2.1.1. Prošireni euklidski prostor

U prethodnom smo poglavlju promatrali ravninu, čiji su osnovni elementi točke i pravci. Svaki smo pravac nadopunili jednom beskonačno dalekom točkom u kojoj ga sijeku svi pravci koji su s njim paralelni. Beskonačno daleke točke svih pravaca jedne ravnine leže na jednom njezinom pravcu – beskonačno dalekom pravcu te ravnine.

U prostoru imamo tri skupa osnovnih elemenata: točke, pravce i ravnine. Beskonačno daleke točke, a onda i sve njihove spojnice – beskonačno daleki pravci svih ravnina prostora, leže u jednoj ravnini koju nazivamo beskonačno dalekom ravninom prostora.

Standardni euklidski prostor, koji ste upoznavali tijekom dosadašnjeg školovanja, nadopunjen beskonačno dalekim elementima (beskonačno dalekim točkama i pravcima i jednom beskonačno dalekom ravninom u kojoj leže) nazivamo proširenim euklidskim prostorom.

U tom prostoru vrijedi sljedeće:
  • Svaki pravac ima jednu beskonačno daleku točku, to je njegovo probodište s beskonačno dalekom ravninom.
  • Svaka dva paralelna pravca imaju istu beskonačno daleku točku, ta je točka njihovo sjecište.
  • Svaka ravnina ima jedan beskonačno daleki pravac, to je njezina presječnica s beskonačno dalekom ravninom.
  • Svake dvije paralelne ravnine imaju isti beskonačno daleki pravac, taj je pravac njihova presječnica.
  • Ako su pravac i ravnina paralelni, tada beskonačno daleka točka tog pravca leži na beskonačno dalekom pravcu te ravnine.
  • Beskonačno daleka ravnina paralelna je sa svim ravninama i pravcima prostora.

    Prošireni euklidski prostor zadovoljava aksiome trodimenzionalnog projektivnog prostora. Te aksiome ovdje nećemo navoditi, većina od njih podudara se s aksiomima euklidskog, kao na primjer:


    Slika 2.1
  • Svake su tri nekolinearne točke incidentne samo s jednom ravninom.


    		•

    Ovdje ističemo samo jednu tvrdnju koja vrijedi u proširenom euklidskom, a ne vrijedi u euklidskom prostoru.

    Slika 2.2
  • Svake su tri nekolinearne ravnine incidentne samo s jednom točkom.


    • Uočite da se te dvije tvrdnje mogu dobiti jedna iz druge zamjenom riječi točka i ravnina, dok se riječi pravac i incidentno ne mijenjaju. Ta činjenica uvjetuje dualitet projektivne geometrije prostora, tj. ako je u projektivnom prostoru istinita neka tvrdnja bit će istinita i ona koja nastaje tako da u prvoj zamijenimo riječi točka i ravnina dok riječ pravac i incidencija ostaju nepromijenjene.* Stoga ako u projektivnoj geometriji prostora dokažemo neki teorem, dokazali smo i njemu dualni.

    Dakle, dualni elementi projektivnog prostora su točka i ravnina, dok je pravac dualan sam sebi.

    Pojmove čije su definicije povezane na takav način nazivamo dualnim pojmovima. Na primjer, sljedeće su dvije tvorevine dualne:

    Slika 2.3    		 niz točaka \((p)\) - čine ga sve točke prostora koje leže na pravcu \(p\)



    Slika 2.4    		 pramen ravnina \((p)\) - čine ga sve ravnine prostora koje prolaze pravcem \(p\).


    Ponavljamo ono što smo već istakli kod projektivne ravnine:
    Projektivna geometrija ne koristi mjeru (udaljenost točaka i veličinu kuteva). Mjera je karakteristika euklidske geometrije, a u inženjerstvu je neophodna. Mi ćemo stoga u svemu što slijedi itekako razlikovati paralelne pravce i ravnine od pravaca i ravnina koji se sijeku, jer nam to svakako treba (npr. udaljenost između dva ukrštena pravca je 0, dok između paralelnih nije). Samo ćemo ponekad, kad će nam to omogućiti brže i elegantnije rješavanje nekih problema, proširiti prostor našeg razmatranja.

    * Budući da umjesto incidentan, često koristimo neke druge izraze, u dualnim izjavama mijenjamo i izraze: spajati i sjeći, ležati na i prolaziti kroz,.....



    Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu