Predavanja iz predmeta:	
	Matematika IV - Diferencijalna geometrija

14. GEODETSKE KRIVULJE

Geodetska zakrivljenost

Definicija
Neka je  α: I ⟶S  krivulja na plohi S i neka je κ njezina zakrivljenost. Geodetska zakrivljenost (Subscript[K, g]) krivulje α: I ⟶S na plohi S u nekoj točki P je zakrivljenost ortogonalne projekcije \(TraditionalForm\`α\&_\) te krivulje na tangencijalnu ravninu i dana je formulom
	(Subscript[K, g])= κ sinθ,										(1)
gdje je θ kut između glavne normale (((Overscript[n, ⇀]))^o)krivulje α i normale (Overscript[N, ⇀]) na plohu u točki P.

Zadatak: Dokazati formulu (1).

Slika!
Odredimo kao prvo jednadžbu krivulje \(TraditionalForm\`α\&_\).
Neka je zadana krivulja α: I ⟶ℝ svojom prirodnom parametrizacijom  (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀]) (s), i neka tangencijalna ravnina τ u nekoj točki ima jednadžbu 
	((Overscript[ρ, ⇀])-(Subscript[(OverVector[r]), o]))·(OverVector[(N^o)])=0, 	tj. 	 (Overscript[ρ, ⇀])(OverVector[(N^o)])-(Subscript[(OverVector[r]), o])(OverVector[(N^o)])=0.
Ortogonalna projekcija \(TraditionalForm\`α\&_\) krivulje α na ravninu τ:
	T\(TraditionalForm\`T\&_\) = (Overscript[ρ, ⇀])-(OverVector[r])(s) =l·(OverVector[(N^o)])  / ·(OverVector[(N^o)]),	l – skalar
	l=(Overscript[ρ, ⇀])(OverVector[(N^o)])-(OverVector[r])(OverVector[(N^o)])=((Subscript[(OverVector[r]), o])-(OverVector[r]))(OverVector[(N^o)]) ,
	(Overscript[ρ, ⇀])-(OverVector[r])(s)= [((Subscript[(OverVector[r]), o])-(OverVector[r]))(OverVector[(N^o)])](OverVector[(N^o)]), odnosno
\(TraditionalForm\`α\&_\)……(Underscript[(Overscript[ρ, ⇀])=(OverVector[r])(s)+ [((Subscript[(OverVector[r]), o])-(OverVector[r]))(OverVector[(N^o)])](OverVector[(N^o)]), ─]).								(2)
Izračunajmo sada derivacije ((Overscript[ρ, ⇀]))' i ((Overscript[ρ, ⇀])^″):
	((Overscript[ρ, ⇀])^′)=(OverVector[r])'(s)- ((OverVector[r])'(s)(OverVector[(N^o)]))(OverVector[(N^o)]),			pazi: (OverVector[(N^o)]) je funkcija od u i v
	((Overscript[ρ, ⇀])^″)=(OverVector[r])''(s)- ((OverVector[r])''(s)(OverVector[(N^o)]))(OverVector[(N^o)]),
	((((Overscript[ρ, ⇀])^′))^2)=(Underscript[(((OverVector[r])')^2), =1])- 2((((Underscript[(OverVector[r])'(OverVector[(N^o)]), =0])))^2)+((((Underscript[(OverVector[r])'(OverVector[(N^o)]), =0])))^2)(Underscript[((OverVector[(N^o)])^2), =1]),	
	((OverVector[r])'= ((OverVector[t])^o)\(/\^2\)  ⇒   (((OverVector[r])')^2)= 1,      ((OverVector[t])^o)⊥ (OverVector[(N^o)])  ⇒  (OverVector[r])'· (OverVector[(N^o)])= 0)
	((((Overscript[ρ, ⇀])^′))^2)= 1
         |((Overscript[ρ, ⇀])^′) (| ^2)= 1
Zakrivljenost \(TraditionalForm\`κ\&_\) krivulje \(TraditionalForm\`α\&_\) računamo prema formuli  \(κ\&_\)=((|((Overscript[ρ, ⇀])^′)×((Overscript[ρ, ⇀])^″)|)/(|((Overscript[ρ, ⇀])^′) (| ^3))) , pa je
	\(κ\&_\)=((|((Overscript[ρ, ⇀])^′)×((Overscript[ρ, ⇀])^″)|\(\(\(·\)\(1\)\)·1\))/(|((Overscript[ρ, ⇀])^′) (| ^3)))= ((|((Overscript[ρ, ⇀])^′)×((Overscript[ρ, ⇀])^″)|·|(OverVector[(N^o)])|·cos∠((OverVector[(N^o)]),(\(ρ\&⇀\^′\)×\(ρ\&⇀\^″\))))/(|((Overscript[ρ, ⇀])^′) (| ^3)))=(((((Overscript[ρ, ⇀])^′)×((Overscript[ρ, ⇀])^″))·(OverVector[(N^o)]))/(|((Overscript[ρ, ⇀])^′)\( | \^3\))),
( ((Overscript[ρ, ⇀])^′)×((Overscript[ρ, ⇀])^″)⊥ τ	&   ((Overscript[ρ, ⇀])^′)×((Overscript[ρ, ⇀])^″) kolinearan s (OverVector[(N^o)]) i s binormalom krivulje \(TraditionalForm\`α\&_\)   ⇒  ∠((OverVector[(N^o)]),(((Overscript[ρ, ⇀])^′)×((Overscript[ρ, ⇀])^″))) = 0 ).
Uvrstimo li izračunate derivacije  ((Overscript[ρ, ⇀]))' i ((Overscript[ρ, ⇀])^″) slijedi
	\(κ\&_\)=((OverVector[r])'×(OverVector[r])'')(OverVector[(N^o)])       ⇒       (Underscript[\(κ\&_\)=(((OverVector[t])^o)×((OverVector[t])^o)')(OverVector[(N^o)]) = (((OverVector[t])^o),((OverVector[t])^o)',(OverVector[(N^o)])), ─]).
Prema Frenet-Serretovim formulama ( ((OverVector[t])^o)'= κ ((OverVector[n])^o)):	
	\(κ\&_\)=κ(((OverVector[t])^o)×((OverVector[n])^o))(OverVector[(N^o)]) .
I na kraju, vektori ((OverVector[b])^o),((OverVector[n])^o),(OverVector[(N^o)]) su komplanarni, pa imamo
	\(TraditionalForm\`κ\&_\) = κ ((OverVector[b])^o)·(OverVector[(N^o)]) = κ cos((π/2) - θ),
	(Underscript[\(κ\&_\)= κ sinθ, ─]), tj. formula (1). ◼

Teorem
Ako se dvije plohe S i (S^′) dodiruju duž neke krivulje α tada su u svakoj točki krivulje α pripadne geodetske zakrivljenosti (i normalne zakrivljenosti) jednake.
Dokaz.
(Subscript[K, g]) (\(TraditionalForm\`κ\&_\)) osim o krivulji ovisi još i o normali plohe. Ako se plohe dodiruju vektor (OverVector[(N^o)]) je zajednički za obje plohe, pa je kut θ isti. ◼

Veza normalne, geodetske i obične zakrivljenosti krivulje na plohi

Prema Mausnierovom teoremu je (Subscript[K, n])= κ cosθ.
Lako je sada izračunati vezu između normalne, geodetske i obične zakrivljenosti neke krivulje α na plohi. Slijedi
	(Underscript[(Subscript[K, n]^2) + (Subscript[K, g]^2) = (κ^2), ─]).										(3)

Mogućnosti

Za geodetsku zakrivljenost imamo sljedeće mogućnosti:
(1^o))	Krivulja α na plohi je ravninska (((OverVector[b])^o)=(OverVector[(N^o)]))  ⇒  
	geodetska zakrivljenost prelazi u običnu zakrivljenost, tj. (Underscript[\(κ\&_\) = κ, ─]).
(2^o))	Krivulja α na plohi je parametrizirana prirodnim parametrom ( (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀])(s), ((Overscript[r, ⇀]))'=(((Overscript[t, ⇀]))^o), ((Overscript[r, ⇀]))'=(((Overscript[t, ⇀]))^o))  ⇒
	  (Underscript[ (Subscript[K, g])= (((OverVector[t])^o),((OverVector[t])^o)',(OverVector[(N^o)])), ─]).									(4)
(3^o))	Krivulja α na plohi je parametrizirana općim parametrom ( (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀])(t))  ⇒  
	(Underscript[ (Subscript[K, g])= (((\(\(r\&⇀\)\& . \),\(\(\(\ \)\(r\&⇀\)\)\&¨\), (OverVector[(N^o)])))/(\(\(|\)\(\(\(\ \)\(r\&⇀\)\(\ \)\)\& . \)\( | \^3\)\))), ─]).									(5)
(4^o))	Uzmemo li u obzir da krivulja na plohi dopušta prikaz  (Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(u(s), v(s)), formula (4) glasi 
	(Underscript[(Subscript[K, g]) = W|({{(u^′),    (u^″)+{({{({{u, u}})}, {u}})}(((u^′))^2)+2{({{({{u, v}})}, {u}})}(u^′)(v^′)+{({{({{v, v}})}, {u}})}(((v^′))^2)}, {(v^(′ )),   (v^″)+{({{({{u, u}})}, {v}})}(((u^′))^2)+2{({{({{u, v}})}, {v}})}(u^′)(v^′)+{({{({{v, v}})}, {v}})}(((v^′))^2)}})|,, ─])		(6)
	gdje je (u^′) = ((d u)/(d s)),  (v^′) = ((d v)/(d s)),  (u^″) = (((d^2) u)/(((d s))^2)),  (v^″) = (((d^2) v)/(((d s))^2)).
(5^o))	U slučaju da je (Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(u(t), v(t)), izvršimo reparametrizaciju funkcijom  s=s(t), odnosno t=t(s). Krivulja tada ima jednadžbu  (Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])[u(t(s)), v(t(s))], \(\(d\ s\)\/\(d\ t\) = \(\(|\)\(\(\(r\&⇀\)\& . \)(
                t)\)\(|\)\(\(≠\)\(0\)\)\)\).(5) odnosno (6) se, uzevši u obzir da je \(TraditionalForm\`\(\(|\)\(\(\(\ \)\(r\&⇀\)\(\ \)\)\& . \)\( | \^3\)\) = \(\((\(|\)\(\(\(\ \)\(r\&⇀\)\(\ \)\)\& . \)\( | \^2\))\)\^\(3/2\) = \(\([\((\(\(r\_u\)\&⇀\) u\& .  + \(\(r\_v\)\&⇀\) v\& . )\)\^2]\)\^\(3/2\) = \((E  u\& . \^2\  + \ 2  F\ u\& . \ \(\(v\)\(\ \)\)\& .  + \ G\ v\& . \^2)\)\^\(3/2\)\)\)\)
transformiraju u
 	(Underscript[(Subscript[K, g]) = \(W\/\(E  u\& . \^2\  + \ 
                      2  F\ u\& . \ \(\(v\)\(\ \)\)\& .  + \ G\ v\& . \^2\)\)|({{\(u\& . \),    (Overscript[u, ¨])+{({{({{u, u}})}, {u}})}\(u\& . \^2\)+2{({{({{u, v}})}, {u}})}\(u\& . \)\(v\& . \)+{({{({{v, v}})}, {u}})}\(v\& . \^2\)}, {\(v\& . \^\ \),   (Overscript[v, ¨])+{({{({{u, u}})}, {v}})}\(u\& . \^2\)+2{({{({{u, v}})}, {v}})}\(u\& . \)\(v\& . \)+{({{({{v, v}})}, {v}})}\(v\& . \^2\)}})|., ─])	
 												(7)

Geodetske linije

Definicija
Krivulja α na plohi S naziva se geodetska linija ako je njena geodetska zakrivljenost u svakoj točki jednaka nuli, tj.
	(Subscript[K, g])= 0, 										(8)
odnosno	 
	κ sinθ = 0.
Geodetska linija se u tangencijalnoj ravnini projicira u pravac!
Iz (8) slijede mogućnosti za geodetske linije na plohi:
1)	 sinθ = 0  (κ≠0)  ⇒  θ = 0  ili  θ = π
	U ovom je slučaju glavna normala krivulje kolinearna s normalom na plohu.
	Geodetske linije su krivulje kod kojih u svakoj točki oskulaciona i normalna ravnina padnu zajedno.
2)	κ = 0  (sinθ ≠ 0)  ⇒  krivulja je pravac na plohi.
	Geodetske linije su pravci na plohi.

Diferencijalna jednadžba geodetskih linija

Prema (4), (5), (6) i (7) diferencijalna jednadžba geodetskih linija glasi:
	(((OverVector[t])^o),((OverVector[t])^o)',(OverVector[(N^o)]))=0,  	za  α… (Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀])(s)						(9)
	(\(\(r\&⇀\)\& . \),(Overscript[( (Overscript[r, ⇀])), ¨]), (OverVector[(N^o)]))=0,	za  α…(Overscript[r, ⇀]) = (Overscript[r, ⇀])(t)						(10)
|({{(u^′),    (u^″)+{({{({{u, u}})}, {u}})}(((u^′))^2)+2{({{({{u, v}})}, {u}})}(u^′)(v^′)+{({{({{v, v}})}, {u}})}(((v^′))^2)}, {(v^(′ )),   (v^″)+{({{({{u, u}})}, {v}})}(((u^′))^2)+2{({{({{u, v}})}, {v}})}(u^′)(v^′)+{({{({{v, v}})}, {v}})}(((v^′))^2)}})|=0,	α…(Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(u(s), v(s))	
												(11)
|({{\(u\& . \),    (Overscript[u, ¨])+{({{({{u, u}})}, {u}})}\(u\& . \^2\)+2{({{({{u, v}})}, {u}})}\(u\& . \)\(v\& . \)+{({{({{v, v}})}, {u}})}\(v\& . \^2\)}, {\(v\& . \^\ \),   (Overscript[v, ¨])+{({{({{u, u}})}, {v}})}\(u\& . \^2\)+2{({{({{u, v}})}, {v}})}\(u\& . \)\(v\& . \)+{({{({{v, v}})}, {v}})}\(v\& . \^2\)}})|=0,	   α…(Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(u(t), v(t))	
												(12)

Gornje jednadžbe su diferencijalne jednadžbe geodetskih linija za nepoznate funkcije u = u(s), v = v(s)  odnosno u = u(t), v = v(t).

Teorem
Krivulja  (Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(u(s), v(s)) parametrizirana prirodnim parametrom, na plohi (Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(u,v) je geodetska linija ako i samo ako  u = u(s)  i  v = v(s) zadovoljavaju jednadžbe

	({{(u^″)=-{({{({{u, u}})}, {u}})}(((u^′))^2)-2{({{({{u, v}})}, {u}})}(u^′)(v^′)-{({{({{v, v}})}, {u}})}(((v^′))^2)}, {(v^″)=-{({{({{u, u}})}, {v}})}(((u^′))^2)-2{({{({{u, v}})}, {v}})}(u^′)(v^′)-{({{({{v, v}})}, {v}})}(((v^′))^2)}})  }				(13)
Analogno, krivulja  (Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(u(t), v(t)) parametrizirana općim parametrom, na plohi (Overscript[r, ⇀])=(Overscript[r, ⇀])(u,v) je geodetska linija ako i samo ako  u = u(t)  i  v = v(t)  zadovoljavaju jednadžbe

	({{ (Overscript[u, ¨])=-{({{({{u, u}})}, {u}})}\(u\& . \^2\)-2{({{({{u, v}})}, {u}})}\(u\& . \)\(v\& . \)-{({{({{v, v}})}, {u}})}\(v\& . \^2\)}, { (Overscript[v, ¨])=-{({{({{u, u}})}, {v}})}\(u\& . \^2\)-2{({{({{u, v}})}, {v}})}\(u\& . \)\(v\& . \)-{({{({{v, v}})}, {v}})}\(v\& . \^2\)}})  }					(14)
Dokaz.
Vidi u [3], str.251. ◼
Napomenimo da su funkcije  u = u(s)  i  v = v(s)  povezane i jednadžbom
	 E (du^2) + 2 F du dv + G (dv^2)=(ds^2)  / :(ds^2)
E ((OverDot[u])^2) + 2 F (OverDot[u]) (OverDot[v]) + G ((OverDot[v])^2)=1.

Geodetske koordinate

Često se pitamo da li je moguće uvesti koordinate na plohi tako da parametarske krivulje (u- i v- krivulje) imaju neka posebna svojstva. Jedna mogućnost dana je sljedećom definicijom.
Definicija
Koordinatna (u- i v-) mreža na nekoj plohi S zove se geodetska (ili polugeodetska) ako se sastoji iz jednoparametarske familije geodetskih linija i njihovih ortogonalnih trajektorija.
Pokažimo zašto je povoljan odabir ovakve koordinatne mreže!
Neka su u- linije geodetske linije
v = const  ⇒  \(TraditionalForm\`v\& .  = \(v\&¨ = 0\)\), pa diferencijalna jednadžba (12) geodetskih linija glasi
	|({{\(u\& . \),    (Overscript[u, ¨])+{({{({{u, u}})}, {u}})}\(u\& . \^2\)}, {0,   {({{({{u, u}})}, {v}})}\(u\& . \^2\)}})|=0   ⇒   {({{({{u, u}})}, {v}})}\(u\& . \^3\)=0   ⇒   {({{({{u, u}})}, {v}})}=0.
Kako je 	
	{({{({{u, u}})}, {v}})} = (1/(W^2)){  [({{({{u, u}})}, {v}})]E -  [({{({{u, u}})}, {u}})]F}=0,
slijedi da, ukoliko su u- linije geodetske linije vrijedi
	( (Subscript[F, u]) - (1/2) (Subscript[E, v])) E - (1/2) 
            (Subscript[E, u]) F = 0  / ·(-2)  
	\(TraditionalForm\`\(E\ E\_v - 2  E\ F\_u + E\_u\ F = 0\)\+─\).								(15)
Može se pokazati da vrijedi i obrat gornjeg izvoda, iz čega zaključujemo sljedeće:
Nužan i dovoljan uvjet da bi koordinatne u- linije bile ujedno geodetske linije na plohi je relacija (15).

Neka su u- linije geodetske linije a v- linije njihove ortogonalne trajektorije
Ortogonalnost  u- i v- linija   ⇒  F = 0   ⇒   iz (15):  E (Subscript[E, v]) = 0, tj.  (Subscript[E, v]) = 0 (E = \(TraditionalForm\`\(r\_u\)\&⇀·\(r\_u\)\&⇀ ≠ 0\)), tj. E je funkcija samo od u, tj. E= E(u).
Dakle, prva diferencijalna forma plohe, uz ovakav izbor koordinatnih linija poprima oblik
	 (Underscript[(ds^2)=E(u) (du^2) + G(u, v) (dv^2), ─]).							(16)	
Vrijedi i obrat, tj. ukoliko je prva diferencijalna forma plohe dana relacijom (16), u- i v- linije su kao iz naslova.

Analogno se izvodi i obratni slučaj, tj.
Neka su v- linije geodetske linije a u- linije njihove ortogonalne trajektorije
Prva diferencijalna forma plohe, uz ovakav izbor koordinatnih linija poprima oblik
	 (Underscript[(ds^2)=E(u, v) (du^2) + G(v) (dv^2), ─]).							(17)	
Vrijedi i obrat, tj. ukoliko je prva diferencijalna forma plohe dana relacijom (17), u- i v- linije su kao iz naslova.

Daljnje pojednostavljenje
Kod prvog izbora u- i v- linija pokazali smo da je E funkcija samo varijable u. To nam omogućuje da prvu diferencijalnu formu (16) još pojednostavnimo uvedemo li transformaciju
	\(u\&_\)=∫(Sqrt[E(u)])du,   \(v\&_\)=v  / diferenciramo
	\(d\ u\&_\)=(Sqrt[E (u)])du,  d \(v\&_\)=d v.
(16) prelazi u
	(ds^2)= d((\(u\&_\))^2) + \(G(u\&_, v\&_)\) d((\(v\&_\) )^2).
Uobičajeno je "poteze" izostaviti i pisati
	(Underscript[(ds^2)= (du^2) + G(u, v) ((dv )^2), ─]).								(18)
Slijedi:
Duž  u- krivulje (v = const, dv = 0), forma (18) poprima oblik 
	 (Underscript[(ds^2)=(du^2), ─]), tj.	parametar u ima značenje duljine luka.
	 ds= du  ⇒  s=(∫_((Subscript[u, 1]))^((Subscript[u, 2]))) du=(Subscript[u, 2])-(Subscript[u, 1]).							(19)

Analogno, iz forme (17) bismo dobili
	(Underscript[(ds^2)=E(u, v) (du^2) +  ((dv )^2), ─]).								(20)
Duž  v- krivulje (u = const, du = 0), forma (20) poprima oblik 
	 (Underscript[(ds^2)=(dv^2), ─]), tj.	parametar v ima značenje duljine luka.
	 ds= dv  ⇒  s=(∫_((Subscript[v, 1]))^((Subscript[v, 2]))) dv=(Subscript[v, 2])-(Subscript[v, 1]).							(21)
Napomenimo na kraju da vrijedi i obrat gornjih izvoda, tj. ima li prva diferencijalna forma u nekoj koordinatnoj mreži na plohi oblik (18) ili (20) mreža je geodetska.

Geometrijsko svojstvo:
Duljina luka geodetske u- krivulje između dvije v- krivulje ne ovisi o parametru v i jednaka je za sve  u- krivulje (formula 19). Najbolji primjer je sfera gdje su meridijani geodetske u- krivulje, a paralele njihove ortogonalne trajektorije, tj. v- krivulje. Iz (19) slijedi i naziv parametarskih v- krivulja koje se "službeno" zovu geodetske paralele. Naime, duljina lukova na svakom meridijanu između dviju paralela je jednaka.
Slika!

Geodetska linija kao najkraća spojnica dviju točaka na plohi

Neka su A i B dvije točke na plohi S.  Pitamo se koja je najkraća spojnica tih točaka na plohi. 
Za opću (općenitu) plohu se na žalost ne može dati odgovor, dok za neke jednostavnije plohe možemo izreći samo nužan uvjet, tj.
	min d(A,B)   ⇒   spojnica točaka A, B je geodetska linija 
		?       ⇐   spojnica točaka A, B je geodetska linija
Međutim, ono što smo u mogućnosti pokazati je takozvano lokalno svojstvo minimalnosti koje glasi:
	- geodetske linije na plohi su krivulje koje imaju lokalno svojstvo najkraće spojnice dviju točaka na plohi; ili
	- geodetska linija je najkraća spojnica dviju dovoljno (lokalno) blizih točaka na plohi.
Pojmove lokalno svojstvo i dovoljno bliske točke objasnit ćemo na predavanju na primjeru dviju točaka na sferi i dviju točaka na kružnom valjku.
Slike!
Dokaz lokalnog svojstva minimalnosti
Neka su A i B dvije dovoljnjno bliske točke na plohi S i neka je g geodetska linija koja spaja te točke. Tada na plohi postoji geodetska koordinatna mreža takva da je g ujedno i u- krivulja te mreže, dok su v- krivulje njihove ortogonalne trajektorije.
Neka je (Subscript[g, 1])bilo koja druga krivulja koja spaja te iste točke A i B i neka ona u tom koordinatnoj mreži ima jednadžbu  v = v(u). Vidi sliku!
Kako je mreža geodetska, to je  (ds^2)= (du^2) + G(u, v) ((dv )^2) (formula 18), pa duljina luka (Subscript[s, 1])krivulje (Subscript[g, 1])od točke A((Subscript[u, 1])) do B((Subscript[u, 2])) iznosi
	(Subscript[s, 1])=(∫_((Subscript[u, 1]))^((Subscript[u, 2])))(Sqrt[1 + G(u, v(u)) (((((d v)/(d u))))^2)]) du.
S druge strane, duljina luka s po geodetskoj liniji g, prema (19) iznosi
	s=(∫_((Subscript[u, 1]))^((Subscript[u, 2]))) du.
Zbog 	\(TraditionalForm\`G = \((∂\ \(r\& ⇀ \)\/∂\ v)\)\^2 > 0\)   ⇒   (∫_((Subscript[u, 1]))^((Subscript[u, 2])))\(\(\@\(1 + \(G(u, 
                          v(u))\) \((\(d\ v\)\/\(d\ u\))\)\^2\)\)\+\(⏟\+\(\(>\)\(1\)\)\)\) du   ≥   (∫_((Subscript[u, 1]))^((Subscript[u, 2]))) du   ⇒   (Underscript[(Subscript[s, 1]) ≥ s, ─]) .
Dakle, geodetska linija (luk s geodetske linije) je najkraća spojnica dviju dovoljno blizih točaka plohe. ◼

Torzija krivulje na plohi. Geodetska torzija

Torzija τ krivulje na plohi

(1^o))	α : I ⟶ S......krivulja na plohi  (Overscript[r, ⟶]) = (Overscript[r, ⟶])(u, v)
	α......(Overscript[r, ⟶])(s) = (Overscript[r, ⟶])(u(s), v(s)),    s- duljina luka
		torzija...τ(s) = - (((Overscript[n, ⇀]))^o) · (((Overscript[b, ⇀]))^o)'= \(\(\(\ \)\((r\&⇀\^′, 
                r\&⇀\^″, \(r\&⇀\^′\)\^″)\)\)\/\(\(\(\(|\)\(r\)\)\&⇀\^″\)\( | \^2\)\)\)
	α......(Overscript[r, ⟶])(t) = (Overscript[r, ⟶])(u(t), v(t)),    t- opći parametar
		torzija...τ(s) = τ(t) = \(\((\(r\&⇀\)\& . , \(r\&⇀\)\&¨, \(\(r\&⇀\)\& ... \))\)\/\(\(\(\(\(|\)\(r\)\)\&⇀\)\& . ×\(r\&⇀\)\&¨\)\( | \^2\)\)\)

(2^o))	Drugi način izračunavanja torzije na plohi.
	Slika!
	Neka su  { (Overscript[(t^( o)), ⟶]), (Overscript[(n^( o)), ⟶]), (Overscript[(b^( o)), ⟶])} i { (Overscript[(t^( o)), ⟶]), (Overscript[(N^( o)), ⟶]), (Overscript[(n^( o)), ⟶])}  desne trojke vektora.
	 θ = ∡((OverVector[(n^o)]), (OverVector[(N^o)])),	   θ + (π/2) = ∡((OverVector[(b^o)]), (OverVector[(N^o)])) .
	Rastavimo vektor (Overscript[(b^( o)), ⟶]) po komponentama vektora  (Overscript[(t^( o)), ⟶]), (Overscript[(N^( o)), ⟶]), (Overscript[(t^( o)), ⟶])× (Overscript[(N^( o)), ⟶]):
	Kako je (Overscript[(b^( o)), ⟶]) u ravnini vektora  (Overscript[(N^( o)), ⟶]) i  (Overscript[(t^( o)), ⟶])×(Overscript[(N^( o)), ⟶])  ⇒  koeficijent uz (Overscript[(t^( o)), ⟶]) isčezava, tj.
	(Underscript[(Overscript[(b^( o)), ⟶])=cosθ ((Overscript[(t^( o)), ⟶])×(Overscript[(N^( o)), ⟶]))+cos((π/2) - θ) (-(Overscript[(N^( o)), ⟶]))+0 (Overscript[(t^( o)), ⟶])., ─])					(22)
	Sredimo relaciju (22) i pomnožimo skalarno s (Overscript[(N^( o)), ⟶])':
	(Overscript[(b^( o)), ⟶])=-sinθ (Overscript[(N^( o)), ⟶])+cosθ ((Overscript[(t^( o)), ⟶])×(Overscript[(N^( o)), ⟶]))  / ·(Overscript[(N^( o)), ⟶])'
	(Overscript[(b^( o)), ⟶])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])'=(Underscript[(Underscript[-sinθ (Underscript[(Overscript[(N^( o)), ⟶])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])', (Underscript[⏟, ⊥ zbog  |(Overscript[(N^( o))|, ⟶])=1])]), ⏟]), = 0])+cosθ ((Overscript[(t^( o)), ⟶])×(Overscript[(N^( o)), ⟶]))(Overscript[(N^( o)), ⟶])'
	(Underscript[(Overscript[(b^( o)), ⟶])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])'=cosθ ((Overscript[(t^( o)),, ⟶])(Overscript[(N^( o)), ⟶]),(Overscript[(N^( o)), ⟶])'), ─]).							(23)
	Potrebna nam je i derivacija vektora (Overscript[(b^( o)), ⟶]). 
	U tu svrhu derivirajmo skalarni produkt  (Overscript[(b^( o)), ⟶])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])=|(Overscript[(b^( o)), ⟶])||(Overscript[(N^( o)), ⟶])|cos((π/2) + θ)=-sinθ:
	(Underscript[(Overscript[(b^( o)), ⟶])'·(Overscript[(N^( o)), ⟶])+(Overscript[(b^( o)), ⟶])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])'=-cosθ·((dθ)/(d s)), ─]).							(24)
	Frenet-Serretove formule   ⇒   (Overscript[(b^( o)), ⟶])'=-τ(OverVector[(n^o)])  ⇒   (Overscript[(b^( o)), ⟶])'·(Overscript[(N^( o)), ⟶])=-τ(OverVector[(n^o)])·(Overscript[(N^( o)), ⟶])=-τ cosθ,  što uvršteno u (24) zajedno s formulom (23) daje
	 -τ cosθ+cosθ ((Overscript[(t^( o)),, ⟶])(Overscript[(N^( o)), ⟶]),(Overscript[(N^( o)), ⟶])')=-cosθ·((dθ)/(d s))  / : cosθ≠0
	 
	 τ=((Overscript[(t^( o)),, ⟶])(Overscript[(N^( o)), ⟶]),(Overscript[(N^( o)), ⟶])')+((dθ)/(d s)).								(25)
	 
Do istog bi se rezultata došlo i uz pretpostavku da je cosθ = 0. U tom se slučaju tangencijalna i oskulaciona ravnina podudaraju pa su vektori (Overscript[(b^( o)), ⟶])  i  (Overscript[(N^( o)), ⟶]) kolinearni.

Geodetska torzija T

Definicija
Geodetska torzija T krivulje α : I ⟶ S na plohi u jednoj njezinoj točki P je torzija one geodetske linije u toj točki koja tu krivulju dodiruje.
Slika!
Iz definicije slijedi da sve krivulje koje prolaze jednom točkom na plohi i koje se u toj točki dodiruju (Imaju zajedničku tangentu), imaju jednake geodetske torzije.
U svakoj točki geodetske linije  ⇒  (Overscript[(N^( o)), ⟶]) i  (Overscript[(n^( o)), ⟶]) su kolinearni vektori   ⇒   θ = ∡((OverVector[(n^o)]), (OverVector[(N^o)])) = 0 ili π   ⇒   ((dθ)/(d s))=0, pa formula (25) poprima oblik
	 T=((Overscript[(t^( o)),, ⟶])(Overscript[(N^( o)), ⟶]),(Overscript[(N^( o)), ⟶])').									(26)

Formula za geodetsku torziju ispisana pomoću Gaussovih veličina prvog i drugog reda glasi:
	T =(1/(Sqrt[E G - (F^2)]))|({{(Subscript[E, (u^′)]) + 
                  (Subscript[F, (v^′)]), (Subscript[E, (u^′)]) + 
                  (Subscript[F, (v^′)])}, {(Subscript[E, (u^′)]) + 
                  (Subscript[F, (v^′)]), (Subscript[E, (u^′)]) + 
                  (Subscript[F, (v^′)])}})|.						(27)
	
I na kraju, veza geodetskih torzija dviju ortogonalnih krivulja na plohi u točki presjeka dana je sa:
	(T^u) = -(T^v), gdje smo označili 
	(T^u)– geodetskih torzija jedne u- krivulje,
	(T^v)– geodetskih torzija jedne v- krivulje.

sadržaj