Predavanja iz predmeta:	
	Matematika IV - Diferencijalna geometrija

5. FLEKSIJA I TORZIJA

Jedan od osnovnih problema u geometriji se sastoji u tome da se odrede one geometrijske veličine po kojima se jedna figura raziluje od druge, npr. polumjer kod kružnice, kutovi kod trokuta,.... 
Regularne su krivulje jednoznačno određene dvjema skalarnim veličinama koje zovemo fleksija i torzija, funkcije su prirodnog parametra i imaju gore navedeno svojstvo. One će nam dati mjeru za odstupanje krivulje od pravca i izvijanje krivulje iz ravnine. Drugim riječima definirat ćemo dvije zakrivljenosti.

Fleksija ili prva zakrivljenost

Definicija

Motivacija

Neka je dana krivulja α : I ⟶ (E^3) jednadžbom  (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀])(s),   s - duljina luka.
Vektor tangente:	(((Overscript[t, ⇀]))^o)=((Overscript[r, ⇀])^′)(s)
			|(((Overscript[t, ⇀]))^o)| = |((Overscript[r, ⇀])^′)(s)| = 1  ⟶  (((Overscript[t, ⇀]))^o) ∟ (((Overscript[t, ⇀]))^o)' tj.
			 (((Overscript[t, ⇀]))^o)' je okomit na samu krivulju α
Zbog toga će nam  (((Overscript[t, ⇀]))^o)' dati numeričku mjeru zakretanja krivulje α.

Realna funkcija  κ : I → R definirana formulom
	κ(s)=|(((d^2) (Overscript[r, ⇀]))/(ds^2))|=\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\(r\&⇀\^″\)(s)\)\(|\)\)\)=|(((Overscript[t, ⇀]))^o)'(s)|=|((d(((Overscript[t, ⇀]))^o))/ds)|
zove se fleksija  ili prva zakrivljenost krivulje α.

Geometrijski je fleksija mjera za promjenu kuta tangentnog vektora.
Točnije, fleksija u točki α((Subscript[s, o])) jest granična vrijednost omjera promjene kuta duž nekog luka (Overscript[T(Subscript[T, 1]), ⏜]) i duljine tog luka, tj:
	κ((Subscript[s, o])) =(Underscript[lim, Δs → 
            0])((Δφ)/(Overscript[T(Subscript[T, 1]), ⏜]))
	Δφ - kut među vektorima  (((Overscript[t, ⇀]))^o)((Subscript[s, o])) i  (((Overscript[t, ⇀]))^o)((Subscript[s, o])+ Δs)		Slika!
	sinΔ(φ/2)=((|((Δ(((Overscript[t,  ⇀]) )^o))/2)|)/(|(((Overscript[t,  ⇀]) )^o)|))  ⟶  Δ(((Overscript[t,  ⇀]) )^o) = 2sinΔ(φ/2)
⟹	(Underscript[lim, Δs → 
            0]) ((Δφ)/(Overscript[T(Subscript[T, 1]), ⏜])) =(Underscript[lim, Δs → 
            0])((Δφ)/(|Δ(((Overscript[t,  ⇀]) )^o)|))·((|Δ(((Overscript[t,  ⇀]) )^o)|)/(Overscript[T(Subscript[T, 1]), ⏜])) =(Underscript[lim, Δs → 
            0])((Δ(φ/2))/((|Δ(((Overscript[t,  ⇀]) )^o)|)/2))·((|Δ(((Overscript[t,  ⇀]) )^o)|)/(Δs))= (Underscript[lim, Δs → 
            0]) ((Δ(φ/2))/(sinΔ(φ/2)))·|((Δ(((Overscript[t,  ⇀]) )^o))/(Δs))| =
	= (Underscript[lim, Δs → 
            0])|((Δ(((Overscript[t,  ⇀]) )^o))/(Δs))| = (Underscript[lim, Δs → 
            0])|(( (((Overscript[t,  ⇀]) )^o)((Subscript[s, o])+Δs)- (((Overscript[t,  ⇀]) )^o)((Subscript[s, o])))/(Δs))| = ((d(((Overscript[t,  ⇀]) )^o))/(ds )) = |(((Overscript[t,  ⇀]) )^o)'((Subscript[s, o]))| = κ((Subscript[s, o]))

Recipročnu vrijednost (1/(κ((Subscript[s, o]))))= ρ((Subscript[s, o])) zovemo polumjerom zakrivljenosti krivulje α u točki α((Subscript[s, o])).

Torzija ili druga zakrivljenost

Definicija

Realna funkcija  τ : I → R  definirana formulom
	τ(s) = -  (((Overscript[n, ⇀]))^o) · (((Overscript[b, ⇀]))^o)' = - (((Overscript[n, ⇀]))^o)(s) ·((d(((Overscript[b, ⇀]))^o)(s))/ds)
zove se torzija ili druga zakrivljenost krivulje α.

Vrijedi:	
	|τ(s)|=|((d(((Overscript[b, ⇀]))^o))/ds)|.
Torzija može biti pozitivna ili negativna i daje mjeru za izvijanje krivulje α iz ravnine.
Geometrijski je torzija mjera za promjenu kuta (zaokret) binormale odnosno oskulacione ravnine krivulje α kad se diralište giba duž krivulje, tj.
	|τ| = (Underscript[lim, Δs → 
            0])((Δα)/(Overscript[T(Subscript[T, 1]), ⏜]))
	Δα - kut među vektorima  (((Overscript[b, ⇀]))^o)((Subscript[s, o]))  i  (((Overscript[b, ⇀]))^o)((Subscript[s, o])+ Δs)		Slika!

Frenet - Serretove formule

Kod promatranja geometrije krivulje α uvijek ćemo umjesto (Overscript[i, ⇀]),  (Overscript[j, ⇀]),  (Overscript[k, ⇀]) u nekoj točki promatrati Frenetov trobrid  {(((Overscript[t, ⇀]))^o), (((Overscript[n, ⇀]))^o), (((Overscript[b, ⇀]))^o)}.
Zanimaju nas izrazi za  (((Overscript[t, ⇀]))^o)', (((Overscript[n, ⇀]))^o)', (((Overscript[b, ⇀]))^o)' pomoću samih  (((Overscript[t, ⇀]))^o), (((Overscript[n, ⇀]))^o), (((Overscript[b, ⇀]))^o):
	(((Overscript[n, ⇀]))^o)(s) = \(TraditionalForm\`\(\(r\&⇀\^″\)(s)\)\/\(\(|\)\(\(r\&⇀\^″\)(s)\)\(|\)\)\) = ((((Overscript[r, ⇀])^″)(s))/(κ(s))) = (((((Overscript[t, ⇀]))^o)'(s))/(κ(s))),
	(Underscript[(((Overscript[t, ⇀]))^o)'(s) = κ(s) · (((Overscript[n, ⇀]))^o)(s), ─]).			(*)

Promatrajmo dalje  (((Overscript[b, ⇀]))^o)'(s).    (((Overscript[b, ⇀]))^o)'ima smjer vektora glavne normale (((Overscript[n, ⇀]))^o):
 	- (((Overscript[b, ⇀]))^o)'· (((Overscript[n, ⇀]))^o) = τ/·(-(((Overscript[n, →]))^o)),
 	(Underscript[ (((Overscript[b, ⇀]))^o)'= - τ (((Overscript[n, ⇀]))^o), ─]).				(**)

Na kraju, derivirajmo po s jednakost   (((Overscript[n, ⇀]))^o)= (((Overscript[b, ⇀]))^o)× (((Overscript[t, ⇀]))^o):  
	 (((Overscript[n, ⇀]))^o)= (((Overscript[b, ⇀]))^o)× (((Overscript[t, ⇀]))^o) /'
	(((Overscript[n, ⇀]))^o)' = (((Overscript[b, ⇀]))^o)' × (((Overscript[t, ⇀]))^o) + (((Overscript[b, ⇀]))^o) × (((Overscript[t, ⇀]))^o)'= - τ (((Overscript[n, ⇀]))^o) × (((Overscript[t, ⇀]))^o) + (((Overscript[b, ⇀]))^o) × κ(((Overscript[n, ⇀]))^o)
	(Underscript[(((Overscript[n, ⇀]))^o)'= τ(((Overscript[b, ⇀]))^o) - κ(((Overscript[t, ⇀]))^o), ─]).				(***)

(*), (**) i (***) čine Frenet-Serretove formule:
	(((Overscript[t, ⇀]))^o)'(s) = ((d(((Overscript[t, ⇀]))^o))/ds)=		 κ(((Overscript[n, ⇀]))^o)
	(((Overscript[n, ⇀]))^o)'(s) = ((d(((Overscript[n, ⇀]))^o))/ds)=  -κ(((Overscript[t, ⇀]))^o)		+τ(((Overscript[b, ⇀]))^o)
	(((Overscript[b, ⇀]))^o)(s) = ((d(((Overscript[b, ⇀]))^o))/ds)=		 -τ(((Overscript[n, ⇀]))^o)

Uvođenjem Darboux-Poissonovog vektora  (Overscript[d, ⇀]) = τ(((Overscript[t, ⇀]))^o) + κ(((Overscript[b, ⇀]))^o) gornje se formule mogu pisati jednostavnije u obliku:
	(((Overscript[t, ⇀]))^o)' = (Overscript[d, ⇀])×(((Overscript[t, ⇀]))^o)
	(((Overscript[n, ⇀]))^o)' = (Overscript[d, ⇀])×(((Overscript[n, ⇀]))^o)
	(((Overscript[b, ⇀]))^o)' = (Overscript[d, ⇀])×(((Overscript[b, ⇀]))^o)

Ravninska krivulja

Krivulje α:I→(E^(3 ))je ravninska, ako i samo ako je τ(s) = 0, za sve s∈I.
Krivulja je pravac ili dio pravca ako je  κ(s) = 0, za sve s∈I.
Krivulja je kružnica ili dio kružnice ako je  κ(s) = const ≠ 0  i  τ(s) = 0, za sve s∈I.

Izračunavanje zakrivljenosti (fleksije i torzije)

Krivulja parametrizirana prirodnim parametrom

Neka je krivulja α zadana jednadžbom  (Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(s) = x(s)(Overscript[i, ⇀])+y(s)(Overscript[j, ⇀])+z(s)(Overscript[k, ⇀]).

Fleksija:	κ(s) = |((d  (Overscript[t, ⇀]))/ds)| = |((Overscript[r, ⇀])^″)(s)| = (Sqrt[((((x^″)))^2)+((((y^″)))^2)+((((z^″)))^2)])			(1)
	
Torzija:		τ(s) = - (((Overscript[n, ⇀]))^o) · (((Overscript[b, ⇀]))^o)'= \(\(\(\ \)\((r\&⇀\^′, 
                r\&⇀\^″, \(r\&⇀\^′\)\^″)\)\)\/\(\(\(\(|\)\(r\)\)\&⇀\^″\)\( | \^2\)\)\), odnosno koordinatno			(2)

		τ(s) = ((|({{(x^′), (y^′), (z^′)}, {(x^″), (y^″), \(z\^″\)}, {(((x^″))^′), \(\(y\^″\)\^′\), (((z^″))^′)}})|)/(((((x^″)))^2)+((((y^″)))^2)+((((z^″)))^2)))						(3)

Krivulja parametrizirana općim parametrom

Neka je krivulja α  zadana jednadžbom  (Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(t) = x(t)(Overscript[i, ⇀]) + y(t)(Overscript[j, ⇀]) + z(t)(Overscript[k, ⇀]).
Derivacije po parametru t:   \(TraditionalForm\`\(\(\(r\&⇀\)\& . \)\(\ \)\(=\)\)\) \(TraditionalForm\`x\& . \)(Overscript[i, ⇀]) + \(TraditionalForm\`y\& . \)(Overscript[j, ⇀]) + \(TraditionalForm\`z\& . \)(Overscript[k, ⇀]), itd.

Fleksija:	κ(t) = \(\(\(|\)\(\(\(r\&⇀\)\& . ×\(r\&⇀\)\&¨\)\(|\)\)\)\/\(\(\(\(\(|\)\(r\)\)\&⇀\)\& . \)\( | \^3\)\)\)	(za t = s slijedi formula (1))				(4)
				
Torzija:		τ(t) = \(\((\(r\&⇀\)\& . , \(r\&⇀\)\&¨, \(\(r\&⇀\)\& ... \))\)\/\(\(\(\(\(|\)\(r\)\)\&⇀\)\& . ×\(r\&⇀\)\&¨\)\( | \^2\)\)\)								(5)
Koordinatno:

Fleksija:	κ(t)=\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\(\(r\&⇀\)\& . ×\(r\&⇀\)\&¨\)\(|\)\)\)\/\(\(\(\(\(|\)\(r\)\)\&⇀\)\& . \)\( | \^3\)\)\)=(Sqrt[((((((\(x\& . \)))^2)+(((\(y\& . \)))^2)+(((\(z\& . \)))^2))(((Overscript[x, ¨])^2)+((Overscript[y, ¨])^2)+((Overscript[z, ¨])^2))-(((\(x\& . \)(Overscript[x, ¨])+\(y\& . \)(Overscript[y, ¨])+\(z\& . \)(Overscript[z, ¨])))^2))/((((((\(x\& . \)))^2)+(((\(y\& . \)))^2)+(((\(z\& . \)))^2)))^3))])=\(TraditionalForm\`\@\(\(\(\(r\&⇀\)\& . \^2·\(r\&⇀\)\&¨\^2 - \((\(\(r\&⇀\)\& . \) \(r\&⇀\)\&¨)\)\^2\)\/\((\(r\&⇀\)\& . \^2)\)\^3\)\(
\)
        \)\)  (6)	
Torzija:		τ(t)=\(TraditionalForm\`\((\(r\&⇀\)\& . , \(r\&⇀\)\&¨, \(r\&⇀\)\&~)\)\/\(\(\(\(\(|\)\(r\)\)\&⇀\)\& . ×\(r\&⇀\)\&¨\)\( | \^2\)\)\)=((|({{\(x\& . \), \(y\& . \), \(z\& . \)}, {(Overscript[x, ¨]), (Overscript[y, ¨]), (Overscript[z, ¨])}, {\(x\& ... \), \(y\& ... \), \(z\& ... \)}})|)/((((\(x\& . \))^2)+((\(y\& . \))^2)+((\(z\& . \))^2))(((Overscript[x, ¨])^2)+((Overscript[y, ¨])^2)+((Overscript[z, ¨])^2))-(((\(x\& . \)(Overscript[x, ¨])+\(y\& . \)(Overscript[y, ¨])+\(z\& . \)(Overscript[z, ¨])))^2)))=\(\((\(r\&⇀\)\& . , \(r\&⇀\)\&¨, \(\(r\&⇀\)\& ... \))\)\/\(\(r\&⇀\)\& . \^2·\(r\&⇀\)\&¨\^2 - \((\(\(r\&⇀\)\& . \) \(r\&⇀\)\&¨)\)\^2\)\)	(7)

Izvodi gornjih formula mogu se naći u:
M. M. Lipschutz, Differential Geometry, Schaum's Outline Series, McGraw-Hill Book Company, New York

Krivulje u ravnini

Ponovimo: Diferencijabilno preslikavanje α : I->(E^2),  gdje je I otvoren interval realnih brojeva, zovemo krivuljom u ravnini.
Neka je zadana krivulja α... (Overscript[r, ⇀])= (Overscript[r, ⇀])(s),   s-duljina luka,  (Overscript[r, ⇀])(s) = x(s)(Overscript[i, ⇀]) + y(s)(Overscript[j, ⇀])
Za krivulju u ravnini imamo:	
	(Underscript[(2 vektorska polja), ─])
	(((Overscript[t, ⇀]))^o)(s) = ((Overscript[r, ⇀])^′)(s) 		- polje tangenata
	(((Overscript[n, ⇀]))^o)(s) = \(TraditionalForm\`\(\(r\&⇀\^″\)(s)\)\/\(\(|\)\(\(\(\(r\&⇀\^′\)\^″\)(s)\)\(|\)\)\)\) 	- polje normala
	
	\(TraditionalForm\`\(∃ \(! \ zakrivljenost\)\)\+─\) (nema izvijanja iz ravnine tj. nema torzije)
	κ(s)=|({{(x^′)(s), (y^′)(s)}, {\(\(x\^''\)(s)\), \(\(y\^''\)(s)\)}})|  	(slijedi iz formule (4))				(8)
	
	(Underscript[(Frenetove formule), ─])
	(((Overscript[t, ⇀]))^o)' = κ·((((Overscript[n, ⇀]))^o))
	(((Overscript[n, ⇀]))^o)' = -κ·((((Overscript[t, ⇀]))^o))

Neka je α... (Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(t),	 t-opći parametar
	(Underscript[Zakrivljenost, ─])
	 κ(t) = \(\((\(r\&⇀\)\& . , \(r\&⇀\)\&¨)\)\/\(\(\(\(|\)\(r\&⇀\)\)\& . \)\( | \^3\)\)\)=\(\((\(x\& . \) y\&¨ - \(x\&¨\) 
                      y\& . )\)\/\((\@\(x\& . \^2 + y\& . \^2\))\)\^3\) 	(slijedi iz formule (4))    			(9)
	 Izraz  ( (OverDot[(Overscript[r, ⇀])]),(Overscript[((Overscript[r, ⇀])), ¨]))  naziva se dvojka i definira sa:  ( (OverDot[(Overscript[r, ⇀])]),(Overscript[((Overscript[r, ⇀])), ¨])) = (\(TraditionalForm\`x\& . \)(Overscript[y, ¨]) – (Overscript[x, ¨])\(TraditionalForm\`y\& . \)) = |({{\(x\& . \), \(y\& . \)}, {(Overscript[x, ¨]), (Overscript[y, ¨])}})|.
	Krivulja u ravnini je pravac ako je κ = 0, a kružnica ili dio kružnice ako je κ = const ≠ 0.
	
	\(TraditionalForm\`\(Polumjer\ \(\(zakrivljenosti\)\(:\)\)\)\+─\)
	ρ((Subscript[t , o])) = (1/(κ((Subscript[t , o]))))   - polumjer zakrivljenosti krivulje α  u točki  α((Subscript[t, o]))

Izvodi formula mogu se naći u:
M. M. Lipschutz, Differential Geometry, Schaum's Outline Series, McGraw-Hill Book Company, New York

Tangenta i normala

Neka je krivulja zadana sa:   (Overscript[r, ⇀]) = {x(t), y(t)},	   \(TraditionalForm\`\(r\&⇀\)\& . \) = {\(TraditionalForm\`x\& . , y\& . \)},	(Overscript[ |(Overscript[r, ⇀])|,     .]) = (Sqrt[(((\(x\& . \)))^2)+(((\(y\& . \)))^2)])

Jedinični vektor tangente...	(((Overscript[t, ⇀]))^o) = \(TraditionalForm\`\(r\&⇀\)\& . \/\(\(|\)\(\(\(r\&⇀\)\& . \)\(|\)\)\)\) = (1/(Sqrt[(((\(x\& . \)))^2)+(((\(y\& . \)))^2)])){\(TraditionalForm\`x\& . , y\& . \)}

Tangenta...			((x-(Subscript[x, o]))/(Subscript[\(x\& . \), o]))= ((y-(Subscript[y, o]))/(Subscript[\(y\& . \), o]))	

Jedinični vektor normale...	(((Overscript[n, ⇀]))^o) = (1/(Sqrt[(((\(x\& . \)))^2)+(((\(y\& . \)))^2)])){\(TraditionalForm\`\(-y\& . \), x\& . \)}

Normala...			((x-(Subscript[x, o]))/(Subscript[\(x\& . \), o]))=((y-(Subscript[y, o]))/(Subscript[\(y\& . \), o]))

Oskulaciona kružnica

Oskulacionom kružnicom ili kružnicom zakrivljenosti krivulje α u točki α((Subscript[t , o])) zovemo kružnicu u oskulacionoj ravnini točke α((Subscript[t , o])) koja tangira krivulju α s konkavne strane i polumjer  ρ((Subscript[t , o]))  joj je jednak recipročnoj vrijednosti zakrivljenosti krivulje, tj.
		ρ((Subscript[t , o])) = (1/(κ((Subscript[t , o])))). 
Središte S kružnice zakrivljenosti zovemo središtem (centrom) zakrivljenosti. Koordinate (radijus vektor) točke S:			
		(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), s])= (Overscript[r, ⇀])((Subscript[t, o])) + ρ((Subscript[t , o]))·(((Overscript[n, ⇀]))^o)((Subscript[t , o])) = {(Subscript[x, s]),(Subscript[y, s])}.

Evoluta. Evoluta krivulje je geometrijsko mjesto svih središta zakrivljenosti dane krivulje.
Evolventa. Evolventa krivulje je krivulja kojoj je početna krivulja evoluta.

sadržaj