Kotirana projekcija

Kod Mongeovog projiciranja smo vidjeli da je položaj točke u prostoru jednoznačno određen s njezine dvije ortogonalne projekcije (npr. tlocrtom i nacrtom).
U primjeni se često pojavljuju situacije u kojima upotreba dviju projekcija nije moguća ili je pak nezgodna za konstrukciju.
U tim slučajevima možemo promatrati ortogonalnu projekciju na samo jednu ravninu, dok podatak o udaljenosti točaka od te ravnine (za što nam je služila druga ortogonalna projekcija) izražavamo brojem tj. kotom.
Takvu projekciju nazivamo kotiranom projekcijom.

Uobičajeno za ravninu projekcije odabiremo horizontalnu ravninu (ravninu tlocrta) u kojoj su kote svih točaka jednake 0.

Ravnine paralelne s ravninom projekcije nazivamo nivo-ravninama. Točke u tim ravninama imaju jednake kote, budući su jednako udaljene od ravnine projekcije.

Takve ravnine u kojima su kote točaka cijeli brojevi nazivamo glavnim nivo-ravninama.
Glavne nivo-ravnine.

Mjerilo

Kote tj. brojevi koji izražavaju udaljenost točaka od ravnine projekcije moraju biti vezani uz neku mjernu jedinicu.
Za osnovnu mjernu jedinicu u kotiranoj projekciji odabiremo 1 metar.

Jasno je da nije moguće takve jedinice prikazivati u pravoj veličini na crtežu.
Stoga objekte u kotiranoj projekciji crtamo umanjeno, u mjerilu koje nazivamo mjerilom slike.

Mjerilo slike zadajemo u obliku kvocijenta \(\mathbf {M=1:a}\),
što znači da će prava veličina dužine u ravnini slike dugačke \(1 m\) na crtežu iznositi \(\frac{1}{a}\,\,m\).

Na svakoj slici u kotiranoj projekciji ovo mjerilo mora biti naznačeno.

IZRAČUNAJTE koliko iznosi \("1 m"\) u mjerilima:
\( M=1:25\), \( M=1:50\), \( M=1:100\), \( M=1:125\), \( M=1:200\), \( M=1:250\), \( M=1:400\), \( M=1:500\).

Kotirana projekcija točke

Točka se u kotiranoj projekciji prikazuje njenom ortogonalnom projekcijom na ravninu slike i kotom.
Pri tome kota točke izražava udaljenost točke od ravnine slike u metrima.
U našim će primjerima ravnina slike redovito biti tlocrtna ravnina.

Točka A se nalazi 2m ispod, a točka B 3m iznad ravnine slike.


Kotirana projekcija pravca

Pravac, koji je u općem položaju prema ravnini projekcije, u kotiranoj se projekciji prikazuje svojim tlocrtom na kojem su istaknute projekcije onih njegovih točaka koje imaju cijelobrojne kote.
Te točke nazivamo glavnim točkama pravca, a tako zadan pravac graduiranim pravcem.
Smjer pada kota točaka na pravcu označujemo strelicom.

Razmak između projekcija dviju susjednih točaka cjelobrojnih kota (ili projekcija dviju točaka pravca kojima je visinska razlika 1m) nazivamo intervalom pravca.
Očito je da su svi intervali nekog pravca jednaki.

Nagib pravca je tangens kuta što ga taj pravac zatvara s ravninom projekcije.

  • Interval i nagib pravca su recipročni brojevi.

    Ovu je činjenicu vrlo lako uočiti na desnoj donjoj slici.


    Graduirani pravac s istaknutim intervalom.



    \( n_p = \tan\alpha = \frac{1}{i}\)




    ZADATAK 1: Graduirajte pravac koji prolazi točkama A i B.
    Ovaj se zadatak rješava pomoću prevaljivanja pravca u ravninu projekcije, a postupak prevaljivanja isti je kao u Mongeovom projiciranju,
    osim što su udaljenosti točaka od ravnine projekcije određene kotama, a ne nacrtima.

    Međusobni položaji dvaju pravaca

    Pravci koji se sijeku - sjecište projekcija ima istu kotu na oba pravca.

    Paralelni pravci - paralelne projekcije, isti smjer pada kota i jednaki intervali.




    Mimosmjerni pravci - projekcije se sijeku, ali to sjecište ima različite
    kote na zadanim pravcima.

    Mimosmjerni pravci - paralelne projekcije, a različiti intervali.

    Pravci u posebnom položaju prema ravnini projekcije

  • Ako je pravac okomit na ravninu projekcije (zraka projiciranja), njegov je interval 0, a projekcija točka.

  • Ako je pravac paralelan s ravninom projekcije, sve njegove točke imaju iste kote pa interval nije niti definiran.


    Općenito, linije koje sadrže točke istih kota imaju posebnu ulogu u kotiranoj projekciji. Ako one leže na nekoj plohi, nazivamo ih slojnicama te plohe. Ako je ta ploha ravnina, onda su njezine slojnice pravci paralelni s ravninom projekcije. Te smo pravce kod Mongeovog projiciranja nazivali sutražnicama 1. skupine.

    Kotirana projekcija ravnine

    Ravnina se u kotiranoj projekciji prikazuje svojim glavnim slojnicama i mjerilom nagiba.

    Glavne slojnice ravnine su one slojnice kojima su kote točaka cijeli brojevi.
    Mjerilo nagiba je bilo koji pravac ravnine koji je okomit na njezine slojnice (bilo koja njezina priklonica 1. skupine).

    Nagib i interval ravnine jednaki su nagibu i intervalu njezinog mjerila nagiba.

    Glavne slojnice, mjerilo nagiba i istaknuti interval ravnine.



    Glavne slojnice su presječnice ravnine i glavnih nivo-ravnina.


  • Točka leži u ravnini, ako leži na bilo kojoj slojnici te ravnine.
  • Pravac koji leži u ravnini graduiran je njezinim glavnim slojnicama.



  • Projekcija presječnice dviju ravnina je spojnica sjecišta istoimenih slojnica.



    ZADATAK 2: Konstruirajte projekciju probodišta pravca p i ravnine \(\Sigma\).
    Postupak konstrukcije probodišta pravca i ravnine je isti kao kod Mongeovog projiciranja, samo što kao pomoćnu ravninu ne odabiremo projicirajuću ravninu.



    ZADATAK 3: Konstruirajte nekoliko slojnica i mjerila nagiba ravnina koje sadrže zadani pravac \(p\), a nagib im je \(n=2\).
    Ovaj će nam zadatak biti vrlo važan kod rješavanja terena - za postavljanje ravnina nasipa i usjeka kod prometnica u nagibu.





    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu