Predavanja iz predmeta:	
	Matematika IV - Diferencijalna geometrija

7. TANGENCIJALNA RAVNINA I NAORMALA NA PLOHU

Definicija

Neka je zadana ploha S svojom jednadžbom  (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v)  i neka je točka T ∈ S. 
Povucimo točkom T sve moguće krivulje koje leže na plohi, i tangente na te krivulje u točki T. Sve tangente leže u jednoj ravnini koju nazivamo tangencijalna (tangentna) ravnina plohe u točki T.
Čime je određena tangencijalna ravnina? 
Dvama ukrštenim pravcima zadanom točkom, tj. vektorima (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) i (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) točkom T, tj. tangentama na  u- i v- krivulje koje prolaze točkom T :
	(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) = ∂((Overscript[r, ⟶])/∂)u= ∂(x/∂)u(Overscript[i, ⟶])+ ∂(y/∂)u(Overscript[j, ⟶])+ ∂(z/∂)u(Overscript[k, ⟶]),
	(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) = ∂((Overscript[r, ⟶])/∂)v= ∂(x/∂)v(Overscript[i, ⟶])+ ∂(y/∂)v(Overscript[j, ⟶])+ ∂(z/∂)v(Overscript[k, ⟶]).

Podsjetimo se, vektor tangente krivulje α : I ⟶ S  na plohi, dane sa  (Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t)) ,  t ∈ I :
	(Overscript[((Subscript[r, t])), ⟶]) = ((d  (Overscript[r, ⟶]))/dt)= ∂((Overscript[r, ⟶])/∂)u(du/dt)+ ∂((Overscript[r, ⟶])/∂)v(dv/dt).
		
Normala plohe
Pravac koji prolazi točkom T okomito na tangencijalnu ravninu zove se normala na plohu u točki T. Vektor smjera normale dobije se sa:
	(Overscript[(N ), ⟶]) = (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])× (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ,
odnosno,		
	(Overscript[(N ), ⟶]) = ∂(x/∂)u∂(y/∂)v(Overscript[k, ⟶])- ∂(x/∂)u∂(z/∂)v(Overscript[j, ⟶])- ∂(y/∂)u∂(x/∂)v(Overscript[k, ⟶])+ ∂(y/∂)u∂(z/∂)v(Overscript[i, ⟶])+ ∂(z/∂)u∂(x/∂)v(Overscript[j, ⟶])- ∂(z/∂)u∂(y/∂)v(Overscript[i, ⟶]),  ili
	
	(Overscript[(N ), ⟶]) =|({{∂(y/∂)u, ∂(y/∂)v}, {∂(z/∂)u, ∂(z/∂)v}})|(Overscript[i, ⟶])+ |({{∂(z/∂)u, ∂(z/∂)v}, {∂(x/∂)u, ∂(x/∂)v}})|(Overscript[j, ⟶])+ |({{∂(x/∂)u, ∂(x/∂)v}, {∂(y/∂)u, ∂(y/∂)v}})|(Overscript[k, ⟶]),  ili
	
	(Overscript[(N ), ⟶]) = (({{(Overscript[i, ⟶]), (Overscript[j, ⟶]), \(k\&⟶\)}, {∂(x/∂)u, ∂(y/∂)u, ∂(z/∂)u}, {∂(x/∂)v, ∂(y/∂)v, ∂(z/∂)v}})).
Jedinični vektor normale glasi:
	(Overscript[(N^o), ⟶]) = (((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]))/(|(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])|)).

Regularne i singularne točke plohe.
Singularne točke koordinatne (parametarske) mreže.

Regularne točke plohe - točke u kojima je definirana, odnosno u kojima postoji, tangencijalna ravnina.
	Uvijet:	 (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])× (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ≠ (Overscript[0, ⟶]),  barem za jednu parametrizaciju.
Gornji uvjet znači da vektori  (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) i (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) nisu kolinearni i da određuju tangencijalnu ravninu.
		
Singularne točke plohe - točke u kojima nije definirana tangencijalna ravnina i za koje vrijedi
	(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])× (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) = (Overscript[0, ⟶]),  za svaku parametrizaciju plohe.
			 
Singularne točke koordinatne (parametarske) mreže - 
	(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])× (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) = (Overscript[0, ⟶])  može biti ispunjeno u pojedinim točkama plohe a da te točke ipak nisu singularne točke plohe, tj. u njima postoje tangencijalne ravnine. Na primjer, polovi sfere ili rotacionog elipsoida su singularne točke koordinatne mreže, u njima se sastaju svi meridijani.

Jednadžba tangencijalne ravnine

({{\(Jednadžba\ plohe\), Tangencijalna ravnina}, {F(x, y, z) = c, (Subscript[(((∂F)/(∂x))), o])(x-(Subscript[x, o]))+(Subscript[(((∂F)/(∂y))), o])(y-(Subscript[y, o]))+(Subscript[(((∂F)/(∂z))), o])(z-(Subscript[z, o]))=0}, {z = f(x, y), z-(Subscript[z, o])=(Subscript[(((∂z)/(∂x))), o])(x-(Subscript[x, o]))+(Subscript[(((∂z)/(∂y))), o])(y-(Subscript[y, o]))}, {x = x(u, v)
y = y(u, v)
z = z(u, v)
,                      det(({{x-(Subscript[x, o]), y-(Subscript[y, o]), z-(Subscript[z, o])}, {(Subscript[(((∂x)/(∂u))), o]), (Subscript[(((∂y)/(∂u))), o]), (Subscript[(((∂z)/(∂u))), o])}, {(Subscript[(((∂x)/(∂v))), o]), (Subscript[(((∂y)/(∂v))), o]), (Subscript[(((∂z)/(∂v))), o])}}))=0
  ili
(Subscript[(((∂(y, z))/(∂(u, v)))), o])(x-(Subscript[x, o]))+(Subscript[(((∂(z, x))/(∂(u, v)))), o])(y-(Subscript[y, o]))+(Subscript[(((∂(x, y))/(∂(u, v)))), o])(z-(Subscript[z, o]))=0}, {(Overscript[r, ⟶])(u, v)=x(u, v)(Overscript[i, ⟶])+
+y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+z(u, v)(Overscript[k, ⟶]), ((Overscript[ρ, ⇀])-(Subscript[(OverVector[r]), o]))·((Subscript[(((∂(OverVector[r]))/(∂u))), o])× (Subscript[(((∂(OverVector[r]))/(∂v))), o]))=0
ili
((Overscript[ρ, ⇀])-(Subscript[(OverVector[r]), o]))·(OverVector[(Subscript[N, o])])=0}})

sadržaj