Perspektivna kolineacija u ravnini

Ravninska perspektivna kolineacija je kolineacija ravnine kod koje postoji točno jedan fiksni pravac o, čije su sve točke fiksne, i točno jedna fiksna točka S∉o.
Za pravac o kažemo da je os, a za točku S da je središte perspektivne kolineacije.

Budući da je perspektivna kolineacija preslikavanje (tj. funkcija) koja točkama ravnine pridružuje točke te iste ravnine, domena i kodomena te funkcije se podudaraju. Stoga ćemo u našim daljnjim oznakama jedno polje točaka označavati indeksom 1, a drugo indeksom 2. Tako ćemo točku perspektivno kolinearno pridruženu točki T1 označavati T2, a pravac koji je perspektivno kolinearno pridružen pravcu p1 označavat ćemo p2.

Sada ćemo, izvodeći redom korake na sljedećoj slici i prateći popratne komentare, istražiti osnovna svojstva perspektivne kolineacije (npr. s kojim je elementima ona jednoznačno određena) te prikazati osnovnu konstrukciju para perspektivno kolinearno pridruženih točaka.

Na slici 15 točka S je središte, a pravac o je os perspektivne kolineacije. A1 je bilo koja točka ravnine. Jedino što o njoj znamo jest to da nije fiksna.

Slika 15

1. korak: Spojnica točaka S i A1 preslikava se sama u sebe, jer sarži dvije fiksne točke (S i X). Nazivamo ju zrakom kolineacije. Zbog kolinearnosti preslikavanja točka A2, pridružena točki A1, mora ležati na toj zraci.

2. korak: Odabrali smo točku A2 na zraci. To može biti bilo koja točka osim S, X ili A1.

3. korak: B1 je bilo koja daljna točka ravnine. Možemo li iz zadanih elemenata odrediti točku B2, perspektivno kolinearnu sliku točke B1?

4. korak: B2 mora ležati na zraci točke B1.

5. korak: Uočite pravac p1, spojnicu A1B1.

6. korak: Pravac p2, zbog kolinearnosti, prolazi kroz A2 i siječe os u istoj točki kao i pravac p1.

7. korak: Točka B2 je jedinstveno sjecište zrake točke B1 i pravca p2.

Pomičite sada točku B1 na gornjoj slici i uočite kako konstrukcija točke B2 ne ovisi o njezinu položaju, tj. tom se konstrukcijom može odrediti perspektivno kolinearna slika bilo koje točke ravnine.
Pomaknite točku A2 na zraci (nju smo odabrali po volji) i uočite kako taj pomak mijenja položaj točke B2, tj. sliku točke B1. Dakle, odabirom točke A2 u potpunosti smo odredili perspektivno kolinearno preslikavanje.




Osnovna svojstva perspektivne kolineacije


  • Svi pravci koji prolaze središtem kolineacije preslikavaju se sami u sebe.
    Nazivamo ih zrakama perspektivne kolineacije.

  • Parovi perspektivno kolinearno pridruženih točaka leže na zrakama perspektivne kolineacije.

  • Parovi perspektivno kolinearno pridruženih pravaca sijeku se na osi perspektivne kolineacije.
    Stoga se pravac koji je paralelan s osi, preslikava u pravac koji je također paralelan s osi.

  • Svaka perspektivna kolineacija jednoznačno je određena svojim središtem S, osi o i jednim parom pridruženih točaka A1, A2.
    Takav način zadavanja perspektivne kolineacije označavat ćemo (S,o,A1, A2).

    Pri tome za odredbeni par pridruženih točaka možemo odabrati bilo koji par koji je pridružen u toj perspektivnoj kolineaciji. Na primjer, za perspektivnu kolineaciju na slici 15 vrijedi (S,o,A1, A2)=(S,o,B1,B2). Provjerite to na sljedeći način: Isključie sve prozorčiće osim onih uz 3., 4. i 7. korak. Sada je perspektivna kolineacija zadana sa (S,o,B1,B2). Daljnje uključivanje prozorčića uz 1., 5., 6. i 2. korak, daje konstrukciju točke A2, perspektivno kolinearne slike točke A1.

    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom