Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

III  PLOHE

13  GEODETSKE KRIVULJE;  GAUSSOV I BONNETOV TEOREM

Gaussov "Theorema egregium"

Teorem.  Gaussova zakrivljenost plohe klase ≥ 3 je funkcija samo prvih osnovnih veličina E, F i G  (i njihovih derivacija).

Rezultat teorema je sljedeća formula za izračunavanje Gaussove zakrivljenosti:
	K =(1/(W^4))(|({{E, F, (Subscript[F, v])-(1/2)(Subscript[G, u])}, {F, G, (1/2)(Subscript[G, v])}, {(1/2)(Subscript[E, u]), (Subscript[F, u])-(1/2)(Subscript[E, v]), (Subscript[F, uv])-(1/2)(Subscript[G, uu])-(1/2)(Subscript[E, vv])}})| - |({{E, F, (1/2)(Subscript[E, v])}, {F, G, (1/2)(Subscript[G, u])}, {(1/2)(Subscript[E, v]), (1/2)(Subscript[G, u]), 0}})|)	(46)

Izraz za K može se zapisati u obliku koji je nešto jednostavniji  (Frobenius):
	K= -(1/(4(W^4))) |({{E, (Subscript[E, u]), (Subscript[E, v])}, {F, (Subscript[F, u]), (Subscript[F, v])}, { G, (Subscript[G, u]), (Subscript[G, v])}})| +(1/(2W))[(∂/(∂u))((((Subscript[F, v])-(Subscript[G, u]))/W))+(∂/(∂v))((((Subscript[F, u])-(Subscript[E, v]))/W))]				(47)

Dokaz teorema  (za one koji žele znati više)

Neka je (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v) karta plohe klase ≥ 3.
Gaussova zakrivljenost K = ((LN - (M^2))/(E G -(F^2))).
Uvrstimo L, M, N u izraz za K:
	K = ((( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶]))( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])) - ((( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])))^2))/(W^4)).
Izrazi u brojniku su determinante pa ćemo primijeniti postupak množenja determinanti (vidi npr. Blanuša: Viša matematika I, 1 svezak, str.266), dodati i oduzeti  ((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2) i konačno ponovo posložiti u determinante. Dobije se 
	K(W^4)= |({{E, F,  (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) }, {F, G,  (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) }, { (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ,  (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) , (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])-((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2)}})| -|({{E, F,  (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) }, {F, G,  (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) }, { (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶]) ,  (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶]) , 0}})|,
što zapisano pomoću Christoffelovih simbola izgleda ovako:
	K(W^4)= |({{E, F,  [({{({{v, v}})}, {u}})]}, {F, G,  [({{({{v, v}})}, {v}})]}, { [({{({{u, u}})}, {u}})],  [({{({{u, u}})}, {v}})], (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])-((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2)}})| - |({{E, F,  [({{({{u, v}})}, {u}})]}, {F, G,  [({{({{u, v}})}, {v}})]}, { [({{({{u, v}})}, {u}})],  [({{({{u, v}})}, {v}})], 0}})|	(*)
Međutim, Christoffelove simbole možemo izraziti pomoću osnovnih veličina  E, F, G  i njihovih derivacija (formule 44). Pokazat ćemo da se tako muže prikazati i član (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])· (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) -  ((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2). Naime,
	({{((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) ))/(∂u))= (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) +(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, uvv]), ⟶])}, {((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶]) ))/(∂v))= ((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2) +(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, uvv]), ⟶])      }})|-
	 (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])· (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) -  ((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2)= ((∂[({{({{v, v}})}, {u}})])/(∂u))- ((∂ [({{({{u, v}})}, {u}})])/(∂v))= (Subscript[((Subscript[F, v])-(1/2)(Subscript[G, u])), u]) - (Subscript[((1/2)(Subscript[E, v])), v])= (Subscript[F, uv])-(1/2)(Subscript[G, uu])-(1/2)(Subscript[E, vv])	
Ovime je teorem dokazan budući da formula (*) poprima oblik
	K =(1/(W^4))( |({{E, F, (Subscript[F, v])-(1/2)(Subscript[G, u])}, {F, G,  (1/2)(Subscript[G, v])}, { (1/2)(Subscript[E, u]),  (Subscript[F, u])-(1/2)(Subscript[E, v]),   (Subscript[F, uv])-(1/2)(Subscript[G, uu])-(1/2)(Subscript[E, vv])}})| - |({{E, F,  (1/2)(Subscript[E, v])}, {F, G,  (1/2)(Subscript[G, u])}, { (1/2)(Subscript[E, v]),  (1/2)(Subscript[G, u]), 0}})| ) ◼

Bonettov “Osnovni teorem o plohama”

Uvjeti određenosti plohe pomoću fundamentalnih veličina

Do sada smo odgovorili na nekoliko pitanja teorije ploha za koje je bilo dovoljno poznavati njenu I i II kvadratnu formu. Naime, ako je zadana neka ploha jednom određenom kartom (OverVector[r]) = (OverVector[r])(u, v) koja je klase ≥ 2, jednoznačno su određene osnovne veličine E, F, G, L, M, N. Pomoću tih veličina i njihovih derevacija su jednoznačno određena geometrijska svojstva plohe kao na primjer duljina luka krivulje na plohi, kut između dviju krivulja, površina, zakrivljenost itd.
Bonettov teorem daje odgovor na obrnuto pitanje, tj. ako je dano 6 funkcija dvaju parametara u i v, da li tih 6 funkcija definiraju plohu tako da su one upravo njene osnovne veličine. Pokazuje se da izbor ovih 6 funkcija nije potpuno proizvoljan već da moraju biti ispunjeni neki dodatni uvjeti.
Oba uvjeta proizlaze iz činjenice da E, F, G, L, M i N  nisu međusobno nezavisne veličine nego zadovoljavaju:
(1^∘))	
	LN - (M^2) =(1/(W^2))(|({{E, F, (Subscript[F, v])-(1/2)(Subscript[G, u])}, {F, G,  (1/2)(Subscript[G, v])}, { (1/2)(Subscript[E, u]), (Subscript[F, u])-(1/2)(Subscript[E, v]),  (Subscript[F, uv])-(1/2)(Subscript[G, uu])-(1/2)(Subscript[E, vv])}})|-|({{E, F,  (1/2)(Subscript[E, v])}, {F, G,  (1/2)(Subscript[G, u])}, { (1/2)(Subscript[E, v]),  (1/2)(Subscript[G, u]), 0}})|)	(48)
	Gaussova jednadžba (slijedi iz formule (46))
(2^∘))
	({{(Subscript[L, v])-(Subscript[M, u])-H((Subscript[E, v])-(Subscript[F, u]))+ (1/(2(W^2)))|({{E, (Subscript[E, u]), L}, {F, (Subscript[F, u]), M}, { G, (Subscript[G, u]), N}})|=0}, {(Subscript[M, v])-(Subscript[N, u])-H((Subscript[F, v])-(Subscript[G, u]))+(1/(2(W^2)))|({{E, (Subscript[E, v]), L}, {F, (Subscript[F, v]), M}, { G, (Subscript[G, v]), N}})|=0}})					(49)
	Mainardi -Codazzi -Petersonove jednadžbe (navodimo ih bez dokaza)
jhgf	
Teorem.  Neka su E, F i G funkcije od u i v koje su klase (C^2) i neka su L, M  i N  funkcije od u i v koje su klase (C^1), sve definirane na otvorenom skupu koji sadrži ((Subscript[u, o]), (Subscript[v, o])) tako da je za sve (u, v)
	(i)  EG -(F^2)>0,   E>0,   G>0,  
	(ii)  E, F, G, L, M, N  zadovoljavaju jednadžbe (48) i (49).
Tada postoji karta (OverVector[r]) = (OverVector[r])(u, v) klase (C^3) definirana u okolini točke ((Subscript[u, o]), (Subscript[v, o])) za koju su E, F, G, L, M, N  prvi i drugi osnovni koeficijenti. Ploha određena takovom kartom je jedinstvena do svog položaja u prostoru. ◼
Dokaz preskačemo. Za dokaz bi nam bila potrebna teorija parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.
Drukčiji iskaz Bonettovog teorema:  Relacije (1^∘)) i (2^∘)) predstavljaju nužan i dovoljan uvjet da bi dvije kvadratne forme I=E (du^2)+2 F du dv+G (dv^2)   i   II=L (du^2)+2 M du dv+N (dv^2) predstavljale prvu i drugu formu neke plohe.

Zadaci

01 	Naći Gaussovu zakrivljenost za plohu čija je prva kvadratna forma oblika  d (s^2)=d (u^2)+(sin^2)u d (v^2).

Rješenje:
		E=1,   F=0,   G=(sin^2) u,	 W=(Sqrt[E G -(F^2)])=sin u,    
		(Subscript[E, u])=(Subscript[E, v])=0,   (Subscript[F, u])=(Subscript[F, v])=0,   (Subscript[G, u])=2sin u cos u=sin2 u,   (Subscript[G, v])=0
		K računamo po formuli:
		K=-(1/(4(W^4))) |({{E, (Subscript[E, u]), (Subscript[E, v])}, {F, (Subscript[F, u]), (Subscript[F, v])}, { G, (Subscript[G, u]), (Subscript[G, v])}})|+(1/(2W))[(∂/(∂u))((((Subscript[F, v])-(Subscript[G, u]))/W))+(∂/(∂v))((((Subscript[F, u])-(Subscript[E, v]))/W))]
		({{K= -(1/(4(sin^4)u)) |({{1, 0, 0}, {0, 0, 0}, { (sin^2) u, sin2 u, 0}})| +(1/(2sin u))[(∂/(∂u))(((-2sin u cos u)/(sin u)))+(∂/(∂v))((0/(sin u)))] }, {K=0+(1/(2sin u))[(∂/(∂u))(-2 cos u)+0]=((2sin u)/(2sin u))=1                                                               }})

02 	Naći Gaussovu zakrivljenost za plohu čija je prva kvadratna forma oblika  d (s^2)=d (u^2)+(e^(2 u))d (v^2).

Rješenje:
		E=1,   F=0,   G=(e^(2 u)),	 W=(Sqrt[E G -(F^2)])=(e^( u)),    
		(Subscript[E, u])=(Subscript[E, v])=0,   (Subscript[F, u])=(Subscript[F, v])=0,   (Subscript[G, u])=2(e^(2 u)),   (Subscript[G, v])=0
		({{K=-(1/(4(e^(2 u)))) |({{1, 0, 0}, {0, 0, 0}, { (e^(2 u)), 2(e^(2 u)), 0}})|+(1/(2(e^( u))))[(∂/(∂u))(((-2(e^(2 u)))/(e^( u))))+(∂/(∂v))((0/(e^( u))))]}, {K=0+(1/(2(e^( u)) ))[(∂/(∂u))(-2(e^( u)))+0]=((- 2(e^( u)))/(2(e^( u))))=-1                                      }})

Sažetak poglavlja

Gaussov “Theorema egregium”.
Bonettov “Osnovni teorem o plohama”.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju objasniti izričaj Gausovog i Bonettovog teorema. Gaussovu zakrivljenost plohe bit će u stanju računati samo pomoću prvih osnovnih veličina E, F i G.