Predavanja iz predmeta:	
Matematika IV - Diferencijalna geometrija

4. FRENETOV TROBRID

Frenetov trobrid kod krivulja parametriziranih  prirodnim parametrom

Definicija trobrida

Neka je zadana krivulja α : I ⟶(E^3), i neka je (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(s) njezina vektorska jednadžba. Pretpostavljamo da je krivulja parametrizirana prirodnim parametrom.
Krivulji α pridružit ćemo 3 vektorska polja.
Vektorskim poljem (Overscript[a, ⟶]) duž krivulje α zove se svako preslikavanje 
		(Overscript[a, ⟶]): I ⟶(Underscript[U, P ϵ (E^3)])(Subscript[X, p]),
intervala  I ⊆ ℝ u uniju vektorskih prostora radijvektora s početkom u točki P. Dakle, svakom realnom broju (Subscript[t, 0])∈ I  pridružen je vektor (Overscript[a, ⟶])((Subscript[t, o])) kojem je početak u točki  P = α((Subscript[t, o])).
Vektorsko polje je diferencijabilno ako je pripadna vektorska funkcija diferencijabilna (a ona je onda ako su skalarne komponente funkcije diferencijabilne).

1°) POLJE TANGENATA

Definira se formulom: 
		(Overscript[((t^( o))), ⟶])(s)=((d  (Overscript[r, ⟶]))/ds)=((Overscript[r, ⟶])^′)(s)
	
Polje je jedinično, tj.  |(Overscript[((t^( o))), ⟶])(s)| = |((d  (Overscript[r, ⟶]))/ds)|=|((Overscript[r, ⟶])^′)(s)| = 1.
Znamo: Ako vektor ima konstantan modul, on je okomit na svoju derivaciju, tj. 
		((Overscript[((t^( o))), ⟶]))'(s) = ((Overscript[r, ⟶])^″)(s)    ∟ 	(Overscript[((t^( o))), ⟶]) = ((Overscript[r, ⟶])^′)(s).

2°) POLJE GLAVNIH NORMALA

(Overscript[((n^( o))), ⟶])(s)= ((((Overscript[((t^( o))), ⟶]))')/(\(\(|\)\(\(t\^\(\(\ \)\(o\)\)\)\&⟶\^′\)\(|\)\)))=\(TraditionalForm\`\(\(r\&⟶\^″\)(s)\)\/\(\(|\)\(\(r\&⟶\^″\)(s)\)\(|\)\)\)= ((((d^2) (Overscript[r, ⟶]))/(ds^2))/(|(((d^2) (Overscript[r, ⟶]))/(ds^2))|))

3°) POLJE BINORMALA

(Overscript[((b^( o))), ⟶])(s) = (Overscript[((t^( o))), ⟶])(s) × (Overscript[((n^( o))), ⟶])(s) =\(TraditionalForm\`\(r\&⟶\^′×r\&⟶\^″\)\/\(\(|\)\(r\&⟶\^″\)\(|\)\)\)

Polja  (Overscript[((b^( o))), ⟶])(s),   (Overscript[((n^( o))), ⟶])(s)  i  (Overscript[((t^( o))), ⟶])(s) su ortogonalna i jedinična, tj.
		(Overscript[((t^( o))), ⟶])(s) · (Overscript[((n^( o))), ⟶])(s) = 0,
		(Overscript[((n^( o))), ⟶])(s) · (Overscript[((b^( o))), ⟶])(s) = 0,
		(Overscript[((b^( o))), ⟶])(s) · (Overscript[((t^( o))), ⟶])(s) = 0,	s ∈ I,
		(((Overscript[((t^( o))), ⟶]))^2)= (((Overscript[((n^( o))), ⟶]))^2)=(((Overscript[((b^( o))), ⟶]))^2)=1.
Vrijedi: 
		(Overscript[((b^( o))), ⟶])= (Overscript[((t^( o))), ⟶])× (Overscript[((n^( o))), ⟶]), 		(Overscript[((t^( o))), ⟶])= (Overscript[((n^( o))), ⟶])× (Overscript[((b^( o))), ⟶]), 		(Overscript[((n^( o))), ⟶])= (Overscript[((b^( o))), ⟶])× (Overscript[((t^( o))), ⟶]).
Trojku vektora: 
		{ (Overscript[((t^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[((n^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[((b^( o))), ⟶])((Subscript[s, o]))}  
zovemo Frenetovim trobridom  ili  trobridom pratiocem krivulje α u točki α((Subscript[s, o])), (Subscript[s, o])∈ I.
Pravci određeni vektorima  (Overscript[((t^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[((n^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[((b^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])):
	- tangenta, 
	- glavna normala,
	- binormala, 
krivulje α u točki α((Subscript[s, o])).
Ravnine što ih razapinju vektori  (Overscript[((t^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[((n^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[((b^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])):
	- (Overscript[((t^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[((n^( o))), ⟶])((Subscript[s, o]))  ⟶  OSKULACIONA RAVNINA
	- (Overscript[((n^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[((b^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])) ⟶  NORMALNA RAVNINA
	- (Overscript[((t^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])), (Overscript[((b^( o))), ⟶])((Subscript[s, o]))  ⟶  REKTIFIKACIONA RAVNINA

Jednadžbe elemenata trobrida pratioca

Neka je zadana krivulja  α : I⟶(E^3)……(Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(s) -  parametrizirana duljinom luka
 (Subscript[s, o])∈ I;  α((Subscript[s, o])) - bilo koja točka krivulje

TANGENTA

Jednadžba tangente točkom  α((Subscript[s, o]))... (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = (Subscript[x, o])(Overscript[i, ⟶])+ (Subscript[y, o])(Overscript[j, ⟶]) + (Subscript[z, o])(Overscript[k, ⟶]),  (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = { (Subscript[x, o]),  (Subscript[y, o]), (Subscript[z, o])}:
	- kanonaska jednadžba (skalarna jednadžba)
		\(TraditionalForm\`\(x - x\_o\)\/\^\(x\_o\^′\)\) = \(TraditionalForm\`\(y - y\_o\)\/\^\(y\_o\^′\)\)= \(TraditionalForm\`\(z - z\_o\)\/\^\(z\_o\^′\)\) 	(znamo točku i vektor smjera)
	- parametarske jednadžbe 
		({{x = (Subscript[x, o]) + μ ((Subscript[x, o])^′)}, {y = (Subscript[y, o]) + μ ((Subscript[y, o])^′)}, {z = (Subscript[z, o]) + μ ((Subscript[z, o])^′)}})
	⟹	(Overscript[r, ⟶])= x(Overscript[i, ⟶])+ y(Overscript[j, ⟶]) + z(Overscript[k, ⟶])= ((Subscript[x, o]) + μ ((Subscript[x, o])^′))(Overscript[i, ⟶])+ ((Subscript[y, o]) + μ ((Subscript[y, o])^′))(Overscript[j, ⟶]) + ((Subscript[z, o]) + μ ((Subscript[z, o])^′))(Overscript[k, ⟶])
		(Overscript[r, ⟶])=  (Subscript[x, o])(Overscript[i, ⟶])+ (Subscript[y, o])(Overscript[j, ⟶]) + (Subscript[z, o])(Overscript[k, ⟶]) + μ (((Subscript[x, o])^′)(Overscript[i, ⟶])+ ((Subscript[y, o])^′)(Overscript[j, ⟶]) + ((Subscript[z, o]))'(Overscript[k, ⟶]))
		(Overscript[r, ⟶])= (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) + μ((Overscript[r, ⟶]))'((Subscript[s, o])), odakle slijedi
	- vektorska jednadžba
		(Overscript[t, ⟶])= (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) + μ((Overscript[r, ⟶]))'((Subscript[s, o]))

GLAVNA NORMALA

Jednadžba glavne normale točkom  α((Subscript[s, o]))... (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = (Subscript[x, o])(Overscript[i, ⟶])+ (Subscript[y, o])(Overscript[j, ⟶]) + (Subscript[z, o])(Overscript[k, ⟶]),  (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = { (Subscript[x, o]),  (Subscript[y, o]), (Subscript[z, o])}:
	- skalarna (kanonsaka) jednadžba
		\(TraditionalForm\`\(x - x\_o\)\/\(\^x\_o\)\^″\) = \(TraditionalForm\`\(y - y\_o\)\/\(\^y\_o\)\^″\)= \(TraditionalForm\`\(z - z\_o\)\/\(\^z\_o\)\^″\)		(znamo točku i vektor smjera)
	- vektorska jednadžba
		(Overscript[n, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) + μ((Overscript[r, ⟶])^″)((Subscript[s, o]))

BINORMALA

Jednadžba binormale točkom  α((Subscript[s, o]))... (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = (Subscript[x, o])(Overscript[i, ⟶])+ (Subscript[y, o])(Overscript[j, ⟶]) + (Subscript[z, o])(Overscript[k, ⟶]),  (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = { (Subscript[x, o]),  (Subscript[y, o]), (Subscript[z, o])}:	
	- skalarna (kanonska) jednadžba
		 (Overscript[((b^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])) = (Overscript[((t^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])) ×  (Overscript[((n^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])) = \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\^′×\ r\&⟶\^″\)\/\(\(|\)\(r\&⟶\^″\)\(|\)\)\)=\(TraditionalForm\`1\/\(\(|\)\(r\&⟶\^″\)\(|\)\)\)|({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), \(k\&⟶\)}, {((Subscript[x, o])^′), ((Subscript[y, o])^′), ((Subscript[z, o]))'}, {((Subscript[x, o])^″), ((Subscript[y, o])^″), \(z\_o\^″\)}})| = 
		 =\(TraditionalForm\`1\/\(\(|\)\(r\&⟶\^″\)\(|\)\)\)(|({{((Subscript[y, o])^′), ((Subscript[z, o]))'}, {((Subscript[y, o])^″), ((Subscript[z, o])^″)}})|(Overscript[i, ⟶])+|({{((Subscript[z, o]))'}, {((Subscript[z, o])^″)}})({{((Subscript[x, o])^′)}, {((Subscript[x, o])^″)}})|(Overscript[j, ⟶])+|({{((Subscript[x, o])^′), ((Subscript[y, o])^′)}, {((Subscript[x, o])^″), ((Subscript[y, o])^″)}})|(Overscript[k, ⟶]))
		 
		 ⟹  ((x - (Subscript[x, o]))/(|({{((Subscript[y, o])^′), ((Subscript[z, o]))'}, {((Subscript[y, o])^″), ((Subscript[z, o])^″)}})|)) = ((y - (Subscript[y, o]))/(|({{((Subscript[z, o]))'}, {((Subscript[z, o])^″)}})({{((Subscript[x, o])^′)}, {((Subscript[x, o])^″)}})|))= ((z - (Subscript[z, o]))/(|({{((Subscript[x, o])^′), ((Subscript[y, o])^′)}, {((Subscript[x, o])^″), ((Subscript[y, o])^″)}})|))	(znamo točku i vektor smjera)
	
	- parametarske jednadžbe 
		({{x=(Subscript[x, o]) + μ|({{((Subscript[y, o])^′), ((Subscript[z, o]))'}, {((Subscript[y, o])^″), ((Subscript[z, o])^″)}})|}, {y=(Subscript[y, o]) + μ|({{((Subscript[z, o]))'}, {((Subscript[z, o])^″)}})({{((Subscript[x, o])^′)}, {((Subscript[x, o])^″)}})|}, {z=(Subscript[z, o]) + μ |({{((Subscript[x, o])^′), ((Subscript[y, o])^′)}, {((Subscript[x, o])^″), ((Subscript[y, o])^″)}})|}})
	⟹	(Overscript[r, ⟶])= x(Overscript[i, ⟶])+ y(Overscript[j, ⟶]) + z(Overscript[k, ⟶])= ......, odakle slijedi
	- vektorska jednadžba	
		(Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) + μ[((Overscript[r, ⟶])^′)((Subscript[s, o])) ×\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(r\&⟶\^″\)\)\)((Subscript[s, o]))]

Jednadžbe ravnina

NORMALNA RAVNINA

Normalna ravnina - ravnina točkom α((Subscript[s, o]))... (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])) = { (Subscript[x, o]),  (Subscript[y, o]), (Subscript[z, o])}, koja je okomita na vektor  (Overscript[((t^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])) = ((Overscript[r, ⟶])^′)((Subscript[s, o])).
	- skalarna jednadžba 
		((Subscript[x, o])^′)(x - (Subscript[x, o])) + ((Subscript[y, o])^′)(y - (Subscript[y, o])) + ((Subscript[z, o])^′)(z - (Subscript[z, o])) = 0
	- vektorska jednadžba 
		((Overscript[r, ⟶]) - (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])))· ((Overscript[r, ⟶])^′)((Subscript[s, o])) = 0

REKTIFIKACIONA RAVNINA

Rektifikaciona ravnina - ravnina točkom α((Subscript[s, o])) okomita na vektor  (Overscript[((n^( o))), ⟶])((Subscript[s, o])) = (( ((Overscript[r, ⟶])^″)((Subscript[s, o])))/(| ((Overscript[r, ⟶])^″)((Subscript[s, o]))|)), tj. na vektor ((Overscript[r, ⟶])^″)((Subscript[s, o])).
	- skalarna jednadžba
		((Subscript[x, o])^″)(x - (Subscript[x, o])) + ((Subscript[y, o])^″)(y - (Subscript[y, o])) + ((Subscript[z, o])^″)(z - (Subscript[z, o])) = 0
	- vektorska jednadžba
		((Overscript[r, ⟶]) - (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])))· ((Overscript[r, ⟶])^″)((Subscript[s, o])) = 0

OSKULACIONA RAVNINA

Oskulaciona ravnina - ravnina točkom α((Subscript[s, o])) okomira na vektor  ((Overscript[r, ⟶])^′)((Subscript[s, o])) × ((Overscript[r, ⟶])^″)((Subscript[s, o])).
	- vektorska jednadžba
		((Overscript[r, ⟶]) - (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])))·(((Overscript[r, ⟶])^′)((Subscript[s, o])) × ((Overscript[r, ⟶])^″)((Subscript[s, o]))) = 0  ili  ((Overscript[r, ⟶]) - (Overscript[r, ⟶])((Subscript[s, o])), ((Overscript[r, ⟶])^′)((Subscript[s, o])), ((Overscript[r, ⟶])^″)((Subscript[s, o]))) = 0
	- skalarna jednadžba
		|({{x-(Subscript[x, o]), y-(Subscript[y, o]), z-(Subscript[z, o])}, {((Subscript[x, o])^′), ((Subscript[y, o])^′), ((Subscript[z, o]))'}, {((Subscript[x, o])^″), ((Subscript[y, o])^″), \(z\_o\^″\)}})| = 0

Regularne i singularne točke krivulje

- regularne točke krivulje su one za koje je (Overscript[t, ⟶])≠ (Overscript[0, ⟶]), (\(TraditionalForm\`\(\(r\&⟶\)\& . \)(t)\)≠ (Overscript[0, ⟶]))
	- singularne točke su one za koje je (Overscript[t, ⟶])= (Overscript[0, ⟶]), (\(TraditionalForm\`\(\(r\&⟶\)\& . \)(t)\)= (Overscript[0, ⟶]))

Trobrid pratilac definiran je u regularnim točkama krivulje. Krivulju α : I ⟶ (E^3), danu jednadžbom (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t), zovemo glatkom ako su sve njezine točke regularne. 
Mi ćemo uvjek pretpostavljati da je vektorska funkcija kojom je zadana krivulja dovoljan broj puta derivabilna.

Frenetov trobrid kod krivulja parametriziranih općim parametrom

Definicija trobrida

α… (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(t) - krivulja parametrizirana općim parametrom
Reparametriziramo:	s = s(t) = (∫_a^t)|\(\(\(r\&⟶\)\& . \)(t)\)|dt  ⟹ t = t(s)
α… (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])[t(s)]

Vektor tangente

((Overscript[r, ⟶])^′)(s) = ((d  (Overscript[r, ⟶]))/ds)= ((d  (Overscript[r, ⟶]))/dt)(dt/ds)= ((((d  (Overscript[r, ⟶]))/dt))/(ds/dt))= \(TraditionalForm\`\(\(d  r\&⟶\)\/dt\)\/\(\(|\)\(\(d  r\&⟶\)\/dt\)\(|\)\)\)= \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\& . \/\(\(|\)\(\(r\&⟶\)\& . \)\(|\)\)\)			( i )
	(Overscript[((t^( o))), ⟶])= ((Overscript[r, ⟶])^′)=  \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\& . \/\(\(|\)\(\(r\&⟶\)\& . \)\(|\)\)\) - jedinični  vektor tangente
	
	((Overscript[r, ⟶])^″)(s) = (((d^2) (Overscript[r, ⟶]))/(ds^2))=(d/ds) (((d  (Overscript[r, ⟶]))/ds)) = (d/ds)(((d  (Overscript[r, ⟶]))/dt)(dt/ds)) 
	
	((Overscript[r, ⟶])^″)(s) = (((d^2) (Overscript[r, ⟶]))/(dt^2))(dt/ds)(dt/ds) + ((d  (Overscript[r, ⟶]))/dt)(((d^2) t)/(ds^2))= (((d^2) (Overscript[r, ⟶]))/(dt^2))((((dt/ds)))^2)+ ((d  (Overscript[r, ⟶]))/dt)(((d^2) t)/(ds^2))
	
	((Overscript[r, ⟶])^″)(s)=\(TraditionalForm\`\(\(\(d\^2\) r\&⟶\)\/dt\^2\)\/\((ds\/dt)\)\^2\)+ ((d  (Overscript[r, ⟶]))/dt)(((d^2) t)/(ds^2))= \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\&¨\/\(\(|\)\(\(r\&⟶\)\& . \)\( | \^2\)\)\)+ \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\& . \)(((d^2) t)/(ds^2))			( ii )

Vektori ((Overscript[r, ⟶])^′)(s) i ((Overscript[r, ⟶])^″)(s) razapinju oskulacionu ravninu, a kako iz ( i ) i ( ii ) slijedi da su oni linearna kombinacija vektora \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\& . \) i (Overscript[((Overscript[r, ⟶])), ¨]), vektor okomit na oskulacionu ravninu ⟶ vektor binormale.

Vektor binormale

((Overscript[r, ⟶])^′)× ((Overscript[r, ⟶])^″) = \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\& . \/\(\(|\)\(\(r\&⟶\)\& . \)\(|\)\)\) × (\(\(r\&⟶\)\&¨\/\(\(|\)\(\(r\&⟶\)\& . \)\( | \^2\)\)\)+ \(\(r\&⟶\)\& . \)(((d^2) t)/(ds^2)))

	((Overscript[r, ⟶])^′)× ((Overscript[r, ⟶])^″) =\(TraditionalForm\`\(\(r\&⟶\)\& . ×\(r\&⟶\)\&¨\)\/\(\(|\)\(\(r\&⟶\)\& . \)\( | \^3\)\)\) + \(TraditionalForm\`\(\(r\&⟶\)\& . ×\(r\&⟶\)\& . \)\/\(\(|\)\(\(r\&⟶\)\& . \)\(|\)\)\)(((d^2) t)/(ds^2))
	
	(Overscript[b, ⟶])= \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\& . ×\(r\&⟶\)\&¨\),		(Overscript[((b^( o))), ⟶])= \(TraditionalForm\`\(\(r\&⟶\)\& . ×\(r\&⟶\)\&¨\)\/\(\(|\)\(\(r\&⟶\)\& . ×\(r\&⟶\)\&¨\)\(|\)\)\)

Vektor glavne normale

(Overscript[n, ⟶])=(Overscript[b, ⟶])× (Overscript[t, ⟶]),	(Overscript[((n^( o))), ⟶])=(Overscript[((b^( o))), ⟶])× (Overscript[((t^( o))), ⟶])
	(Overscript[n, ⟶])= ( \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\& . ×\(r\&⟶\)\&¨\)) × \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\& . \);		(Overscript[((n^( o))), ⟶])= (((\(\(r\&⟶\)\& . ×\(r\&⟶\)\&¨\))×\(\(r\&⟶\)\& . \))/(|(\(\(r\&⟶\)\& . ×\(r\&⟶\)\&¨\))×\(\(r\&⟶\)\& . \)|))

Jednadžbe elemenata trobrida pratioca

Tangenta

(Overscript[r, ⟶])= (Overscript[r, ⟶])((Subscript[t, o])) + μ\(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\& . \)((Subscript[t, o])),
        \(TraditionalForm\`\(x - x\_o\)\/\^x\& . \_o\) = \(TraditionalForm\`\(y - y\_o\)\/\^y\& . \_o\)= \(TraditionalForm\`\(z - z\_o\)\/\^z\& . \_o\),
	
	(({{\(x = 
                      x\_o + \(\(μ\)\(\ \)\(\(x\& . \)\_o\)\(\ \)\)\)}, {\(y = y\_o + μ\ \(y\& . \)\_o\)}, {\(z = z\_o + μ\ \(z\& . \)\_o\)}}).

Glavna normala

(Overscript[r, ⟶])= (Overscript[r, ⟶])((Subscript[t, o])) + μ [(\(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \)×(Overscript[((Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶])), ¨])) × \(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \)],

	\(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \)×(Overscript[((Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶])), ¨]) = |({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), \(k\&⟶\)}, {\(x\& . \_o\), \(y\& . \_o\), \(z\& . \_o\)}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[y, ¨]), o]), \(z\&¨\_o\)}})| = |({{\(y\& . \_o\), \(z\& . \_o\)}, {(Subscript[(Overscript[y, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[z, ¨]), o])}})|(Overscript[i, ⟶])+|({{\(z\& . \_o\)}, {(Subscript[(Overscript[z, ¨]), o])}})({{\(x\& . \_o\)}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o])}})|(Overscript[j, ⟶])+|({{\(x\& . \_o\), \(y\& . \_o\)}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[y, ¨]), o])}})|(Overscript[k, ⟶])= l  (Overscript[i, ⟶]) + m  (Overscript[j, ⟶]) + 
        n  (Overscript[k, ⟶]),
	
	(\(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \)×(Overscript[((Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶])), ¨])) × \(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \)=|({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), \(k\&⟶\)}, {\(x\& . \_o\), \(y\& . \_o\), \(z\& . \_o\)}, {l, m, n}})|, tj.   ((x - (Subscript[x, o]))/(|({{\(y\& . \_o\), \(z\& . \_o\)}, {m, n}})|)) = ((y - (Subscript[y, o]))/(|({{\(z\& . \_o\)}, {n}})({{\(x\& . \_o\)}, {l}})|))= ((z - (Subscript[z, o]))/(|({{\(x\& . \_o\), \(y\& . \_o\)}, {l, m}})|)).

Binormala

(Overscript[r, ⟶])= (Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶]) + μ (\(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \)×(Overscript[((Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶])), ¨])),  tj.   ((x - (Subscript[x, o]))/(|({{\(y\& . \_o\), \(z\& . \_o\)}, {(Subscript[(Overscript[y, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[z, ¨]), o])}})|)) = ((y - (Subscript[y, o]))/(|({{\(z\& . \_o\)}, {(Subscript[(Overscript[z, ¨]), o])}})({{\(x\& . \_o\)}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o])}})|))= ((z - (Subscript[z, o]))/(|({{\(x\& . \_o\), \(y\& . \_o\)}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[y, ¨]), o])}})|)).

Jednadžbe ravnina

Normalna ravnina

((Overscript[r, ⟶]) - (Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶]))·\(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \) = 0;   tj.   \(TraditionalForm\`x\& . \_o\)(x - (Subscript[x, o])) + \(TraditionalForm\`y\& . \_o\)(y - (Subscript[y, o])) + \(TraditionalForm\`z\& . \_o\)(z - (Subscript[z, o])) = 0

Rektifikaciona ravnina

((Overscript[r, ⟶]) - (Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶]))·[(\(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \)×(Overscript[((Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶])), ¨])) × \(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \)] = 0 , odnosno 

	|({{x - (Subscript[x, o]), y - (Subscript[y, o]), z - (Subscript[z, o])}, {\(x\& . \_o\), \(y\& . \_o\), \(z\& . \_o\)}, {l, m, n}})| = 0.

Oskulaciona ravnina

((Overscript[r, ⟶]) - (Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶]))·(\(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \)×(Overscript[((Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶])), ¨])) = 0, odnosno
	((Overscript[r, ⟶]) - (Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶]), \(TraditionalForm\`\(\(r\_o\)\&⟶\)\& . \), (Overscript[((Overscript[((Subscript[r, o])), ⟶])), ¨])) = 0 .
	
	|({{x - (Subscript[x, o]), y - (Subscript[y, o]), z - (Subscript[z, o])}, {\(x\& . \_o\), \(y\& . \_o\), \(z\& . \_o\)}, {(Subscript[(Overscript[x, ¨]), o]), (Subscript[(Overscript[y, ¨]), o]), \(z\&¨\_o\)}})| = 0

sadržaj