Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

III  PLOHE

14  GEODETSKE KRIVULJE

Slika 14.1

Geodetska zakrivljenost

Definicija.  Neka je  α: I ⟶S  krivulja na plohi S i neka je κ njezina zakrivljenost. Geodetska zakrivljenost (Subscript[K, g]) krivulje α u nekoj točki P je zakrivljenost ortogonalne projekcije (OverBar[α])  te krivulje na tangencijalnu ravninu i dana je formulom
	(Subscript[K, g])=κ sin θ,								(50)
gdje je θ kut između glavne normale ((OverVector[n])^o) krivulje α i normale (OverVector[N]) na plohu u točki P (θ = ∠ ( ((OverVector[n])^o), (OverVector[N]))).

Zadatak. Dokazati formulu (50).

Vidi sliku 14.1.
Neka je S ploha zadana jednadžbom (OverVector[r])=(OverVector[r])(u,v) i α: I ⟶S  krivulja na plohi zadana svojom prirodnom parametrizacijom  (OverVector[r]) = (OverVector[r])(s)=(OverVector[r])(u(s),v(s)).
Pretpostavljamo da su vektorske funkcije kojima su ploha i krivulja zadane dovoljan broj puta diferencijabilne.
Kao prvo trebamo odrediti jednadžbu krivulje (OverBar[α]). U tu svrhu neka je (OverVector[(N^o)]) jedinični vektor normale plohe u nekoj točki P, (Subscript[(OverVector[r]), o]) radijus vektor točke P i (OverVector[ρ])=(OverVector[ρ])(s) jednadžba krivulje (OverBar[α]) tj. radijus vektor bilo koje njene točke. 
Tangencijalna ravnina τ u točki P ima jednadžbu ((OverVector[ρ])-(Subscript[(OverVector[r]), o]))·(OverVector[(N^o)])=0, koju možemo zapisati u obliku (OverVector[ρ])(OverVector[(N^o)])-(Subscript[(OverVector[r]), o])(OverVector[(N^o)])=0 odnosno
	 (OverVector[ρ])(OverVector[(N^o)])=(Subscript[(OverVector[r]), o])(OverVector[(N^o)]).								(*)
Prilikom projekcije krivulje α na ravninu τ, bilo koja točka T ∈ α preslikava se u točku (OverBar[T]) ∈ (OverBar[α]), pri čemu je
	(Overscript[T(OverBar[T]), →])=(Underscript[(OverVector[ρ])-(OverVector[r])(s) =k·(OverVector[(N^o)]), —————————]), 		k – skalar			(**)
Relaciju kojom je određen skalar k dobit ćemo množenjem (Overscript[T(OverBar[T]), →]) s (OverVector[(N^o)]) , a koristit ćemo i (*):  
	(Overscript[T(OverBar[T]), →])=(OverVector[ρ])-(OverVector[r])(s) =k·(OverVector[(N^o)]) / ·(OverVector[(N^o)])
	k=(OverVector[ρ])(OverVector[(N^o)])-(OverVector[r])(OverVector[(N^o)])(Overscript[=, (*)])((Subscript[(OverVector[r]), o])-(OverVector[r]))(OverVector[(N^o)]) 
Kad dobiveni k uvrstimo u (**) slijedi
	(OverVector[ρ])-(OverVector[r])(s)= [((Subscript[(OverVector[r]), o])-(OverVector[r]))(OverVector[(N^o)])](OverVector[(N^o)]), 
odnosno jednadžba ortogonalne projekcije krivulje α na ravninu τ:
(OverBar[α])……(OverVector[ρ])=(OverVector[r])(s)+ [((Subscript[(OverVector[r]), o])-(OverVector[r]))(OverVector[(N^o)])](OverVector[(N^o)])						(51)
Računamo dalje derivacije (OverVector[ρ])' i (OverVector[ρ])'' kako bismo mogli odrediti zakrivljenost (OverBar[κ]) krivulje (OverBar[α]) prema formuli  (OverBar[κ])=((|(OverVector[ρ])'×(OverVector[ρ])''|)/(|(OverVector[ρ])'(|^3))):
	(OverVector[ρ])'=(OverVector[r])'(s)- ((OverVector[r])'(s)(OverVector[(N^o)]))(OverVector[(N^o)]),			pazi:  (OverVector[(N^o)]) je funkcija od u i v!
	(OverVector[ρ])''=(OverVector[r])''(s)- ((OverVector[r])''(s)(OverVector[(N^o)]))(OverVector[(N^o)]),
	(((OverVector[ρ])')^2)=(Underscript[(((OverVector[r])')^2), =1])- 2((((Underscript[(OverVector[r])'(OverVector[(N^o)]), =0])))^2)+((((Underscript[(OverVector[r])'(OverVector[(N^o)]), =0])))^2)(Underscript[((OverVector[(N^o)])^2), =1]),	
	((OverVector[r])'= ((OverVector[t])^o)((/)^2)  ⇒   (((OverVector[r])')^2)= 1,      ((OverVector[t])^o)⊥ (OverVector[(N^o)])  ⇒  (OverVector[r])'· (OverVector[(N^o)])= 0)
	(((OverVector[ρ])')^2)= 1
         |(OverVector[ρ])'(|^2)= 1
Izraz za zakrivljenost smijemo raspisati ovako:
	(OverBar[κ])=((|(OverVector[ρ])'×(OverVector[ρ])''|·1·1)/(|(OverVector[ρ])'(|^3)))=((|(OverVector[ρ])'×(OverVector[ρ])''|·|(OverVector[(N^o)])|·cos∠((OverVector[(N^o)]),((OverVector[ρ])'×(OverVector[ρ])'')))/(|(OverVector[ρ])'(|^3)))=((((OverVector[ρ])'×(OverVector[ρ])'')·(OverVector[(N^o)]))/(|(OverVector[ρ])'(|^3))),
( (OverVector[ρ])'×(OverVector[ρ])''⊥ τ  &  (OverVector[ρ])'×(OverVector[ρ])'' kolinearan s (OverVector[(N^o)]) i s binormalom krivulje (OverBar[α])   ⇒  ∠((OverVector[(N^o)]),((OverVector[ρ])'×(OverVector[ρ])'')) = 0 ).
Uvrstimo sada izračunate derivacije (OverVector[ρ])' i (OverVector[ρ])'':
	(OverBar[κ])=((OverVector[r])'×(OverVector[r])'')(OverVector[(N^o)]) ,     
	(OverBar[κ])=(((OverVector[t])^o)×((OverVector[t])^o)')(OverVector[(N^o)]) = (((OverVector[t])^o),((OverVector[t])^o)',(OverVector[(N^o)])).
Prema Frenet-Serretovim formulama ( ((OverVector[t])^o)'= κ ((OverVector[n])^o)),	
	(OverBar[κ])=κ(((OverVector[t])^o)×((OverVector[n])^o))(OverVector[(N^o)]) .
I na kraju, vektori ((OverVector[b])^o),((OverVector[n])^o),(OverVector[(N^o)]) su komplanarni, pa imamo
	(OverBar[κ]) = κ ((OverVector[b])^o)·(OverVector[(N^o)]) = κ cos ((π/2)-θ),
	(OverBar[κ])= κ sin θ  ◼

Važno je zapamtiti sljedeće:
Teorem.  Ako se dvije plohe S i S' dodiruju duž neke krivulje α tada su u svakoj točki krivulje α pripadne geodetske zakrivljenosti (i normalne zakrivljenosti) jednake.	
Dokaz.
(Subscript[K, g]) ((OverBar[κ])) osim o krivulji ovisi još i o normali plohe. Ako se plohe dodiruju vektor (OverVector[(N^o)]) je zajednički za obje plohe, pa je kut θ isti.◼
Na primjer, stožac i kugla koji se diraju duž kružnice α kao je prikazano na slici 14.2.
	
	Slika 14.2

Veza normalne, geodetske i obične zakrivljenosti krivulje na plohi

Normalna zakrivljenost:  (Subscript[K, n])=κ cos θ
Geodetska zakrivljenost krivulje α na plohi: (Subscript[K, g])=κ sin θ
Iz ovih dviju relacija slijedi veza normalne, geodetske i obične zakrivljenosti neke krivulje α na plohi:
	(Subscript[K, n]^2)+(Subscript[K, g]^2)=(κ^2).								(52)

Mogućnosti

Za izračun geodetske zakrivljenosti krivulje na plohi postoji više mogućnosti:
(1^o))	Krivulja α na plohi je ravninska (((OverVector[b])^o)=(OverVector[(N^o)]), θ=(π/2))  
	->   geodetska zakrivljenost prelazi u običnu zakrivljenost, tj. (Subscript[K, g])=κ
(2^o))	Krivulja α na plohi je parametrizirana prirodnim parametrom ( (OverVector[r])=(OverVector[r])(s), (OverVector[r])'=((OverVector[t])^o), (OverVector[r])''=((OverVector[t])^o)')  
	->  (Subscript[K, g])= (((OverVector[t])^o),((OverVector[t])^o)',(OverVector[(N^o)])) .  (Vidi dokaz formule 50.)	 		(53)  
(3^o))	Krivulja α na plohi je parametrizirana općim parametrom ( (OverVector[r])=(OverVector[r])(t))  
	->  (Subscript[K, g])= ((((OverDot[(OverVector[r])]),(Overscript[ (OverVector[r]), ¨]), (OverVector[(N^o)])))/(|(OverDot[ (OverVector[r]) ])(|^3))).							(54)	
(4^o))	Uzmemo li u obzir da krivulja na plohi dopušta prikaz  (OverVector[r])=(OverVector[r])(u(s), v(s)), formula (53) glasi 
(Subscript[K, g]) = W|({{u',    u''+{({{({{u, u}})}, {u}})}((u')^2)+2{({{({{u, v}})}, {u}})}u'v'+{({{({{v, v}})}, {u}})}((v')^2)}, {(v^(′ )),   v''+{({{({{u, u}})}, {v}})}((u')^2)+2{({{({{u, v}})}, {v}})}u'v'+{({{({{v, v}})}, {v}})}((v')^2)}})|	(55)
	gdje je u'=((d u)/(d s)),  v'=((d v)/(d s)),  u''=(((d^2) u)/(((d s))^2)),  v''=(((d^2) v)/(((d s))^2)).	
(5^o))	U slučaju da je (OverVector[r])=(OverVector[r])(u(t), v(t)), izvršimo reparametrizaciju funkcijom  s=s(t), odnosno t=t(s). 
	Krivulja tada ima jednadžbu  (OverVector[r])=(OverVector[r])[u(t(s)), v(t(s))], ((d s)/(d t))=|(OverDot[(OverVector[r])])(t)|≠0. 
	(54) odnosno (55) se, uzevši u obzir da je  ((|(OverDot[ (OverVector[r]) ])|)^3)=(((|(OverDot[ (OverVector[r]) ])(|^2)))^(3/2))=(([((((OverVector[(Subscript[r, u])])(OverDot[u])+(OverVector[(Subscript[r, v])])(OverDot[v])))^2)])^(3/2))=(((E((OverDot[u])^2) + 2F (OverDot[u]) (OverDot[v ])+ G ((OverDot[v])^2)))^(3/2)) 
	transformiraju u
(Subscript[K, g]) = (W/(((E((OverDot[u])^2) + 2F (OverDot[u]) (OverDot[v ])+ G ((OverDot[v])^2)))^(3/2)))|({{(OverDot[u]),    (Overscript[u, ¨])+{({{({{u, u}})}, {u}})}((OverDot[u])^2)+2{({{({{u, v}})}, {u}})}(OverDot[u])(OverDot[v])+{({{({{v, v}})}, {u}})}((OverDot[v])^2)}, {((OverDot[v])^( )),   (Overscript[v, ¨])+{({{({{u, u}})}, {v}})}((OverDot[u])^2)+2{({{({{u, v}})}, {v}})}(OverDot[u])(OverDot[v])+{({{({{v, v}})}, {v}})}((OverDot[v])^2)}})|	
										(56)

Geodetske linije

Definicija. Krivulju α na plohi S nazivamo geodetska linija ako je njena geodetska zakrivljenost u svakoj točki jednaka nuli.
Dakle, u svakoj točki geodeske linije je (Subscript[K, g])=0, odnosno
	κ sin θ = 0.								(57)
To znači da se geodetska linija u tangencijalnoj ravnini projicira u pravac!	
Iz uvjeta κ sin θ = 0  lako se vidi da su mogućnosti za geodetske linije na plohi sljedeće:
1)  	sin θ = 0  (κ≠0)   →   θ = 0  ili  θ = π	 ->  ((OverVector[n])^o) i  ((OverVector[N])^o) su kolinearni	
     	U ovom slučaju su geodetske linije na plohi one krivulje kod kojih u svakoj točki oskulaciona ravnina krivulje i normalna ravnina plohe padnu zajedno  (npr. meridijani na sferi).
2)	κ = 0  (sin θ ≠ 0)  ->  Geodetske linije su pravci na plohi.

Diferencijalna jednadžba geodetskih linija

Diferencijalna jednadžba geodetskih linija, prema (53), glasi
	(((OverVector[t])^o),((OverVector[t])^o)',(OverVector[(N^o)]))=0,  	za  α… (OverVector[r])=(OverVector[r])(s).				(58)
Prema (54):
	((OverDot[(OverVector[r])]),(Overscript[ (OverVector[r]), ¨]), (OverVector[(N^o)]))=0,		za  α…(OverVector[r])=(OverVector[r])(t).			(59)
Diferencijalna jednadžba geodetskih linija za nepoznate funkcije u = u(s), v = v(s), prema (55), glasi
|({{u',    u''+{({{({{u, u}})}, {u}})}((u')^2)+2{({{({{u, v}})}, {u}})}u'v'+{({{({{v, v}})}, {u}})}((v')^2)}, {(v^(′ )),   v''+{({{({{u, u}})}, {v}})}((u')^2)+2{({{({{u, v}})}, {v}})}u'v'+{({{({{v, v}})}, {v}})}((v')^2)}})|=0, za   α…(OverVector[r])=(OverVector[r])(u(s), v(s))	
										(60)
odnosno, za u = u(t), v = v(t), prema (56):
|({{(OverDot[u]),    (Overscript[u, ¨])+{({{({{u, u}})}, {u}})}((OverDot[u])^2)+2{({{({{u, v}})}, {u}})}(OverDot[u])(OverDot[v])+{({{({{v, v}})}, {u}})}((OverDot[v])^2)}, {((OverDot[v])^( )),   (Overscript[v, ¨])+{({{({{u, u}})}, {v}})}((OverDot[u])^2)+2{({{({{u, v}})}, {v}})}(OverDot[u])(OverDot[v])+{({{({{v, v}})}, {v}})}((OverDot[v])^2)}})|=0,	   za   α…(OverVector[r])=(OverVector[r])(u(t), v(t))	
										(61)
Pritom je u'=((d u)/(d s)), v'=((d v)/(d s)),  u''=(((d^2) u)/(d ((s )^2))),  v''=(((d^2)v)/(d ((s )^2)));    (OverDot[u])=((d u)/(d t)), (OverDot[v])=((d v)/(d t)),  (Overscript[u, ..])=(((d^2) u)/(d ((t )^2))),  (Overscript[v, ..])=(((d^2) v)/(d ((t )^2))).
Bez dokaza navodimo:
Teorem.  Krivulja  (OverVector[r])=(OverVector[r])(u(s), v(s)) parametrizirana prirodnim parametrom je geodetska linija na plohi  na plohi (OverVector[r])=(OverVector[r])(u,v) ako i samo ako u = u(s) i v = v(s) zadovoljavaju sustav diferencijalnih jednadžbi

	({{u''=-{({{({{u, u}})}, {u}})}((u')^2)-2{({{({{u, v}})}, {u}})}u'v'-{({{({{v, v}})}, {u}})}((v')^2)}, {v''=-{({{({{u, u}})}, {v}})}((u')^2)-2{({{({{u, v}})}, {v}})}u'v'-{({{({{v, v}})}, {v}})}((v')^2)}})  }		(62)
Analogno, krivulja  (OverVector[r])=(OverVector[r])(u(t), v(t)) parametrizirana općim parametrom je geodetska linija na plohi (OverVector[r])=(OverVector[r])(u,v) ako i samo ako  u = u(t)  i  v = v(t)  zadovoljavaju jednadžbe

	({{ (Overscript[u, ¨])=-{({{({{u, u}})}, {u}})}((OverDot[u])^2)-2{({{({{u, v}})}, {u}})}(OverDot[u])(OverDot[v])-{({{({{v, v}})}, {u}})}((OverDot[v])^2)}, { (Overscript[v, ¨])=-{({{({{u, u}})}, {v}})}((OverDot[u])^2)-2{({{({{u, v}})}, {v}})}(OverDot[u])(OverDot[v])-{({{({{v, v}})}, {v}})}((OverDot[v])^2)}})  }			(63)
Dokaz. Vidi u [3], str.251.
Napomena: Funkcije  u = u(s) i v = v(s)  povezane su i jednadžbom
	 E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2)=(ds^2)  / :(ds^2)
E ((u')^2) + 2 F u' v' + G ((v')^2)=1.  tj.

Geodetske koordinate

Često se pitamo da li je moguće uvesti koordinate na plohi tako da parametarske u- i v- krivulje imaju neka posebna svojstva. Jedna mogućnost dana je sljedećom definicijom.
Koordinatnu mrežu na nekoj plohi S zovmo geodetska mreža ako se sastoji iz jednoparametarske familije geodetskih linija i njihovih ortogonalnih trajektorija.

Pokažimo zbog čega je povoljan odabir geodetske mreže na plohi!

(i)	Neka su u- linije plohe geodetske linije.
Za u- linije je v=const, (OverDot[v])=(Overscript[v, ¨])=0, pa diferencijalna jednadžba (61) geodetskih linija glasi {({{({{u, u}})}, {v}})}=0.
Kako je {({{({{u, u}})}, {v}})} = (1/(W^2)){  [({{({{u, u}})}, {v}})]E -  [({{({{u, u}})}, {u}})]F}=( (Subscript[F, u])-(1/2)(Subscript[E, v]))E-(1/2)(Subscript[E, u]) F,
slijedi da, ukoliko su u- linije geodetske linije vrijedi
	(Subscript[EE, v])-2(Subscript[EF, u])+(Subscript[E, u])F=0.						(64)
Može se pokazati da vrijedi i obrat gornjeg izvoda iz čega zaključujemo sljedeće:
Nužan i dovoljan uvjet da bi koordinatne u- linije bile ujedno geodetske linije na plohi je relacija (64).

(ii)	Neka su u- linije geodetske linije a v- linije njihove ortogonalne trajektorije.
Ortogonalnost  u- i v- linija povlaći da je F = 0 pa uvjet (64) poprima oblik (Subscript[EE, v])=0.
(Subscript[EE, v])=0  ⇒  (Subscript[E, v])=0 (E = (OverVector[(Subscript[r, u])])·(OverVector[(Subscript[r, u])])≠0), tj. E je funkcija samo od u, E= E(u).
Dakle, prva kvadratna forma plohe  uz ovakav izbor koordinatnih linija poprima oblik
	(ds^2)=E(u) (du^2) + G(u,v) (dv^2).					(65)	
Vrijedi i obrat, tj. ukoliko je prva kvadratna forma plohe dana relacijom (65), u- i v- linije su kao iz naslova.

Analogno se izvodi i obratni slučaj, tj.
(iii)	Neka su v- linije geodetske linije a u- linije njihove ortogonalne trajektorije.
Prva kvadratna forma plohe, uz ovakav izbor koordinatnih linija poprima oblik
	 (ds^2)=E(u,v) (du^2) + G(v) (dv^2).					(66)	
Vrijedi i obrat, tj. ukoliko je prva diferencijalna forma plohe dana relacijom (66), u- i v- linije su kao iz naslova.

Daljnje pojednostavljenje
Kod izbora (ii) u- i v- linija pokazali smo da je E funkcija samo varijable u. To nam omogućuje da prvu diferencijalnu formu (65) još pojednostavnimo uvedemo li transformaciju koordinata (u,v)↦((OverTilde[u]),(OverBar[v])) na sljedeći način:

	(OverBar[u])=∫(Sqrt[E(u)])du,     (OverBar[v])=v  
	d (OverBar[u])=(Sqrt[E (u)])du,     d (OverBar[v])=d v
(16)65 prelazi u
	(ds^2)= d((OverBar[u])^2) + G((OverBar[u]),(OverBar[v])) d(((OverBar[v]) )^2).
Uobičajeno je "poteze" izostaviti i pisati
	(ds^2)= (du^2) + G(u,v) ((dv )^2).						(67)
Slijedi da duž  u- krivulje (dv = 0), forma (67) poprima oblik 
	 (ds^2)=(du^2), tj. parametar u ima značenje duljine luka.
	 ds= du  ⇒  s=(∫_(Subscript[u, 1])^(Subscript[u, 2])) du=(Subscript[u, 2])-(Subscript[u, 1])					(68)

Analogno, kod izbora (iii) iz forme (66) bismo dobili
	(ds^2)=E(u,v) (du^2) +  ((dv )^2).						(69)
Duž  v krivulje (du = 0), forma (69) poprima oblik 
	 (ds^2)=(dv^2), tj. parametar v ima značenje duljine luka.
	 ds= dv  ⇒  s=(∫_(Subscript[v, 1])^(Subscript[v, 2])) dv=(Subscript[v, 2])-(Subscript[v, 1]) .					(70)
Napomenimo na kraju da vrijedi i obrat gornjih izvoda, tj. ima li prva diferencijalna forma u nekoj koordinatnoj mreži na plohi oblik (67) ili (69) mreža je geodetska.

Geometrijsko svojstvo odabira geodetske mreže na plohi 
Duljina luka geodetske u- krivulje između dvije v- krivulje ne ovisi o parametru v i jednaka je za sve u- krivulje (formula 68). Najbolji primjer je sfera gdje su meridijani geodetske u- krivulje, a paralele njihove ortogonalne trajektorije, tj. v- krivulje. Iz (68) slijedi i naziv parametarskih v- krivulja koje se "službeno" zovu geodetske paralele. Naime, duljina lukova na svakom meridijanu između dviju paralela je jednaka.

Geodetska linija kao najkraća spojnica dviju točaka na plohi

Neka su A i B dvije točke na plohi S.  Pitamo se koja je najkraća spojnica tih dviju točaka na plohi. 
Za opću plohu se nažalost ne može dati odgovor, dok za neke jednostavnije plohe možemo izreći samo nužan uvjet, tj.
	min d(A,B)   ⇒   spojnica točaka A, B je geodetska linija 
		?       ⇐   spojnica točaka A, B je geodetska linija
Međutim, ono što smo u mogućnosti pokazati je takozvano lokalno svojstvo minimalnosti koje glasi:
	- geodetske linije na plohi su krivulje koje imaju lokalno svojstvo najkraće spojnice dviju točaka na plohi; ili
	- geodetska linija je najkraća spojnica dviju dovoljno (lokalno) blizih točaka na plohi.
	
Slika 14.3  Točke N i S su postavljene dijametralno. Njima prolazi beskonačno mnogo geodetskih linija s jednakim pripadnim lukovima, koje su ujedno najkraće spojnice tih točaka. Za ovako postavljene točke na plohi se kaže da nisu lokalno blizu.
Slika 14.4  Točke A i B nisu postavljene dijametralno. Njih možemo spojiti s dva luka iste geodetske linije (glavna kružnica na sferi). Jedna od te dvije mogućnosti je najkraća spojnica tih točaka. Za ovako postavljene točke na plohi kažemo da su lokalno blizu.

					
		Slika 14.3						Slika 14.4

Dokaz lokalnog svojstva minimalnosti

Neka su A i B dvije dovoljno bliske točke na plohi S i neka je g geodetska linija na S koja ih spaja. Tada na plohi postoji geodetska koordinatna mreža takva da je g ujedno i u- krivulja te mreže, dok su v- krivulje njihove ortogonalne trajektorije.
Neka je (Subscript[g, 1]) bilo koja druga krivulja koja spaja te iste točke A i B i neka ona u toj koordinatnoj mreži ima jednadžbu  v = v(u) (vidi sliku 14.5).
		
	
	Slika 14.5
Kako je mreža geodetska, to je (ds^2)=(du^2)+G(u,v) ((dv )^2). 
Lako je odrediti duljina luka (Subscript[s, 1]) krivulje (Subscript[g, 1])...v = v(u) od točke A((Subscript[u, 1])) do B((Subscript[u, 2])):
	(ds^2)=(du^2)+G(u,v) ((dv )^2)  /:(du^2)
	((((ds/du)))^2)=1+G(u,v) ((((dv/du)))^2)
	(ds/du)=(Sqrt[1+G(u,v) ((((dv/du)))^2)]), pa je
 	(Subscript[s, 1])=(∫_(Subscript[u, 1])^(Subscript[u, 2]))(Sqrt[1+G(u,v(u))(((((d v)/(d u))))^2)]) du
S druge strane, duljina luka s po geodetskoj liniji g iznosi
	s=(∫_(Subscript[u, 1])^(Subscript[u, 2])) du.
Na kraju je preostalo usporediti s i (Subscript[s, 1]):
	G= (Subscript[(OverVector[r]), v])·(Subscript[(OverVector[r]), v]) >0   ⇒   (∫_(Subscript[u, 1])^(Subscript[u, 2]))(Underscript[(Sqrt[1+G(u,v(u))(((((d v)/(d u))))^2)]), (Underscript[⏟, >1])]) du   ≥   (∫_(Subscript[u, 1])^(Subscript[u, 2])) du   ⇒  (Subscript[s, 1])≥s  .
Dakle, geodetska linija (luk s geodetske linije) je najkraća spojnica dviju dovoljno blizih točaka plohe.◼

Torzija krivulje na plohi. Geodetska torzija

Torzija τ krivulje na plohi

(1^o))	Ploha S... (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u,v) 
	Krivulja α : I ⟶ S  
	α...   (Overscript[r, ⟶])(s) = (Overscript[r, ⟶])(u(s), v(s)),    s- duljina luka;		
	torzija...   τ(s) = – ((OverVector[n])^o) · ((OverVector[b])^o)'= (( ((OverVector[r])',(OverVector[r])'',((OverVector[r])')''))/((OverVector[|r])''(|^2)))
	α...   (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t)),    t- opći parametar;	
	torzija...   τ(s) = τ(t) = ((((OverDot[(OverVector[r])]),(Overscript[(OverVector[r]), ¨]),(Overscript[(OverVector[r]), ...])))/((OverDot[(OverVector[|r])])×(Overscript[(OverVector[r]), ¨])(|^2)))

(2^o))	Drugi način izračunavanja torzije neke krivulje na plohi:		
	torzija...  τ=((Overscript[(t^( o)),, ⟶])(Overscript[(N^( o)), ⟶]),(Overscript[(N^( o)), ⟶])')+((dθ)/(d s))					(71)

Dokaz formule (71) :

Neka su  { (Overscript[(t^( o)), ⟶]), (Overscript[(n^( o)), ⟶]), (Overscript[(b^( o)), ⟶])} i { (Overscript[(t^( o)), ⟶]), (Overscript[(N^( o)), ⟶]), (Overscript[(n^( o)), ⟶])}  desne trojke vektora.
	 θ = ∡((OverVector[(n^o)]), (OverVector[(N^o)])),	   θ + (π/2) = ∡((OverVector[(b^o)]), (OverVector[(N^o)])) .
	Rastavimo vektor (Overscript[(b^( o)), ⟶]) po komponentama vektora  (Overscript[(t^( o)), ⟶]), (Overscript[(N^( o)), ⟶]), (Overscript[(t^( o)), ⟶])× (Overscript[(N^( o)), ⟶]):
	Kako je (Overscript[(b^( o)), ⟶]) u ravnini vektora  (Overscript[(N^( o)), ⟶]) i  (Overscript[(t^( o)), ⟶])×(Overscript[(N^( o)), ⟶])  ⇒  koeficijent uz (Overscript[(t^( o)), ⟶]) isčezava, tj.
	(Overscript[(b^( o)), ⟶])cos θ ((Overscript[(t^( o)), ⟶])×(Overscript[(N^( o)), ⟶]))+cos ((π/2)-θ) (-(Overscript[(N^( o)), ⟶]))+0 (Overscript[(t^( o)), ⟶])			(*)
	Sredimo relaciju (22 71) i pomnožimo skalarno s (Overscript[(N^( o)), ⟶])':
	(Overscript[(b^( o)), ⟶])=-sin θ (Overscript[(N^( o)), ⟶])+cos θ ((Overscript[(t^( o)), ⟶])×(Overscript[(N^( o)), ⟶]))  / ·(Overscript[(N^( o)), ⟶])'
	(Overscript[(b^( o)), ⟶])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])'=(Underscript[(Underscript[-sin θ (Underscript[(Overscript[(N^( o)), ⟶])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])', (Underscript[⏟, ⊥ zbog  |(Overscript[(N^( o))|, ⟶])=1])]), ⏟]), = 0])+cos θ ((Overscript[(t^( o)), ⟶])×(Overscript[(N^( o)), ⟶]))(Overscript[(N^( o)), ⟶])'
	(Underscript[(Overscript[(b^( o)), ⟶])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])'=cos θ ((Overscript[(t^( o)),, ⟶])(Overscript[(N^( o)), ⟶]),(Overscript[(N^( o)), ⟶])'), ─]).					(**)
	Potrebna nam je i derivacija vektora (Overscript[(b^( o)), ⟶]). 
	U tu svrhu derivirajmo skalarni produkt  (Overscript[(b^( o)), ⟶])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])=|(Overscript[(b^( o)), ⟶])||(Overscript[(N^( o)), ⟶])|cos ((π/2)+θ)=-sin θ:
	(Underscript[(Overscript[(b^( o)), ⟶])'·(Overscript[(N^( o)), ⟶])+(Overscript[(b^( o)), ⟶])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])'=-cos θ·((dθ)/(d s)), ─]).
	Frenet-Serretove formule   ⇒   (Overscript[(b^( o)), ⟶])'=-τ(OverVector[(n^o)])  ⇒   (Overscript[(b^( o)), ⟶])'·(Overscript[(N^( o)), ⟶])=-τ(OverVector[(n^o)])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])=-τ cos θ,  
	što uvršteno u (**) zajedno s formulom (*) daje
	 -τ cos θ+cos θ ((Overscript[(t^( o)),, ⟶])(Overscript[(N^( o)), ⟶]),(Overscript[(N^( o)), ⟶])')=-cos θ·((dθ)/(d s))  / : cos θ≠0		
	τ=((Overscript[(t^( o)),, ⟶])(Overscript[(N^( o)), ⟶]),(Overscript[(N^( o)), ⟶])')+((dθ)/(d s)) .
	 
Do istog bi se rezultata došlo i uz pretpostavku da je cos θ = 0. U tom se slučaju tangencijalna i oskulaciona ravnina podudaraju pa su vektori (Overscript[(b^( o)), ⟶])  i  (Overscript[(N^( o)), ⟶]) kolinearni.

Geodetska torzija T

Geodetska torzija T  krivulje α  na plohi u jednoj njezinoj točki P je torzija one geodetske linije u toj točki koja tu krivulju dodiruje.	
Skica!
Iz definicije slijedi da sve krivulje koje prolaze jednom točkom na plohi i koje se u toj točki dodiruju (imaju zajedničku tangentu), imaju jednake geodetske torzije.
U svakoj točki geodetske linije su (Overscript[(N^( o)), ⟶]) i  (Overscript[(n^( o)), ⟶]) kolinearni vektori, tj. θ = ∡((OverVector[(n^o)]), (OverVector[(N^o)])) = 0 ili π, pa je ((dθ)/(d s))=0. Formula (71) poprima oblik
			 T=((Overscript[(t^( o)),, ⟶])(Overscript[(N^( o)), ⟶]),(Overscript[(N^( o)), ⟶])').					(72)
Formula za geodetsku torziju krivulje ispisana pomoću Gaussovih veličina prvog i drugog reda glasi:
			T =(1/(Sqrt[E G-(F^2)]))|({{E u'+F v', F u'+G v'}, {L u'+M v', M u'+N v'}})|.		(73)
	
I na kraju, veza geodetskih torzija dviju ortogonalnih krivulja na plohi u točki presjeka dana je sa:
	(T^u)=-(T^v),     gdje smo označili: 
	(T^u)– geodetskih torzija jedne u- krivulje, 	(T^v)– geodetskih torzija jedne v- krivulje.

Zadaci

01 	Naći izraze za geodetsku zakrivljenost u- i v- krivulja neke plohe.

Rješenje:	
		Formula:	(Subscript[K, g]) = (W/(((E((OverDot[u])^2) + 2F (OverDot[u]) (OverDot[v ])+ G ((OverDot[v])^2)))^(3/2)))|({{(OverDot[u]),    (Overscript[u, ¨])+{({{({{u, u}})}, {u}})}((OverDot[u])^2)+2{({{({{u, v}})}, {u}})}(OverDot[u])(OverDot[v])+{({{({{v, v}})}, {u}})}((OverDot[v])^2)}, {((OverDot[v])^( )),   (Overscript[v, ¨])+{({{({{u, u}})}, {v}})}((OverDot[u])^2)+2{({{({{u, v}})}, {v}})}(OverDot[u])(OverDot[v])+{({{({{v, v}})}, {v}})}((OverDot[v])^2)}})|
		
		Geodetsku zakrivljenost u- krivulja;  v = const,  (Overscript[v, ·])=(Overscript[v, ··])=0
		
		(Subscript[((Subscript[K, g])), u-krivulja]) = (W/(((E((OverDot[u])^2) ))^(3/2)))|({{(OverDot[u]),    (Overscript[u, ¨])+{({{({{u, u}})}, {u}})}((OverDot[u])^2)+0+0}, {(0^( )),   0+{({{({{u, u}})}, {v}})}((OverDot[u])^2)+0+0}})|  =  (W/(((E((OverDot[u])^2) ))^(3/2)))|({{(OverDot[u]),    (Overscript[u, ¨])+{({{({{u, u}})}, {u}})}((OverDot[u])^2)}, {(0^( )),   {({{({{u, u}})}, {v}})}((OverDot[u])^2)}})| 
		
		(Subscript[((Subscript[K, g])), u-krivulja]) = (W/((((E ))^(3/2))((OverDot[u])^3))){({{({{u, u}})}, {v}})}((OverDot[u])^3) =(W/(((E ))^(3/2))){({{({{u, u}})}, {v}})} 
		
		{({{({{u, u}})}, {v}})} =((-F (Subscript[E, u])+  2E (Subscript[F, u])- E (Subscript[E, v]))/(2(W^2)))	->    	(Subscript[((Subscript[K, g])), u-krivulja]) =((-F (Subscript[E, u])+  2E (Subscript[F, u])- E (Subscript[E, v]))/(2E (Sqrt[E])(Sqrt[E G -(F^2)])))
		Ako je parametarska mreža ortogonalna (F = 0), tada je	
								(Subscript[((Subscript[K, g])), u-krivulja]) =((- (Subscript[E, v]))/(2E(Sqrt[ G ])))
		
		Geodetsku zakrivljenost v- krivulja;  u = const,  (Overscript[u, ·])=(Overscript[u, ··])=0
		
		(Subscript[((Subscript[K, g])), v-krivulja]) =(W/(((G((OverDot[v])^2) ))^(3/2)))|({{0,    0+0+0+{({{({{v, v}})}, {u}})}((OverDot[v])^2)}, {((OverDot[v])^( )),   (Overscript[v, ¨])+0+0+{({{({{v, v}})}, {v}})}((OverDot[v])^2)}})|=(W/(((G((OverDot[v])^2) ))^(3/2)))|({{0,   {({{({{v, v}})}, {u}})}((OverDot[v])^2)}, {((OverDot[v])^( )),   (Overscript[v, ¨])+{({{({{v, v}})}, {v}})}((OverDot[v])^2)}})| 
		
		(Subscript[((Subscript[K, g])), v-krivulja]) = -(W/((((G ))^(3/2))((OverDot[v])^3))){({{({{v, v}})}, {u}})} ((OverDot[v])^3)=-(W/(((G ))^(3/2))){({{({{v, v}})}, {u}})}
		
		{({{({{v, v}})}, {u}})} =((- F (Subscript[G, v])+  2G (Subscript[F, v])- G (Subscript[G, u]))/(2(EG-(F^( 2)))))	->	(Subscript[((Subscript[K, g])), v-krivulja])=((F (Subscript[G, v])-  2G (Subscript[F, v]) + G (Subscript[G, u]))/(2G (Sqrt[G])(Sqrt[E G -(F^2)])))
		Ako je parametarska mreža ortogonalna (F = 0), tada je	
								(Subscript[((Subscript[K, g])), v-krivulja]) =(( (Subscript[G, u]))/(2G (Sqrt[E  ])))

02 	Zadana je ploha parametrizacijom
	(({{x=u cos v}, {y=u sin v}, {z=(u^2)       }})	u ∈ (SuperPlus[R]),  v ∈ [0, 2π]     
	a)	Napisati implicitnu jednadžbu plohe, zaključiti o kojoj se plohi radi i skicirati ju. 
	b)	Odrediti  u- i v- krivulje dane plohe.
	c)	Izračunati koeficijente prva kvadratne forme i naći jedinični vektor normale.
	d)	Naći geodetsku zakrivljenost v- krivulje i zaključiti da li se radi o geodetskoj liniji.
	e)	Naći geodetsku zakrivljenost u- krivulje i zaključiti da li se radi o geodetskoj liniji.

Rješenje:
	Rješenja za a) i b) su dana ukratko. Vidi zadatak 6/04.
	a)	(x^2)+(y^2)=z  ->   rotacioni paraboloid
	b)	u- krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const) 			
		Iz prve i treće jednadžbe slijedi jednadžba paraboličkog valjka   (x^2)=z (cos^2) (Subscript[v, 0]);
		Iz druge i treće jednadžbe slijedi jednadžba paraboličkog valjka   (y^2)=z (sin^2) (Subscript[v, 0]).
		Dakle, u- krivulje  su parabole koje se dobiju kao presjeci gornjih dvaju paraboličkih valjaka.
	
		v- krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const)
		Iz prve i druge jednadžbe slijedi jednadžba kružnog valjka   (x^2)+(y^2)=((Subscript[u, 0])^2);
		z=((Subscript[u, 0])^2) je ravnina paralelna s XY ravninom.
		v- krivulje su kružnice paralelne s XY ravninom, a dobiju se kao presjeci valjka i ravnine.

c)	(Overscript[r, ->])(u,v)={u cos v,u sin v,(u^2)}
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)={cos v,sin v, 2u}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)={-u sin v,u cos v,0}
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=1+4(u^2)
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=0
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=(u^2)		(Subscript[E, u])=8u ,   (Subscript[E, v])=0
(Subscript[F, u])=0 ,       (Subscript[F, v])=0
(Subscript[G, u])=2u ,  (Subscript[G, v])=0	
		W=(Sqrt[E G-(F^2)])=u(Sqrt[ 1+4(u^2)])
		(Overscript[(N^o), ⟶])=(((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), u]))/(|(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])|))=(((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), u]))/(u(Sqrt[ 1+4(u^2)])))=(1/(Sqrt[ 1+4(u^2)])){-2u cos v,-2u sin v,1}

d)	Geodetsku zakrivljenost v- krivulje možemo naći na dva načina.
		(1^o))	Pomoću formule		(Subscript[((Subscript[K, g])), v-krivulja])=(( (Subscript[G, u]))/(2G (Sqrt[E  ])))
			Tada je			(Subscript[((Subscript[K, g])), v-krivulja])=(1/(u(Sqrt[ 1+4(u^2)])))
		
		(2^o))	Pomoću formule	(Subscript[K, g])= ((((Overscript[(Overscript[r, ->]),    .]),(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..]), (Overscript[(N^o), ⟶])))/(|(OverDot[ (OverVector[r]) ])(|^3)))
			v-  krivulja u=(Subscript[u, 0]) na danoj plohi ima jednadžbu  (Overscript[r, ->])((Subscript[u, 0]),v)={(Subscript[u, 0]) cos v,(Subscript[u, 0]) sin v,((Subscript[u, 0])^2)}
			
			(OverDot[(Overscript[r, ->])])((Subscript[u, 0]),v)={-(Subscript[u, 0])sin v,(Subscript[u, 0])cos v,0}
			(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..])((Subscript[u, 0]),v)={-(Subscript[u, 0])cos v,-(Subscript[u, 0])sin v,0}
			(Overscript[(N^o), ⟶])(u=(Subscript[u, 0]))=(1/(Sqrt[ 1+4((Subscript[u, 0])^2)])){-2(Subscript[u, 0]) cos v,-2(Subscript[u, 0]) sin v,1}
			((Overscript[(Overscript[r, ->]),    .]),(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..]), (Overscript[(N^o), ⟶]))=…=((Subscript[u, 0]^2)/(Sqrt[ 1+4((Subscript[u, 0])^2)])),        | (Overscript[(Overscript[r, ->]),  .])|=(Subscript[u, 0])
			(Subscript[((Subscript[K, g])), v-krivulja])=(1/((Subscript[u, 0])(Sqrt[ 1+4((Subscript[u, 0])^2)])))
		(Subscript[((Subscript[K, g])), v-krivulja])≠0   ->  v- krivulja nije geodetska linija na paraboloidu

e)	Za u- krivulje imamo:
		(1^o))	Pomoću formule	(Subscript[((Subscript[K, g])), u-krivulja]) =((- (Subscript[E, v]))/(2E(Sqrt[ G ])))     ->     (Subscript[((Subscript[K, g])), u-krivulja])=0
		
		(2^o))	Pomoću formule	(Subscript[K, g])= ((((Overscript[(Overscript[r, ->]),    .]),(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..]), (Overscript[(N^o), ⟶])))/(|(OverDot[ (OverVector[r]) ])(|^3)))
			u-  krivulja v=(Subscript[v, 0]) na danoj plohi ima jednadžbu  (Overscript[r, ->])(u,(Subscript[v, 0]))={u cos (Subscript[v, 0]),u sin (Subscript[v, 0]),(u^2)}
			(OverDot[(Overscript[r, ->])])(u,(Subscript[v, 0]))={cos (Subscript[v, 0]),sin (Subscript[v, 0]),2u}
			(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..])(u,(Subscript[v, 0]))={ 0, 0,2}
			(Overscript[(N^o), ⟶]) (v=(Subscript[v, 0]))=(1/(Sqrt[ 1+4(u^2)])){-2u cos (Subscript[v, 0]),-2u sin (Subscript[v, 0]),1}
			(Overscript[( (Overscript[r, ->]),    .]),(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..]), (Overscript[(N^o), ⟶])) =…=0       ->   (Subscript[ ((Subscript[K, g])), u-krivulja])=0
		(Subscript[((Subscript[K, g])), u-krivulja])=0   ->  u- krivulja je geodetska linija na paraboloidu

03 	Što se sve može zaključiti o u- i v- krivuljama neke plohe ako je njena prva kvadratna forma  (ds^2)=(1+4(u^2))(du^2)+ (u^2)(dv^2)?

Rješenje:
	Neka je za neku plohu I≡(ds^2)=(1+4(u^2))(du^2)+ (u^2)(dv^2).
	(1^o))	Budući da je F=0, zaključujemo da su u- i v- krivulje međusobno okomite.
	(2^o))	Budući da je  E(u,v)=1+4(u^2), tj. E ovisi samo o parametru u, u- krivulje su geodetske linije i (Subscript[((Subscript[K, g])), u-krivulja])=0.
	(3^o))	Budući da je  G(u,v)=(u^2), tj. G ovisi o parametru u (nije važno što ne ovisi o v), v- krivulje nisu geodetske linije i (Subscript[((Subscript[K, g])), v-krivulja])≠0.

04 	Izračunati geodetsku zakrivljenost meridijana i paralela na sferi
	(({{x=R cos v sin u}, {y=R  sin v sin u}, {z=R cos u       }})	u ∈ [0, π],  v ∈ [0, 2π]     
	a)	Napisati implicitnu jednadžbu plohe.
	b)	Odrediti  u- i v- krivulje dane plohe.
	c)	Izračunati koeficijente prva kvadratne forme i naći jedinični vektor normale.
	d)	Naći geodetsku zakrivljenost meridijana i zaključiti da li se radi o geodetskoj liniji.
	e)	Naći geodetsku zakrivljenost paralela i zaključiti da li se radi o geodetskoj liniji.
	f)	Za maridijane i paralele provjeriti vezu normalne, geodetske i obične zakrivljenosti na plohi, tj. 
		pokazati da vrijedi  (Subscript[K, n]^2)+(Subscript[K, g]^2)=(κ^2) (*).

Rješenje:
	Rješenja za a) i b) su dana ukratko. Vidi zadatke iz poglavlja 6.
	a)	(x^2)+(y^2)+(z^2)=(R^2)
	b)	u - krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const) su meridijani
		v - krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const) su paralele

c)	E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=(R^2)                                  (Subscript[E, u])=0 ,       (Subscript[E, v])=0
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=0                                     (Subscript[F, u])=0 ,       (Subscript[F, v])=0
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=(R^2)((sin )^2)u                    (Subscript[G, u])=2(R^2)sin u cos u=(R^2)sin 2u,         (Subscript[G, v])=0		
		W=(Sqrt[E G-(F^2)])=(R^2)sin u
		(Overscript[(N^o), ⟶])=(((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), u]))/(|(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])|))=(((Subscript[(Overscript[r, ->]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ->]), u]))/(Sqrt[E G-(F^2)]))=⃛={ cos v sin u,sin v sin u,cos u }

d)	Geodetsku zakrivljenost meridijana možemo naći na dva načina.
		(1^o))	Pomoću formule za geodetsku zakrivljenost u krivulje: 
			(Subscript[((Subscript[K, g])), meridijana]) =((- (Subscript[E, v]))/(2E(Sqrt[ G ])))  ->   (Subscript[((Subscript[K, g])), meridijana])=0
		
		(2^o))	Pomoću formule:   (Subscript[K, g])= ((((Overscript[(Overscript[r, ->]),    .]),(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..]), (Overscript[(N^o), ⟶])))/(|(OverDot[ (OverVector[r]) ])(|^3)))
			u krivulja v=(Subscript[v, 0]) na danoj plohi ima jednadžbu  (Overscript[r, ->])(u,(Subscript[v, 0]))={R cos (Subscript[v, 0]) sin u,R sin (Subscript[v, 0]) sin u,R cos u }
			(OverDot[(Overscript[r, ->])])(u,(Subscript[v, 0]))={R cos (Subscript[v, 0]) cos u,R sin (Subscript[v, 0]) cos u,-R sin u }
			(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..])(u,(Subscript[v, 0]))={-R cos (Subscript[v, 0]) sin u,-R sin (Subscript[v, 0]) sin u,-R cos u }
			(Overscript[(N^o), ⟶]) (v=(Subscript[v, 0]))={ cos (Subscript[v, 0]) sin u,sin (Subscript[v, 0]) sin u,cos u }
			(Overscript[( (Overscript[r, ->]),    .]),(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..]), (Overscript[(N^o), ⟶])) =…=0       ->   (Subscript[ ((Subscript[K, g])), meridijana])=0
		(Subscript[((Subscript[K, g])), meridijana])=0   ->  meridijani su geodetske linije

e)	Analogno rješenju pod d), i za izračun geodetske zakrivljenosti paralela postoje dva načina.
		(1^o))	Zakrivljenost v- krivulje:     (Subscript[((Subscript[K, g])), paralela])=(( (Subscript[G, u]))/(2G (Sqrt[E  ])))     ->      (Subscript[((Subscript[K, g])), paralela])=((cos u)/(R sin u))
		(2^o))	(Subscript[K, g])= ((((Overscript[(Overscript[r, ->]),    .]),(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..]), (Overscript[(N^o), ⟶])))/(|(OverDot[ (OverVector[r]) ])(|^3)))
			v- krivulja u=(Subscript[u, 0]) na danoj plohi ima jednadžbu  (Overscript[r, ->])((Subscript[u, 0]),v)={R cos v sin (Subscript[u, 0]),R sin v sin (Subscript[u, 0]),R cos (Subscript[u, 0]) }.
			(OverDot[(Overscript[r, ->])])((Subscript[u, 0]),v)={-R sin v sin (Subscript[u, 0]),R cos v sin (Subscript[u, 0]),0 }
			(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..])((Subscript[u, 0]),v)={-R cos v sin (Subscript[u, 0]),-R sin v sin (Subscript[u, 0]),0 }
			(Overscript[(N^o), ⟶])(u=(Subscript[u, 0]))={ cos v sin (Subscript[u, 0]),sin v sin (Subscript[u, 0]),cos (Subscript[u, 0]) }
			((Overscript[(Overscript[r, ->]),    .]),(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..]), (Overscript[(N^o), ⟶]))=…=(R^2)(sin^2)(Subscript[u, 0]) cos (Subscript[u, 0]),        | (Overscript[(Overscript[r, ->]),  .])|=R sin (Subscript[u, 0])
			(Subscript[((Subscript[K, g])), paralela])=((cos (Subscript[u, 0]))/(R sin (Subscript[u, 0])))
		(Subscript[((Subscript[K, g])), paralela])≠0   ->   paralele nisu geodetske linije

f)	Za meridijane:
		Normalni presjek u nekoj točki sfere, u smjeru meridijana, je meridijan  ->  (Subscript[K, n])=(1/R)
		Geodetska zakrivljenost meridijana  ->  (Subscript[K, g])=0
		Dakle, 
		(Subscript[K, n]^2)+(Subscript[K, g]^2)=(1/(R^2))+0=(1/(R^2))=(κ^2),   tj. obična zakrivljenost meridijana
		
		Za paralele:
		Normalni presjek u nekoj točki sfere, u smjeru paralele, je glavna kružnica  ->  (Subscript[K, n])=(1/R)
		Geodetska zakrivljenost paralele  ->  (Subscript[K, g])=((cos u)/(R sin u))
		Zakrivljenost (fleksija) paralele prema (*): 
		(κ^2)=(Subscript[K, n]^2)+(Subscript[K, g]^2)=(1/(R^2))+(((cos^2) u)/((R^2) (sin^2) u))=(1/((R^2)(sin^2) u))
		Dobiveni rezultat možemo provjeriti ovako: 
		κ= ((|(Overscript[(Overscript[r, ->]),    .])×(Overscript[(Overscript[r, ->]), ..])|)/(|(OverDot[ (OverVector[r]) ])(|^3)))  ili  κ=(1/ρ), gdje je ρ polumjer paralele.  Dobije se  κ=(1/(R sin u)).

05 	Zadana je ploha  (x^2)+(y^2)=(a^2).
	a)	Napisati jednu parametrizaciju plohe i naći Christofellove simbole prve i druge vrste.
	b)	Naći geodetske linije zadanog valjka.
	c)	Naći geodetsku liniju koja spaja točke A(a,0,0) i B(0,a,a).
	d)	Izračunati udaljenost točaka A i B.
	e)	Naći geodetsku liniju koja spaja točke A(a,0,0) i C(0,a,0).
	f)	Izračunati udaljenost točaka A i C.

Rješenje:
	a)	Parametrizacija valjka
		S...(({{x=a cos u}, {y=a sin u}, {z=v           }}),   u ∈ [0, 2π],  v ∈ R;     		
		u- krivulje (v=(Subscript[v, 0])=const) su kružnice
		v- krivulje (u=(Subscript[u, 0])=const) su izvodnice
		
		(Overscript[r, ->])(u,v)={a cos u, a sin u,v}
		(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(u,v)={-a sin u,- a cos u,0}
(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(u,v)={0, 0,1}
		E=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])=(a^2) 
F=(Subscript[(Overscript[r, ->]), u])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=0
G=(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])(Subscript[(Overscript[r, ->]), v])=1		
		Budući da se E, F, G konstante, derivacije su im nula, pa su i Christoffelovi simboli prve i druge vrste jednaki nuli.

b)	Diferencijalna jednadžba geodetskih linija dobiva se pomoću formule 
		|({{(OverDot[u]),    (Overscript[u, ¨])+{({{({{u, u}})}, {u}})}((OverDot[u])^2)+2{({{({{u, v}})}, {u}})}(OverDot[u])(OverDot[v])+{({{({{v, v}})}, {u}})}((OverDot[v])^2)}, {((OverDot[v])^( )),   (Overscript[v, ¨])+{({{({{u, u}})}, {v}})}((OverDot[u])^2)+2{({{({{u, v}})}, {v}})}(OverDot[u])(OverDot[v])+{({{({{v, v}})}, {v}})}((OverDot[v])^2)}})|=0
		U našem slučaju je
		|({{(OverDot[u]),    (Overscript[u, ¨])}, {((OverDot[v])^( )),   (Overscript[v, ¨])}})|=0   ->    (OverDot[u])(Overscript[v, ¨]) -(Overscript[u, ¨])(OverDot[v ])=0 	(*)
		
		Rješenja jednadžbe (*):
		(1^o))	(OverDot[u])=0 zadovoljava jednadžbu (*). To je singularno rješenje.
			(OverDot[u])=0   ->   u=const=(Subscript[u, 0])   ->   (({{x=a cos (Subscript[u, 0])}, {y=a sin (Subscript[u, 0])}, {z=v           }})     ->   (Underscript[((x - a cos (Subscript[u, 0]))/0)=((y - a sin (Subscript[u, 0]))/( 0))=(z/1), ——————————————])
			Dakle, izvodnice valjka tj. v- krivulje su geodetske linije.
				
		(2^o))	Za  (OverDot[u])≠0 dobivamo opće rješenje.
			(OverDot[u])(Overscript[v, ¨]) -(Overscript[u, ¨])(OverDot[v ])=0    ->    (d/(d t))(((OverDot[v ])/(OverDot[u])))=0    ->    ((OverDot[v ])/(OverDot[u]))=const=(Subscript[c, 1]),   (OverDot[v ])=(Subscript[c, 1])(OverDot[u])
			->     ((d v)/(d t))=(Subscript[c, 1])((d u)/(d t))/ ·d t     ->    ∫d v=(Subscript[c, 1])∫d u     
			->     (Underscript[ v=(Subscript[c, 1]) u+(Subscript[c, 2]), ———————]),   tj.  (({{x=a cos u   }, {y=a sin u    }, {z=(Subscript[c, 1]) u+(Subscript[c, 2])}}),  zavojnice na valjku su geodetske linije

c)	Ovu zadaću ćemo riješiti tako da nađemo zavojnicu koja spaja točke A(a,0,0) i B(0,a,a).
		Drugim riječima treba naći konkretne vrijednosti za konstante (Subscript[c, 1]) i (Subscript[c, 2]).
		A(a,0,0)∈S  ->   (({{({{a=a cos u   }, {0=a sin u    }})->  u=0,    (Underscript[(Subscript[c, 2])=0, ———]) }, {0=(Subscript[c, 1]) u+(Subscript[c, 2])                                           }})  
		B(0,a,a)∈ S  ->   (({{({{0=a cos u}, {a=a sin u  }})      ->    u=(π/2)±2k π                                                                                   }, {a=(Subscript[c, 1]) u+(Subscript[c, 2])    ->   a=(Subscript[c, 1]) u  ->   (Subscript[c, 1])=(a/u)=(a/((π/2) ± 2k π)),  (Underscript[(Subscript[c, 1])=((2a)/(π ± 4k π)), ———————])}})   
		Parametarska jednadžba zavojnice:		   
		(({{x=a cos u    }, {y=a sin u     }, {z=((2a)/(π ± 4k π)) u}}) ,    k∈Z
		Zaključujemo da postoji beskonačno mnogo zavojnica (geodetskih linija) koje spajaju te dvije točke. 
		"Najkraća" se dobije za  k = 0:   v=((2a)/(π )) u    tj.    (({{x=a cos u}, {y=a sin u }, {z=((2a)/(π )) u    }}).

d)	Udaljenost točaka A i B može se izračunati tako da se krene od prve kvadratne forme ili od  formule za duljinu luka krivulje. U svakom je slučaju potrebna jednadžba geodetske linije (zavojnice) po kojoj računamo udaljenost (vidi c)):  v=((2a)/(π )) u tj. (Overscript[r, ->])(u,v(u))={a cos u, a sin u,((2a)/(π )) u}.
	Pomoću prve kvadratne forme:
		Točka A se dobije za  u=0, a točka B za  u=(π/2).
		d (s^2)=(a^2)d (u^2)+d (v^2);   v=((2a)/(π )) u,   d v=((2a)/(π ))d u     
		->   d s=d u (Sqrt[(a^2)+((4(a^2))/(π^2))])   
		->   s=(a/π)(Sqrt[(π^2)+4])(∫_(Subscript[u, 1])^(Subscript[u, 2]))d u=(a/π)(Sqrt[(π^2)+4])(∫_0^(π/2))d u=(Underscript[(a/2)(Sqrt[(π^2)+4]), ----------])
	Pomoću formule za duljinu luka krivulje:  
		s(u)=(∫_(Subscript[u, 1])^(Subscript[u, 2]))| (OverDot[(Overscript[r, ->])])|d u
		(Overscript[r, ->])(u,v(u))={a cos u, a sin u,((2a)/(π )) u},  (OverDot[(Overscript[r, ->])])(u,v(u))={-a sin u, a cos u,((2a)/(π ))}, | (OverDot[(Overscript[r, ->])])|=(a/π)(Sqrt[(π^2)+4])
		->     s=(∫_0^(π/2))(a/π)(Sqrt[(π^2)+4])d u=(Underscript[(a/2)(Sqrt[(π^2)+4]), ----------])

e)	Geodetska linija koja spaja točke A(a,0,0) i C(0,a,0). Sami, analogno c).

f)	Udaljenost točaka A i C. Sami, analogno d).

Sažetak poglavlja

Geodetska zakrivljenost krivulje na plohi.
Veza normalne, geodetske i obične zakrivljenosti krivulje na plohi.
Pojam geodetske linije i mogućnosti za geodetske linije neke plohe.
Geodetska mreža na plohi. Prednosti odabira geodetske mreže na plohi.
Objašnjenje izjave: Nužan uvjet da bi spojnica dviju točaka na plohi bila najkraća je da ta spojnica (krivulja) bude geodetska linija.
Objašnjenje izjave: Geodetska linija je najkraća spojnica dviju lokalno blizih točaka na plohi.
Geodetska torzija krivulje na plohi.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju ispitati da li su u-, odnosno v- krivulje neke plohe geodetske linije. Na to isto pitanje moći će odgovoriti iz kvadratne forme promatrane plohe. Osim toga, bit će u stanju odrediti diferencijalnu jednadžbu geodetskih linija zadane plohe, a u jednostavnijim slučajevima je i riješiti.