Mongeovo projiciranje

Osnovne elemente euklidskog prostora označavati ćemo na sljedeći način:
točke – velikim latinskim slovima (A, B, C, D,...)
pravce – malim latinskim slovima (a, b, c, d,...)
ravnine – velikim grčkim slovima (Α, Β, Γ, Δ,...)

Projiciranje točke

Neka su u prostoru dane dvije okomite ravnine Π1 i Π2 koje se sijeku po pravcu x.
Ravnina Π1 je horizontalna i nazivamo ju prvom ravninom projekcije ili ravninom tlocrta.
Ravnina Π2 je vertikalna i nazivamo ju drugom ravninom projekcije ili ravninom nacrta.

Neka je T bilo koja točka prostora.
Ortogonalnu projekciju točke T na ravninu Π1 nazivamo prvom projekcijom ili tlocrtom točke T i označavamo T'1.
Ortogonalnu projekciju točke T na ravninu Π2 nazivamo drugom projekcijom ili nacrtom točke T i označavamo T''.

Rotiramo ravninu Π1 oko presječnice x u smjeru suprotnom od kretanja kazaljke sata za kut od 90o.
Pri toj se rotaciji točka T'1 preslikava u točku T' u ravnini Π2.
Točku T' ∈ Π2 također nazivamo prvom projekcijom ili tlocrtom točke T.

Pridruživanje T —> (T',T'') nazivamo Mongeovim projiciranjem ili dvocrtnom projekcijom.

Spojnica T'T'' ∈ Π2 okomita je na presječnicu x i nazivamo ju ordinalom točke T.

U prostor uvodimo lijevi pravokutni (Kartezijev) koordinatni sustav tako da se os x podudara s presječnicom ravnina Π1 i Π2. Sada je svaka točka prostora određena sa svoje tri koordinate T(x,y,z), za koje vrijedi d(T,Π1) = |z| i d(T,Π2) = |y|.



Svaka od ravnina projekcije Π1 i Π2 dijeli prostor na 2 poluprostora, a zajedno ga dijele na 4 kvadranta.

Poluprostore opisujemo izrazima gornji i donji (iznad i ispod Π1), odnosno prednji i stražnji (ispred i iza Π2).

Kvadrante opisujemo kombinacijom tih izraza: I (gornji prednji), II (gornji stražnji), III (donji stražnji), IV (donji prednji).

Položaj točke T u prostoru određen je njezinim koordinatama (x,y,z).
  • Ako je z = 0, tada T leži u ravnini Π1 (T ∈ Π1).
  • Ako je y = 0, tada T leži u ravnini Π2 (T ∈ Π2).
    Točka T(x,y,z) pripada određenom poluprostoru ili kvadrantu ovisno o predznaku njezinih y i z koordinata (vidi tablice).
    poluprostorz
    gornji+
    donji−


    poluprostory
    prednji+
    stražnji−


    kvadrantyz
    I++
    II−+
    III− −
    IV+−


    Pripadnost točke određenom kvadrantu može se u projekciji očitati iz položaja njezinog tlocrta i nacrta.
    Na donjoj su slici prikazani tlocrti i nacrti točaka koje leže u različitim kvadrantima (A ∈ I, B ∈ II, C ∈ III, D ∈ IV).

    Posebni položaji točaka

    Ako točka leži u nekoj od ravnina projekcije, onda će se ona podudarati sa svojom projekcijom na tu ravninu dok će joj projekcija na onu drugu ležati na osi x.

  • T ∈ Π1, onda je T' = T i T'' ∈ x, tj. nacrt joj leži na osi x.

  • T ∈ Π2, onda je T'' = T i T' ∈ x, tj. tlocrt joj leži na osi x.

  • T ∈ x, onda se ona podudara sa svojim tlocrtom i nacrtom, tj. T = T' = T'' .

    Na sljedećoj su slici prikazane projekcije sljedećih točaka: A,B ∈ Π1, C,D ∈ Π2 i E ∈ x.

    Postoje još dvije ravnine prostora za čije su točke njihove projekcije (tlocrt i nacrt) u posebnom položaju:
  • Σ – ravnina simetrije , koja raspolavlja I. i III. kvadrant, a tlocrt i nacrt svake točke te ravnine simetrični su s obzirom na os x.
  • Κ – ravnina koincidencije , koja raspolavlja II. i IV. kvadrant, a tlocrt i nacrt svake točke te ravnine se podudaraju.

    Na donjoj su slici prikazani tlocrti i nacrti dviju točaka A,B ∈ Σ.
    Na donjoj su slici prikazani tlocrti i nacrti točaka A,B ∈ Κ.



    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu