Predavanja iz predmeta:	
Matematika IV - Diferencijalna geometrija
jbeban@geof.hr

2. NEKI VAŽNIJI POJMOVI VEKTORSKE ANALIZE

Vektorske funkcije skalarnog argumenta (vektorske funkcije realne varijable)

Definicija vektorske funkcije

Označimo:
	(Subscript[X, 0]) = {(Overscript[OT, ⟶]) | T ∈ (E^3)} - vektorski prostor svih radijvektora točaka T ∈ (E^3) u odnosu na točku O
	(O; (Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), (Overscript[k, ⟶])) - desni pravokutni koordinatni sustav
Definicija:
Ako je S neprazan podskup skupa realnih brojeva, svako preslikavanje sa skupa S u vektorski prostor (Subscript[X, 0]) radijvektora, takvo da je svakom elementu t ∈ S pridružen vektor (Overscript[u, ⟶])(t) ∈ (Subscript[X, 0]) zove se vektorska funkcija skalarnog argumenta i označava
	(Overscript[u, ⟶])=(Overscript[u, ⟶])(t).
Najčešće ćemo pretpostavljati da je S interval realnih brojeva i označavati  s I ;  I = (a,b),  [a,b],  (a,b], [a,b) ili  (-∞, +∞).	
Analognu definiciju smo imali za funkciju  f: S⟶ℝ  (f: I⟶ℝ), za koju kažemo da je skalarna funkcija i označavamo f = f(x).

Zadavanje vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t)

Vektorsku funkciju (Overscript[u, ⟶])(t) zadajemo pomoću tri skalarne funkcije  (Subscript[u, x])(t),  (Subscript[u, y])(t),  (Subscript[u, z])(t):
	(Overscript[u, ⟶])(t) = (Subscript[u, x])(t)(Overscript[i, ⟶])+ (Subscript[u, y])(t)(Overscript[j, ⟶])+ (Subscript[u, z])(t)(Overscript[k, ⟶]).
Mogli bismo reći da se uzajamno određuju tj. vektorska funkcija ⟶ tri skalarne funkcije i obratno tri skalarne funkcije ⟶ vektorsku funkciju.
Kraći zapis:
	(Overscript[u, ⟶])={(Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z])}   ili    (Overscript[u, ⟶])((Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z]))
Skalarne funkcije (Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z]) : I⟶ℝ
({{(Subscript[u, x])=(Subscript[u, x])(t)}, {(Subscript[u, y])=(Subscript[u, y])(t)}, {(Subscript[u, z])=(Subscript[u, z])(t)}})| koordinatne funkcije vektorske funkcije
Pojmovi uvedeni kod vektora i kod funkcija uvode se i kod vektorskih funkcija.

Skalarni produkt

Neka su dane dvije vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])=(Overscript[u, ⟶])(t) = {(Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z])}  i   (Overscript[v, ⟶])=(Overscript[v, ⟶])(t) = {(Subscript[v, x]), (Subscript[v, y]), (Subscript[v, z])} definirane na istom skupu S.	
Skalarni produkt  (Overscript[u, ⟶])·(Overscript[v, ⟶]) se definira kao preslikavanje sa S u ℝ:	
	((Overscript[u, ⟶])·(Overscript[v, ⟶]))(t) = (Overscript[u, ⟶])(t)·(Overscript[v, ⟶])(t),	t ∈ S
	((Overscript[u, ⟶])·(Overscript[v, ⟶]))(t) = (Subscript[u, x])(t)·(Subscript[v, x])(t) + (Subscript[u, y])(t)·(Subscript[v, y])(t) + (Subscript[u, z])(t)·(Subscript[v, z])(t)

Vektorski produkt

Vektorski produkt  (Overscript[u, ⟶])×(Overscript[v, ⟶]) se definira kao preslikavanje sa S u (Subscript[X, 0]):	
	((Overscript[u, ⟶])×(Overscript[v, ⟶]))(t) =  (Overscript[u, ⟶])(t) × (Overscript[v, ⟶])(t), 	t ∈ S
Koordinatno:
	((Overscript[u, ⟶])×(Overscript[v, ⟶]))(t) = |({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), \(k\&⟶\)}, {(Subscript[u, x]), (Subscript[u, y]), (Subscript[u, z])}, {(Subscript[v, x]), (Subscript[v, y]), (Subscript[v, z])}})|
Analogno se definiraju: Mješoviti produkt triju vektorskih funkcija i višestruki produkti vektorskih funkcija.

Ograđenost, limes i neprekidnost

Ograđena funkcija

Za funkciju (Overscript[u, ⟶])= (Overscript[u, ⟶])(t)  kažemo da je ograđena na intervalu I ako postoji skalar M > 0 takav da je |(Overscript[u, ⟶])(t)| ≤ M  za  ∀ t ϵ I.
(Overscript[u, ⟶])= (Overscript[u, ⟶])(t) je ograđena na I akko postoji sfera polumjera M oko ishodišta takva da je točka T (tj. (Overscript[u, ⟶])((Subscript[t, 0])) = (Overscript[OT, ⟶]) ) unutar sfere za ∀ t ϵ I.
Kažemo da je (Overscript[u, ⟶])= (Overscript[u, ⟶])(t)  ograđena u točki  t = (Subscript[t, 0]) ako postoji  ε>0  i  M>0 tako da je | (Overscript[u, ⟶])(t)| ≤ M  za  |t - (Subscript[t, 0])| < (Subscript[ε, 0]).

Limes (granična vrijednost)

Limes (granična vrijednost) vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) definira se analogno kao i limes skalarne funkcije.
Za vektor (Overscript[a, ⟶]) kažemo da je limes vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) u točki (Subscript[t, o]) i pišemo:
	(lim_(t→(Subscript[t, o])))(Overscript[u, ⟶])(t) = (Overscript[a, ⟶])
ako za svaki (broj) ε > 0 postoji (broj)  δ(ε) > 0 takav da 
	0 < |t - (Subscript[t, o])| < δ ⟹ |(Overscript[u, ⟶])(t) - (Overscript[a, ⟶])| < ε.
Svojstva limesa vektorske funkcije odgovaraju svojstvima limesa skalarne funkcije koje smo dokazivali u Matematici I.

Neprekidnost

Vektorska funkcija (Overscript[u, ⟶])(t) definirana u (Subscript[t, 0]) je neprekidna u (Subscript[t, 0]) ako za svaki ε > 0 postoji δ(ε) > 0 tako da 
	|t - (Subscript[t, 0])| < δ ⟹ |(Overscript[u, ⟶])(t) - (Overscript[u, ⟶])((Subscript[t, 0]))| < ε.
Ekvivalentno, (Overscript[u, ⟶])(t) je neprekidna u (Subscript[t, 0]) ako je 
	(lim_(t - (Subscript[t, 0])))(Overscript[u, ⟶])(t) = (Overscript[u, ⟶])((Subscript[t, 0])).
Funkcija je neprekidna na intervalu I ako je neprekidna u svakoj točki (Subscript[t, 0])∈I.

Derivacija i diferencijal

Prirast vektorske funkcije

Prirast vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) je vektor definiran sa:
	Δ(Overscript[u, ⟶]) = Δ(Overscript[u, ⟶])(t) = (Overscript[u, ⟶])(t + Δt) - (Overscript[u, ⟶])(t)

Derivacija vektorske funkcije

Derivacija vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) po skalarnom argumentu je nova vektorska funkcija definirana sa: 
	((Overscript[u, ⟶]))'(t) = ((d  (Overscript[u, ⟶]))/dt)= (lim_(Δt⟶0))((Δ  (Overscript[u, ⟶]))/(Λt)) = (lim_(Δt⟶0))(((Overscript[u, ⟶])(t-Δt) -(Overscript[u, ⟶])(t))/(Δt))
Ako je (Overscript[u, ⟶])(t) = (Subscript[u, x])(t)(Overscript[i, ⟶]) +  (Subscript[u, y])(t)(Overscript[j, ⟶]) +  (Subscript[u, z])(t)(Overscript[k, ⟶]) , onda je   ((Overscript[u, ⟶])^′)(t) =  ((Subscript[u, x]))'(t)(Overscript[i, ⟶]) +  ((Subscript[u, y])^′)(t)(Overscript[j, ⟶]) +  ((Subscript[u, z])^′)(t)(Overscript[k, ⟶]).

Za vektorske funkcije kažemo da su diferencijabilne (derivabilne) vektorske funkcije ako su njihove koordinatne funkcije derivabilne i neprekidne.

Diferencijal

Diferencijal funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) je izraz:
	d(Overscript[u, ⟶])=((Overscript[u, ⟶]))'(t)dt.

Derivacije višeg reda

Derivacije višeg reda definiraju se induktivno:
	((Overscript[u, ⟶])^((n)))(t) = ((((Overscript[u, ⟶])^((n - 1)))(t)))'=(((d^n) (Overscript[u, ⟶]))/(dt^n)).

Zadatak. Naći prvu, drugu i treću derivaciju vektorske funkcije (Overscript[u, ⟶])(t) = ((t^3)+2t)(Overscript[i, ⟶]) + (sin t)(Overscript[j, ⟶]) + (e^t)(Overscript[k, ⟶]).
	((Overscript[u, ⟶])^′)(t) = (3(t^2)+2)(Overscript[i, ⟶]) + cos t(Overscript[j, ⟶]) + (e^t)(Overscript[k, ⟶])
	((Overscript[u, ⟶])^″)(t) = 6t(Overscript[i, ⟶]) - sin t(Overscript[j, ⟶]) + (e^t)(Overscript[k, ⟶])
	(((Overscript[u, ⟶])^″))'(t) = 6(Overscript[i, ⟶]) - cos t(Overscript[j, ⟶]) + (e^t)(Overscript[k, ⟶])

Diferencijal višeg reda

(d^k)(Overscript[u, ⟶])(t) = (((Overscript[u, ⟶]))^((k)))(t)((dt)^k)
Na primjer,   (d^2)(Overscript[u, ⟶])(t) = d [d (Overscript[u, ⟶])(t)] = d [((Overscript[u, ⟶])^′)(t)dt ] = ((Overscript[u, ⟶])^″)(t)(dt^2)

Funkcije klase (C^n)

Dogovorno, za vektorsku funkciju (ili skalarnu funkciju) kažemo da je klasa (C^n) na otvorenom intervalu I ako ona ima u svakoj točki intervala I neprekidne derivacije n-tog reda (tj. ako ima na I derivacije n-tog reda i one su neprekinute funkcije).
	klasa (C^0)  - neprekinuta vektorska funkcija (klasa neprekidnih funkcija)
	klasa (C^∞) - vektorske funkcije koje u svakoj točki intervala I imaju derivaciju svakog reda
Vrijedi: 
Teorem. Vektorska funkcija (Overscript[u, ⟶])(t) = (Subscript[u, x])(t) (Overscript[i, ⟶]) + (Subscript[u, y])(t) (Overscript[j, ⟶]) + (Subscript[u, z])(t) (Overscript[k, ⟶]) pripada klasi (C^m) na intervali I akko njene komponente (Subscript[u, x])(t), (Subscript[u, x])(t), (Subscript[u, z])(t) pripadaju klasi (C^m) na I.◼

Pravilo deriviranja

Neka je vektorska funkcija (Overscript[u, ⟶])= (Overscript[u, ⟶])(t) diferencijabilna na intervalu (Subscript[I, t]), 
 t = h (θ) je skalarna funkcija difrencijabilna na intervali (Subscript[I, θ]), 
 slika h ((Subscript[I, θ]))  je sadržana i (Subscript[I, t]). 
 Tada je 		
 	(Overscript[u, ⟶])= (Overscript[g, ⟶])(θ) = (Overscript[u, ⟶])(h(θ))   diferencijabilna na (Subscript[I, θ])   &   ((d  (Overscript[u, ⟶]))/(dθ))=((d  (Overscript[u, ⟶]))/dt)·(dt/d)θ.
 
 Zadatak.  Dana je vektorska funkcija (Overscript[u, ⟶])(t) = a (cost)(Overscript[i, ⟶]) - a (sint)(Overscript[j, ⟶]),	θ = (((1+(t^2)))^(1/2)),  t > 0.
	((d  (Overscript[u, ⟶]))/d)θ=?
 	((d  (Overscript[u, ⟶]))/d)θ=((d  (Overscript[u, ⟶]))/dt)·(dt/d)θ=((d  (Overscript[u, ⟶]))/dt)/d(θ/dt) = (((- a sin t(Overscript[i, ⟶]) - a cos t (Overscript[j, ⟶])))/((1/2) (((1 + (t^2)))^(-1/2)) 2  t))= - (a/t)(Sqrt[1+(t^2)])(sin t(Overscript[i, ⟶]) - cos t (Overscript[j, ⟶]))
Iskoristili smo činjenicu da za skalarne funkcije  θ = h (t)  za koje je d(θ/dt)≠0, vrijedi: (dt/d)θ=(1/(d(θ/dt))).

Hodograf vektorske funkcije

(Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t)  - vektorska funkcija definirana na otvorenom intervalu I ⊆ ℝ
∀(Subscript[t, 0]) ∈ I ⟶ vektor (Overscript[r, ⟶])((Subscript[t, 0])) shvatimo kao radij vektor neke točke (Subscript[T, 0])
Hodografom zadane vektorske funkcije zovemo skup svih točaka (Subscript[T, 0]) koje su vrhovi radijvektora za koje je (Subscript[t, 0]) ∈ I.

Ako su   ({{x = x(t)}, {y = y(t)}, {z = z(t)}})|	koordinatne funkcije vektorske funkcije (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t),  hodograf se zadaje sa:	
(Overscript[r, ⟶])(t) = x(t)(Overscript[i, ⟶]) + y(t)(Overscript[j, ⟶]) + z(t)(Overscript[k, ⟶]).
Još samo moramo dodati diferencijabilnost. Naime, ako je (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t) diferencijabilna vektorska funkcija onda hodograf zoveme KRIVULJOM.
	(Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t)  	- krivulja tj. diferencijabilna vektorska funkcija
	(Overscript[t, ⟶])=(((d  (Overscript[r, ⟶]))/dt))((Subscript[t, 0])) - vektor kojem je početak u točki (Subscript[T, 0]), a zovemo ga tangentnim vektorom krivulje (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t) u točki (Subscript[T, 0]).

Zadatak. Vektorska funkcija (Overscript[r, ⟶])(t) = a cost(Overscript[i, ⟶])+a sint(Overscript[j, ⟶]) predstavlja kružnicu polumjera a sa središtem u ishodištu. Odredi tangentu na kružnici u točki t ∈ I i diskutiraj njezin smjer (položaj).

x = a cost
	y = a sint
	(Overscript[r, ⟶])(t) = a cost(Overscript[i, ⟶])+a sint(Overscript[j, ⟶])		(Overscript[r, ⟶])(t) = {a cost, a sint}
	((d  (Overscript[r, ⟶]))/dt)= -a sint(Overscript[i, ⟶]) + a cost(Overscript[j, ⟶])		((Overscript[r, ⟶]))'(t) = {-a sint, a cost}
		
	(Overscript[r, ⟶])(t)·((Overscript[r, ⟶]))'(t) = ?
	-(a^2)sint cost + (a^2)sint cost=0 ⟹ (Overscript[r, ⟶])(t) ∟ ((Overscript[r, ⟶]))'(t)
	
	|(Overscript[r, ⟶])(t)| = ?	|(Overscript[r, ⟶])(t)| = (Sqrt[(a^2) cos (t^2)+(a^2) sin (t^2)])= a = konstanta

sadržaj