Predavanja iz predmeta:	
Matematika IV - Diferencijalna geometrija

II. POGLAVLJE - PROSTORNE KRIVULJE

3. POJAM KRIVULJE. ZADAVANJE KRIVULJA

Definicija krivulje

Neka je I  otvoren interval realnih brojeva.
Neka je α : I ⟶ (E^3) bilo koje preslikavanje.
Zadajmo α  sa:
		α(t) = (x(t), y(t), z(t)),	
gdje su	  x, y, z : I ⟶ ℝ  realne funkcije koje zovemo koordinatnim funkcijama od α tj.
		x = x(t),
		y = y(t),
		z = z(t).
α je diferencijabilno preslikavanje ako su x(t), y(t), z(t) diferencijabilna preslikavanja.
Svaku diferencijabilnu funkciju α : I ⟶ (E^3) zovemo krivuljom u prostoru (E^3).
α(I) ⊂ (E^3) zovemo grafom krivulje α.

Jednadžba krivulje. Duljina luka krivulje

JEDNADŽBA KRIVULJE

Neka je dana krivulja α : I ⟶ (E^3).
α(t) ϵ (E^3) identificiramo s radijvektorom  (Overscript[r, →]) (t) te točke i krivulju zadajemo vektorskom funkcijom skalarne varijable:
		(Overscript[r, →]) (t) = x(t) (Overscript[i, →]) + y(t) (Overscript[j, →]) + z(t) (Overscript[k, →])				(1)
		vektorska jednadžba krivulje

		x = x(t),  y = y(t),  z = z(t)				(2)
		parametarske jednadžbe krivulje

Primjeri:  ravninske krivulje

x = cos t,    y = sin t,     {t, 0, 2π}

x = t - sin t,    y = 1- cos t,     {t, -π, 4π},    ("cikloida")

x = 2cos t - cos 2t,    y = 2sin t - sin2t,     {t, 0, 2π},   ("kardioida")

webMathematica datoteka za vježbu: ParametricPlot2D

Primjeri:   prostorne krivulje

x = 2sin t,    y = 2cos t,    z = t / 2,     {t, 0, 5π},     
("kruzna zavojnica" ili "obicna cilindricna spirala")

x = 2(sin t)^2,    y = 2sin t cos t,    z = 2cos t,     {t, 0, 2π},     
("vivijanijeva krivulja")

x = (e^t)cos t,    y = (e^t)sin t,,    z = 2t,     {t, -π, π}

x = (sin^2)t,    y = sin t cos t,    z = log(cos t),     {t, -π/2, π/2}

x = 2(t - sin t),    y = 2(1 - cos t),    z = 8cos t,     {t, -4π, 6π}

webMathematica datoteka za vježbu: ParametricPlot3D - krivulje

DULJINA LUKA KRIVULJE

Neka je krivulja α zadana jednadžbom  (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t). To ćemo ubuduće zapisivati:
		α…… (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t)
Neka su:
		 (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, 1])),  (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, 2]))  radijvektori  dviju njenih točaka A i B, tj.
		  (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, 1]))=(Overscript[OA, ⟶]),   (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, 2]))=(Overscript[OB, ⟶]).
Realni broj
		s = (∫_((Subscript[t, 1]))^((Subscript[t, 2])))|(Overscript[r, →]) ´(t)|dt					(3)
nazivamo  duljinom luka krivulje α od točke A do točke B. Ako je krivulja zadana parametarskim jednadžbama (2) duljina luka se zapisuje:

		s = (∫_((Subscript[t, 1]))^((Subscript[t, 2])))(Sqrt[((((dx/dt)))^2)+((((dy/dt)))^2)+((((dz/dt)))^2)])dt,		(4)
odnosno,
		s = (∫_((Subscript[t, 1]))^((Subscript[t, 2])))\(\@\(\((x\& . )\)\^2 + \((y\& . )\)\^2 + \((z\& . )\)\^2\)\)dt.			(5)

Tangentni vektor. Reparametrizacija krivulje

TANGENTNI VEKTOR

Neka je zadana krivulja
		α…… (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t),	t ϵ I
Tangentnim vektorom krivulje α u točki kojoj je radijvektor  (Overscript[r, →]) ((Subscript[t, 0])),  (Subscript[t, 0]) ϵ I, zovemo vektor
		((d  (Overscript[r, →]))/dt)((Subscript[t, 0])), tj.   (Overscript[t, →]) =  ((Overscript[r, →]))'((Subscript[t, 0]))				(6)
s početakom u toj točki.
Općenito vrijedi:
		| (Overscript[t, →]) | = | ((Overscript[r, →]))'(t)| ≠ 1.					(7)
Ukoliko postignemo da je ispunjeno | (Overscript[t, →]) | = | ((Overscript[r, →]))'(t)| = 1  formule diferencijalne geometrije postaju znatno jednostavnije. To je uvijek moguće učiniti postupkom pod nazivom  reparametrizacija krivulje.

REPARAMETRIZACIJA KRIVULJE

Neka je:	α : I ⟶ (E^3)		…zadana krivulja
		h : J⟶ I		…diferencijabilna bijekcija
		J - otvoreni interval realnih brojeva
		β = α ∘ h : J ⟶ (E^3)	…kompozicija funkcija h i α
Preslikavanje β zovemo reparametrizacijom krivulje α funkcijom h.
Vrijedi:		β(J) = α(I), 
		tj. graf od α se podudara s grafom od β,
		tj. radi se o istoj krivulji.
Postupak se sada sastoji u tome da umjesto parametra t uvedemo parametar s, gdje je s duljina luka same krivulje. Na taj se način postiže traženo, tj.  | ((Overscript[r, →]))'(s)| = 1.
Neka je zadana krivulja
		α…… (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t),	t ϵ I,  a ϵ I,  a - konstanta
Promatramo preslikavanje 
		s(t) = (∫_a^t)|(Overscript[r, →]) ´(t)|dt,		s : I ⟶R		(8)
Preslikavanje (8) je neprekidno i monotono rastuće, pa  s(t) preslikava bijektivno interval I na neki interval J realnih brojeva (s : I ⟶J). Svaka takva funkcija ima inverznu funkciju. Označimo inverz  (s^(-1))(t)  sa 
		t = t(s) : J⟶I .
Inverz je diferencijabilna, monotono rastuća funkcija. Reparametrizirajmo α funkcijom t = t(s), tj.
		β = α ∘ t : J ⟶ (E^3).
Tangentni vektor tako reparametrizirane krivulje ima duljinu 1 a za krivulju kažemo da je parametrizirana prirodnim parametrom ili duljinom luka. Prirodni parametar označavamo sa s.

Teorem.  Krivulja reparametrizirana prirodnim parametrom s ima svojstvo da je duljina njenog vektora tangente jednaka 1.

Dokaz.
		α…………(Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t),	t = t(s)
		β = α ∘ t …(Overscript[ρ, →]) = (Overscript[ρ, →]) (s) = (Overscript[r, →]) (t)∘ t(s) =  (Overscript[r, →]) [ t(s)]
Duljina vektora tangente,
		| ((Overscript[ρ, →]))' (s)| = ? 
		((Overscript[ρ, →]))' (s) = (( (Overscript[r, →]) [ t(s)]))' = ((d  (Overscript[r, →]))/ds)= ((d  (Overscript[r, →]))/dt)·(dt/ds)
		s(t) = (∫_a^t)|(Overscript[r, →]) ´(t)|dt  /  deriviramo po t
		(ds/dt)= (d/dt)((∫_a^t)|(Overscript[r, →]) ´(t)|dt) = | ((Overscript[r, →]))' (t)| = |((d  (Overscript[r, →]))/dt)|
Imamo sada:
		| ((Overscript[ρ, →]))' (s)| =  |((d  (Overscript[r, →]))/dt)| ·|(dt/ds)| = (ds/dt)· |(dt/ds)| =  (ds/dt)· (dt/ds) = 1.◼

Duljina luka krivulje parametrizirane prirodnim parametrom

Krivulju reparametriziranu na gore opisani način trebalo bi označavati  (Overscript[ρ, →]) = (Overscript[ρ, →]) (s), međutim uobičajeno je i dalje upotrebljavati zapis (Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (s).
Dakle, neka je		
		α…………(Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (s).
Duljina luka
		s = (∫_((Subscript[s, 1]))^((Subscript[s, 2])))|(Overscript[r, →]) ´(s)|ds = (∫_((Subscript[s, 1]))^((Subscript[s, 2])))ds = (Subscript[s, 2])- (Subscript[s, 1])◼		(9)

Oznake za derivaciju

Neka je		
		α…………(Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (s),	  s - prirodni parametar
Derivacija vektorske funkcije realne varijable po prirodnom parametru označava se:
		((Overscript[r, →]))' = ((d(Overscript[r, →]))/ds).						(10)
Neka je		
		α…………(Overscript[r, →]) = (Overscript[r, →]) (t),	t - opći parametar
Derivacija vektorske funkcije realne varijable po općem parametru označava se:
		(OverDot[(Overscript[r, →])]) = ((d(Overscript[r, →]))/dt).						(11)

sadržaj