}})|=0, tj.
	 	(FL-EM) (μ^2) + (GL-EN) μ + (GM-F N) = 0.
	 	Glavni smjerovi:	 (Subscript[μ, 1])=(Sqrt[4+(u^2)]),   (Subscript[μ, 2])=-(Sqrt[4+(u^2)])  
	 	Glavne krivulje zakrivljenosti:
	 		 (Subscript[μ, 1])=((d u)/(d v))=(Sqrt[4+(u^2)])     →    d v=(1/(Sqrt[4+(u^2)]))d u      →    v(u)=Arcsinh ((u/2))+(Subscript[c, 1])
	 		 (Subscript[μ, 2])=((d u)/(d v))=-(Sqrt[4+(u^2)])  →    d v=-(1/(Sqrt[4+(u^2)]))d u   →    v(u)=-Arcsinh ((u/2))+(Subscript[c, 2])
	 	Vizualizacija zadatka:  Krivulje zakrivljenosti dobivene za (Subscript[c, 1])=(Subscript[c, 2])=0

03 	Zadana je ploha parametrizacijom
	(({{x=u cos v}, {y=u sin v}, {z=(u^2)       }})	u ∈ (SuperPlus[ℝ]),  v ∈ [0, 2π]   
	Sve što se traži izračunati u točki  T (u = 2 , v = π ).  
	a)	Normalnu zakrivljenost u smjeru μ = 1.
		Glavne, totalnu i srednju zakrivljenost plohe. Prema totalnoj zakrivljenosti zaključiti o vrsti točke na plohi.
	b)	Naći glavne smjerove i odrediti glavne krivulje zakrivljenosti.

Rješenje:
		a)	(Overscript[r, ->])(u,v)={u cos v,u sin v,(u^2)}
			(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)={cos v,sin v, 2u}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)={-u sin v,u cos v,0}		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(T)={-1,0, 4}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(T)={0,-2,0}
			(Subscript[(Overscript[r, ->]), u u])(u,v)={0,0,2}				(Subscript[(Overscript[r, ->]), u u])(T)={0,0,2}
			(Subscript[(Overscript[r, ->]), u v])(u,v)={-sin v,cos v, 0}			(Subscript[(Overscript[r, ->]), u v])(T)={0,-1, 0}
			(Subscript[(Overscript[r, ->]), v v])(u,v)= {-u cos v,-u sin v,0}		(Subscript[(Overscript[r, ->]), v v])(T)= {2,,0,0}
			E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=17
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=0
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=4			
			W=(Sqrt[E G-(F^2)])=2(Sqrt[ 17])
			L=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), u u]))=(4/(2(Sqrt[ 17])))=(2/(Sqrt[ 17]))
M=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), u v]))=0
N=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), v v]))=((16 )/(2(Sqrt[ 17])))=(8/(Sqrt[ 17]))
			Normalna zakrivljenost u točki M, u smjeru μ=1:   (Subscript[K, n])(T)=(II/I)=...=(10/(21(Sqrt[17])))
			Glavne zakrivljenosti:   (Subscript[K, 1])=(2/(Sqrt[17])),    (Subscript[K, 2])=(2/(17 (Sqrt[17])))
			Srednja zakrivljenost:    H = ...
			Totalna zakrivljenost:    K = ...		Točke su eliptičke! Zašto?
			
		b)	F=M=0   →   u, v mrea je mrea krivulja zakrivljenosti
			Krivulje zakrivljenosti točkom T:   v-krivulja (u=2)   i   u-krivulja (v=π)  
	 	
	 	Vizualizacija zadatka:  
	 	Krivulje zakrivljenosti (crvena i plava krivulja) te krivulja normalne zakrivljenosti (zelena) u točki T.

04 	Zadana je ploha  (x^2)+(y^2)=(a^2). Vidi zadatak 9/05.
	a)	Naći glavne, totalnu i srednju zakrivljenost plohe. Prema totalnoj zakrivljenosti zaključiti o vrsti točke na plohi.
	b)	Naći glavne smjerove i odrediti glavne krivulje zakrivljenosti.

Rješenje

a)	Parametrizacija valjka
		(({{x=a cos u}, {y=a sin u}, {z=v           }})	u ∈ [0, 2π],  v ∈ ℝ  		
		u - krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const.) su kružnice
		v - krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const.) su izvodnice
		
		(Overscript[r, ->])(u,v)={a cos u, a sin u,v}
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)={-a sin u,- a cos u,0}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)={0, 0,1}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), u u])(u,v)={-a cos u, a sin u,0}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), u v ])(u,v)={0,0,0}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v v])(u,v)={0,0,0}
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=(a^2),       F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=0,        G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=1
E G-(F^2)=(a^2)
L=a,                               M=0,                            N=0
 	
		Glavne zakrivljenosti:  (Subscript[K, n]^2)-((EN-2MF+GL)/(EG-(F^2)))(Subscript[K, n])+((LN-(M^2))/(EG-(F^2)))=0,     (Subscript[K, n]^2)-(L/E)(Subscript[K, n])=0   →  (Subscript[K, 1])=(1/a),  (Subscript[K, 2])=0
		Totalna zakrivljenost:  K = 0    ->   točke su paraboličke
		Srednja zakrivljenost:   H = (1/(2a))
	b)	F=M=0   →   u, v mreža je mreža krivulja zakrivljenosti
		Glavne krivulje zakrivljenosti i njhovi smjerovi:  u-krivulje,  (Subscript[μ, 1])=d v =0;  v-krivulje,  (Subscript[μ, 2])=d u=0  
 	
 	Vizualizacija zadatka:  Na plohi su istaknute krivulje zakrivljenosti jednom točkom plohe.

Sažetak poglavlja

Definicije pojmova: glavne zakrivljenosti plohe, glavni smjerovi zakrivljenosti plohe. 
Izvod jednadžbe za određivanje glavnih zakrivljenosti.
Izvod jednadžbe za određivanje glavnih smjerova zakrivljenosti.
Upoznavanje s pojmom Gaussove i srednje zakrivljenosti plohe.
Diskusija Gaussove zakrivljenosti ovisno o vrsti točaka na plohi.
Nalaženje glavnih krivulja zakrivljenosti 
Ispitivanje svojstava koordinatne mreže plohe koja se sastoji od krivulja zakrivljenosti.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju naći glavne te Gaussovu i srednju zakrivljenost plohe. Razumjet će vezu između Gaussove zakrivljenosti i vrste točaka na plohi. Bit će u stanju ispitati da li je koordinatna mreža plohe mrea krivulja zakrivljenosti te u jednostavnijim slučajevima naći jednadbe krivulja zakrivljenosti plohe.