Predavanja iz predmeta:	
	Matematika IV - Diferencijalna geometrija

9.  DRUGA DIFERENCIJALNA FORMA PLOHE

Gaussove veličine drugog reda

Neka je ploha S zadana svojom vektorskom jednadžbom  
	(Overscript[r, ⟶])=(Overscript[r, ⟶])(u, v) =  x(u, v) (Overscript[i, ⟶])+ y(u, v)(Overscript[j, ⟶])+  z(u, v)(Overscript[k, ⟶]),	(u, v) ∈ D . 
Zanima nas oblik plohe u okolini neke točke. To ćemo riješiti tako da postavimo neku krivulju na plohu i kako se ponaša ta krivulja u okolini točke, tako se ponaša i ploha.

Krivulja parametrizirana prirodnim parametrom

Neka je α krivulja na plohi S zadana jednadžbom
 	(Overscript[r, ⟶])(s) = (Overscript[r, ⟶])(u(s), v(s))  =  x(u(s), v(s))(Overscript[i, ⟶])+ y(u(s), v(s))(Overscript[j, ⟶])+ z(u(s), v(s))(Overscript[k, ⟶]).
 	 s - duljina luka
 	( (((Overscript[t, ⇀]))^o) = ((Overscript[r, ⟶])^′)(s) = ((d  (Overscript[r, ⇀]))/ds) - smjer tangente krivulje α)
 
Označimo s (((Overscript[t, ⇀]))^o), (((Overscript[n, ⇀]))^o) vektore tangente i glavne normale na krivulju α u točki P a s (((Overscript[N, ⇀]))^o) jedinični vektor normale na plohu S.
(((Overscript[N, ⇀]))^o)i (((Overscript[n, ⇀]))^o) općenito nisu kolinearni nego zatvaraju neki kut θ.
	∡((((Overscript[N, ⇀]))^o), (((Overscript[n, ⇀]))^o)) = θ = ?
Iskoristimo Frenet - Serretove formule:
	
	(((Overscript[t, ⇀]))^o)'= (((d^2) (Overscript[r, ⇀]))/(ds^2))= κ (((Overscript[n, ⇀]))^o)  /·(((Overscript[N, ⇀]))^o),	κ = |(((d^2) (Overscript[r, ⇀]))/(ds^2))| - fleksija
	(((Overscript[N, ⇀]))^o)·(((d^2) (Overscript[r, ⇀]))/(ds^2)) = κ (((Overscript[n, ⇀]))^o)· (((Overscript[N, ⇀]))^o)= κ cosθ.					(1)

Izračunamo ((d  (Overscript[r, ⇀]))/ds), (((d^2) (Overscript[r, ⇀]))/(ds^2)) i uvrstimo u formulu (1):
	
	κ cosθ = (((Overscript[N, ⇀]))^o)· (((d^2) (Overscript[r, ⇀]))/(ds^2)) = (((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) )/(|(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) |))·(((d^2) (Overscript[r, ⇀]))/(ds^2))= (((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) )/W)·(((d^2) (Overscript[r, ⇀]))/(ds^2))= ………, 
	κ cosθ = (((Overscript[N, ⇀]))^o)·(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), uu]) ((((du/ds)))^2)+2 (((Overscript[N, ⇀]))^o)·(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), uv])(du/ds)(dv/ds) + (((Overscript[N, ⇀]))^o)·(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), vv])((((dv/ds)))^2).

Za plohu S definiramo funkcije L, M, N: D⟶ℝ na sljedeći način:
	L = (((Overscript[N, ⇀]))^o)· (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), uu]) = (1/W)[((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]))·(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), uu])] = (1/W)((Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u]),(Subscript[(OverVector[r]), v]),(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), uu]) )
	M =(((Overscript[N, ⇀]))^o)· (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), uv]) = (1/W)[((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]))·(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), uv])] = (1/W)((Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u]),(Subscript[(OverVector[r]), v]),(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), uv]) )
	N =(((Overscript[N, ⇀]))^o)· (Subscript[(Overscript[r, ⇀]), vv]) = (1/W)[((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]))·(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), vv])] = (1/W) ((Subscript[(Overscript[r, ⇀]), u]),(Subscript[(OverVector[r]), v]),(Subscript[(Overscript[r, ⇀]), vv]) )

L, M, N - Gaussove veličine 2. reda  ili
	Osnovne (fundamentalne) veličine 2. reda ili 
	Koeficijenti druge diferencijalne forme

Slijedi:
	κcosθ=L ((((du/ds)))^2) + 2 M (du/ds)(dv/ds) + N ((((dv/ds)))^2)≡ II
	Druga fundamentalna (osnovna) forma plohe  (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀]) (u,v), ili
	Druga diferencijalna forma plohe  (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀]) (u,v), ili
	Druga kvadratna forma plohe  (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀]) (u,v).

Krivulja parametrizirana općim parametrom

Ako krivulja nije parametrizirana prirodnim već općim parametrom t , druga diferencijalna forma glasi
 	κcosθ=((((L((du/dt)))^2) + 2 M (du/dt)(dv/dt) + N ((((dv/dt)))^2))/(E ((((du/dt)))^2) + 2 F (du/dt)(dv/dt) + G ((((dv/dt)))^2))), 
odnosno,
	κcosθ=((L (du^2) + 2 M du dv + N (dv^2))/(E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2)))=(II/I).			(2)
	
Označimo li smjer (du/dv)=μ, relacija (2) poprima oblik:  κcosθ=((L (μ^2) + 2 M μ + N )/(E (μ^2) + 2 F μ + G)).

Značenje dobivene relacije

Relacija (2) predstavlja osnovnu formulu za ispitivanje krivulje na plohi u njenoj proizvoljnoj točki.
Desna strana ovisi o:
1)   Točki P(u,v) plohe, tj. o veličinama E, F, G, L, M, N, koje se računaju u točki P i ovise o  u , v.
2)   Smjeru krivulje α na plohi koji je određen diferencijalima du, dv, tj. (du/dv). 

Dakle, desna strana tj.(II/I) ima istu vrijednost za sve krivulje koje prolaze točkom P(u,v) plohe S i imaju u njoj zajedničku tagentu  (((Overscript[t, ⇀]))^o).
Zbog toga za dobivanje imformacija o plohi u okolišu neke točke nije nužno promatrati sve krivulje na plohi nego samo ravninske, a među njima samo takozvane normalne presjeke.
To znači da za dobivanje imformacija o plohi u okolišu neke točke možemo birati "najljepše" presjeke.

Normalni presjek plohe

Definicija. Normalni presjek plohe S u točki P u smjeru vektora (((Overscript[t, ⇀]))^o) je ravninska krivulja γ koja nastaje tako da plohu u promatranoj točki siječemo ravninom koja prolazi jadnim pravcem tangencijalne ravnine (tj. smjerom (((Overscript[t, ⇀]))^o)) i normalom (((Overscript[N, ⇀]))^o) na plohu S u točki P.
Svaka druga ravnina koja prolazi istim pravcem (tj. smjerom (((Overscript[t, ⇀]))^o)) ali ne i normalom (((Overscript[N, ⇀]))^o), siječe plohu u krivulji koja se zove kosi presjek.
Dakle, normalni presjek je ravninski presjek za koji je  θ = 0  ili  θ = π.
											Slika!

Normalna zakrivljenost plohe u danom smjeru

Definicija.  Normalna zakrivljenost plohe u danom smjeru je zakrivljenost normalnog presjeka u tom smjeru i označava se (Subscript[K, n]). 
(Subscript[K, n]) može biti  +  ili  - ovisno o tome da li je  θ = 0  ili  θ = π.
	(Subscript[K, n]) > 0 ⇒ (((Overscript[N, ⇀]))^o) i (((Overscript[n, ⇀]))^o) su s iste strane tangencijalne ravnine točke P.
	(Subscript[K, n]) < 0 ⇒ (((Overscript[N, ⇀]))^o) i (((Overscript[n, ⇀]))^o) su s raznih strana tangencijalne ravnine P.
										Slika!
Normalna zakrivljenost u smjeru (((Overscript[t, ⇀]))^o)(odnosno (du/dv)) dana je izrazom
	(Subscript[K, n])=((L (du^2) + 2 M du dv + N (dv^2))/(E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2)))=(II/I)				(3)

Meusnierov teorem

Meusnierov teorem slijedi iz prethodne relacije a povezuje zakrivljenost (Subscript[K, n]) normalnog  i ϰ kosog presjeka plohe, tj.
	(Subscript[K, n])=κ cosθ
	(Subscript[K, n])=κ cosθ    &   -1 ≤ cosθ ≤ 1   ⇒   najmanju zakrivljenost od svih krivulja na plohi koje prolaze jednom točkom i imaju zajedničku tangentu u toj točki ima (Underscript[(normalni presjek plohe), ─]).
 Kao i ranije, 
	(Subscript[R, n]) =(1/(Subscript[K, n]))   - polumjer zakrivljenosti normalnog presjeka,
	 ρ = (1/κ)	   - polumjer zakrivljenosti kosog presjeka.

Vrste točaka na plohi
Eliptičke, hiperboličke, paraboličke točke plohe

Da bi se ispitao oblik plohe S u okolišu jedne točke P(u,v) treba ispitati zakrivljenost normalnog presjeka u toj točki. To znači da treba ispitati predznak desne strane jednadžbe (3) kada se mijenja omjer μ = (du/dv). Mijenjanjem tog omjera dobiju se različite tangente u tangencijalnoj ravnini plohe S kojima će odgovarati različiti normalni presjeci, odnosno različite krivulje na plohi u promatranoj točki.
Zbog  I = (ds^2) > 0 , predznak desne strane u (3) ovisi samo o predznaku brojnika, tj. o predznaku II diferencijalne forme plohe, odnosno o predznaku njene diskriminante LN - (M^2).
Dakle,
	(Subscript[P, 2])(μ) = L (μ^2) + 2 M μ + N = 0
	(Subscript[μ, 1, 2]) = ((-2 M±(Sqrt[4  (M^2) - 4LN]))/(2  L))= ((-M±(Sqrt[(M^2) - LN]))/L)
Isključujemo iz razmatranja točke P(u,v) u kojima je  L = M = N = 0.

Mogućnosti:

1)   Eliptičke točke plohe - točke u kojima je ispunjeno  LN - (M^2) > 0 
	- (Subscript[K, n]) (tj. forma II) će imati uvijek isti predznak mijenjanjem omjera μ = (du/dv)
	- oko eliptičke točke ploha se nalazi s jedne strane tangencijalne ravnine
	- primjeri: sfera i elipsoid imaju samo eliptičke točke

2)   Hiperboličke točke plohe - točke u kojima je ispunjeno  LN - (M^2) < 0 
	- (Subscript[K, n]) (tj. forma II) mijena predznak mijenjanjem omjera μ = (du/dv) ⇒ 
	 postoje vrijednosti  (Subscript[μ, 1]) = (Subscript[((du/dv)), 1]),  (Subscript[μ, 2]) = (Subscript[((du/dv)), 2]) za koje je (Subscript[K, n]) = 0
	- (Subscript[μ, 1]), (Subscript[μ, 2]) - asimptotski smjerovi 
		- asimptotski smjerovi rastavljeju okolinu hiperboličke točke u 4 dijela: 
	dva nasuprotna dijela plohe nalaze se ispod a dva preostala iznad tangencijalne ravnine
	- ploha se lokalno ponaša kao "sedlasta" ploha
	- primjeri: jednoplošni hiperboloid, hiperbolički paraboloid (hipar)
		
3)   Paraboličke točke plohe - točke u kojima je ispunjeno  LN - (M^2) = 0  
	- (Subscript[K, n]) (tj. forma II) će imati uvijek isti predznak (pozitivni ili negativni) mijenjanjem omjera μ = (du/dv)
	 osim za jednu vrijednost u kojoj se poništava
	- postoji vrijednost  (Subscript[μ, 1]) = (Subscript[μ, 2]) za koju je (Subscript[K, n]) = 0
	- postoji jedan dvostruki asimptotski smjer
	- oko paraboličke točke ploha će se u jednostavnijem slučaju nalaziti s jedne strane tangencijalne ravnine, 
	ali može imati i razne kompliciranije oblike (npr. majmunsko sedlo)
	- primjeri: valjak, stožac, točke torusa koje leže na najvišoj i najnižoj kružnici

4)   Kružne točke plohe (sferne ili ombiličke) - specijalni slučaj eliptičkih tpčaka 
	- točke plohe za koje vrijedi	L : M : N = E : F : G
	- iz (3) slijedi da je u tom slučaju  (Subscript[K, n])= const.=c , tj. normalna zakrivljenost u kružnoj točki ne ovisi o smjeru (du/dv)
	- normalni presjeci su kružnice na plohi
	- L : M : N = E : F : G   ⇒   LN - (M^2)= (c^2)(EG - (F^2)) > 0

Glavne zakrivljenosti i glavni smjerovi

Promatramo zakrivljenost (Subscript[K, n]) kao funkciju omjera  μ = (du/dv):

	(Subscript[K, n])(μ) = ((L (μ^2) + 2 M μ + N )/(E (μ^2) + 2 F μ + G))					(4)

Pitamo se za koje vrijednosti od μ poprima funkcija (Subscript[K, n]) ekstremne vrijednosti.
Ako takve vrijednosti postoje zovu se glavne zakrivljenosti plohe S u točki P i označavaju (Subscript[K, 1]) i (Subscript[K, 2]).
Pripadni smjerovi - (Subscript[μ, 1]), (Subscript[μ, 2]) zovu se glavni smjerovi plohe S u točki P.
(Subscript[R, 1])= (1/((Subscript[K, 1]))),  (Subscript[R, 2])= (1/((Subscript[K, 2]))) - glavni polumjeri zakrivljenosti

Nalaženje glavnih zakrivljenosti

Napišimo jednakost (4) u implicitnom obliku, tj.
	F((Subscript[K, n])(μ), μ) ≡ (Subscript[K, n])(E(μ^2) + 2Fμ + G) - (L(μ^2) + 2Mμ + N) = 0
	F((Subscript[K, n])(μ), μ) ≡ ((Subscript[K, n])E - L) (μ^2) + 2 ((Subscript[K, n])F - M) μ + ((Subscript[K, n])G - N) = 0

Deriviramo funkciju F po μ:
	∂(F/∂)(Subscript[K, n])· (((Subscript[dK, n]))/(dμ))+ ((∂F)/(∂μ))= 0,		(((Subscript[dK, n]))/(dμ))= -(((∂F)/(∂μ))/(∂(F/∂)(Subscript[K, n]))).
Nužan uvjet za ekstrem:
	(((Subscript[dK, n]))/(dμ))= 0   ⇒   ((∂F)/(∂μ))= 0, 	(∂(F/∂)(Subscript[K, n])≠ 0).
Slijedi kvadratna jednadžba po (Subscript[K, n]), tj.
	((Subscript[K, n])^2) - ((EN-2MF+GL)/(EG-(F^2)))(Subscript[K, n]) + ((LN - (M^2))/(EG-(F^2)))= 0.
Njena rješenja su tražene ekstremne vrijednosti funkcije (Subscript[K, n]), tj. glavne zakrivljenosti (Subscript[K, 1]) i (Subscript[K, 2]) plohe S u točki P.

Nalaženje glavnih smjerova

\(Napišimo\ jednakost\ \((4)\)\ u\ implicitnom\ obliku\),tj.
F((Subscript[K, n])(μ),μ)≡(Subscript[K, n])(E(μ^2)+2Fμ + G)-(L(μ^2)+2Mμ + N)=0
	F((Subscript[K, n])(μ),μ)≡((Subscript[K, n])E - L)(μ^2)+2 ((Subscript[K, n])F - M) μ+((Subscript[K, n])G - N)=0 
Glavni smjerovi (Subscript[μ, 1]) i (Subscript[μ, 2]) plohe S u točki P dobiju se također kao ekstremne vrijednosti funkcije (4) eliminiravši pri računanju (Subscript[K, n]). 
(Subscript[μ, 1]) i (Subscript[μ, 2]) su dakle  korijeni kvadratne jednadžbe |({{(μ^2), -μ, 1}, {G, F, E}, {N, M, L}})|=0, u točki P  plohe S.

sadržaj