Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

III  PLOHE

11   EULEROV POUČAK, DUPINOVA INDIKATRISA

Eulerov poučak

Eulerov poučak 
Normalna zakrivljenost u nekoj točki P plohe klase ≥ 2 u smjeru tangente t dana je sa
	(Subscript[K, n])=(Subscript[K, 1])(cos^2)α+(Subscript[K, 2])(sin^2)α					(34)	
gdje su (Subscript[K, 1]) i (Subscript[K, 2]) glavne zakrivljenosti plohe u P dok je α kut između t i  tangente u glavnom smjeru koji odgovara (Subscript[K, 1]).
Dokaz.
Teorem očito vrijedi u slučaju kad je P umbilička točka jer je tada (Subscript[K, 1])=(Subscript[K, 2])=(Subscript[K, n]). 
U općenitom slučaju neka je (Overscript[r, →])=(Overscript[r, →])(u,v) karta plohe koja sadrži točku P i pretpostavimo da su u- i v- linije plohe u smjeru krivulja zakrivljenosti. Budući da je tada F = M = 0, normalna zakrivljenost u bilo kojem smjeru du:dv  iznosi
	(Subscript[K, n])=((L (du^2)+N (dv^2))/(E (du^2)+G (dv^2))).						(*)
Slijedi da su glavne zakrivljenosti (Subscript[K, 1])=(L/E) (za u- liniju, dv = 0) i (Subscript[K, 2])=(N/G) (za v- liniju, du = 0).
Raspišimo (*) i uvrstimo izraze za (Subscript[K, 1])i (Subscript[K, 2]). Dobivamo redom
	(Subscript[K, n])=L((du^2)/(E (du^2) + G (dv^2)))+N((dv^2)/(E (du^2) + G (dv^2)))
       =(L/E)((E (du^2))/(E (du^2) + G (dv^2)))+(N/G)((G (dv^2))/(E (du^2) + G (dv^2)))
       =(Subscript[K, 1])((E (du^2))/(E (du^2) + G (dv^2)))+(Subscript[K, 2])((G (dv^2))/(E (du^2) + G (dv^2)))                                                     (**)               
Neka su sada α i β kutovi što ga proizvoljno odabrana tangenta t smjera du:dv zatvara s tangentama u glavnim smjerovima 1:0 (u- linija) odnosno 0:1 (u- linija).  Pomoću formule
	cosω = ((E d u d(OverBar[u]) + F( d u d(OverBar[v])  +d(OverBar[u]) d v)+G d v d(OverBar[v])    )/((Sqrt[E (du^2)+2F du dv  +  G (dv^2)])(Sqrt[E d((OverBar[u])^2)+2F d(OverBar[u]) d(OverBar[v])  + G d((OverBar[v])^2)])))
za određivanje kuta između dviju krivulja na plohi jednostavno slijedi da je
	cos α=((E du)/((Sqrt[E])(Sqrt[E (du^2) + G (dv^2)])))	   i    cos β=((G dv)/((Sqrt[G])(Sqrt[E (du^2) + G (dv^2)])))
Kvadriranjem i uvrštavanjem u (**),
	(Subscript[K, n])=(Subscript[K, 1])(cos^( 2))α+(Subscript[K, 2])(cos^( 2))β
Kako su glavni smjerovi međusobno okomiti, β=π/2-α, cos β=sin α, slijedi  (Subscript[K, n])=(Subscript[K, 1])(cos^2)α+(Subscript[K, 2])(sin^2)α . ◼

Geometrijska interpretacija Eulerove formule - Dupinova indikatrisa

Uočimo:
	- točka P na plohi S,
	- tangente normalnih presjeka u točki P,
	- koordinatna mreže je mreža krivulje zakrivljenosti (F = M = 0).
	
		
	Slika 11.1   
Na svaku tangentu nanesemo odgovarajuću dužinu  (OverBar[PT])=(Sqrt[|(Subscript[R, n])|])=(1/(Sqrt[|(Subscript[K, n])|])),  gdje je (Subscript[R, n]) polumjer zakrivljenosti normalnog presjeka (slika 11.1). Skup svih tako dobivenih točaka T je krivulja 2. reda u tangencijalnoj ravnini plohe točkom P koju nazivamo Dupinova indikatrisa. Njena jednadžba dobiva se iz Eulerovog poučka/formule. U tu svrhu, bez smanjenja općenitosti, možemo pretpostaviti da se točka P nalazi u ishodištu koordinatnog sustava i da su tangente krivulja zakrivljenosti točkom P u smjeru x, odnosno y osi.
	(Subscript[K, n])=(Subscript[K, 1])(cos^2)α+(Subscript[K, 2])(sin^2)α
	cosα=(x/(OverBar[PT]))=x (Sqrt[|(Subscript[K, n])|])  ((/)^2),		sinα=(y/(OverBar[PT]))=y(Sqrt[|(Subscript[K, n])|]) ((/)^2)
	(cos^2)α =± (x^2)  (Subscript[K, n]),			(sin^2)α=± (y^2)  (Subscript[K, n])
Uvrstimo li dobivene izraze u Eulerovu formulu, slijedi jednadžba Dupinove indikatrise:
	(Subscript[K, 1])(x^2)+(Subscript[K, 2])(y^2)=±1.						(35) 

U općem slučaju, kad je  (Subscript[K, n])=(((Ldu^2)+2Mdudv+(Ndv^2))/((Edu^2)+2Fdudv+(Gdv^2))) jednadžba Dupinove indikatrise je
	(Lx^2)+2Mxy+(Ny^2)=±1. 					(36)
I prema Dupinovovoj indikatrisi se može zaključiti o obliku plohe oko neke točke!

Dupinova indikatrisa s obzirom na vrstu točaka na plohi.

S obzirom na vrstu točaka na plohi razlikujemo 3 slučaja:
1)	U eliptičkim točkama je sign (Subscript[K, 1])=(Subscript[signK, 2]) ((Subscript[signR, 1])=(Subscript[signR, 2]))  	
	->   Dupinova indikatrisa je elipsa 
		
		Slika 11.2
	U kružnim točkama je (Subscript[K, 1])=(Subscript[K, 2]) ((Subscript[R, 1])=(Subscript[R, 2])=R)     ->    Dupinova indikatrisa je kružnica
2)	U hiperboličnim točkam je sign (Subscript[K, 1])≠sign (Subscript[K, 2]) ( sign (Subscript[R, 1])≠sign (Subscript[R, 2]))   
	->   Dupinova indikatrisa je hiperbola
	Radi se u stvari o dvije takozvane konjugirane hiperbole:
	(Subscript[K, 1])(x^2)+(Subscript[K, 2])(y^2)=1    (puna linija)    i   (Subscript[K, 1])(x^2)+(Subscript[K, 2])(y^2)=-1    (crtkana linija), odnosno, 
	((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))=1    (puna linija)   i	((x^2)/(a^2))-((y^2)/(b^2))=-1    (crtkana linija), gdje je (Subscript[K, 1])=(1/(a^2)), (Subscript[K, 2])=(1/(b^2))	
			
		Slika 11.3
3)	U paraboličkim točkama razlikujemo:
	a)  (Subscript[K, 1])=0, (Subscript[K, 2])≠0;			(Subscript[K, 1])≠0, (Subscript[K, 2])=0
	      y=±(Sqrt[(1/(Subscript[K, 2]))])			x=±(Sqrt[(1/(Subscript[K, 1]))])
	      Dupinova indikatrisa se raspala u dva paralelna pravca. 
			     
		Slika 11.4
	b)  (Subscript[K, 1])=0, (Subscript[K, 2])=0
	     Jednadžba Dupinove indikatrise bi u točki spljoštenosti glasila: 0 = ±1, što ne može biti. Dakle, ne postoji.
	     Napomenimo da okolina ravninske točke može biti veoma komplicirana već prema obliku krivulje zakrivljenosti u uočenoj točki.

Zadaci

01 	Zadana je sfera  S... (Overscript[r, ⟶])(u, v) = (r  cos u sin v)(Overscript[i, ⟶])+(r sin u sin v)(Overscript[j, ⟶])+r cos v(Overscript[k, ⟶]), u∈[0,2π], v∈[0,π].
		  	       
	Ispisati Eulerov poučak i pomoću njega izračunati zakrivljenost normalnog presjeka za kut α = π/3. Odrediti jednadžbu Dupinove indikatrise u proizvoljnoj točki.

Ovaj zadatak u stvari ne bismo trebali rješavati jer su, kao što znamo, točke sfere umbiličke i zakrivljenost svakog normalnog presjeka iznosi (Subscript[K, n])=(Subscript[K, 1])=(Subscript[K, 2])=(1/r), gdje je r polumjer sfere.
	Ipak, vježbe radi:
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=(r^2)(sin^2) v
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=0
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=(r^2)  
		W=(Sqrt[E G -(F^2)])=(r^2) sin v 
		L=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), u u]))=r (sin^2) v
M=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), u v]))=0
N=(1/W)((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), v]) · (Subscript[(Overscript[r, ->]), v v]))=r 
		Eulerov poučak:  (Subscript[K, n])=(Subscript[K, 1])(cos^2)α+(Subscript[K, 2])(sin^2)α
		(Subscript[K, 1])=(L/E)=(1/r),   (Subscript[K, 2])=(N/G)=(1/r),    α=(π/3)       ->      (Subscript[K, n])=(1/r)(cos^2)(π/3)+(1/r)(sin^2)(π/3)= (1/r), što je očekivani rezultat
		Jednadžba Dupinive indikatrise:   (Subscript[K, 1])(x^2)+(Subscript[K, 2])(y^2)=±1     ->     (1/r)(x^2)+(1/r)(y^2)=±1      ->     (x^2)+(y^2)=r,   kružnica polumjera (Sqrt[r])

02 	Zadan je rotacioni elipsoid  (Overscript[r, ⟶])(u, v) = (a  cos u sin v)(Overscript[i, ⟶])+(a sin u sin v)(Overscript[j, ⟶])+b cos v(Overscript[k, ⟶]), u∈[0,2π], v∈[0,π], a>b.
	Sve što se traži izračunati u točki  T (u = 0 , v = π/2 ).  
	a)	Izračunati koeficijente prve i druge kvadratne forme te napisati izraz za normalnu zakrivljenost.
	b)	Naći glavne zakrivljenosti, glavne smjerove i krivulja zakrivljenosti.
	c)	Ispisati Eulerov poučak i pomoću njega izračunati zakrivljenost normalnog presjeka za kut α = π/3. 
	d)	Naći jednadžbu Dupinove indikatrise.

Rješenje.
	a)	Derivacije nađite sami. U točki T imamo da je:
		E=(a^2),     F=0,      G=(b^2)  
		W=a b 
		L=a,       M=0,      N=a		
		(Subscript[K, n])=(II/I)=((a  (du^2) + a (dv^2))/((a^2) (du^2)  + (b^2) (dv^2)))
	b)	F=M=0   ->   u- i v- krivulje su krivulje zakrivljenosti;  u- krivulje su paralele, v- krivulje su meridijani
		Za u- krivulju  (dv = 0)   je  (Subscript[K, u])=(1/a) ;		glavni smjer:     du:dv =1:0   
		Za v- krivulju  (du = 0)  je  (Subscript[K, v])=(a/(b^2));		glavni smjer:     du:dv =0:1 
		a>b    →   (a/(b^2))>(1/a)     →    (Subscript[K, 1])=(a/(b^2)),  (Subscript[K, 2])=(1/a)   
		Napomena: Zbog a>b je u točki T (u =0,v =π/2) koja se nalazi na ekvatoru zakrivljenost meridijana veća od zakrivljenosti paralele, tj. (Subscript[K, v])>(Subscript[K, u]) pa je jasno da mora biti (Subscript[K, v])=(Subscript[K, 1]), (Subscript[K, u])=(Subscript[K, 2]).
	c)	Eulerov poučak:  (Subscript[K, n])=(Subscript[K, 1])(cos^2)α+(Subscript[K, 2])(sin^2)α    →    (Subscript[K, n])=(a/(b^2))(cos^2)(π/3)+(1/a)(sin^2)(π/3)= (1/(2a))(((a^2)/(b^2))+(Sqrt[3]))
	d)	Jednadžba Dupinive indikatrise:   (Subscript[K, 1])(x^2)+(Subscript[K, 2])(y^2)=±1   ->   (a/(b^2))(x^2)+(1/a)(y^2)=±1/· (1/a)      ->     ((x^2)/((b^2)/a))+((y^2)/a)=1; elipsa

03 	Ploha S zadana je parametrizacijom
	(({{x=u cos v}, {y=u sin v}, {z=2 v       }})	u, v ∈ ℝ  			  
	a)	Naći Gaussovu i srednju zakrivljenost plohe.
		Naći glavne zakrivljenosti, glavne smjerove i linije zakrivljenosti.
	b)	Pomoću Eulerovog poučka izračunati zakrivljenost normalnog presjeka u točki P(u, v) = P(2, π/4) za kut  α = π/3. 
	c)	Napisati jednadžbu Dupinove indikatrise u točki P. 	 
	
	Let S be the surface defined by the parametric representation 
	(({{x=u cos v}, {y=u sin v}, {z=2 v       }})	u, v ∈ ℝ		  
	a)	Find the Gaussian and mean curvature; 
		Find the the principal curvatures, principal directions and lines of curvature. 
	b)	Use the Euler's theorem for finding (Subscript[K, n]) in P(u, v) = P(2, π/4); α = (60^o). 
	c)	Find the Dupin's indicatrix in P.

Rješenje / Solution

Prva i druga kvadratna forma / First and second fundamental form

Clear[r,u,v,L,M,NN,H,K, Kn,α]
r[u_,v_]:={u Cos[v],u Sin[v],2v}

(Subscript[r, u])=(∂_u)(r[u,v]);
(Subscript[r, v])=(∂_v)(r[u,v]);
(Subscript[r, uu])=(∂_(u,u))(r[u,v]);
(Subscript[r, uv])=(∂_(u,v))(r[u,v]);
(Subscript[r, vv])=(∂_(v,v))(r[u,v]);
normalaplohe=(Subscript[r, u])\[Cross](Subscript[r, v]);

EE=(Subscript[r, u]).(Subscript[r, u]);
EE=Simplify[EE]

F=(Subscript[r, u]).(Subscript[r, v])

G=(Subscript[r, v]).(Subscript[r, v]);
G=Simplify[G]

W=Sqrt[EE G - (F^2)]

L=(1/W)((Subscript[r, u])\[Cross](Subscript[r, v]).(Subscript[r, uu]));
L=Simplify[L]

M=(1/W)((Subscript[r, u])\[Cross](Subscript[r, v]).(Subscript[r, uv]));
M=Simplify[%]

NN=(1/W)((Subscript[r, u])\[Cross](Subscript[r, v]).(Subscript[r, vv]));
NN=Simplify[%]

Normalna zakrivljenost / Normal curvature

II=L (du^2)+2M du dv+NN (dv^2)

NormZakr=((L (du^2)+2M du dv+NN (dv^2))/(EE (du^2)+2F du dv+G (dv^2)))

Glavne, totalna i srednja zakrivljenost / Principal curvatures, Gaussian and mean curvature

Solve[(((Kn))^2)-((EE NN -2F M + L G)/(EE G - (F^2)))(Kn)+((L NN - (M^2))/(EE G - (F^2)))==0,Kn]

K1=(2/(Sqrt[16+8 (u^2)+(u^4)]));
K2=-(2/(Sqrt[16+8 (u^2)+(u^4)]))  ;  
K1=Simplify[K1]
K2=Simplify[K2]

H=((EE NN -2F M + L G)/(2(EE G - (F^2))))

K=((L NN - (M^2))/(EE G - (F^2)))

Glavni smjerovi i glavne krivulje zakrivljenosti / Principal directions and lines of curvature

Solve[(μ^2)(F L - EE M)+μ(G L - EE NN)+(G M - F NN)==0,μ]

(Subscript[μ, 1]) = ((d u)/(d v))=(Sqrt[4+(u^2)])    ->   d u=(Sqrt[4+(u^2)])d v      ->     d v=(1/(Sqrt[4+(u^2)]))d u

(Subscript[μ, 2]) = ((d u)/(d v))=-(Sqrt[4+(u^2)])    ->   d u=-(Sqrt[4+(u^2)])d v      ->     d v=-(1/(Sqrt[4+(u^2)]))d u

DSolve[v'[u]  == (1/(Sqrt[4+(u^2)])), v[u],u]

DSolve[v'[u]  == -(1/(Sqrt[4+(u^2)])), v[u],u]

Eulerov poučak i primjena / Euler's theorem

α=(π/3);
(Subscript[K, n])=K1 (((Cos[α]))^2)+K2 (((Sin[α]))^2);Print["(Subscript[K, n])=",(Subscript[K, n])]

u=2;
v=Pi/4;
(Subscript[K, n])=K1 (((Cos[α]))^2)+K2 (((Sin[α]))^2);Print["(Subscript[K, n])=",(Subscript[K, n])]

Dupinova indikatrisa / Dupin's indicatrix

DI=L (x^2)+2M xy +NN (y^2)

Print["±1=",DI]

Vizualizacija / Visualisation

Ploha, Dupinova indikatrisa (narančasta krivulja) u tangencijalnoj ravnini plohe točkom P, glavne krivulje zakrivljenosti (plava i crvena krivulja) / Surface, Tangent plane and Dupin’s indicatrix (orange line) in the point P (u, v) = P (2, π/4), Lines of curvature (blue line and red line)

Sažetak poglavlja

Izvod Eulerove formule.
Izvod jednadžbe Dupinove indikatrise za slučaj kad je koordinatna mreža plohe mreža njenih krivulja zakrivljenosti.
Jednadžba Dupinove indikatrise u općem slučaju.
Jednadžba Dupinove indikatrise s obzirom na vrstu točaka na plohi.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju primijeniti Eulerov poučak za izračunavanje normalne zakrivljenosti u nekoj točki plohe, u određenom smjeru. Moći će odrediti jednadžbu Dupinovu indikatrisu u točki plohe, objasniti vezu  između oblika Dupinove ondikatrise i vrste točaka na plohi, te razumjeti vezu između oblika Dupinove ondikatrise i Gaussove zakrivljenosti plohe.