Predavanja iz predmeta:	
	Matematika IV - Diferencijalna geometrija

10.  GAUSSOVA I SREDNJA ZAKRIVLJENOST PLOHE

Gaussova zakrivljenost, srednja zakrivljenost plohe

Definicije

Gaussova (potpuna ili totalna) zakrivljenost K plohe S u točki P je funkcija K : S ⟶ ℝ definirana formulom 
	K=(Subscript[K, 1])· (Subscript[K, 2]),
gdje su (Subscript[K, 1])i (Subscript[K, 2]) ekstremne vrijednosti normalne zakrivljenosti (znane kao glavne zakrivljenosti plohe u nekoj točki).
Srednja zakrivljenost H plohe S u točki P je funkcija H : S ⟶ ℝ definirana formulom 
	H = (1/2) ((Subscript[K, 1]) + (Subscript[K, 2])),
gdje su opet (Subscript[K, 1])i (Subscript[K, 2]) ekstremne vrijednosti normalne zakrivljenosti.
Iz jednadžbe 
	(Subscript[K, n]^2)-((EN-2  MF+GL)/(EG-(F^2)))(Subscript[K, n])+((LN-(M^2))/(EG-(F^2)))=0,
prema Vietovim formulama slijedi 
	(Underscript[K=(Subscript[K, 1])· (Subscript[K, 2])=((LN-(M^2))/(EG-(F^2))), ─]),
	
	(Underscript[H = (1/2) ((Subscript[K, 1]) + (Subscript[K, 2]))=(1/2)(((EN-2MF+GL)/(EG-(F^2))))., ─])
Vrijedi:		
- Ploha kod koje je srednja zakrivljenost u svakoj točki jednaka nuli tj. H = 0 (tj. (Subscript[K, 1]) = -(Subscript[K, 2])), zove se minimalna ploha.
- Plohe kod kojih je Gaussova zakrivljenost u svakoj točki konstantna zovemo ploha s konstantnom zakrivljenosti.
Na primjer: 
	sfera, K = const > 0, 
	pseudosfera, K = const < 0.
- Ploha S je pravčasta  ako za svaku njenu točku postoji bar jedan pravac p takav da on leži na plohi.
- Ploha S je razvojna i ujedno pravčasta ako za sve točke plohe Gaussova zakrivljenost K = 0 ( (Subscript[K, 1])= 0 ili (Subscript[K, 2]) = 0).
Na primjer: valjkaste plohe, stožaste pohe.
Pravčasta ploha koja nije razvojna zove se vitopera pravčasta ploha. Na primjer: helikoid, jednokrilni hiperboloid, hiperbolni paraboloid,...

Gaussova zakrivljenost ovisno o vrsti točaka na plohi

Iz formule K = (Subscript[K, 1])(Subscript[K, 2])=((LN-(M^2))/(EG-(F^2))) slijedi da Gaussova zakrivljenost ovisi samo o brojniku LN-(M^2) jer je nazivnik EG-(F^2) uvijek veći od nule.
Ovisno o vrsti točaka na plohi imamo sada:
i ) Kružne i elipsoidne točke  ((LN-(M^2)) > 0 ) ⟹ K > 0	(sign (Subscript[K, 1])= sign (Subscript[K, 2]))
ii ) Hiperboličke točke  ((LN-(M^2)) < 0) ⟹ K < 0 		(sign (Subscript[K, 1])= -sign (Subscript[K, 2]))
iii ) Paraboličke točke ((LN-(M^2)) = 0) ⟹ barem jedna od glavnih zakrivljenosti = 0, tj. K = (Subscript[K, 1])·(Subscript[K, 2]) = 0 ⟹ (Subscript[K, 1]) = 0 ili (Subscript[K, 2]) = 0 ili obje.
     a) 	(Subscript[K, 1])= 0, (Subscript[K, 2])≠ 0 (ili obratno)
     	Dvostruki smjer μ je istovremeno i asimptotski i glavni smjer jer je pripadna zakrivljenost (Subscript[K, n]) = (Subscript[K, 1])(= 0). To je ujedno jedini asimptotski smjer, a glavni postoji još jedan okomit na prvi kome pripada (Subscript[K, n]) = (Subscript[K, 2]).   	
     b)	(Subscript[K, 1]) = 0, (Subscript[K, 2]) = 0 
     	Specijalni slučaj paraboličke točke. Takva točka zove se ravninska točka ili točka spljoštenosti. Svaki smjer μ je glavni i ujedno asimptotski. Primjer: ravnina, kod koje je svaka točka ravninska.

webMathematica datoteka za vježbu: Gaussova i srednja zakrivljenost

Glavne krivulje zakrivljenosti

Glavne krivulje zakrivljenosti (krivulje zakrivljenosti) plohe S jesu one krivulje na plohi čiji su smjerovi tangenata upravo glavni smjerovi (Subscript[μ, 1]) i (Subscript[μ, 2]). Imamo dvije krivulje zakrivljenosti u svakoj točki plohe. Njihovu jednadžbu (tj. jednadžbu krivulje zakrivljenosti v = v(u)) dobijemo rješavanjem jednadžbe:
	|({{(du^2), -dudv, (dv^2)}, {G, F, E}, {N, M, L}})|=0, 					(1)
	odnosno  
	(FL - EM)(du^2)+ (GL - EN)dudv + (GM - FN)(dv^2) = 0.

Mreža  krivulja zakrivljenosti na plohi S

Pokazat ćemo da mreža krivulja zakrivljenosti na plohi S čini ortogonalnu mrežu.
Zadatak 1. Dokazati da uvijet ortogonalnosti dviju porodica krivulja na plohi koje su određene diferencijalnom jednadžbom
	A(u,v) (du^2)+ 2B(u,v)dudv + C(u,v)(dv^2) = 0, tj.		
	A(du^2)+ 2Bdudv +C(dv^2)= 0,				(2)
glasi
	EC - 2BF + AG = 0.					(3)

Dokaz.

Označimo riješenje jednadžbe (2) sa:
	(Subscript[((du/dv)), 1])=(du/dv),	(Subscript[((du/dv)), 2])=\(\(d  u\&_\)\/\(d  v\&_\)\).
Tada (prema Vietovim formulama) vrijedi:
	(du/dv)+\(\(d  u\&_\)\/\(d  v\&_\)\)= -((2  B)/A)	i	(du/dv)·\(\(d  u\&_\)\/\(d  v\&_\)\)=(C/A).
Uvrstimo dobiveno u uvijet ortogonalnosti dviju krivulja na plohi tj. u uvijet
	cos ω = ((\(Edud  u\&_\) + F(\(dud  v\&_\) + \(d \( u\&_\) dv\)) + \(Gdvd  v\&_\))/((Sqrt[(Edu^2)+ 2Fdudv + ((Gdv)^2)])·(Sqrt[\(Ed  u\&_\^2\)+ 2Fd\(u\&_\)d\(v\&_\)+ \(Gd  v\&_\^2\)])))=0.
Tada slijedi:
	Edud\(TraditionalForm\`v\&_\)  + F(dud\(TraditionalForm\`v\&_\) + d\(TraditionalForm\`u\&_\)du) +Gdvd\(TraditionalForm\`v\&_\) = 0 /:dvd\(TraditionalForm\`v\&_\)
	\(E \( du\/dv\) \(d  u\&_\)\/\(d  v\&_\)\)+F((du/db)+\(\(d  u\&_\)\/\(d  v\&_\)\))+G=0,
	E  (C/A) + F(-((2  B)/A)) + G = 0, 
	EC - 2FB + GA = 0,
što daje traženi uvijet.◼

Zadatak 2. Provjeriti da je uvijet EC - 2FB + GA = 0 ispunjen za krivulje zakrivljenosti određene diferencijalnom jednadžbom (1).

Dokaz.

A = FL - EM
	2B = GL - EN
	C = GM - FN
	EC - 2FB +GA = E(GM - FN) - F(GL - EN) + G(FL - EM)=
		 =EGM - EFN - GLF + ENF + GFL + GEM = 0.◼

Napomenimo da je korisno koordinatnu u, v mrežu (tj. u, v krivulje) na plohi odabrati tako da se poklapaju s mrežom krivulja zakrivljenosti.
Teorem. Parametarske krivulje na plohi (u, v linije) jesu ujedno i krivulje zakrivljenosti onda i samo onda ako je u svakoj točki plohe ispunjeno F = 0 i M = 0.

Dokaz.

⟹
Neka su u,v linije krivulje zakrivljenosti. One tvore ortogonalnu mrežu i vrijedi da je F = 0. Osim toga, zbog (EG - (F^2)) > 0 slijedi EG > 0.
u - linije ⟹ v = const, dv = 0 ⟹ (du^2)(FL - EM) = 0, 
				du ≠ 0,  FL - EM = 0, 
				EM = 0 (E ≠ 0)
				⟹  M = 0.
v - linije ⟹ u = const, du = 0 ⟹ (dv^2)(GM - FN) = 0
				dv ≠ 0; GM -FN = 0,
				GM = 0 (G ≠ 0)
				⟹  M = 0.
⟸ (obrat)
Neka je F = 0 & M = 0.
	dudv(GL - EN) = 0
	dudv = 0
	du = 0 ⟹ u = const  tj.   v - linija
	dv = 0 ⟹ v = const  tj.   u - linija
Kako je još F = 0, u i v linije su međusobno okomite. Dakle, krivulje zakrivljenosti su u i v linije.◼

link: Vizualizacije Gaussove i srednje zakrivljenosti

sadržaj