Predavanja iz predmeta:	
	Matematika IV - Diferencijalna geometrija

12. DERIVACIONE FORMULE

Weingartenove i Gaussove derivacione formule

Weingartove derivacione  formule

Derivacione formule za plohu su analogon Frenet-Serretovih formula za krivulje. One izražavaju derivacije vektorskih funkcija (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]), (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]), (Overscript[((N^o)), ⟶]) kao linearnu kombinaciju tih funkcija a koeficijenti su funkcije Gaussovih veličina prvog i drugog reda. 
Iz teorije prostornih krivulja nam je poznato:
Frenetov trobrid (trobrid pratilac):  {(Overscript[((t^o)), ⟶]), (Overscript[((n^o)), ⟶]), (Overscript[((b^o)), ⟶])} 
Frenet-Serretove formule:  formule za derivacije trobrida pratioca (Overscript[((t^o)), ⟶]), (Overscript[((n^o)), ⟶]), (Overscript[((b^o)), ⟶]).

Potražimo analogne formule za plohu.
Neka je zadana ploha S jednadžbom 
	(Overscript[r, ⟶]) = (Overscript[r, ⟶])(u,  
          v)									(1)
U točki P plohe vektori (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]), (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]), (Overscript[((N^o)), ⟶]) nisu komplanarni pa se mogu uzeti kao vektori trobrida. No, oni općenito nisu međusobno okomiti. Bit će međusobno okomiti ako su krivulje zakrivljenosti ujedno i parametarske linije. Tada se zove " prirodni trobrid". (F = 0, M = 0).
Derivacione formule (Wingartove i Gaussove) jesu analogan Frenet-Serretovim formulama i daju izraze za derivacije vektora trobrida
	(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]), (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]), (Overscript[((N^o)), ⟶])	 
pomoću samih tih vektora i Gaussovih veličina prvog i drugog reda.
Za početak, općenito,
	(Overscript[((N^o)), ⟶]) = (( (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]))/W)									(2)
je okomito na  (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]), (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) i na tangencionalnu ravninu τ.
Budući da je | (Overscript[((N^o)), ⟶])| = 1,  (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])  i  (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])  su okomiti na  (Overscript[((N^o)), ⟶]), pa  (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])  i  (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) leže u tangencionalnoj ravnini plohe.
Dakle (Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]),  (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]), (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) i  (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) su komplanarni, tj. postoje brojevi α, β, γ, δ takvi da je 
		
	({{(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])=α(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])+β(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]), \(\(/\)\(\(\(·\)\(\(r\_u\)\&⟶\)\)\ \ ·\(r\_v\)\&⟶\)\)}, {(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])=γ(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])+δ(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]),  }}) 						(3)
	
	{({{\(\(N\_u\%o\&⟶\) \(r\_u\)\&⟶\)=α(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])+β(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])=αE+βF}, {\(\(N\_u\%o\&⟶\) \(r\_v\)\&⟶\)=α(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])+β(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])=αF+βG}})					(4)
Deriviramo li jednadžbe
	(Overscript[((N^o)), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])= 0   i   (Overscript[((N^o)), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])= 0							(5)
po u i v dobijemo:
	({{(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+(Overscript[((N^o)), ⟶])(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uu]) =0}, {(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])+(Overscript[((N^o)), ⟶])(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uv]) =0}, {(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+(Overscript[((N^o)), ⟶])(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), vu]) =0}, {(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])+(Overscript[((N^o)), ⟶])(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), vv]) =0}}))							(6)
Sustav (4) sada glasi 
	({{-L =αE+βF}, {-M =αF+βG}}))								(7)	
Ovaj susutav ima jednoznačno riješenje (α, β) budući da je determinanta |({{E, F}, {F, G}})| = EG - (F^2) = |(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])×(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])| ≠ 0.
Prema Cramerovom  pravilu,
	
	α = ((|({{-L, F}, {-M, G}})|)/(|({{E, F}, {F, G}})|))= ((FM  -  GL)/((W^2))),
											(8)	
	β = ((|({{E, -L}, {F, -M}})|)/(|({{E, F}, {F, G}})|))= ((FL  -  EM)/((W^2))).
Analogno bi dobili γ i δ kad bi jednadžbu (Subscript[((4)), 2]) pomnožili s (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) a  zatim s (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]).
Jednakosti (3)  možemo sada pisati u obliku	
              ({{(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]) =((FM  -  GL)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])+((FL  -  EM)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])}, {(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) =((FN  -  GM)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])+((FM  -  EN)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])}})						(9)	
        Weingartove derivacione formule

Rodriguesove derivacione  formule

Rodriguesove formule su specijalan slučaj Weingartenovih, ako su krivulje zakrivljenosti plohe ujedno parametarske linije plohe ( F=0, M=0 ) i glase
                ({{(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]) =-(L/E)(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])=-(Subscript[K, 1])(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])}, {(Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) =-((N )/G)(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])=-(Subscript[K, 2])(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])}})							(10)	
	Rodriguesove derivacione formule

Gaussove derivacione formule

Želimo izračunati derivacije vektorskih funkcija (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) i (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) tj. odrediti vektore (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]).
Neka su zadana tri nekomplanarna vektora (Overscript[a, ⟶]), (Overscript[b, ⟶]) i (Overscript[c, ⟶]),  (((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶])) ≠ 0). Svaki vektor (Overscript[d, ⟶]) prostora dade se prikazati kao linearna kombinacija vektora (Overscript[a, ⟶]), (Overscript[b, ⟶]) i (Overscript[c, ⟶]), tj.
		(Overscript[d, ⟶]) = α(Overscript[a, ⟶]) + β(Overscript[b, ⟶]) + γ(Overscript[c, ⟶]).
Kako je 
	((Overscript[a, ⟶]) × (Overscript[b, ⟶])) × ((Overscript[c, ⟶]) × (Overscript[d, ⟶])) = (Overscript[c, ⟶])(((Overscript[a, ⟶]) × (Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[d, ⟶])) - (Overscript[d, ⟶])(((Overscript[a, ⟶]) × (Overscript[b, ⟶]))·(Overscript[c, ⟶]))
				= (Overscript[c, ⟶])((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[d, ⟶])) - (Overscript[d, ⟶])((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶])), 
	ili
	((Overscript[a, ⟶]) × (Overscript[b, ⟶])) × ((Overscript[c, ⟶]) × (Overscript[d, ⟶])) = (Overscript[b, ⟶])((Overscript[a, ⟶])·((Overscript[c, ⟶]) × (Overscript[d, ⟶]))) - (Overscript[a, ⟶])(((Overscript[c, ⟶]) × (Overscript[d, ⟶]))·(Overscript[b, ⟶]))
				= (Overscript[b, ⟶])((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[c, ⟶]) (Overscript[d, ⟶])) - (Overscript[a, ⟶])((Overscript[c, ⟶]) (Overscript[d, ⟶]) (Overscript[b, ⟶])),
imamo
	(Overscript[d, ⟶])= ((((Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶]) (Overscript[d, ⟶])))/(((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶]))))(Overscript[a, ⟶]) + ((((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[d, ⟶]) (Overscript[c, ⟶])))/(((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶]))))(Overscript[b, ⟶]) + ((((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[d, ⟶])))/(((Overscript[a, ⟶]) (Overscript[b, ⟶]) (Overscript[c, ⟶]))))(Overscript[c, ⟶]).			(11)

Budući da su (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]), (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]), (Overscript[((N^o)), ⟶]) nekomplanarni vektori, to se vektori  (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) mogu prikazati kao njihova linearna kombinacija.
Prema formuli (11) je stoga:

	(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])= ((\((\(\(r\_v\)\&⟶\) \(\(\ \)\(N\^o\)\)\&⟶\ \(r\_ij\)\&⟶)\))/(( (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[((N^o)), ⟶]))))(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) + ((\((\(r\_u\)\&⟶\ \(r\_ij\)\&⟶\ \(\(\ \)\(N\^o\)\)\&⟶)\))/(( (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[((N^o)), ⟶]))))(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) + ((( (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, ij])), ⟶])))/(( (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[((N^o)), ⟶]))))(Overscript[((N^o)), ⟶]),		(12)
gdje svaki od indeksa i, j može poprimiti vrijednosti u i v. 
Izračunajmo sada sve mješovite produkte:
	( (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[((N^o)), ⟶])) = ((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) × (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])) (Overscript[((N^o)), ⟶])= ((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) × (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]))((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) × (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])))/(|(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) × (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])|)) = ((((|(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) × (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])|))^2)/(|(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) × (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])|))=|(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) × (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])| = (Sqrt[EG - (F^2)])
Koeficjenti uz  (Overscript[((N^o)), ⟶]) postaju:
	((( (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]), (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]), (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W)= {({{L,, i  =  j  =  u}, {M,,     i  =  u,  j  =  v}, {N,, i  =  j  = v}})
Izračunajmo još i koeficjente uz (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) i (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]):
	((Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])\(\(\(\ \)\(N\^o\)\)\&⟶\) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])) = ((Overscript[( (N^o)), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])  (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])) = ((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) × (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]))·\((\(r\_ij\)\&⟶×\(r\_v\)\&⟶)\))/W)= ((|({{\(\(r\_u\)\&⟶\ \(r\_ij\)\&⟶\),  (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])}, {(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, ij])), ⟶]),  (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])}})|)/W)==((|({{\(\(r\_u\)\&⟶\ \(r\_ij\)\&⟶\), F}, {(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, ij])), ⟶]), G}})|)/W),
		
	((Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])\(\(\(\ \)\(N\^o\)\)\&⟶\) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])) = ((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))G - ((Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))F)/W),  odnosno
		
	((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])  (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]) (Overscript[( (N^o)), ⟶])) = ((((Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])  (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))E - ((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))F)/W).
Jednakost (12) sada glasi:

	(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])=((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))G - ((Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))F)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) + ((((Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))E - ((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶]))F)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) + ((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W)(Overscript[( (N^o)), ⟶]),
                                                                                              i  =  u, v ;   j  =  u, v.	(13)
	Gaussove derivacione formule	
Da bismo pojednostavili ove formule uvodimo CHRISTOFFELOVE SIMBOLE PRVE I DRUGE VRSTE.

Christoffelovi   simboli

Christoffelovi simboli prve vrste

Definicija:
	 [({{({{i, j}})}, {k}})] = (Subscript[Γ, ij, k]) = (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, k])), ⟶]).							( 14)
	Iz definicije vidimo da vrijedi:  [({{({{i, j}})}, {k}})] =  [({{({{j, i}})}, {k}})].
Izračunavanje:
	((∂( (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, k])), ⟶]) ))/(∂i))= (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, k])), ⟶]) + (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, ik]), ⟶]) =  [({{({{i, j}})}, {k}})] + [({{({{i, k}})}, {j}})] ,
	((∂( (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, k])), ⟶]) ))/(∂i))= (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, k])), ⟶]) + (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, ik]), ⟶]) =  [({{({{i, j}})}, {k}})] + [({{({{i, k}})}, {j}})] ,
	((∂( (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, k])), ⟶]) ))/(∂i))= (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, k])), ⟶]) + (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, ik]), ⟶]) =  [({{({{i, j}})}, {k}})] + [({{({{i, k}})}, {j}})] .
	Zbrojimo li prve dvije jednakosti i oduzmemo li od njih treću jednakost, slijedi
	
	[({{({{i, j}})}, {k}})] = (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, j]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, k])), ⟶]) ))/(∂i))+((∂( (Overscript[(Subscript[r, i]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, k])), ⟶]) ))/(∂i))-((∂( (Overscript[(Subscript[r, i]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, j])), ⟶]) ))/(∂i))],    i,j,k  =  u,v.	(15)

Christoffelovi simboli druge vrste

Definicija:
	 {({{({{i, j}})}, {k}})} = (Subscript[Γ, ij]^k),		 i,j,k = u,v .						(16 )
Izračunavanje:

	       {({{({{i, j}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, ij]^u)= (( [({{({{i, j}})}, {u}})]G -  [({{({{i, j}})}, {v}})]F)/(EG-(F^( 2))))= ((((Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶])\(\(\(\ \)\(N\^o\)\)\&⟶\) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W) ,
                                                                                       i  =  u,v ;   j  =  u,v. 
{({{({{i, j}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, ij]^v)= (( [({{({{i, j}})}, {v}})]E -  [({{({{i, j}})}, {u}})]F)/(EG-(F^( 2))))= ((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])\(\(\(\ \)\(N\^o\)\)\&⟶\)))/W) 		(17)
		
	Vrijedi: {({{({{i, j}})}, {k}})} = {({{({{j, i}})}, {k}})}.

Skalarni produkti (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, k])), ⟶])  (Christoffelovi simboli prve vrste) izraženi pomoću Gaussovih veličina prvog reda i njihovih derivacija

Formule (18):
	(Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) =  [({{({{u, u}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, uu, u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ))/(∂u))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ))/(∂u))] =(1/2) (Subscript[E, u]),
	(Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) =  [({{({{u, u}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, uu, v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂u))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ))/(∂v))] =(Subscript[F, u]) - (1/2) (Subscript[E, v]),
	(Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) =  [({{({{u, v}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, uv, u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂u))] =(1/2) (Subscript[E, v]),
	(Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) =  [({{({{u, v}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, uv, v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂u))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂v))] =(1/2) (Subscript[G, u]),
	(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) =  [({{({{v, v}})}, {u}})] = (Subscript[Γ, vv, u]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂v))+((∂(  (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂v))-((∂(  (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂u))] =(Subscript[F, v])(1/2) (Subscript[G, u]),
	(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) =  [({{({{v, v}})}, {v}})] = (Subscript[Γ, vv, v]) =  (1/2)[((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂v))+((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂v))-((∂( (Overscript[(Subscript[r, v]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) ))/(∂v))] =(1/2) (Subscript[G, v]).

Christoffelovi simboli druge vrste izraženi pomoću Gaussovih veličina prvog reda i njihovih derivacija

Formule (19):
 	{({{({{u, u}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, uu]^u)= ((G (Subscript[E, u])-  2F (Subscript[F, u])+ F (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2))))),
 	{({{({{u, u}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, uu]^v)= ((-F (Subscript[E, u])+  2E (Subscript[F, u])- E (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2))))),
 	{({{({{u, v}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, uv]^u)= ((G (Subscript[E, v])-  F (Subscript[G, u]) )/(2(EG-(F^( 2))))),
 	{({{({{u, v}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, uv]^v)= ((E (Subscript[G, u])-  F (Subscript[E, v]))/(2(EG-(F^( 2))))),
 	{({{({{v, v}})}, {u}})} = (Subscript[Γ, vv]^u)= ((- F (Subscript[G, v])+  2G (Subscript[F, v])- G (Subscript[G, u]))/(2(EG-(F^( 2))))),
 	{({{({{v, v}})}, {v}})} = (Subscript[Γ, vv]^v)= ((E (Subscript[G, v])-  2F (Subscript[F, v])+ F (Subscript[G, u]))/(2(EG-(F^( 2))))).

 Gaussove derivacione formule (13) možemo sada zapisati ovako:
 
   	(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])=(( [({{({{i, j}})}, {u}})]G -  [({{({{i, j}})}, {v}})]F)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) + (( [({{({{i, j}})}, {v}})]E -  [({{({{i, j}})}, {u}})]F)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) + ((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W)(Overscript[( (N^o)), ⟶]),
  odnosno,
 	(Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])={({{({{i, j}})}, {u}})}(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) + {({{({{i, j}})}, {v}})}(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) + ((((Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, ij]), ⟶])))/W)(Overscript[( (N^o)), ⟶]),	  i = u,v;  j = u,v.	(20)
 
 Formule (9)  i (20) skupljene zajedno, glase:
 
 		(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uu])={({{({{u, u}})}, {u}})}(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) + {({{({{u, u}})}, {v}})}(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) + L(Overscript[( (N^o)), ⟶]),  	        
	(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), uv])={({{({{u, v}})}, {u}})}(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) + {({{({{u, v}})}, {v}})}(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) + M(Overscript[( (N^o)), ⟶]),                        
	(Subscript[(Overscript[r, ⟶]), vv])={({{({{v, v}})}, {u}})}(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) + {({{({{v, v}})}, {v}})}(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) + N(Overscript[( (N^o)), ⟶]),  	         
	({{(Overscript[(Subscript[N, u]^o), ⟶]) =((FM  -  GL)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])+((FL  -  EM)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]),}, { (Overscript[(Subscript[N, v]^o), ⟶]) =((FN  -  GM)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])+((FM  -  EN)/((W^2)))(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]).}})                                           		(21)
 	 i nazivaju se Gauss-Weingartenove derivacione formule.
 
 Za posebni slučaj kada su u i v linije ujedno i krivulje zakrivljenosti ( F = M = 0 ), formule (21) i Chistoffelove simbole ispišite sami.

sadržaj