Predavanja iz predmeta:	
Matematika IV - Diferencijalna geometrija
jbeban@geof.hr

I. POGLAVLJE - UVOD

1. OSNOVNI POJMOVI VEKTORSKE ALGEBRE

Pojam vektora

Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potreban samo jedan broj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,.… Njih zovamo skalarnim veličinama.
Međutim, postoje veličine koje ne možemo potpuno odrediti brojem, već je potrebno zadati i njihov smjer. Na primjer ubrzanje, strujanje, vjetar,.… Njih zovamo vektorskim veličinama.
Na ovom ćemo mjestu ukratko ponoviti osnovne pojmove vektorske algebre - računske operacije s vektorima i svojstva tih operacija. Za bolje upoznavanje vidi predavanja iz Matematike 1, poglavlje 4.

Geometrijski prikaz
Vektor se geometrijski u 1D, 2D i 3D prostoru može prikazati kao strelica ili usmjerena dužina. Označimo točke toga prostora velikim slovima A,B,C,..., dužinu s krajevima A, B  s (OverBar[AB]), i udaljenost dviju točaka A, B  s |AB| ili d(A,B), što je ujedno i duljina dužine (OverBar[AB]).
Usmjerena dužina (Overscript[AB, →])  je dužina kojoj je početna točka A, a završna točka B. Za dvije usmjerene dužine  (Overscript[AB, →])  i  (Overscript[CD, →])  ćemo reći da su ekvivalentne ako je četverokut ABDC paralelogram, tj. ako postoji translacija koja prevodi jednu u drugu.
Sve međusobno ekvivalentne dužine čine klasu međusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina koju nazivamo vektorom. Označavat ćemo ih:  (Overscript[AB, ⟶]), (Overscript[CD, ⟶]),... ili  (Overscript[a, →]), (Overscript[b, →]), (Overscript[v, →]), ....
Uobičajeno je, iako neprecizno, pisati  (Overscript[a, →]) =(Overscript[AB, →]), budući da (Overscript[a, →]) predstavlja klasu, a (Overscript[AB, →]) samo jednu usmjerenu dužinu iz te klase. Usmjerenu dužinu iz klase biramo po volji odabirom njene početne točke.

Geometrijski, vektor je opisan (zadan) sa:
	•	prevcem nosiocem na kojem se vektor nalazi,
	•	duljinom ili modulom:   |(Overscript[AB, ⟶])| = d(A,B) ,
	•	orijentacijom na pravcu nosiocu.
Ponekad se govori o smjeru vektora. Smjer objedinjuje nosioca i orijentaciju.

Nul vektor je vektor duljine 0. Oznaka: (Overscript[0, →]). Na primjer, (Overscript[0, →]) = (Overscript[AA, →]) = (Overscript[BB, →]) = ⋯
Radij vektor. Odaberemo li kao početnu točku nekog vektora na pravcu, u ravnini ili prostoru ishodište koordinatnog sustava dobit ćemo vektor (Overscript[OT, →]) koji nazivamo radij vektorom točke T.
Jedinični vektor je vektor duljine 1. Neka je (Overscript[a, →]) ≠ (Overscript[0, →]) zadani vektor. Jedinični vektor vektora  (Overscript[a, →]) je vektor istog smjera i duljine 1.Oznaka: (Overscript[(Subscript[a, o]), →]). Dobije se dijeljenjem vektora njegovom normom ( (Overscript[(Subscript[a, o]), →]) = (((Overscript[a, →]))/(| (Overscript[a, →])|))).
Kolinearni vektori su vektori koji pripadaju istom ili paralelnim pravcima.
Komplanarni vektori su vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim ravninama.

Računanje s vektorima

Množenje vektora sa skalarom (brojem)

X - skup svih vektora prostora (E^3)
ℝ - polje realnih brojeva
	(Overscript[a, ⟶])ϵ X,   λ∈ ℝ;
	( ): X × ℝ⟶X 	  
	((Overscript[a, ⟶]), λ) ↦  λ(Overscript[a, ⟶]) = (Overscript[b, ⟶]) ∈ X

Vektor (Overscript[b, ⟶]) = λ(Overscript[a, ⟶]) definiran je sa:
	1°) duljina: |(Overscript[b, ⟶])| = |λ(Overscript[a, ⟶])| = |λ|·|(Overscript[a, ⟶])|
	2°) pravac nosioc vektora (Overscript[b, ⟶]) jednak je onome od (Overscript[a, ⟶])
	3°) orjentacija: {({{ista za λ > 0}, {suprotna za λ < 0}})

Slika:	(Overscript[a, ⟶]) = (Overscript[(A B), →]),	(Overscript[b, ⟶]) = λ(Overscript[a, ⟶]) = (Overscript[(A C), →])

Svojstva operacije množenja sa skalarom:
	(1)  λ ((Overscript[a, →]) + (Overscript[b, →])) = λ (Overscript[a, →]) + λ (Overscript[b, →])
	(2)  (λ + μ) (Overscript[a, →]) = λ (Overscript[a, →]) + μ (Overscript[a, →])
	(3)  (λμ) (Overscript[a, →]) = λ (μ (Overscript[a, →]))	
	(4)  1 (Overscript[a, →]) = (Overscript[a, →])
Za λ = 0  ⇒  λ(Overscript[a, ⟶])= 0 (Overscript[a, →]) = (Overscript[0, →]) 		- nul-vektor
Za λ = -1 ⇒ λ(Overscript[a, ⟶])= (-1)(Overscript[a, ⟶])= -(Overscript[a, ⟶]) 	- suprotni vektor

Zbrajanje vektora

(Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])∈ X;	
	(+): X × X⟶X 	
	((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])) ↦(Overscript[c, ⟶])= (Overscript[a, ⟶])+(Overscript[b, ⟶])	
Svojstva operacije zbrajanja:
	(1)  (Overscript[a, ⟶])+(Overscript[b, ⟶])= (Overscript[b, ⟶])+ (Overscript[a, ⟶])			komutativnost
	(2)  ( (Overscript[a, ⟶])+(Overscript[b, ⟶])) +(Overscript[c, ⟶])= (Overscript[a, ⟶])+((Overscript[b, ⟶])+(Overscript[c, ⟶]))	asocijativnost		
	(3)  (Overscript[a, ⟶])+(- (Overscript[a, ⟶])) = (- (Overscript[a, ⟶])) + (Overscript[a, ⟶]) =(Overscript[0, ⟶])			
	(4)  (Overscript[a, ⟶])+(Overscript[0, ⟶])=(Overscript[0, ⟶])+ (Overscript[a, ⟶])= (Overscript[a, ⟶])
Skup X s operacijom zbrajanja i svojstvima (1) - (4) operacije zbrajanja tvori strukturu koju nazivamo Abelova (komutativna) grupa, i koju zapisujemo (X, +).
Skup X s operacijama zbrajanja i množenja sa skalarom te svojstvima tih dviju operacija  tvori strukturu koju nazivamo vektorski prostor ili linearni prostor, i koju zapisujemo (X, +, ·).
Razlika dvaju vektora (Overscript[a, ⟶])i (Overscript[b, ⟶]) defininira se na sljedeći način:
	(Overscript[a, ⟶])- (Overscript[b, ⟶]) =  (Overscript[a, ⟶])+(-(Overscript[b, ⟶])) 
Slika:

Linearna kombinacija vektora

Opći oblik linearne kombinacije vektora:
	\(TraditionalForm\`\(λ\_1\) \(a\_1\)\&⟶ + \(λ\_2\) \(a\_2\)\&⟶ + … + \(λ\_n\) \(a\_n\)\&⟶\)
Definicija:
Vektori \(TraditionalForm\`\(a\_1\)\&⟶, \(a\_2\)\&⟶, …, \(a\_n\)\&⟶\) su linearno nezavisni ako
	 \(TraditionalForm\`\(λ\_1\) \(a\_1\)\&⟶ + \(λ\_2\) \(a\_2\)\&⟶ + … + \(λ\_n\) \(a\_n\)\&⟶ = 0\&⟶\) ⟹  \(TraditionalForm\`λ\_1 = \(λ\_2 = \(… = \(λ\_n = 0\)\)\)\).
Vektori \(TraditionalForm\`\(a\_1\)\&⟶, \(a\_2\)\&⟶, …, \(a\_n\)\&⟶\) su linearno zavisni ako nisu nezavisni, tj.  
	\(TraditionalForm\`\(λ\_1\) \(a\_1\)\&⟶ + \(λ\_2\) \(a\_2\)\&⟶ + … + \(λ\_n\) \(a\_n\)\&⟶ = 0\&⟶\) ⟹  barem jedan  (Subscript[λ, i])(i = 1, …, n) nije jednak 0. 
U tom se slučaju jedan od vektora može prikazati kao linearna kombinacija preostalih vektora.
	
Primjer:	3  (Overscript[a, ⟶]) - (1/2) 
            (Overscript[b, ⟶]) = (Overscript[0, ⟶]), 		3  (Overscript[a, ⟶]) = (1/2) 
          (Overscript[b, ⟶]), 		(Overscript[b, ⟶]) = 6  (Overscript[a, ⟶])
		(Overscript[b, ⟶]) = λ 
           (Overscript[a, ⟶]);	(Overscript[a, ⟶]), (Overscript[b, ⟶])- linearno zavisni
	
Maksimalni broj linearno nezavisnih vektora?
	- na pravcu - 1; tj. svaka 2 su linearno zavisna
	- u ravnini   - 2; tj. svaka 3 su linearno zavisna
	- u prostoru - 3; tj. svaka 4 su linearno zavisna

Skalarni produkt vektora

(Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])∈ X, 	 φ = ∢((Overscript[a, ⟶]), (Overscript[b, ⟶])),	0 ≤ φ ≤ ℼ
	(·): X × X ⟶ ℝ
	((Overscript[a, ⟶]), (Overscript[b, ⟶])) ↦(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])∈  ℝ
Definicija:
	(Overscript[a, ⟶])·
        (Overscript[b, ⟶])= |(Overscript[a, ⟶])|· |(Overscript[b, ⟶])|·cos φ;
Svojstva:
	(1)  (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[a, ⟶])≥ 0,   (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[a, ⟶])= 0  ⇔ (Overscript[a, ⟶])=(Overscript[0, ⟶])
	(2)  λ(\(TraditionalForm\`a\&⟶·b\&⟶\)) = (λ(Overscript[a, ⟶]))·(Overscript[b, ⟶])=(Overscript[a, ⟶])·(λ(Overscript[b, ⟶]))
	(3)   (Overscript[a, ⟶]) 
          (Overscript[b, ⟶]) = (Overscript[b, ⟶]) 
          (Overscript[a, ⟶])	
	(4)  (Overscript[a, ⟶])·((Overscript[b, ⟶]) + (Overscript[c, ⟶])) = (Overscript[a, ⟶])·
        (Overscript[b, ⟶])+(Overscript[a, ⟶])·
        (Overscript[c, ⟶])
Posljedice:
	(1)  \(TraditionalForm\`a\&⟶·b\&⟶\) = 0    ⇔   (Overscript[a, ⟶])∟(Overscript[b, ⟶])  ili  (Overscript[a, ⟶]) = (Overscript[0, ⟶])  ili  (Overscript[b, ⟶]) = (Overscript[0, ⟶])
	 (2)  (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[a, ⟶]) = |(Overscript[a, ⟶])|·|(Overscript[a, ⟶])|·cos0 = |(Overscript[a, ⟶]) (| ^( 2))   ⇒   |(Overscript[a, ⟶])\( | \^\ \)=(Sqrt[(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[a, ⟶])])
	 (3)  cos φ = (((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶]))/(| (Overscript[a, ⟶]) ||(Overscript[b, ⟶])|))

Vektorski produkt vektora

(Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶])∈ X, 	 φ = ∢((Overscript[a, ⟶]), (Overscript[b, ⟶])),	0 ≤ φ ≤ ℼ
	(×): X × X⟶X
	((Overscript[a, ⟶]), (Overscript[b, ⟶])) ↦ (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])∈ X
Vektor (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]) je određen sa:
	1°) Modul:  |(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])| =|(Overscript[a, ⟶])|·|(Overscript[b, ⟶])|·sin∢((Overscript[a, ⟶]), (Overscript[b, ⟶]))
	      Geometrijski, modul |(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])| je jednak površini paralelograma što ga tvore vektori (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶]).
	2°) Pravac nosioc vektora ((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])):  okomit je na ravninu određenu vektorima (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶]),
	      (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶])kolinearni  ⇒  (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])= (Overscript[0, ⟶]),
	      (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])= (Overscript[0, ⟶]) ⇒   (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶])kolinearni  ili je barem jedan od njih (Overscript[0, ⟶]).
	3°) Orijentacija:  po pravilu desne ruke, tj. trojka vektora ((Overscript[a, ⟶]), (Overscript[b, ⟶]),(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) čini desnu trojku vektora.

Svojstva vektorskog množenja:
	(1)  (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[a, ⟶])=(Overscript[0, ⟶])
	(2)  α((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) = (α(Overscript[a, ⟶])) × (Overscript[b, ⟶])= (Overscript[a, ⟶])× (α(Overscript[b, ⟶]))
	(3)  (Overscript[a, ⟶])×((Overscript[b, ⟶]) + (Overscript[c, ⟶])) = (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])+(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[c, ⟶])
	(4)  (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])= - ((Overscript[b, ⟶])×(Overscript[a, ⟶]))

Višestruki produkti

Neka su (Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]) ϵ X.
Koji od sljedećih produkata imaju smisla:
({{(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])    da}, {(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])×(Overscript[c, ⟶])      }, {(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])      }, {(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])×(Overscript[c, ⟶])  da}})} nema smisla		({{((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶])   da}, {(Overscript[a, ⟶])·((Overscript[b, ⟶])×(Overscript[c, ⟶]))      }, {((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶])     }, {((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))×(Overscript[c, ⟶])   da}})} ima smisla, mješoviti  produkt

Vektorsko - skalarni produkt (mješoviti produkt)

(Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]) ϵ X
	( ): X × X × X ⟶ ℝ
	((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶])) ↦ ((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶]) - broj (skalar)
Zapisuje se:
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶]) = ((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]))	
Geometrijski:
Vektorsko skalarni produkt ((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶]) jednak je volumenu paralelopipeda kojeg razapinju vektori (Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]), tj.
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶]) = ±V	
	- predznak (+ ili -) ovisi o tome čine li (Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]) desni ili lijevi sustav
	- za volumen se uzima modul!
	- kada su sva tri vektora u ravnini tada su oni komplementarni tj. V= 0.
Vrijedi ciklička zamjena:
((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶])) = ((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶])= ((Overscript[b, ⟶])×(Overscript[c, ⟶]))·(Overscript[a, ⟶])= ((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[a, ⟶]))·(Overscript[b, ⟶])= (Overscript[a, ⟶])·((Overscript[b, ⟶])×(Overscript[c, ⟶])) = (Overscript[b, ⟶])·((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[a, ⟶])) = (Overscript[c, ⟶])·((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))

Vektorsko - vektorski produkt

(Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]) ϵ X
	( ): X × X × X ⟶ X
	((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶])) ↦ ((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) ×(Overscript[c, ⟶])	- vektor
Geometrijski:
((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) ×(Overscript[c, ⟶])	∟   (Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]) & (Overscript[c, ⟶])   ⟹   leži u ravnini određenoj vektorima  (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶])
	
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])) ×(Overscript[c, ⟶])=|({{(Overscript[b, ⇀]), (Overscript[a, ⇀])}, {(Overscript[b, ⇀]) (Overscript[c, ⇀]), (Overscript[a, ⇀]) (Overscript[c, ⇀])}})| = (Overscript[b, ⟶])((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])) -(Overscript[a, ⟶])((Overscript[b, ⟶])·(Overscript[c, ⟶]))  
	
	(Overscript[a, ⟶])×((Overscript[b, ⟶]) ×(Overscript[c, ⟶]))=|({{(Overscript[b, ⇀]), (Overscript[c, ⇀])}, {(Overscript[a, ⇀]) (Overscript[b, ⇀]), (Overscript[a, ⇀]) (Overscript[c, ⇀])}})| = (Overscript[b, ⟶])((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[c, ⟶])) - (Overscript[c, ⟶])((Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶]))

Ostali višestruki produkti

1) Skalarni produkt vektorskih produkata
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[d, ⟶])) = ((Overscript[a, ⟶])(Overscript[c, ⟶]))·((Overscript[b, ⟶])(Overscript[d, ⟶])) - ((Overscript[a, ⟶])(Overscript[d, ⟶]))·((Overscript[b, ⟶])(Overscript[c, ⟶])) = |({{(Overscript[a, ⟶]) 
                  (Overscript[c, ⟶]), (Overscript[b, ⟶]) 
                  (Overscript[c, ⟶])}, {(Overscript[a, ⟶]) 
                  (Overscript[d, ⟶]), (Overscript[b, ⟶]) 
                  (Overscript[d, ⟶])}})|
2) Vektorski produk vektorskih produkata
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))×((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[d, ⟶])) = (Overscript[b, ⟶])[(Overscript[a, ⟶])·((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[d, ⟶]))] - (Overscript[a, ⟶])[(Overscript[b, ⟶])((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[d, ⟶]))] = (Overscript[b, ⟶])((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]),(Overscript[d, ⟶])) - (Overscript[a, ⟶])((Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]),(Overscript[d, ⟶]))
	((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))×((Overscript[c, ⟶])×(Overscript[d, ⟶])) = (Overscript[c, ⟶])[((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[d, ⟶]))] - (Overscript[d, ⟶])[((Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶]))] = (Overscript[c, ⟶])((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[d, ⟶])) - (Overscript[d, ⟶])((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶]))
	Ovakav umnožak leži na presječnici ravnina određenih vektorima (Overscript[a, ⟶]) i (Overscript[b, ⟶]) odnosno (Overscript[c, ⟶]) i (Overscript[d, ⟶]).

Vektori u koordinatnom zapisu

Desni pravokutni koordinatni sustav ili pravokutni Descartesov koordinatni sustav tvore (O; (Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶])), gdje su:
(Overscript[i, ⟶]),(Overscript[j, ⟶]),(Overscript[k, ⟶]) - linearno nezavisni, jedinični, međusobno okomiti vektori koji čine desni sustav
 	O - proizvoljno odabrana točka koju nazivamo ishodištem
 
 
 
 Prikaz vektora u koordinatnom sustavu:         
          (Overscript[OA, ⟶]) = (Overscript[a, ⟶]) = (Subscript[a, x])(Overscript[i, ⟶])+(Subscript[a, y])(Overscript[j, ⟶])+(Subscript[a, z])(Overscript[k, ⟶])		
	(Overscript[a, ⟶])={(Subscript[a, x]), (Subscript[a, y]), (Subscript[a, z])}
	 (Subscript[a, x]), (Subscript[a, y]), (Subscript[a, z]) - komponente vektora (Overscript[a, ⟶]), tj. skalarne projekcije vektora (Overscript[a, ⟶])  na koordinatne osi x, y, z 

U koordinatnom zapisu:          
- jednakost vektora:	 (Overscript[a, ⟶])=(Overscript[b, ⟶])⇔  (Subscript[a, x])=(Subscript[b, x]),  (Subscript[a, y])=(Subscript[b, y]),  (Subscript[a, z])=(Subscript[b, z])
- množenje vektora sa skalarom:	 λ(Overscript[a, ⟶]) = {λ(Subscript[a, x]), λ(Subscript[a, y]), λ(Subscript[a, z])}
- zbrajanje vektora:      (Overscript[a, ⟶])+(Overscript[b, ⟶])= {(Subscript[a, x])+(Subscript[b, x]), (Subscript[a, y])+(Subscript[b, y]), (Subscript[a, z])+(Subscript[b, z])}
- skalarno množenje:    (Overscript[a, ⟶])·(Overscript[b, ⟶])= (Subscript[a, x])(Subscript[b, x]) + (Subscript[a, y])(Subscript[b, y]) + (Subscript[a, z])(Subscript[b, z]);	(Overscript[a, ⟶])·(Overscript[a, ⟶])=(Subscript[a, x]^2) + (Subscript[a, y]^2) + (Subscript[a, z]^2) = |(Overscript[a, ⟶])\( | \^\(\(\ \)\(2\)\)\)
- vektorsko množenje:  (Overscript[c, ⟶])=(Overscript[a, ⟶])×(Overscript[b, ⟶])=|({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), \(k\&⟶\)}, {(Subscript[a, x]), (Subscript[a, y]), (Subscript[a, z])}, {(Subscript[b, x]), (Subscript[b, y]), (Subscript[b, z])}})|;		((Overscript[a, ⟶]),(Overscript[b, ⟶]),(Overscript[c, ⟶])) = |({{(Subscript[a, x]), (Subscript[a, y]), (Subscript[a, z])}, {(Subscript[b, x]), (Subscript[b, y]), (Subscript[b, z])}, {(Subscript[c, x]), (Subscript[c, y]), (Subscript[c, z])}})|
- vektor dvjema točkama A((Subscript[x, 1]), (Subscript[y, 1]), (Subscript[z, 1]))  i  B((Subscript[x, 2]), (Subscript[y, 2]), (Subscript[z, 2])): 
	(Overscript[AB, ⟶]) = ((Subscript[x, 2]) - (Subscript[x, 1]))(Overscript[i, ⟶]) + ((Subscript[y, 2]) - (Subscript[y, 1]))(Overscript[j, ⟶]) + ((Subscript[z, 2]) - (Subscript[z, 1]))(Overscript[k, ⟶])
	(Overscript[AB, ⟶]) = {((Subscript[x, 2]) - (Subscript[x, 1])),  ((Subscript[y, 2]) - (Subscript[y, 1])), ((Subscript[z, 2]) - (Subscript[z, 1]))}

sadržaj