Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

III  PLOHE

12  GEODETSKE KRIVULJE;  DERIVACIONE FORMULE

Weingartenove i Gaussove derivacione formule

Derivacione formule za plohu su analogon Frenet-Serretovih formula za krivulje. One izražavaju derivacije vektorskih funkcija (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]), (Overscript[(N^o), ⟶]) kao linearnu kombinaciju tih funkcija a koeficijenti su funkcije Gaussovih veličina prvog i drugog reda. 
Weingartenove derivacione formule daju izraze za (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]), (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])  dok Gaussove određuju  (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) .

Weingartove derivacione  formule

Weingartenove derivacione formule:
	({{(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]) =((FM - GL)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((FL - EM)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])}, {(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) =((FN - GM)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((FM - EN)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])}})						(37)	
Ako su krivulje zakrivljenosti plohe ujedno parametarske linije plohe (F = M =0) dobiva se specijalni slučaj formula (9) poznat pod nazivom Rodriguesove derivacione formule:
	({{(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]) =-(L/E)(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])=-(Subscript[K, 1])(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])}, {(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) =-((N )/G)(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=-(Subscript[K, 2])(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])}}) 							(38)

Izvod Weingartenovih derivacionih formula  (za one koji žele znati više)

Neka je (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v) karta plohe klase ≥ 2. Tada su  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]),(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) i(Overscript[ (N^o), ⟶]) funkcije klase (C^1) i imaju neprekidne derivacije (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) , (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])  i  (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]).
U točki P plohe koja je obuhvaćena kartom, vektori (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]), (Overscript[(N^o), ⟶]) nisu komplanarni pa se mogu uzeti kao vektori trobrida. No, oni općenito nisu međusobno okomiti. Međutim znamo da je vektor (Overscript[(N^o), ⟶]) = (( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]))/W) okomit na  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) i na tangencionalnu ravninu τ točkom P. Budući da je | (Overscript[(N^o), ⟶])| = 1,  (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])  i  (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])  su okomiti na  (Overscript[(N^o), ⟶]), pa  (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])  i  (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) leže u tangencionalnoj ravnini plohe.
Dakle (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]),  (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) i  (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) su komplanarni, tj. postoje brojevi α, β, γ, δ takvi da je 	
	({{(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])=α(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+β(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])}, {(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])=γ(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+δ(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])}})	 							 (Subscript[(i), 1,2])
Množenjem jednakosti (Subscript[(i), 1]) s (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])  a zatim s (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) dobivamo 	
	({{(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])=α(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+β(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])=αE+βF}, {(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=α(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+β(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=αF+βG}})					(ii)
Deriviramo (Overscript[(N^o), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])= 0  i  (Overscript[(N^o), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])= 0  po u i v:
	({{(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+(Overscript[(N^o), ⟶])(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uu]) =0       →  (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])=-L }, {(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+(Overscript[(N^o), ⟶])(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uv]) =0       →  (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])=-M}, {(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+(Overscript[(N^o), ⟶])(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), vu]) =0       →  (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=-M}, {(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+(Overscript[(N^o), ⟶])(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), vv]) =0      →  (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=-N}}))
Sustav (ii) sada glasi 
	({{-L =αE+βF}, {-M =αF+βG}})	
Ovaj susutav ima jednoznačno riješenje (α, β) budući da je determinanta |({{E, F}, {F, G}})| = EG - (F^2) = |(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])| ≠ 0. Prema Cramerovom  pravilu,
	α = ((|({{-L, F}, {-M, G}})|)/(|({{E, F}, {F, G}})|))= ((FM - GL)/(W^2)),		β = ((|({{E, -L}, {F, -M}})|)/(|({{E, F}, {F, G}})|))= ((FL - EM)/(W^2)).		
γ i δ bi dobili analognim pustupkom, množeći jednadžbu (Subscript[(i), 2]) s (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) a  zatim s (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]):
	γ = ((FN - GM)/(W^2)),	δ = ((FM - EN)/(W^2))
Jednakosti (i) možemo sada pisati u obliku	
	(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]) =((FM - GL)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((FL - EM)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])
	(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) =((FN - GM)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((FM - EN)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]),
čime smo izveli Weingartenove derivacione formule.◼

Gaussove derivacione formule

Gaussove derivacione formule
	(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])=((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))G - ((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))F)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))E - ((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))F)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W)(Overscript[ (N^o), ⟶])
                                                                                                     i=u,v ;   j=u,v	(39)
	Ovim formulama su određeni vektori  (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) . Ispišite ih!

Izvod Gaussovih derivacionih formula  (za one koji žele znati više)

Neka su zadana tri nekomplanarna vektora (Overscript[a, ⟶]), (Overscript[b, ⟶]) i (Overscript[c, ⟶]) (uvjet nekomplanarnosti: ((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶])) ≠ 0). Svaki vektor (Overscript[d, ⟶]) prostora dade se prikazati kao njihova linearna kombinacija
	(Overscript[d, ⟶]) = α(Overscript[a, ⟶]) + β(Overscript[b, ⟶]) + γ(Overscript[c, ⟶])
i to na sljedeći način (vidi zadatak 10/Zbirka):
	(Overscript[d, ⟶])= ((((Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶]) (Overscript[d, ⟶])))/(((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶]))))(Overscript[a, ⟶]) + ((((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[d, ⟶]) (Overscript[c, ⟶])))/(((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶]))))(Overscript[b, ⟶]) + ((((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[d, ⟶])))/(((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶]))))(Overscript[c, ⟶]).				(i)
Budući da su (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]), (Overscript[(N^o), ⟶]) nekomplanarni vektori, to se svaki od vektora  (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) može prikazati kao njihova linearna kombinacija. Prema formuli (11) je:

	(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])= ((((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(Overscript[ (N^o), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/(( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(N^o), ⟶]))))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) + ((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]) (Overscript[ (N^o), ⟶])))/(( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(N^o), ⟶]))))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) + ((( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/(( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(N^o), ⟶]))))(Overscript[(N^o), ⟶]),			(ii)
gdje svaki od indeksa i, j može poprimiti vrijednosti u i v. 
Izračunajmo kao prvo mješoviti produkt iz nazivnika:
	( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(N^o), ⟶])) = ((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) × (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])) (Overscript[(N^o), ⟶])= ((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) × (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]))((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) × (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])))/(|(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) × (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])|))
		       = ((((|(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) × (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])|))^2)/(|(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) × (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])|))=|(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) × (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])| = (Sqrt[EG - (F^2)])
Koeficjenti uz  (Overscript[(N^o), ⟶]) postaju:
	((( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W)= (({{({{L,,   za  i=j=u}})     }, {({{M,, za  i=u, j=v}})}, {({{N,, za    i=j=v}})    }})
Izračunajmo još i koeficjente uz (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) i (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]):
	((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(Overscript[ (N^o), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])) = ((Overscript[ (N^o), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])  (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])) = ((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) × (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]))·((Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])×(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])))/W)= ((|({{(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]),  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])}, {(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]),  (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])}})|)/W)==((|({{(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]), F}, {(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]), G}})|)/W),
		
	((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(Overscript[ (N^o), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])) = ((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))G - ((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))F)/W),  odnosno 	  ((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])  (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]) (Overscript[ (N^o), ⟶])) = ((((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])  (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))E - ((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))F)/W).
Jednakost (ii) sada glasi:
	(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])=((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))G - ((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))F)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))E - ((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))F)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W)(Overscript[ (N^o), ⟶]),
                                                                                                                 i=u,v ;   j=u,v
Ovime smo izveli Gaussove derivacione formule.◼

Christoffelovi   simboli

Christoffelovim simbolima prve i druge vrste pojednostavnjuje se zapis i olakšava upotreba Gaussovih derivacionih formula.

Christoffelovi simboli prve vrste

Definicija:
	 [({{({{i, j}})}, {k}})]=(Subscript[Γ, ij,k])=(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶])								(40)
Christoffelovi simboli prve vrste su izrazi za skalarne produkte (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶]).
Zbog  (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶])= (Overscript[(Subscript[r, ji]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶])  slijedi da je   [({{({{i, j}})}, {k}})] =  [({{({{j, i}})}, {k}})].
Izračunavanje:
	((∂( (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶]) ))/(∂i))= (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶]) + (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, ik]), ⟶]) =  [({{({{i, j}})}, {k}})] + [({{({{i, k}})}, {j}})] ,
	((∂( (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶]) ))/(∂i))= (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶]) + (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, ik]), ⟶]) =  [({{({{i, j}})}, {k}})] + [({{({{i, k}})}, {j}})] ,
	((∂( (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶]) ))/(∂i))= (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶]) + (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, ik]), ⟶]) =  [({{({{i, j}})}, {k}})] + [({{({{i, k}})}, {j}})] .
	Zbrojimo li prve dvije jednakosti i oduzmemo li od njih treću, slijedi
	(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶])=[({{({{i, j}})}, {k}})] = (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶]) ))/(∂i))+((∂( (Overscript[(Subscript[r, i]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶]) ))/(∂j))-((∂( (Overscript[(Subscript[r, i]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶]) ))/(∂k))],    i,j,k = u,v	(41)

Christoffelovi simboli druge vrste

Definicija:
	{({{({{i, j}})}, {u}})}=(Subscript[Γ, ij]^u) ,     {({{({{i, j}})}, {v}})}= (Subscript[Γ, ij]^v)  							(42)
Izračunavanje:
	{({{({{i, j}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, ij]^u)= (( [({{({{i, j}})}, {u}})]G -  [({{({{i, j}})}, {v}})]F)/(EG-(F^( 2))))= ((((Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])(Overscript[ (N^o), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W) ,
                                                                                      i = u,v ;  j = u,v
{({{({{i, j}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, ij]^v)= (( [({{({{i, j}})}, {v}})]E -  [({{({{i, j}})}, {u}})]F)/(EG-(F^( 2))))= ((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])(Overscript[ (N^o), ⟶])))/W) 			(43)
Vrijedi: 
	    {({{({{i, j}})}, {k}})} = {({{({{j, i}})}, {k}})},     k=u,v

Skalarni produkti (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, k]), ⟶])  (Christoffelovi simboli prve vrste) izraženi pomoću Gaussovih veličina prvog reda i njihovih derivacija

Formule (44):
	(Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) =  [({{({{u, u}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, uu,u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂u))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂u))] =(1/2)(Subscript[E, u]),
	(Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) =  [({{({{u, u}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, uu,v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂v))] =(Subscript[F, u])-(1/2)(Subscript[E, v]),
	(Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) =  [({{({{u, v}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, uv,u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))] =(1/2)(Subscript[E, v]),
	(Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) =  [({{({{u, v}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, uv,v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))] =(1/2)(Subscript[G, u]),
	(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) =  [({{({{v, v}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, vv,u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))] =(Subscript[F, v])-(1/2)(Subscript[G, u]),
	(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) =  [({{({{v, v}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, vv,v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))+((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))] =(1/2)(Subscript[G, v]).

Christoffelovi simboli druge vrste izraženi pomoću Gaussovih veličina prvog reda i njihovih derivacija

Formule (45):
 	{({{({{u, u}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, uu]^u)= ((G (Subscript[E, u])-  2F (Subscript[F, u])+ F (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2))))),
 	{({{({{u, u}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, uu]^v)= ((-F (Subscript[E, u])+  2E (Subscript[F, u])- E (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2))))),
 	{({{({{u, v}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, uv]^u)= ((G (Subscript[E, v])-  F (Subscript[G, u]) )/(2(EG-(F^( 2))))),
 	{({{({{u, v}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, uv]^v)= ((E (Subscript[G, u])-  F (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2))))),
 	{({{({{v, v}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, vv]^u)= ((- F (Subscript[G, v])+  2G (Subscript[F, v])- G (Subscript[G, u]))/(2(EG-(F^( 2))))),
 	{({{({{v, v}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, vv]^v)= ((E (Subscript[G, v])-  2F (Subscript[F, v])+ F (Subscript[G, u]))/(2(EG-(F^( 2))))).
 Gaussove derivacione formule (39) možemo sada zapisati ovako:
 	(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])=(( [({{({{i, j}})}, {u}})]G -  [({{({{i, j}})}, {v}})]F)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) + (( [({{({{i, j}})}, {v}})]E -  [({{({{i, j}})}, {u}})]F)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) + ((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W)(Overscript[ (N^o), ⟶]), odnosno,
 	(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])={({{({{i, j}})}, {u}})}(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) + {({{({{i, j}})}, {v}})}(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) + ((((Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W)(Overscript[ (N^o), ⟶]),	  i = u,v;  j = u,v.
Gauss-Weingartenove derivacione formule, zajedno:
 
  	     (Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uu])={({{({{u, u}})}, {u}})}(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) + {({{({{u, u}})}, {v}})}(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) + L(Overscript[ (N^o), ⟶]), 
(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uv])={({{({{u, v}})}, {u}})}(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) + {({{({{u, v}})}, {v}})}(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) + M(Overscript[ (N^o), ⟶]),             
     (Subscript[(Overscript[r, ⟶]), vv])={({{({{v, v}})}, {u}})}(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) + {({{({{v, v}})}, {v}})}(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) + N(Overscript[ (N^o), ⟶]), 
({{   (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]) =((FM - GL)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((FL - EM)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]),}, {      (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) =((FN - GM)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((FM - EN)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]).}})                 
 Posebni slučaj, kada su u- i v- linije ujedno i krivulje zakrivljenosti ispišite sami!

Zadaci

01 	Naći Christoffelove simbole prve i druge vrste za slučaj kada je prva kvadratna forma oblika  d (s^2)=d (u^2)+(sin^2)u d (v^2).

Rješenje:
		E=1,   F=0,   G=(sin^2) u,	 W=(Sqrt[E G -(F^2)])=sin u,    
		(Subscript[E, u])=(Subscript[E, v])=0,   (Subscript[F, u])=(Subscript[F, v])=0,   (Subscript[G, u])=2sin u cos u=sin2 u,   (Subscript[G, v])=0
	a)	Christoffelove simbole prve vrste računaju se po formulama
		(Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) =  [({{({{u, u}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, uu,u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂u))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂u))] =(1/2)(Subscript[E, u])     	->	[({{({{u, u}})}, {u}})]=0
		(Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) =  [({{({{u, u}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, uu,v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂v))] =(Subscript[F, u])-(1/2)(Subscript[E, v])	->	 [({{({{u, u}})}, {v}})]=0
		(Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) =  [({{({{u, v}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, uv,u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))] =(1/2)(Subscript[E, v])	->	 [({{({{u, v}})}, {u}})]=0
		(Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) =  [({{({{u, v}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, uv,v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))] =(1/2)(Subscript[G, u])	->	 [({{({{u, v}})}, {v}})]=sin u cos u
		(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) =  [({{({{v, v}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, vv,u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))] =(Subscript[F, v])-(1/2)(Subscript[G, u])	->	 [({{({{v, v}})}, {u}})]=- sin u cos u
		(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) =  [({{({{v, v}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, vv,v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))+((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))] =(1/2)(Subscript[G, v])	->	 [({{({{v, v}})}, {v}})]=0

b)	Christoffelove simbole druge vrste računaju se po formulama
		{({{({{u, u}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, uu]^u)= ((G (Subscript[E, u])-  2F (Subscript[F, u])+ F (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2)))))			->	{({{({{u, u}})}, {u}})}=0
 		{({{({{u, u}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, uu]^v)= ((-F (Subscript[E, u])+  2E (Subscript[F, u])- E (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2)))))			->	{({{({{u, u}})}, {v}})}=0
 		{({{({{u, v}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, uv]^u)= ((G (Subscript[E, v])-  F (Subscript[G, u]) )/(2(EG-(F^( 2)))))				->	{({{({{u, v}})}, {u}})}=0
 		{({{({{u, v}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, uv]^v)= ((E (Subscript[G, u])-  F (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2)))))				->	{({{({{u, v}})}, {v}})}=((2sin u cos u)/(2(sin^2) u))=(( cos u)/(sin u))
 		{({{({{v, v}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, vv]^u)= ((- F (Subscript[G, v])+  2G (Subscript[F, v])- G (Subscript[G, u]))/(2(EG-(F^( 2)))))		->	{({{({{v, v}})}, {u}})}=((- (sin^2) u  2sin u cos u)/(2(sin^2) u))=- sin u cos u
 		{({{({{v, v}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, vv]^v)= ((E (Subscript[G, v])-  2F (Subscript[F, v])+ F (Subscript[G, u]))/(2(EG-(F^( 2)))))			->	{({{({{v, v}})}, {v}})}=0

02 	Naći Christoffelove simbole prve i druge vrste te ispisati Gauss-Weingartenove derivacione formule za slučaj kada je prva kvadratna forma oblika  d (s^2)=d (u^2)+(e^(2 u))d (v^2).

Rješenje:
		E=1,   F=0,   G=(e^(2 u)),	 W=(Sqrt[E G -(F^2)])=(e^( u)),    
		(Subscript[E, u])=(Subscript[E, v])=0,   (Subscript[F, u])=(Subscript[F, v])=0,   (Subscript[G, u])=2(e^(2 u)),   (Subscript[G, v])=0
	a)	Christoffelove simbole prve vrste računaju se po formulama
		(Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) =  [({{({{u, u}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, uu,u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂u))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂u))] =(1/2)(Subscript[E, u]) 		->	 [({{({{u, u}})}, {u}})]=0
		(Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) =  [({{({{u, u}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, uu,v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂v))] =(Subscript[F, u])-(1/2)(Subscript[E, v])		->	 [({{({{u, u}})}, {v}})]=0
		(Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) =  [({{({{u, v}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, uv,u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))] =(1/2)(Subscript[E, v])		->	 [({{({{u, v}})}, {u}})]=0
		(Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) =  [({{({{u, v}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, uv,v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))] =(1/2)(Subscript[G, u])		->	 [({{({{u, v}})}, {v}})]=(e^(2 u))
		(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) =  [({{({{v, v}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, vv,u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂u))] =(Subscript[F, v])-(1/2)(Subscript[G, u])		->	 [({{({{v, v}})}, {u}})]=- (e^(2 u))
		(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) =  [({{({{v, v}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, vv,v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))+((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))-((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) ))/(∂v))] =(1/2)(Subscript[G, v])		->	 [({{({{v, v}})}, {v}})]=0

b)	Christoffelove simbole druge vrste računaju se po formulama
		{({{({{u, u}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, uu]^u)= ((G (Subscript[E, u])-  2F (Subscript[F, u])+ F (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2)))))			->	{({{({{u, u}})}, {u}})}=0
 		{({{({{u, u}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, uu]^v)= ((-F (Subscript[E, u])+  2E (Subscript[F, u])- E (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2)))))			->	{({{({{u, u}})}, {v}})}=0
 		{({{({{u, v}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, uv]^u)= ((G (Subscript[E, v])-  F (Subscript[G, u]) )/(2(EG-(F^( 2)))))				->	{({{({{u, v}})}, {u}})}=0
 		{({{({{u, v}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, uv]^v)= ((E (Subscript[G, u])-  F (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2)))))				->	{({{({{u, v}})}, {v}})}=((2(e^(2 u)))/(2(e^(2 u))))=1
 		{({{({{v, v}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, vv]^u)= ((- F (Subscript[G, v])+  2G (Subscript[F, v])- G (Subscript[G, u]))/(2(EG-(F^( 2)))))		->	{({{({{v, v}})}, {u}})}=((- 2(e^(2 u))(e^(2 u)))/(2(e^(2 u))))=-(e^(2 u))
 		{({{({{v, v}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, vv]^v)= ((E (Subscript[G, v])-  2F (Subscript[F, v])+ F (Subscript[G, u]))/(2(EG-(F^( 2)))))			->	{({{({{v, v}})}, {v}})}=0

c)	Gauss-Weingartenove derivacione formule
		(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uu])={({{({{u, u}})}, {u}})}(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) + {({{({{u, u}})}, {v}})}(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) + L(Overscript[ (N^o), ⟶])		->	(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uu])=0·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+0·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+L(Overscript[ (N^o), ⟶])=L(Overscript[ (N^o), ⟶])	
		(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uv])={({{({{u, v}})}, {u}})}(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) + {({{({{u, v}})}, {v}})}(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) + M(Overscript[ (N^o), ⟶])		->	(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uv])=0·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+1·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+M(Overscript[ (N^o), ⟶])=(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+M(Overscript[ (N^o), ⟶])
		(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), vv])={({{({{v, v}})}, {u}})}(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) + {({{({{v, v}})}, {v}})}(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) + N(Overscript[ (N^o), ⟶])		->	(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), vv])=-(e^(2 u))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+0·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+N(Overscript[ (N^o), ⟶])=-(e^(2 u))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+N(Overscript[ (N^o), ⟶])
		(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]) =((FM - GL)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((FL - EM)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])			->	(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]) =((FM - GL)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((FL - EM)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=(( - (e^(2 u))L)/(e^(2 u)))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+(M/(e^(2 u)))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=-L(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+(M/(e^(2 u)))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])
		(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) =((FN - GM)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((FM - EN)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])			->	(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) =((FN - GM)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((FM - EN)/(W^2))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=((- (e^(2 u))M)/(e^(2 u)))(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+(( - N)/(e^(2 u)))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])=-M(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+((- N)/(e^(2 u)))(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])

Sažetak poglavlja

Weingartenove derivacione formule.  
Gaussove derivacione formule.
Definicija i izračunavanje Christoffelovih simbola prve vrste.
Definicija i izračunavanje Christoffelovih simbola druge vrste.
Zapis Gaussovih derivacionih formula pomoću Christoffelovih simbola.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će moći iskazati ćemu služe Gauss-Weingartenove formule te će biti u stanju (uz pomoć formula) odrediti Christoffelove  simbole prve i druge vrste.