Zakrivljenost ravninske krivulje

Pojam zakrivljenosti ravninske krivulje intuitivno nam je vrlo blizak. Na primjer, teško da će netko pogrešno odgovoriti na pitanje da li je zakrivljenost krivulje k sa slike lijevo veća u točki A ili u točki B? Zakrivljenost ravninske krivulje u diferencijalnoj se geometriji računa pomoću druge derivacije vektorski zadane krivulje i mjeri otklon krivulje od tangente. U okviru našeg predmeta nećemo zakrivljenost tretirati metodama diferencijalne geometrije, isto kao što nećemo ulaziti niti u fizikalnu interpretaciju tog pojma koja je vrlo važna budućim inženjerima i s kojom ćete se upoznati tijekom studija. Ovdje ćemo zakrivljenost konika obraditi konstruktivno sa ciljem što boljeg razumijevanja pojma hiperoskulacijskih kružnica konika, čija je konstrukcija dana na slici 14, na kraju ovog odjeljka.

Zakrivljenost kružnice c polumjera R jednaka je za sve njezine točke i iznosi κ_c=1/R.

Kružnica će nam stoga, kao krivulja konstantne zakrivljenosti, služiti za mjerenje zakrivljenosti ostalih krivulja kod kojih je ta vrijednost promjenljiva. Što je polumjer kružnice manji, njezina je zakrivljenost veća. Zakrivljenost pravca jednaka je 0 i možemo ju interpretirati kao zakrivljenost kružnice beskonačno velikog polumjera.

U regularnoj točki T krivulje k promatramo tangentu i normalu. Bilo koja kružnica koja prolazi točkom T, a središte joj leži na normali, ima istu tangentu u T kao i krivulja k. Svaka takva kružnica ima s krivuljom k dvije zajedničke točke podudarne s točkom T pa kažemo da kružnica i krivulja imaju u točki T dodir 1. reda, a kružnicu nazivamo dirnom kružnicom krivulje k u točki T. Dirnih kružnica krivulje k u točki T ima beskonačno mnogo (isto koliko i točaka na normali), i one čine pramen dirnih kružnica krivulje k u točki T. Ako je k algebarska krivulja reda n, svaka dirna kružnica imat će s njom (osim dodirne točke T koju brojimo kao 2 sjecišta) još 2(n-1) zajedničkih točaka.

U pramenu dirnih kružnica krivulje k u regularnoj točki T uvijek postoji jedna kružnica kojoj se i jedno od preostalih 2(n-1) sjecišta podudara s točkom T. Ta kružnica i krivulja k imaju 3 zajedničke točke podudarne s točkom T i kažemo da u T imaju dodir 2. reda. Ovu kružnicu nazivamo oskulacijskom kružnicom krivulje k u točki T ili kružnicom zakrivljenosti krivulje k u točki T. Označavat ćemo ju o_k(T).

Zakrivljenost krivulje k u točki T jednaka je zakrivljenosti njezine oskulacijske kružnice u T, tj. κ_k(T)=κ_ok(T)

Ako je krivulja k u okolini točke T simetrična u odnosu na normalu, tada će ona sa svojom oskulacijskom kružnicom imati 4 zajedničke točke u T. U takvim slučajevima kažemo da krivulja i kružnica imaju dodir 3. reda ili da se hiperoskuliraju, a kružnicu nazivamo hiperoskulacijskom kružnicom krivulje k.

Oskulacijske i hiperoskulacijske kružnice konika

Dirna kružnica konike k u točki T ima s konikom, pored dodirne točke T, još 2 sjecišta. Ta sjecišta mogu biti realna i različita, mogu se podudarati i tada kružnica i konika imaju dvije dodirne točke 1. reda, a mogu biti i konjugirano imaginarna. U svakom od tih slučajeva postoje okoline točke T u kojima se luk dirne kružnice u cijelosti nalazi s iste strane konike, tj. leži ili u njezinoj nutrini (interioru) ili vanjštini (eksterioru).

Oskulacijska kružnica konike jedinstvena je za svaku njezinu točku T. Budući da u točki T ove dvije krivulje imaju dodir 2. reda, tj. tri sjecišta koja su pala u istu točku T, svaka oskulacijska kružnica siječe koniku još u jednoj realnoj točki. To sjecište i točka T dijele oskulacijsku kružnicu na dva kružna luka od kojih jedan pripada interioru, a drugi eksterioru konike. I u svakoj okolini točke T jedan dio luka oskulacijske kružnice leži u interioru, a drugi u eksterioru konike. Možemo reći da je oskulacijska kružnica konike u točki T ona kružnica koja ju u točki T i dodiruje i siječe.

Hiperoskulacijske kružnice konika su njezine kružnice zakrivljenosti u tjemenim točkama. Naime, budući da tjemena konike leže na njezinim osima simetrije (a te su osi ujedno i normale u tjemenima) bit će i sjecišta dirnih kružnica konike u takvim točkama simetrična s obzirom na normalu. Stoga u slučaju oskulacije, kad jedna presječna točka dirne kružnice i konike padne u diralište, mora u diralište pasti i druga presječna točka, tj. kružnica zakrivljenosti i konika imaju 4 zajedničke točke u tjemenu. Budući da konika i njena hiperoskulacijska kružnica sve 4 zajedničke točke imaju u svom diralištu, ne mogu one izvan tog dirališta imati više niti jednu zajedničku točku, tj. sve ostale točke hiperoskulacijske kružnice leže ili u interioru ili u eksterioru konike.
Elipsa ima 4 realna tjemena, a hiperbola i parabola po 2, s tim da je jedno realno tjeme parabole u beskonačnosti.

Zakrivljenost konike u njezinom tjemenu poprima ekstremnu vrijednost.

Na slici 11 dane su grafičke interpretacije ovih svojstava.

Slika 11

U svakoj točki konike postoji jedinstvena normala i na njoj jedinstveno središte oskulacijske kružnice konike u toj točki. Giba li se točka neprekinuto po konici, opisivat će središta pripadnih oskulacijskih kružnica jednu algebarsku krivulju kojoj će odgovarajuće normale biti tangente. Tu krivulju nazivamo evolutom konike.

Na slici 12 prikazane su evolute elipse, parabole i hiperbole. Animirajte dane primjere.

Slika 12

Na slici 13 dane su konstrukcije središta oskulacijskih kružnica u točkama elipse, parabole i hiperbole.

Slika 13

Na slici 14 dane su konstrukcije središta hiperoskulacijskih kružnica u tjemenima elipse, parabole i hiperbole.

Slika 14

Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu, Izrađeno GeoGebrom