Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, 2012.
Uvođenje računalnog 3D modeliranja u nastavu geometrije na tehničkim fakultetima 
(3D GEOM TEH)
DIFERENCIJALNA GEOMATRIJA

III  PLOHE

15  PRESLIKAVANJE PLOHA

O preslikavanju ploha

U raznim primjenama javlja se potreba da se točkama jedne plohe na određen način pridruže točke druge plohe. Posebno je to važan problem u geodeziji/kartografiji pri crtanju i konstrukciji raznih karata kod kojih se radi o preslikavanju sfere u ravninu.
Neka su u istom koordinatnom sustavu u prostoru dane dvije plohe S i (OverBar[S]) svojim jednadžbama (s različitim parametrima):
	S... (Overscript[r, ⟶])= (Overscript[r, ⟶])(u,v),	(u,v) ϵ D				(74)
	(OverBar[S])... (OverBar[(Overscript[r, ⟶])])= (OverBar[(Overscript[r, ⟶])])((OverBar[u]),(OverBar[v])),	((OverBar[u]),(OverBar[v])) ϵ (OverBar[D])				(75)
Proučavat ćemo preslikavanje f : S ⟶ (OverBar[S]) koje točki P(u, v) plohe S pridružuje točku (OverBar[P])((OverBar[u]), (OverBar[v])) na plohi (OverBar[S]) (vidi sliku 15.1). Neka je f dano s
	f...{({{(OverBar[u]) =(OverBar[u]) (u,v)}, {(OverBar[v ]) =(OverBar[v ]) (u,v)}})						(76)
pri čemu zahtijevamo da je Jakobijan preslikavanja J≠0. (J=((∂((OverBar[u]), (OverBar[v ])))/(∂(u, v)))= |({{((∂(OverBar[u]))/(∂u)), ((∂(OverBar[u]))/(∂v))}, {((∂(OverBar[v ]))/(∂u)), ((∂(OverBar[v ]))/(∂v))}})|)	
	
				Slika 15.1
Dakle, pretpostavljat ćemo da su funkcije (OverBar[u]) i (OverBar[v ]) klase (C^1) (neprekidne i derivabilne) i bijektivne (svakom paru (u, v) odgovara ((OverBar[u]), (OverBar[ v])) i obartno, svaki par ((OverBar[u]), (OverBar[ v])) slika je samo jednog (u, v)).
Da vidimo u šta prelazi ploha (OverBar[S]) nakon transformacije (76):
	(OverBar[S])... (OverBar[(Overscript[r, ⟶])])= (OverBar[(Overscript[r, ⟶])])[ (OverBar[u]) (u, v), (OverBar[ v]) (u, v)] = (OverBar[(OverBar[(Overscript[r, ⟶])])])(u, v)			(77)
Slijedi da dvije različite plohe (S i (OverBar[S])) mogu dakle imati iste parametre no drukčije jednadžbe. Odnosno, postoji takva parametrizacija da točka P na plohi S i njena slika (OverBar[P]) na (OverBar[S]) imaju iste parametre, pa ćemo obično pretpostavljati da je preslikavanje tako i zadano (vidi sliku 15.2):
	(OverBar[u]) = u, (OverBar[ v]) = v,
odnosno,
	({{S...(Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u,v),     (u,v) ϵ D}, {(OverBar[S])...(OverBar[(Overscript[r, ⟶])])=(OverBar[(Overscript[r, ⟶])])(u,v),    (u,v) ϵ D}})					(78)

	
			         Slika 15.2
Prve diferencijalne forme sada glase:
	({{za S...     (ds^2)=E (du^2)+2F du dv+G (dv^2)}, {za (OverBar[S]) ...   d((OverBar[s])^2)=(OverBar[E]) (du^2)+2(OverBar[F]) du dv+(OverBar[G]) (dv^2)}})			(79)
gdje su E, F, G, (OverBar[E]), (OverBar[F]), (OverBar[G])  funkcije istih parametara u i v.
Ovako zadanim preslikavanjem se neka krivulja α plohe S pomoću f preslika u krivulju (OverBar[α]) na plohi (OverBar[S]), tj. krivulja s jednadžbom u=u(v) odnosno (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u(v),v) na plohi S prelazi na krivulju na plohi (OverBar[S]) koja ima jednadžbu (OverBar[(Overscript[r, ⟶])])=(OverBar[(Overscript[r, ⟶])])(u(v),v). Za preslikavanja ploha važno je koji je odnos između duljine luka krivulje na S i njezine slike na plohi (OverBar[S]). Taj odnos je opisan omjerom

	m=((d(OverBar[s]))/ds)=((Sqrt[(OverBar[E]) (du^2) + 2(OverBar[F]) dudv + (OverBar[G]) (dv^2)])/(Sqrt[E (du^2) + 2F dudv + G (dv^2)]))				(80)
koji nazivamo linearno mjerilo preslikavanja ili koeficjent linearne deformacije u točki A(u,v) u smjeru (du/dv). Jasno je da su pritome E, F, G računati u točki A na plohi S, a (OverBar[E]), (OverBar[F]), (OverBar[G])  u točki (OverBar[A]) na plohi (OverBar[S]).

Razlikujemo sljedeće vrste preslikavanja:
1) Izometričko preslikavanje ⟶ čuva duljine lukova krivulja na plohama.
2) Konformno preslikavanje ⟶ čuva kuteve na plohama (sličnost u malom).
3) Ekvivalentno ili ekviarealno preslikavanje ⟶ čuva veličinu površine na plohama.

Izometričko preslikavanje

Uvjeti preslikavanja

Neka su prve kvadratne forme ploha S i (OverBar[S]) dane formulama (79). Kako duljine elemenata lukova moraju ostati sačuvane, preslikavanje je samo onda izometrično ako je za svako u i v, za svako du i dv (tj. u svakoj točki (u,v) i u svakom smjeru du:dv) ispunjeno:
	d((OverBar[s])^2)=(ds^2).							(81)
Ovo je moguće samo ako je
	(OverBar[E])=E,   (OverBar[F])=F,   (OverBar[G])=G					(82)
pa je linearno mjerilo preslikavanja
	m = 1.								(83)
Dakle, ova transformacija čuva
	- duljinu lukova,
	- kutove među krivuljama na plohi,
	- površine.
Ovo preslikavanje je važno kod razvijanja plohe u ravninu.

Savijanje plohe na plohu; Razvojne plohe

Ako se ploha S može izometrički preslikati u plohu (OverBar[S]), kaže se da se može jednu plohu saviti ili položiti na drugu plohu. Specijalni slučaj savijanja je razvijanje u ravninu.
Razvojne plohe se mogu razviti u ravninu! Odatle potječe i naziv tih ploha. Na primjer, valjak se razreže duž jedne izvodnice i razvije u ravninu. 
Podsjetimo se: Razvojne plohe poznate su i pod nazivom developable. To su pravčaste plohe kod kojih je u svakoj točki Gaussova zakrivljenost K=0.

O Gaussovoj zakrivljenosti i izometriji

Prema Gaussovom “Theorema egregium”, Gaussova je zakrivljenost funkcija osnovnih veličina prvog reda i njihovih derivacija. Zbog toga je K invarjantno prema izometričkim preslikavanjima, iako dolazi do promjene oblika plohe. Naime, (Subscript[K, 1]) i (Subscript[K, 2]) se mijenjau, ali produkt (Subscript[K, 1])·(Subscript[K, 2]) ostaje konstantan. Vrijedi:
Teorem. Dvije plohe koje se mogu saviti jedna na drugu imaju u korespodentnim točkama jednaku Gaussovu zakrivljenost. Isto vrijedi i za razvijanje plohe u ravninu.
Ipak, vrijedi samo:
	(OverBar[S]) i S su izometričke ⟹ K = (OverBar[K]).
Obrat ne mora vrijediti, tj. ako dvije plohe imaju jednake Gaussove zakrivljenosti, one ne moraju biti izometričke. Obrat vrijedi samo u slučaju ploha s konstantnom Gaussovom zakrivljenošću. Slijedi:
	⊳ Nužan i dovoljan uvijet da se neka ploha S može saviti na sferu je K > 0.
	⊳ Nužan i dovoljan uvijet da se neka ploha S može razviti u ravninu je K = 0.

Geodetske linije i izometrička preslikavanja

U 12. poglavlju smo naučili da Christoffelovi simboli [({{i, j}, {k,  }})], {({{i, j}, {k,  }})} ovise samo o E, F, G i njihovim derivacijama pa možemo zaključiti da su diferencijalna jednadžba geodetskih linija i njihov sustav diferencijalnih jednadžbi invarjantni  prema izometričkim preslikavanjima. Vrijedi:
Teorem. Geodetske linije plohe prelaze pri savijanju plohe na plohu ponovo u geodetske linije. Pri razvijanju u ravninu geodetske linije prelaze u pravce.
Primjer. Valjak razrežemo duž izvodnice i razvijemo ga u ravninu. Pritom se izvodnice preslikaju u vertikalne pravce, paralele (kružnice ili elipse kod kružnog odnosno eliptičkog valjka) u horizontalne pravce a zavojnice u kose pravce.

Konformno preslikavanje

Uvjeti preslikavanja

Neka su prve kvadratne forme ploha S i (OverBar[S]) dane formulama (79). Neka se neke dvije krivulje na S sijeku pod kutem ω, a njihove slike na (OverBar[S]) pod kutem (OverBar[ω]).
Preslikavanje f : S ⟶ (OverBar[S]) je konformno ako je 
	ω = (OverBar[ω]).								(84)
Teorem. Ako su funkcije E, F, G proporcionalne funkcijama (OverBar[E]), (OverBar[F]), (OverBar[G]), tj. ako vrijedi
	((OverBar[E])/E)= ((OverBar[F])/F)= ((OverBar[G])/G) = (m^2)(u,v),						(85)
odnosno
	(OverBar[E])=E(m^2),  (OverBar[F])=F(m^2),  (OverBar[G])=G(m^2),
onda je preslikavanje f : S ⟶ (OverBar[S]) konforno, i obratno. (Kraće: Nužan i dovoljan uvijet da preslikavanje bude konformno je relacija (85).)
Dokaz.
Neka je za koeficijente prvih kvadratnih formi ploha S i (OverBar[S]) ispunjen uvjet (85).
Označimo s ω kut između krivulja (Subscript[u, 1])=(Subscript[u, 1])(v) i (Subscript[u, 2])=(Subscript[u, 2])(v) plohe S. Računamo kut (OverBar[ω]) između njihovih slika na (OverBar[S]):
	
	cos (OverBar[ω])= (((OverBar[E])(Subscript[du, 1])(Subscript[du, 2]) + (OverBar[F])((Subscript[du, 1])dv + (Subscript[du, 2])dv) + (OverBar[G])(dv^2))/((Sqrt[(OverBar[E])(Subscript[du, 1]^2) + 2(OverBar[F])(Subscript[du, 1])dv + (OverBar[G])(dv^2)])(Sqrt[(OverBar[E])(Subscript[du, 2]^2) + 2(OverBar[F])(Subscript[du, 2])dv + (OverBar[G])(dv^2)])))=
	
	=((E (m^2)(Subscript[du, 1])(Subscript[du, 2]) + F (m^2)((Subscript[du, 1])+(Subscript[du, 2]))dv + G (m^2)(dv^2))/((Sqrt[E (m^2)(Subscript[du, 1]^2) + 2F (m^2)(Subscript[du, 1])dv+ G (m^2)(dv^2)])(Sqrt[E (m^2)(Subscript[du, 2]^2) + 2F (m^2)(Subscript[du, 2])dv+ G (m^2)(dv^2)])))= cos ω
Obrat se dokazuje obrnutim putem.◼
Napomena: Konformno preslikavanje se još zove i sličnost u malom jer su infinitezimalne figure plohe S i (OverBar[S]) zbog uvijeta (84) međusobno slične.
Na kraju uvodimo mjerilo konformnog preslikavanja:
	((d((OverBar[s])^2))/(ds^2))=(m^2)(u, v).						(86)

Ortogonalna mreža i konformno preslikavanje

Neka je koordinatna mreža na obje plohe ortogonalna. To znači da je F=(OverBar[F])=0. Neka je γ krivulja na plohi S dana jednadžbom
	 γ...	(Overscript[(Subscript[r, 1]), ⟶]) = (Overscript[(Subscript[r, 1]), ⟶])(u(t), v(t)). 
Označimo s (Overscript[(Subscript[t, 1]), ⟶]) vektor tangente krivulje γ,
	(Overscript[(Subscript[t, 1]), ⟶])=((d(Overscript[(Subscript[r, 1]), ⟶]))/dt)=((∂(Overscript[(Subscript[r, 1]), ⟶]))/(∂u))(du/dt)+((∂(Overscript[(Subscript[r, 1]), ⟶]))/(∂v))(dv/dt),   odnosno
	(Overscript[(Subscript[t, 1]), ⟶])=(Subscript[((Overscript[(Subscript[r, 1]), ⟶])), u]) (OverDot[u]) + (Subscript[((Overscript[(Subscript[r, 1]), ⟶])), v]) (OverDot[v]).
Neka je u- krivulja na plohi S dana s (Overscript[(Subscript[r, 2]), ⟶]) = (Overscript[(Subscript[r, 2]), ⟶])(u(t), (Subscript[v, o])). Njen vektor tangente (Overscript[(Subscript[t, 2]), ⟶])=(Subscript[((Overscript[(Subscript[r, 2]), ⟶])), u]) (OverDot[u]).
Za kut ω između tih krivulja imamo:
	cos ω=((E ((OverDot[u])^2))/((Sqrt[E ((OverDot[u])^2)])(Sqrt[E ((OverDot[u])^2) + G ((OverDot[v])^2)])))=(((Sqrt[E])(OverDot[u]))/(Sqrt[E ((OverDot[u])^2) + G ((OverDot[v])^2)])),
	
	sin ω=(Sqrt[1-((E ((OverDot[u])^2))/(E ((OverDot[u])^2) + G ((OverDot[v])^2)))])=(Sqrt[(( G ((OverDot[v])^2))/(E ((OverDot[u])^2) + G ((OverDot[v])^2)))]), 
odakle slijedi
	tg ω=((sin ω)/(cos ω))=(Sqrt[(G/E)])(dv/du).					(87)
Zbog (87) možemo reći da je općenito pri preslikavanju ploha, uz uvijet F = (OverBar[F]) =0, deformacija kuteva dana sa
	((tg (OverBar[ω]))/(tg ω))=((Sqrt[((OverBar[G])/(OverBar[E]))])/(Sqrt[(G/E)])).							(88)
Kod konformnog preslikavanja je
	 ((tg (OverBar[ω]))/(tg ω))=1.							(89)

Poznata konformna preslikavanja

Među poznata konformna preslikavanja spadaju Stereografska i Merkatorova projekcija. Stereografska projekcija je projekcija iz pola na tangencijalnu ravninu položenu suprotnim polom, kako je to prikazano na slici 15.1. O Merkatorovoj projekciji vidi na primjer u [4], zadatak 451.

	
Slika 15.1 Slika točke, meridijana i paralele pri stereografskoj projekciji

Ekviarealno preslikavanje

Uvjeti preslikavanja

Neka su dane plohe S i (OverBar[S]) i neka su njihove prve kvadratne forme dane formulama (79). Pripadni elementi površina su:
	dS=(Sqrt[EG-(F^2)])dudv, 	d(OverBar[S])=(Sqrt[(OverBar[E])(OverBar[G]) - ((OverBar[F])^2)])dudv.
Preslikavanje f : S ⟶ (OverBar[S]) je ekviarealno ako je 
	dS = d(OverBar[S]), 							
a kako znamo da je
	dS = d(OverBar[S]) ⟺ EG-(F^2) = (OverBar[E])(OverBar[G]) - ((OverBar[F])^2),				(90)
time smo dobili nužan i dovoljan uvijet da bi preslikavanje f  bilo ekviarealno.

Površinsko mjerilo preslikavanja okoline O točke A na plohi S u okolinu (OverBar[O]) točke (OverBar[A]) na (OverBar[S]) definirano je izrazom
	M=(Underscript[lim , S⟶0])((OverBar[S])/S),	    M=((d(OverBar[S]))/dS),	   M=(Sqrt[(((OverBar[E])(OverBar[G]) - ((OverBar[F])^2))/(EG-(F^2)))]).		(91)
Kod ekviarealnog preslikavanja je 
	M=1.								(92)		
Napomena: Preslikavanje se zove ekviarealno i onda ako je M=const >0.

Zadaci

01, 02, 03

Kliknite na sliku:

Sažetak poglavlja

Vrste preslikavanja ploha.
Uvjeti preslikavanja (za izometričko, konformno i ekviarealno preslikavanje ploha).
O Gaussovoj zakrivljenosti i izometričkom preslikavanju. 
O geodetskim linijama i izometričkom preslikavanju.
O ortogonolnoj mreži plohe i konformnom preslikavanju.
Neka poznata konformna preslikavanja: Stereografska projekcija, Merkatorova projekcija.

Ishodi učenja poglavlja

Po završetku ovog poglavlja studenti će biti u stanju navesti vrste preslikavanja ploha i njihove osnovne karakteristike, tj. moći će navesti koje veličine ostaju sačuvanje pri pojedinom preslikavanju. Moći će provjeriti da li je zadano preslikavanje ploha izometričko, konformno, odnosno ekviarealno. Bit će u stanju objasniti preslikavanja ploha poznata pod nazivima Stereografska odnosno Merkatorova projekcija.