Ravninske kolineacije

Transformacijom ravnine nazivamo svako bijektivno preslikavanje ravnine na samu sebe.
To znači da je takvim preslikavanjem svakoj točki ravnine pridružena jedna i samo jedna točka iste ravnine i obrnuto, svaka točka ravnine slika je jedne i samo jedne točke iste ravnine.

Ravninska kolineacija je transformacija ravnine koja čuva kolinearnost točaka, tj. incidenciju točke i pravca.

Kod takvih će se transformacija točke nekog pravca preslikati u točke pravca iste ravnine, tj. pravci će se preslikavati u pravce.

Točke i pravce koji se nekom kolineacijom preslikavaju sami u sebe nazivamo fiksnim ili čvrstim točkama i pravcima tog preslikavanja. Ovdje treba uočiti da se pravac može preslikati sam u sebe, a da se pri tome njegove točke ne preslikavaju same u sebe. Jednostavno, točke pravca preslikavaju se u neke druge točke tog istog pravca pa je pravac sam svoja slika, ali to ne vrijedi i za sve njegove točke. Na takvom pravcu mogu biti fiksne najviše dvije točke. Ako su tri točke nekog pravca fiksne, onda je fiksna i svaka njegova točka.

Vi ste do sada upoznali nekoliko transformacija ravnine: translaciju, rotaciju, osnu simetriju, centralnu simetriju, homotetiju... Sve su to kolineacije. Podsjetite se i provjerite da ta preslikavanja čuvaju incidenciju točke i pravca. Koja je točka fiksna kod centralne simetrije, koja kod rotacije, a koja kod homotetije? Koliko fiksnih pravaca postoji kod osne simetrije?

Ovdje ćemo obraditi dva kolinearna preslikavanja s kojima se niste upoznali tijekom dosadašnjeg školovanja - perspektivnu kolineaciju i afinitet. Ta će nam preslikavanja biti važna za konstrukciju ravninskih i prostornih objekata, kao i za bolje razumijevanje nekih prostornih relacija.

Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom