Predavanja iz predmeta:	
	Matematika IV - Diferencijalna geometrija

13. GAUSSOV I BONNETOV TEOREM

Gaussov "Theorema egregium"

Teorem
Gaussova ili totalna zakrivljenost K = ((LN - (M^2))/(E G  - 
            (F^2))) može se izraziti samo pomoću fundamentalnih veličina E, F, G prvog reda i njihovih prvih i drugih derivacija po u i v.
Dakle, K = K( E, F, G + njihove derivacije ).
Dokaz
Uvrstimo L, M, N u izraz za K:
	K = ((( (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶]))( (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])) - ((( (Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) (Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])))^2))/((W^4))).						(1)
Izrazi u brojniku su determinante pa ćemo primijeniti postupak množenja determinanti ( vidi npr. Blanuša: Viša matematika I, 1 svezak, str.266), dodati i oduzeti  ((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2) i konačno ponovo posložiti u determinante. Dobije se:

K(W^4)= |({{E, F,  (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) }, {F, G,  (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) }, { (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ,  (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) , (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])-((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2)}})| - |({{E, F,  (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) }, {F, G,  (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) }, { (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶]) ,  (Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])·(Overscript[((Subscript[r, v])), ⟶]) , 0}})|.		(2)

Zapisana pomoću Christoffelovih simbola, gornja jednakost glasi:

K(W^4)= |({{E, F,  [({{({{v, v}})}, {u}})]}, {F, G,  [({{({{v, v}})}, {v}})]}, { [({{({{u, u}})}, {u}})],  [({{({{u, u}})}, {v}})], (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶])-((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2)}})| - |({{E, F,  [({{({{u, v}})}, {u}})]}, {F, G,  [({{({{u, v}})}, {v}})]}, { [({{({{u, v}})}, {u}})],  [({{({{u, v}})}, {v}})], 0}})|.		(3)

Izrazimo dalje Christoffelove simbole pomoću fundamentalnih veličina  E, F, G  i njihovih derivacija i na isti način prikažimo član   (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])· (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) -  ((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2).

	({{((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) ))/(∂u))= (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) +(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, uvv]), ⟶])}, {(Underscript[((∂( (Overscript[(Subscript[r, u]), ⟶])·(Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶]) ))/(∂v))= ((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2) +(Overscript[((Subscript[r, u])), ⟶])(Overscript[(Subscript[r, uvv]), ⟶]), ─])}})/–
	 (Overscript[(Subscript[r, uu]), ⟶])· (Overscript[(Subscript[r, vv]), ⟶]) -  ((Overscript[(Subscript[r, uv]), ⟶])^2)= ((∂[({{({{v, v}})}, {u}})])/(∂u))- ((∂ [({{({{u, v}})}, {u}})])/(∂v))= \(TraditionalForm\`\((F\_v - \(1\/2\) G\_u)\)\_u\  - \ \((\(1\/2\) E\_v)\)\_v\)= (Subscript[F, uv])-(1/2)(Subscript[G, uu])-(1/2)(Subscript[E, vv])	
Dobili smo

K =(1/(W^4))(|({{E, F, (Subscript[F, v]) - (1/2) (Subscript[G, u])}, {F, G,  (1/2) (Subscript[G, v])}, { (1/2) 
                      (Subscript[E, u]),  (Subscript[F, u]) - (1/2) (Subscript[E, v]),   (Subscript[F, uv])-(1/2)(Subscript[G, uu])-(1/2)(Subscript[E, vv])}})| - |({{E, F,  (1/2)(Subscript[E, v])}, {F, G,  (1/2)(Subscript[G, u])}, { (1/2)(Subscript[E, v]),  (1/2)(Subscript[G, u]), 0}})| ),	(4)

tj. prikazali smo K kao metričku veličinu i dokazali smo teorem.◼

Jednakost (4) može se zapisati u obliku koji je nešto jednostavniji za pamćenje (Frobenius):

	K = -(1/(4  (W^4))) |({{E, (Subscript[E, u]), (Subscript[E, v])}, {F, (Subscript[F, u]), (Subscript[F, v])}, { G, (Subscript[G, u]), (Subscript[G, v])}})| \(+\(1\/\(2  
                    W\)\)[\(∂\/∂u\) \((\(F\_v - G\_u\)\/W)\) + \(∂\/∂v\) \((\(F\_u - E\_v\)\/W)\)]\).			(5)

Bonettov teorem

Uvjeti određenosti plohe pomoću fundamentalnih veličina

Do sada smo dogovorili na nekoliko pitanja teorije ploha za koje je bilo dovoljno poznavati I i II diferencijalnu formu. Naime, ako je zadana neka ploha u jednoj određenoj parametrizaciji svojom jednadžbom 
	(Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀])(u,  v),
jednoznačno su određene veličine E, F, G, L, M, N.
Pomoću tih veličina i njihovih derevacija su dalje jednoznačno određena geometrijska svojstva kao npr. duljina luka, kut između dviju krivulja, površina, zakrivljenost itd.
Postavlje se obrnuto pitanje: Ako je dano 6 funkcija dvaju parametara u i v, da li tih 6 funkcija definiraju plohu tako da su su one upravo fundamentalne veličine (E, F, G, L, M, N).
Pokazuje se da izbor ovih 6 funkcija ne može biti potpuno proizvoljan, već one određuju neku plohu ako su ispunjeni neki dodatni uvjeti.
Kao prvo, E, F, G, L, M, N nisu međusobno nezavisne veličine nego zadovoljavaju
(1^∘))	
	LN - (M^2) =(1/(W^2))(|({{E, F, (Subscript[F, v]) - (1/2) (Subscript[G, u])}, {F, G,  (1/2) (Subscript[G, v])}, { (1/2) 
                      (Subscript[E, u]), (Subscript[F, u]) - (1/2) (Subscript[E, v]),  (Subscript[F, uv])-(1/2)(Subscript[G, uu])-(1/2)(Subscript[E, vv])}})| - |({{E, F,  (1/2)(Subscript[E, v])}, {F, G,  (1/2)(Subscript[G, u])}, { (1/2)(Subscript[E, v]),  (1/2)(Subscript[G, u]), 0}})| ),
	Gaussovu jednadžbu									(6)
i
	(Subscript[L, v]) - (Subscript[M, u]) - H((Subscript[E, v]) - (Subscript[F, u])) +  (1/(2  (W^2)))|({{E, (Subscript[E, u]), L}, {F, (Subscript[F, u]), M}, { G, (Subscript[G, u]), N}})| =0,
(2^∘))												(7)	
	(Subscript[M, v]) - (Subscript[N, u]) - H((Subscript[F, v]) - (Subscript[G, u])) +  (1/(2  (W^2)))|({{E, (Subscript[E, v]), L}, {F, (Subscript[F, v]), M}, { G, (Subscript[G, v]), N}})| =0.
	Mainardi -Codazzi -Petersonove jednadžbe (navodimo ih bez dokaza).

U teoriji parcijalnih diferencijalnih jednadžbi pokazuje se da su dakle nužni i dovoljni uvjeti koje moraju zadovoljavati zadane funkcije  kako bi određivale plohu:
(1^∘))	Gaussova jednadžba;
(2^∘))	Mainardi -Codazzi -Petersonove jednadžbe.

Teorem
Ako 6 funkcija E, F, G, L, M, N zadovoljavaju jednadžbe (6) i (7) tada postoji jedna jedina ploha, određena s točnošću do svog položaja u prostoru za koju su ovih 6 funkcija fundamentalne veličine prvog i drugog reda.
Drukčiji iskaz Bonettovog teorema:
Relacije (1^∘)) i (2^∘)) predstavljaju nužan i dovoljan uvjet da bi dvije kvadratne forme
I=  E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2) i  II=  L (du^2) + 2 M du dv + N (dv^2), od kojih je prva pozitivna predstavljale prvu i drugu formu neke plohe.

sadržaj