Predavanja iz predmeta:	
	Matematika IV - Diferencijalna geometrija

8. PRVA DIFERENCIJALNA FORMA PLOHE

Gaussove veličine prvog reda

Podsjetimo se: Krivulja u prostoru (E^3) jednoznačno je određena dvjema lokalnim invarijantnim veličinama -> fleksijom i torzijom kao funkcijama duljine luka.
Slično, ploha u (E^3) jednoznačno je određena lokalnim invarijantnim veličinama koje se zovu prva i druga fundamentalna forma plohe.
Neka je ploha S zadana svojom vektorskom jednadžbom  
	(Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v) =  x(u, v) (Overscript[i, ⟶])+ y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+  z(u, v)(Overscript[k, ⟶]),	(u, v) ∈ D. 
Neka je α krivulja na plohi S zadana sa: 
	(Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t))  =  x(u(t), v(t))(Overscript[i, ⟶])+ y(u(t), v(t))(Overscript[j, ⟶])+ z(u(t), v(t))(Overscript[k, ⟶]),	t∈ I.
 	
Izračunajmo duljinu luka krivulje α na S:
Podsjetimo se,	
	s(t) = (∫_a^t)|\(\(r\&→\)\& . \) (t)|dt, 
	ds = | (OverDot[(Overscript[r, →])]) (t)| dt = |d  (Overscript[r, →])|, 	tj. "prirast po tangenti"
Imamo sada,
	ds = |∂((Overscript[r, ⇀])/∂)u∂(u/∂)t+∂((Overscript[r, ⇀])/∂)v∂(v/∂)t| dt = |∂((Overscript[r, ⇀])/∂)udu+∂((Overscript[r, ⇀])/∂)vdv|,
	
	(ds^2) = (((d  (Overscript[r, →])))^2)=  (((∂((Overscript[r, ⇀])/∂)udu+∂((Overscript[r, ⇀])/∂)vdv))^2),
	
	(ds^2) = (((d  (Overscript[r, →])))^2)= (((∂((Overscript[r, ⇀])/∂)u))^2)(du^2) + 2∂((Overscript[r, ⇀])/∂)u∂((Overscript[r, ⇀])/∂)vdu dv +(((∂((Overscript[r, ⇀])/∂)v))^2)(dv^2),
	
	(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) = ∂((Overscript[r, ⟶])/∂)u= ∂(x/∂)u(Overscript[i, ⟶])+ ∂(y/∂)u(Overscript[j, ⟶])+ ∂(z/∂)u(Overscript[k, ⟶]),
	
	(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) = ∂((Overscript[r, ⟶])/∂)v= ∂(x/∂)v(Overscript[i, ⟶])+∂(y/∂)v(Overscript[j, ⟶])+ ∂(z/∂)v(Overscript[k, ⟶]).

Definicija

Za plohu S definiramo funkcije  E, F, G: D⟶ ℝ  na sljedeći način:

	E = ((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])^2)= (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) = (((∂(x/∂)u))^2)+ (((∂(y/∂)u))^2)+(((∂(z/∂)u))^2)
	
	F = (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) = ∂(x/∂)u·∂(x/∂)v+∂(y/∂)u·∂(y/∂)v+∂(z/∂)u·∂(z/∂)v
	
	G = ((Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])^2)= (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])= (((∂(x/∂)v))^2)+(((∂(y/∂)v))^2)+(((∂(z/∂)v))^2)
		
E, F, G - Gaussove osnovne (fundamentalne) veličine prvog reda  ili koeficijenti prve diferencijalne forme
Slijedi:
	(ds^2)= (((d  (Overscript[r, →])))^2)= E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2)≡ I 
	Prva fundamentalna forma plohe  (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀]) (u,v), ili
	Prva diferencijalna forma plohe  (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀]) (u,v), ili
	Metrička (kvadratna) forma plohe  (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀]) (u,v).

Duljina luka krivulje na plohi

Neka je dana krivulja α na karti  (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀]) (u,v) plohe S jednadžbom
	(Overscript[r, ⟶])(t) =(Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t)),	t ∈ I .
Prvu fundamentalnu formu (ds^2)plohe  (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀])(u,v) podijelimo s (dt^2), tj.
	(ds^2)= (((d  (Overscript[r, →])))^2)= E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2) / : (dt^2)
Slijedi,
	(ds/dt)=(Sqrt[ E ((((du/dt)))^2) + 2 F (du/dt) (dv/dt) + G ((((dv/dt)))^2)]), odnosno
	
	(Underscript[s = (∫_((Subscript[t, 1]))^((Subscript[t, 2])))(Sqrt[ E ((((du/dt)))^2) + 2 F (du/dt) (dv/dt) + G ((((dv/dt)))^2)])dt, ─]) .
	Duljina luka krivulje na plohi od točke A ((Overscript[r, ⇀])((Subscript[t, 1])))  do točke B ((Overscript[r, ⇀])((Subscript[t, 2]))).

Kako E, F, G (tj. I) služe za mjerenje duljina krivulja na plohi, kaže se da I zadaje metriku plohe.

Kut između dviju krivulja na plohi

Kut između dviju krivulja na plohi definira se kao kut između njihovih tangenata u presječnoj točki M.
Neka su krivulje α i β na plohi S dane jednadžbama:
	α……(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])(t) =(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])(u(t), v(t)),		u = u(t),   v = v(t),
	β……(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])(t) =(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])(\(TraditionalForm\`u\&_\)(t), \(TraditionalForm\`\(\(v\)\(\ \)\)\&_\)(t)),	u = \(TraditionalForm\`u\&_\)(t),   v = \(TraditionalForm\`\(\(v\)\(\ \)\)\&_\)(t).
	
Njihovi tangentni vektori:				Diferencijali:
	\(TraditionalForm\`\(r\&⟶\_1\)\& . \)= ((d(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), 1]))/dt)= (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u])(du/dt)+ (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v])(dv/dt),			d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])= (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u]) du + (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v]) dv,
	 \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\_2\)\& . \)= ((d  (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), 2]))/dt)= (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u])\(TraditionalForm\`\(d  u\&_\)\/dt\)+ (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v])\(TraditionalForm\`\(d  v\&_\)\/dt\),			d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])= (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u]) d\(TraditionalForm\`u\&_\) + (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v]) d\(TraditionalForm\`\(\(\(\(\ \)\(v\)\)\&_\)\(\ \)\)\).
	 
Označimo:  ∠(\(TraditionalForm\`\(r\&⟶\_1\)\& . \),\(TraditionalForm\`\(r\&⟶\_2\)\& . \)) = ω
 	\(TraditionalForm\`\(r\&⟶\_1\)\& . \)·\(TraditionalForm\`\(r\&⟶\_2\)\& . \)=|\(TraditionalForm\`\(r\&⟶\_1\)\& . \)||\(TraditionalForm\`\(r\&⟶\_2\)\& . \)| cosω,		  	  d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])· d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])= |d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])| |d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])| cosω.

Slijedi:
	cosω = (((OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])])·(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])]))/(|(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])])||(OverDot[(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])])|)) = ((d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])·d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2]))/(|d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])| |d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])|))= ((( (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u])du+(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v])dv)( (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u])d\(u\&_\)+(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v])d\(v\&_\)))/((Sqrt[d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])· d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 1])])(Sqrt[d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])· d(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), 2])]))),
	
	(Underscript[cosω = ((\(E\ du\ d  u\&_\) + F( \(du\ d  v\&_\ \  + d  u\&_\ dv\))+\(G\ dv\ d  v\&_\))/((Sqrt[E (du^2)+2F du dv  +  G (dv^2)])(Sqrt[E d((\(u\&_\))^2)+2F d\(u\&_\) d\(v\&_\)  + G d((\(v\&_\))^2)]))), ─]).

Specijalni slučajevi

a)	Kut između krivulje i u- krivulje (α je neka krivulja, β je u- krivulja ⇒ \(TraditionalForm\`\(\(v\&_\)\(\ \)\)\)= const., d\(TraditionalForm\`v\&_\) =0):
 	cosω = ((\(E\ du\ d  u\&_\  + \ Fd  u\&_\ dv\))/(d\(u\&_\)(Sqrt[E ])(Sqrt[E (du^2)+2F du dv  +  G (dv^2)])))= ((E du  +  F dv)/((Sqrt[E]) (Sqrt[E (du^2)+2F du dv  +  G (dv^2)])))
 	
 b)	Kut između krivulje i v- krivulje (α je neka krivulja,  β je v- krivulja ⇒ \(TraditionalForm\`\(\(u\&_\)\(\ \)\)\)= const., d\(TraditionalForm\`u\&_\) =0)
 	izračunava se analogno prethodnom.
 
 c)	Kut između u- krivulje i v- krivulje 
 	(α je u- krivulja ⇒ v = const., dv =0,   β je v- krivulja ⇒ \(TraditionalForm\`\(\(u\&_\)\(\ \)\)\)= const., d\(TraditionalForm\`u\&_\) =0):
 	cosω = ((\(\(\ \)\(\(F\)\(\ \)\(du\)\(\ \)\(d\) \( 
                      v\&_\)\(\ \ \)\)\))/(du(Sqrt[E ])d\(v\&_\)(Sqrt[G ])))=(( F   )/((Sqrt[E ])(Sqrt[G ]))).
 	
 d)	Krivulje α i β su međusobno okomite ⇔ cosω = 0, 	tj.
 	\(E\ du\ d  u\&_\) + F( \(du\ d  v\&_\ \  + d  u\&_\ dv\))+\(G\ dv\ d  v\&_\) = 0.
 
 e)	Koordinatne linije (u i v krivulje) su međusobno okomite ⇔ F = 0 .

Površina omeđenog dijela plohe

Neka je ploha S zadana svojom vektorskom jednadžbom (Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u,v) i neka je (K) zatvoreno područje na S. Želimo izračunati površinu područja (K).
Diferencijal vektorske funkcije  d(Overscript[r, ⟶])= (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u]) du + (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v]) dv.
Površina elementa područja (K), tj. površinu ΔK plohe aproksimiramo površinom ΛS paralelograma čije su stranice vektori  (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u]) du  i  (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v]) dv:
	ΔS = | (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u]) du × (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v]) dv| = |(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v])| du dv.
Površinu područja (K) iznosi:
	(Underscript[S = (Underscript[∫∫, (K)])dS = (Underscript[∫∫, D]) |(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v])| du dv = (Underscript[∫∫, D]) (Sqrt[EG - (F^2)])du dv ,, ─])
	gdje je D - zatvoreno područje u ravnini uv, takvo da je (Overscript[r, ⟶])(D) = K.

Dokaz jednakosti:  |(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u])×(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), v])(|^2) = EG - (F^2).

	 (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])· (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])= |(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])| |(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])| cosα  ((/)^2)
	 (Underscript[|(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])| = |(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])| |(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])| sinα  ((/)^2), ─])  
	
	   ((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])· (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])))^2) = |(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (| ^2) |(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (| ^2) (cos^2)α 	
	(Underscript[|(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])(|^2) = |(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])(|^2) |(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])(|^2) (sin^2)α , ─]) \(TraditionalForm\`\(/\^+\)\)

	((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])· (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])))^2)+ |(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])(|^2) = ((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])· (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])) ((Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])· (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])) ((sin^2)α + (cos^2)α)
	
	|(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])(|^2) = (((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]))^2)· (((Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]))^2) - ((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])· (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])))^2)= EG - (F^2) ◼

Izraz   EG - (F^2)= (W^2)  nazivamo diskriminanta prve diferencijalne forme ili Weingartenova funkcija.
Uvjet  (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ≠ 0 sada postaje EG - (F^2)≠ 0, i jedinični vektor normale glasi:   (OverVector[(Subscript[N, 0])])= (((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]))/(|(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])|)) = (((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]))/(Sqrt[EG-(F^2)])).

Svojstvo invarijantnosti veličina E, F, G, odnosno ds, dS

Promatra se ponašanje veličina E, F, G pri
(1)	promjeni položaja plohe u prostoru tj. promjeni koordinatnog sustava,
(2)	promjeni parametarske mreže na plohi.

Pokazuje se da vrijedi sljedeće (analitički dokaz ćemo preskočiti):
(1)	Metričke veličine E, F, G su invarijantne prema promjeni položaja plohe u prostoru, tj. prema promjeni koordinatnog sustava. To je i zorno jasno jer parametarska mreža na plohi ostaje ista pomičemo li plohu.	
(2)	Veličine E, F, G  nisu invarijantne prema promjeni parametarske mreže na plohi. To je jasno i iz zorne predodžbe jer promjenom parametarske mreže na plohi mijenja se njena jednadžba, pa "novi" \(TraditionalForm\`E\&_\), \(TraditionalForm\`F\&_\), \(TraditionalForm\`G\&_\) ne moraju biti jednaki "starima". 	
	Međutim, invarijantni su ds i dS. To je i zorno jasno jer mijenjanjem parametrizacije na plohi ne mijenja se duljina luka krivulje na plohi kao ni površina omeđenog dijela plohe.

sadržaj