Proširena euklidska ravnina

Zasnovati neku geometriju znači na skupove osnovnih elemenata i osnovnih relacija među njima (koji se ne definiraju, ali su nam intuitivno jasni) primijeniti jedan sustav aksioma (tvrdnji koje se ne dokazuju, a uzimaju se kao istinite i intuitivno su nam jasne) i pomoću njih definirati sve ostale figure te izvesti sve moguće posljedice (teoreme).

U ravninskoj geometriji (planimetriji) koju ste tijekom dosadašnjeg školovanja na više načina upoznavali (konstruktivno i analitički), osnovni su elementi točke i pravci, a jedna od osnovnih relacija među njima je incidencija*. Tu je geometriju još u starom vijeku aksiomatski zasnovano grčki matematičar Euklid, u svojoj knjizi Elementi, i danas ju nazivamo euklidskom geometrijom ravnine.
Konstrukcije te geometrije izvode se ravnalom i šestarom.
Sustav aksioma, koji su činjenice koje ne dokazujemo, ali su nam intuitivno uglavnom vrlo jasne (ima ih 16 prema Hilbertovoj aksiomatici euklidske ravnine), sastoji se od pet grupa i uključuje mjerenje duljine, kuta i površine. Ovdje ih nećemo ispisivati (to je sadržaj za studente matematike), navodimo samo dva:

A1: Postoji točno jedan pravac koji je incidentan s dvije dane različite točke. (1. aksiom incidencije)



A5: Neka je p bilo koji pravac i T bilo koja točka koja s njim nije incidentna. Tada postoji najviše jedan pravac koji prolazi točkom T i ne siječe pravac p. (aksiom o paralelama)



  • U euklidskoj ravnini dva se pravca ili sijeku ili su paralelni.

    Geometrija projektivne ravnine također kao osnovne elemente ima točke i pravce te samo jednu osnovnu relaciju, relaciju incidencije. Sustav aksioma može se svesti na sljedeća tri:
    A1: Postoji točno jedan pravac koji je incidentan s dvije dane različite točke.


    A2: Postoji točno jedna točka koja je incidentna s dva dana različita pravca.



    A3: Postoje četiri različite točke od kojih nikoje tri nisu kolinearne.

  • Dakle, u projektivnoj ravnini ne postoje pravci koji se ne sijeku.
    		•
    Slike paralelnih tračnica se sijeku.

    Projektivnu geometriju možemo opisati kao proučavanje geometrijskih svojstava koja se pri centralnom projiciranju, koje ćemo opisati kasnije, ne mijenjaju. Centralna projekcija najbliža je slici koja nastaje u našem oku.

    Uočite da se aksiomi A1 i A2 mogu dobiti jedan iz drugog zamjenom riječi pravac i točka. Ova činjenica uvjetuje dualitet projektivne geometrije, tj. ako je u projektivnoj ravnini istinita neka tvrdnja bit će istinita i ona koja nastaje tako da u prvoj zamijenimo riječi točka i pravac te spajati i sjeći (ležati na i prolaziti kroz). Stoga ako u projektivnoj geometriji dokažemo neki teorem, dokazali smo i njemu dualni.
    Pojmove čije su definicije povezane na takav način nazivamo dualnim pojmovima. Na primjer, sljedeće su dvije tvorevine dualne:
    niz točaka (p) - čine ga sve točke ravnine koje leže na pravcu p,
    pramen pravaca (P) - čine ga svi pravci ravnine koji prolaze točkom P.

    Nadopunjujemo sada euklidsku ravninu na sljedeći način:
  • Svaki pravac nadopunimo s jednom beskonačno dalekom točkom u kojoj ga sijeku svi s njim paralelni pravci. Različite klase paralelnih pravaca imaju različite beskonačno daleke točke.
  • Beskonačno daleke točke svih pravaca ravnine leže na jednom pravcu te ravnine kojeg nazivamo njenim beskonačno dalekim pravcem.
    Beskonačno daleki elementi ravnine (pravac i točke na njemu) realni su kao i svi ostali elementi ravnine.
    Ovako nadopunjenu euklidsku ravninu nazivamo proširenom euklidskom ravninom ili realnom projektivnom ravninom. To je projektivna ravnina i u njoj se svaka dva pravca sijeku (paraleni se pravci sijeku u beskonačno dalekoj točki).

    Projektivna geometrija ne koristi mjeru (udaljenost točaka i veličinu kuteva). Mjera je karakteristika euklidske geometrije, a u inženjerstvu je neophodna. Stoga ćemo u našem predmetu proširenu euklidsku ravninu (a kasnije i prostor) koristiti za izvođenje nekih općenitih zaključaka o ravninskim (prostornim) figurama, dok ćemo za konstrukciju (na papiru ili računalu) koristiti euklidsku ravninu (prostor) u kojoj za sve elemente (konačne) vrijedi euklidska metrika.




    * Za relaciju incidencije u našem jeziku često koristimo i izraze "ležati na" (točka leži na pravcu), "prolaziti kroz" (pravac prolazi kroz točku), "spajati" (pravac spaja točke), "sjeći" (pravci se sijeku) i slično.
    Za točke koje leže na istom pravcu kažemo da su kolinearne, a za pravce koji prolaze istom točkom kažemo da su konkurentni    .

    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu