Predavanja iz predmeta:	
Matematika IV - Diferencijalna geometrija

III. POGLAVLJE - PLOHE

6. DEFINICIJA PLOHE I JEDNADŽBA PLOHE

Definicija

U diferencijalnom računu plohe se obično zadaju eksplicitnom ili implicitnom jednadžbom, tj. 
	z = f (x, y),
	F (x, y, z) = 0.
Ovo je zgodno kad se proučava ploha u cijelini. No, u diferencijalnoj geometriji proučavamo uglavnom lokalna svojstva, pa je u tu svrhu najzgodnije parametarsko ili vektorsko predočenje plohe.
Dakle, ploha je podskup S ⊂ (E^3), koji se može zadati na jedan od ova dva načina:
a)	S = {(x, y, z) ∈ (E^3) :  F (x, y, z) = c },				(1)
	gdje je F : (E^3) ⟶ ℝ diferencijabilna funkcija takva da je diferencijal dF ≠ 0.
b)	S = {(x, y, z) ∈ (E^3) :  z = f (x, y) },					(2)
	gdje je f : D ⟶  ℝ diferencijabilna funkcija, D otvoreni i povezan skup u ravnini.◼

Pretpostavimo da podskup S ⊂ (E^3) iz (1) i (2) dopušta prikaz u obliku: 
	x = x (u, v),    y = y (u, v),    z = z (u, v),  tj.			(4) 
	S = { (x, y, z) ∈ (E^3) :  x = x (u, v),  y = y (u, v),  z = z (u, v)}, 	(3)
gdje su  x, y, z : D ⟶  ℝ diferencijabilna obostrano jednoznačna preslikavanja, D otvoren i povezan skup u (E^2), i da za funkciju 
	(Overscript[r, ⟶])(u, v) =  x(u, v) (Overscript[i, ⟶])+ y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+  z(u, v)(Overscript[k, ⟶])			(5)
vrijedi  
	(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])× (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ≠ (Overscript[0, ⟶]).								(6)
Ako je tome tako tj. ako su svi ovi uvjeti ispunjeni, tada je  S  ploha u smislu navedene definicije.
Uvijet  (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])× (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ≠ (Overscript[0, ⟶]) znači da je |({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), \(k\&⟶\)}, {∂(x/∂)u, ∂(y/∂)u, ∂(z/∂)u}, {∂(x/∂)v, ∂(y/∂)v, ∂(z/∂)v}})|≠ (Overscript[0, ⟶]) tj. rang matrice (({{∂(x/∂)u, ∂(y/∂)u, ∂(z/∂)u}, {∂(x/∂)v, ∂(y/∂)v, ∂(z/∂)v}})) jednak je 2  ((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) i (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) nisu linerano zavisni).

Jednadžba plohe

Prema gornjoj numeraciji, jednadžbu:
(1), tj.	F (x, y, z) = c	zovemo implicitnom jednadžbom plohe,
(2), tj.	z = f (x, y)            zovemo eksplicitnom jednadžbom plohe,
(4), tj.	x = x(u, v),  y = y(u, v),  z = z(u, v)		zovemo parametarskim jednadžbama plohe,
(5), tj.	(Overscript[r, ⟶])(u, v) =  x(u, v) (Overscript[i, ⟶])+ y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+  z(u, v)(Overscript[k, ⟶])     zovemo vektorskom jednadžbom plohe.

Karta plohe. Parametrizacija plohe

Svaka ploha ne mora dopuštati parametarski prikaz tj. prikaz oblika (4). Često susretana ploha i u geodeziji važna ploha sfere ne dopušta prikaz (4) mada udovoljava definiciji plohe. Međutim, oko svake točke plohe postoji okolina koja dopušta takav prikaz. U tom slučaju jednadžbe (4) nisu jednadžbe plohe nego ih zovemo kartom te okoline.
Ovo nas zadovoljava jer ćemo za takve plohe proučavati lokalna svojstva, a ne plohu u cijelini.

Karta okoline:

Parametarske jednadžbe
	 
	(({{x = x (u, v)}, {y = y (u, v)}, {z = z (u, v)}})     zovemo kartom plohe ako je ispunjeno:
	- x, y, z :D ⟶  ℝ  diferencijabilna obostrano jednoznačna funkcija, 
	- D  otvoreno područje (otvoren i povezan skup),
	- (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])× (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ≠ (Overscript[0, ⟶])	.
Ako ploha u cijelosti dopušta kartu (4) ⟶ jednostavna ploha.
Dakle, jednostavnu plohu je moguće prekriti jednom jednostavnom kartom (4).

Parametrizacija plohe:

Parametarske jednadžbe 
	 
	(({{x = x (u, v)}, {y = y (u, v)}, {z = z (u, v)}})     zovemo parametrizacijom plohe ako je ispunjeno:	 
	- x, y, z :D ⟶  ℝ  diferencijabilne funkcije (ne zahtjeva se obostrana jednoznačnost), 
	- D  otvoreno područje, 
	- (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])× (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ≠ (Overscript[0, ⟶])	.
Singularna točka parametrizacije ⟶ točka u kojoj nije ispunjen uvjet (6) tj. vrijedi  (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])× (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) = (Overscript[0, ⟶]) i obično se isključuje iz razmatranja.

Krivolinijske ili Gaussove koordinate na plohi

Neka je ploha S zadana jednadžbom (4) ili (5). Damo li parametru v konstantnu vrijednost
	v = const. = c,
a parametar u mijenjamo, onda je preslikavanje 
	u ⟶ (Overscript[r, ⟶])(u, c)
neka krivulja na plohi koja se zove u-krivulja (u-crta) i njena je jednadžba
	x = x(u, c),	y = y(u, c),	z = z(u, c)	ili
	(Overscript[r, ⟶])(u, c) =  x(u, c) (Overscript[i, ⟶])+ y(u, c)(Overscript[j, ⟶])+  z(u, c)(Overscript[k, ⟶]).			(7)
Analogno, za  u = const = c, preslikavanje 
	v ⟶ (Overscript[r, ⟶])(c, v)
je v-krivulja (v-crta) i njena je jednadžba 
	x = x(c, v),	y = y(c, v),	z = z(c, v)	ili
	(Overscript[r, ⟶])(c, v) =  x(c, v) (Overscript[i, ⟶])+ y(c, v)(Overscript[j, ⟶])+  z(c, v)(Overscript[k, ⟶]).			(8)

Ovime smo dobili ⟶ dvije familije krivulja na plohi.
Svakom točkom plohe S prolazi po jedna krivulja iz svake od tih familija. Brojevi 
	u = (Subscript[u, i]),	 v = (Subscript[v, j])
zovu se krivolinijske  ili  nutarnje  ili  Gaussove koordinate točke P.
Geometrijski:  u i v predstavljaju Gaussove koordinate i to geografsku širinu  i geografsku duljinu.
Singularitet se geometriski očituje time što se u sjevernom i južnom polu sastaju svi meridijani.

sfera 	- razne parametrizacije
	- u i v krivulje

1.	x = cos u cos v,    y = sin u cos v,    z = sin v,     {u, 0, 2π},  {v, - π/2, π/2}     
	u - krivulje -> paralele,   v - krivulje -> meridijani

2.	x = cos u cos v,    y = sin u cos v,    z = sin v,     {u, 0, π},  {v, 0, 2π}     
	u - krivulje -> meridijani,   v - krivulje -> paralele

webMathematica datoteka za vježbu: ParametricPlot3D - plohe

Krivulje na plohi

Neka je zadana funkcija
	α : I ⟶ S,
gdje je I otvoreni interval, a S neka ploha. Funkciju α zvat ćemo krivuljom na plohi S ako je α diferencijabilna funkcija. Ako je ploha S dana vektorskom jednadžbom
	(Overscript[r, ⟶])(u, v) =  x(u, v) (Overscript[i, ⟶])+ y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+  z(u, v)(Overscript[k, ⟶]),	(u, v) ∈ D, 	D ⊆ (E^2) (otvoren skup)
onda krivulja α na plohi dopušta prikaz 
	(Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t)) , 	t ∈ I, 					(9)
gdje su  u = u(t), v = v(t)  diferencijabilne funkcije u, v :I ⟶R. Jednadžba (9) zove se vektorska jednadžba krivulje α na plohi S, a koordinatno glasi:
	 (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t))  =  x(u(t), v(t))(Overscript[i, ⟶])+ y(u(t), v(t))(Overscript[j, ⟶])+ z(u(t), v(t))(Overscript[k, ⟶]).
		 
Ovo je krivulja u smislu definicije krivulje dane u poglavlju 3. 
Parametarske u i v-crte su specijalan slučaj krivulja na plohi.

primjeri

sfera	
	x = sin u cos v,    y = sin u sin v,    z = cos u,     {v, 0, π},  {u, - π, π}     
valjak	
	x = (1+cos v)/2,    y = (sin v)/2,    z = u,     {u, -1, 1},  {v, - π, π}     
prodorna krivulja -> vivijanijeva krivulja
	x = (1+cos v)/2,    y = (sin v)/2,    z =(sin v/2),     {v, -2π, 2π}

valjak	
	x = 2cos v,    y = 2sin v,    z = u,     {u, 0, 2π},  {v, - π, π}     
	u - krivulje -> izvodnice,   v - krivulje -> kruznice
zavojnica na valjku
	x = 2cos t,    y = 2sin t,    z = t/4,     {t, 0, 8π}

sadržaj