Predavanja iz predmeta:	
	Matematika IV - Diferencijalna geometrija

11.  EULEROV POUČAK, DUPINOVA INDIKATRISA

Eulerov poučak

Odaberemo li kao koordinatnu (parametarsku) mrežu na plohi mrežu njezinih krivulja zakrivljenosti, svi izrazi postaju jednostavniji. Promataramo ponovo normalnu zakrivljenost (Subscript[K, n]). Izaberimo novi koordinatni sustav tako da mu je točka plohe P(u, v) ishodište, osi X i Y  se poklapaju s glavnim smjerovima, a os Z se poklapa s normalom (Overscript[(N^o), ⟶]) plohe.								Slika!
Normalna zakrivljenost (zbog F = 0  i  M = 0):
	(Subscript[K, n])=(((Ldu^2)+(Ndv^2))/((Edu^2)+(Gdv^2))).						(1)

Glavne zakrivljenosti (Subscript[K, 1])i (Subscript[K, 2]) (koordinatne linije su krivulje zakrivljenosti) dobijemo  iz (1) stavimo li za 
	u - liniju (dv = 0),	 (Subscript[K, 1]) = (L/E),
	v - liniju (du = 0),	 (Subscript[K, 2]) = (N/G).
Dobivene formule za (Subscript[K, n]), (Subscript[K, 1]), (Subscript[K, 2]) omogućuju da se nađe ovisnost normalne zakrivljenosti o kutu α što ga ravnina proizvoljnog normalnog presjeka zatvara (u uočenoj točki P) s glavnim smjerom plohe, tj. (Subscript[K, n]) = (Subscript[K, n])(α)!
Raspišimo formulu (1):
	(Subscript[K, n])=L((du^2)/((Edu^2) + (Gdv^2)))+N((dv^2)/((Edu^2) + (Gdv^2))),
		
	(Subscript[K, n])=(L/E)((Edu^2)/((Edu^2) + (Gdv^2)))+(N/G)((Gdv^2)/((Edu^2) + (Gdv^2))).
		
Kut između proizvoljnog smijera normalnog presjeka i jednog glavnog smjera (u - linija, tj. osi x), odnosno drugogo glavnog smijera (v - linija, tj. osi y) dana je sa: 
	cos α=(Edu/((Sqrt[E])(Sqrt[(Edu^2) + (Gdv^2)])))			(d\(TraditionalForm\`v\&_\) = 0)

	cos(90  ° - α)=sinα=(Gdv/((Sqrt[G])(Sqrt[(Edu^2) + (Gdv^2)])))	(d\(TraditionalForm\`u\&_\) = 0)
		
Kvadriranjem ovih jednakosti, izraz za (Subscript[K, n]) postaje:
	(Subscript[K, n])=(Subscript[K, 1])(cos^2)α+(Subscript[K, 2])(sin^2)α					(2)
	"Eulerov poučak", odnosno "Eulerova formula".

"Rodrignes-ov teorem" je specijalan slučaj Eulerove formule kad je vektor tangente normalnog presjeka u točki P ujedno i glavni smjer:
		α = 0  ⇒  (Subscript[K, n]) = (Subscript[K, 1]),
		α = (π/2) ⇒  (Subscript[K, n]) = (Subscript[K, 2]).

Geometrijska interpretacija Eulerove formule - Dupinova indikatrisa

Uočimo:
- točka P na plohi S,
- tangente normalnih presjeka u točki P,
- na svaku tangentu nanesemo odgovarajuću dužinu 
	(OverBar[PT])=\(\@\(\(|\)\(R\_n\)\(|\)\) = \@\(1\/\(\(|\)\(K\_n\)\(|\)\)\)\).					Slika!

Skup svih tako dobivenih točaka T je ravninska krivulja 2. reda (konika) koja se zove Dupinova indikatrisa. Ona leži u tangencionalnoj ravnini plohe S položenoj u točki P. 
Jednadžba:
	(Subscript[K, n])=(Subscript[K, 1])(cos^2)α+(Subscript[K, 2])(sin^2)α
	x=(OverBar[PT])cosα,	y=(OverBar[PT])sinα
	x=(Sqrt[(1/(|(Subscript[K, n])|))])cosα  \(TraditionalForm\`\(/\^2\)\),	y=(Sqrt[(1/(|(Subscript[K, n])|))])sinα \(TraditionalForm\`\(/\^2\)\)
	(x^2)=±(1/(Subscript[K, n]))(cos^2)α,	(y^2)=±(1/(Subscript[K, n]))(sin^2)α
	±(Subscript[K, n]) (x^2)=(cos^2)α,	±(Subscript[K, n]) (y^2)=(sin^2)α,
i nakon što uvrstimo u početnu jednadžbu, slijedi kanonski oblik Dupinove indikatrise: 
	(Subscript[K, 1]) (x^2) + (Subscript[K, 2]) (y^2) = ±1.	
U općem slučaju:
	(Subscript[K, n])=(II/I)=(((Ldu^2)+2Mdudv+(Ndv^2))/((Edu^2)+2Fdudv+(Gdv^2)))
slijedi jednadžba krivulje drugog reda:
	(Lx^2)+2Mxy+(Ny^2)=±1.

Dupinova indikatrisa s obzirom na vrstu točaka na plohi.

S obzirom na vrstu točaka na plohi razlikujemo 3 slučaja:
1)	U eliptičkim točkama je (Subscript[signK, 1])=(Subscript[signK, 2]) (odnosno (Subscript[signR, 1])=(Subscript[signR, 2])) ⟹ Dupinova indikatrisa je elipsa. 
	U kružnim točkama je (Subscript[K, 1]) = (Subscript[K, 2]) ((Subscript[R, 1]) = (Subscript[R, 2]) = R) ⟹ Dupinova indikatrisa je kružnica.
2)	U hiperboličnim točkam je (Subscript[signK, 1])≠(Subscript[signK, 2]) ( (Subscript[signR, 1])≠(Subscript[signR, 2])) ⟹ Dupinova indikatrisa je hiperbola.
	Radi se u stvari o dvije takozvane konjugirane hiperbole:
	(Subscript[K, 1]) (x^2) + (Subscript[K, 2]) (y^2) = 
        1         (puna linija)	
	(Subscript[K, 1]) (x^2) + (Subscript[K, 2]) 
            (y^2) = -1    (crtkana linija)		Slika!
	odnosno,		
	((x^2)/(a^2)) - ((y^2)/(b^2)) = 
        1       (puna linija)
	((x^2)/(a^2)) - 
          ((y^2)/(b^2)) = -1    (crtkana linija)
	gdje je (Subscript[K, 1]) = (1/(a^2)),  (Subscript[K, 2]) = (1/(b^2)).

3)	Parabolička točka:
	a)  (Subscript[K, 1]) = 0,  (Subscript[K, 2]) ≠ 0
	     Jednadžba Dupinove indikatrise poprima oblik: y = ±(Sqrt[(1/(Subscript[K, 2]))]).
	     Dupinova indikatrisa se raspala u dva paralelna pravca. 
	     Analogno za (Subscript[K, 1]) ≠ 0,  (Subscript[K, 2]) = 0:  x = ±(Sqrt[(1/(Subscript[K, 1]))]).
	b)  (Subscript[K, 1]) = 0,  (Subscript[K, 2]) = 0
	     Točka spljoštenosti (ravninska točka). Jednadžba Dupinove indikatrise bi u takvoj točki glasila: 0 = ±1, što ne može biti. Dakle, ne postoji.
	     Okolina ravninske točke može biti veoma komplicirana već prema obliku krivulje zakrivljenosti u uočenoj točki.

Asimptotski smjerovi  i  asimptotske krivulje

Podsjetimo se, asimptotski smjer je smjer μ=(du/dv) za koji je (Subscript[K, n])= 0.
	(Subscript[K, n])=(II/I)=((((Lμ)^2)+2Mμ+N)/(((Eμ)^2)+2Fμ+G)), tj. 	((Lμ)^2)+2Mμ+N= 0.
Vrijedi:		
Hiperboličke točke ⟹ 2 asimptotska smjera,
Paraboličke točke  ⟹ 1 dvostruki asimptotski smjer,
Eliptičke točke      ⟹  nema asimptotskih smjerova.

Asimptotska krivulja je krivulja na plohi kod koje je smjer tangente u svakoj njenoj točki asimptotski smjer.
Diferencionalna jednadžba asimptotke krivulje dobije se iz:
	((Lμ)^2)+2Mμ+N=0, tj.
	(Underscript[(Ldu^2)+2Mdudv+(Ndv^2) = 0, ─]).
U općem slučaju za asimptotsku krivulju (zbog (Subscript[K, n])=κ cos θ) vrijedi:
	(Subscript[K, n]) = 0,
	κ cos θ=0.
Ako je κ ≠ 0 ⟹ cos θ = 0,
		 θ = (π/2)   tj.   (Overscript[((N^o)), ⟶])∟ (Overscript[((Subscript[n, o])), ⟶]). 
Dakle, glavna normala asimptotske krivulje čini s normalom (Overscript[((N^o)), ⟶]) plohe kut θ = (π/2). To znači da je asimptotska krivulja ona krivulja na plohi kod koje se tangencijalna ravnina plohe podudara u svakoj točki s oskulacionom ravninom te krivulje.

sadržaj