Predavanja iz predmeta:	
	Matematika IV - Diferencijalna geometrija

15. PRESLIKAVANJE PLOHA

O preslikavanju ploha

U raznim primjenama javlja se potreba da se točkama jedne plohe na određen način pridruže točke druge plohe. Posebno je to važan problem u geodeziji pri crtanju i konstrukciji raznih karata kod kojih se radi o preslikavanju sfere u ravninu.
Neka su u istom koordinatnom sustavu u prostoru dane dvije plohe S i \(TraditionalForm\`S\&_\) svojim jednadžbama (s različitim parametrima):
	S... (Overscript[r, ⟶])= (Overscript[r, ⟶])(u, v),	(u, v) ϵ D					(1)
	\(TraditionalForm\`S\&_\)... \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\&_\)= \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\&_\)(\(TraditionalForm\`u\&_\), \(TraditionalForm\`v\&_\)),	(\(TraditionalForm\`u\&_\), \(TraditionalForm\`v\&_\)) ϵ \(TraditionalForm\`D\&_\)					(2)
Proučavat ćemo preslikavanje f : S ⟶ \(TraditionalForm\`S\&_\) koje točki P(u, v) plohe S pridružuje točku \(TraditionalForm\`P\&_\)(\(TraditionalForm\`u\&_\), \(TraditionalForm\`v\&_\)) na plohi \(TraditionalForm\`S\&_\), tj.
	P(u, v) ⟶ \(TraditionalForm\`P\&_\)(\(TraditionalForm\`u\&_\), \(TraditionalForm\`v\&_\))
	\(TraditionalForm\`u\&_\) = \(TraditionalForm\`u\&_\) (u, v),
	\(TraditionalForm\`v\&_\) = \(TraditionalForm\`v\&_\) (u, v),								(3)
pri čemu zahtjevamo da je Jakobijana 
	J = ((∂(\(u\&_\), \(v\&_\)))/(∂(u,  v)))≠ 0,	((∂(\(u\&_\), \(v\&_\)))/(∂(u,  v)))= |({{\(∂u\&_\/∂u\), \(∂u\&_\/∂v\)}, {\(∂v\&_\/∂u\), \(∂v\&_\/∂v\)}})|.			(4)
Pretpostavljat ćemo da su
	\(TraditionalForm\`u\&_\) i \(TraditionalForm\`v\&_\) - (jednoznačne), klase (C^1) (neprekidne i derivabilne), bijektivne tj. svakom paru (u, v) odgovara (\(TraditionalForm\`u\&_\), \(TraditionalForm\`v\&_\)) i obartno, svakom paru (\(TraditionalForm\`u\&_\), \(TraditionalForm\`v\&_\)) slika je samo jednog (u, v).
Dalje, neka krivulja α plohe S preslika se pomoću f u krivulju \(TraditionalForm\`α\&_\) na plohi \(TraditionalForm\`S\&_\).
Da vidimo u šta prelazi ploha \(TraditionalForm\`S\&_\) nakon transformacije (3):
	\(TraditionalForm\`S\&_\)... \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\&_\)= \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\&_\)[ \(TraditionalForm\`u\&_\) (u, v),  \(TraditionalForm\`v\&_\) (u, v)] =  (Overscript[((Overscript[r, ⟶])),  ==]) (u, v)				(5)
Dvije različite plohe (S i \(TraditionalForm\`S\&_\)) mogu dakle imati iste parametre no drukčije jednadžbe. Odnosno, postoji takva parametrizacija da točka P na plohi S i njena slika \(TraditionalForm\`P\&_\) na \(TraditionalForm\`S\&_\) imaju iste parametre, pa ćemo obično pretpostavljati da je preslikavanje tako i zadano (raelizirano):
	\(TraditionalForm\`u\&_\) = u, \(TraditionalForm\`v\&_\) = v.
Prve diferencijalne forme sada glase:
	(ds^2)=E (du^2)  +  2  F dudv  +  G (dv^2)
	\(TraditionalForm\`d  s\&_\^2 = 
        E\&_\ du\^2\  + \ 2  F\&_\ dudv\  + \ G\&_\ dv\^2\)					(6)
gdje su E, F, G, \(TraditionalForm\`E\&_\), \(TraditionalForm\`F\&_\), \(TraditionalForm\`G\&_\)  funkcije istih parametara u i v.
Krivulja s jednadžbom u = u (v) odnosno (Overscript[r, ⟶])= (Overscript[r, ⟶])(u(v), v) na plohi S prelazi na krivulju na plohi \(TraditionalForm\`S\&_\) koja ima jednadžbu \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\&_\)= \(TraditionalForm\`\(r\&⟶\)\&_\)(u(v), v). 
Za preslikavanja ploha važan je omjer
	m = ((\(d  s\&_\))/ds)=((Sqrt[\(E\&_\) (du^2) + 2\(F\&_\) dudv + \(G\&_\) (dv^2)])/(Sqrt[E (du^2) + 2F dudv + G (dv^2)]))				(7)
koji se zove linearno mjerilo preslikavanja (koeficjent linearne deformacije) u točki A(u,v) smjera (du/dv).
Jasno je da su pri tome E, F, G računati u točki A na plohi S, a \(TraditionalForm\`E\&_\), \(TraditionalForm\`F\&_\), \(TraditionalForm\`G\&_\)  u točki \(TraditionalForm\`A\&_\) na plohi \(TraditionalForm\`S\&_\).
Vrste preslikavanja:
1) Izometričko preslikavanje - čuva duljine lukova krivulja na plohama.
2) Konformno preslikavanje - čuva kuteve na plohama (sličnost u malom).
3) Ekvivalentno ili ekviarealno preslikavanje - čuva površine na plohama.

Izometričko preslikavanje

Uvjeti preslikavanja
Formule (6):
	Za plohu S ... (ds^2)=E (du^2) + 2F dudv + G (dv^2)
	Za plohu \(TraditionalForm\`S\&_\)... \(d  s\&_\^2\)=\(E\&_\) (du^2) + 2\(F\&_\) dudv + \(G\&_\) (dv^2)
Kako duljine elemenata lukova moraju ostati sačuvane, preslikavanje je samo onda izometrično ako je za svako u i v, za svako du i dv tj, u svakoj tički i u svakom smijeru ispunjeno:
	\(d  s\&_\^2\)=(ds^2).							(8)
ovo je moguće samo ako je
	\(TraditionalForm\`E\&_ = E\),   \(TraditionalForm\`F\&_ = F\),   \(TraditionalForm\`G\&_ = G\)					(9)
pa je linearno mjerilo preslikavanja
	m = 1								(10)
Dakle, ova transformacija
	- ne mijenja duljinu lukova,
	- ne mijenjaju se ni kutevi među krivuljama na plohi (zbog (9)),
	- ni površine.
Ovo preslikavanje je važno kod razvijanja plohe u ravninu.

Savijanje ili polaganje plohe na plohu. Razvojne plohe.
Kod izometričkih transformacija (preslikavanja) dolazi do promjene oblika plohe. Naime, ako se ploha S može izometrički preslikati u plohu \(TraditionalForm\`S\&_\) (tada su dakle \(TraditionalForm\`E\&_ = E\), \(TraditionalForm\`F\&_ = F\), \(TraditionalForm\`G\&_ = G\)), kaže se da se može jednu plohu saviti ili položiti na drugu plohu.
Specijalni slučaj savijanja ( ili polaganja) je razvijanje u ravninu.
Razvojne (poznate i pod nazivom developable) plohe (pravčaste plohe + Gaussova zakrivljenost u svakoj točki jednaka 0) se mogu izometrički preslikati u ravninu! Odatle potječe i naziv tih ploha jer se na primjer valjak razreže duž jedne izvodnice i razvije u ravninu.

O Gaussovoj zakrivljenosti K (K = (Subscript[K, 1])·(Subscript[K, 2]) = ((LN-(M^2))/(EG-(F^2)))) i izometriji.
Prema Gaussovom "Theorema egregium", Gaussova je zakrivljenost funkcija fundamentalnih veličina prvog reda (E, F, G ) i njihovih derivacija. Zbog toga je K invarjantno prema izometričkim preslikavanjima, iako dolazi do promjene oblika plohe. Naime, (Subscript[K, 1]) i (Subscript[K, 2]) se mjenjau, ali produkt (Subscript[K, 1])·(Subscript[K, 2]) ostaje konstantan. Vrijedi:
Teorem. Dvije plohe koje se mogu saviti ili položiti jedna na drugu imaju u korespodentnim točkama jednaku Gaussovu zakrivljenost. Isto vrijedi i za razvijanje plohe u ravninu.
Ipak, vrijedi samo:
	\(TraditionalForm\`S\&_\) i S su izometričke ⟹ K = \(TraditionalForm\`K\&_\).
Obrat ne mora vrijediti, tj. ako dvije plohe imaju jednake Gaussove zakrivljenosti, one ne moraju biti izometričke. Obrat vrijedi samo u slučaju ploha s konstantnom Gaussovom zakrivljenošću.
	⟹ Nužan i dovoljan uvijet da se neka ploha S može razviti u sferu je K > 0.
	⟹ Nužan i dovoljan uvijet da se neka ploha S može razviti u ravninu je K = 0.
	
Geodetske linije i izometrička preslikavanja.
[({{i, j}, {k,  }})], {({{i, j}, {k,  }})} ovise samo o E, F, G i njihovim derivacijama.
⟹ diferencijalna jednadžba geodetskih linija i njihov sustav diferencijalnih jednadžbi invarjantni su prema izometričkim preslikavanjima. Vrijedi:
Teorem. Geodetske linije plohe prelaze pri savijanju (polaganju) plohe na plohu ponovo u geodetske linije. Pri razvijanju u ravninu geodetske linije prelaze u pravce.
Primjer. Valjak razrežemo duž  izvodnice i razvijemo ga u ravninu. 
	Izvodnice ⟶  vertikalni pravci;
	Paralele   ⟶  horizontalni pravci;
	Spirale     ⟶  kosi pravci.

Konformno preslikavanje

Uvjeti preslikavanja
Formule (6):
	Za plohu S ... (ds^2)=E (du^2) + 2F dudv + G (dv^2)
	Za plohu \(TraditionalForm\`S\&_\)... \(d  s\&_\^2\)=\(E\&_\) (du^2) + 2\(F\&_\) dudv + \(G\&_\) (dv^2)
Na S se dvije krivulje sijeku pod kutem ω.
Na \(TraditionalForm\`S\&_\) se slike tih krivulja sijeku pod kutem \(TraditionalForm\`ω\&_\).
Preslikavanje f : S ⟶ \(TraditionalForm\`S\&_\) je konformno ako je 
	ω = \(TraditionalForm\`ω\&_\).								(11)

Teorem. Ako su funkcije E, F, G proporcionalne funkcijama \(TraditionalForm\`E\&_\), \(TraditionalForm\`F\&_\), \(TraditionalForm\`G\&_\), tj.
	\(TraditionalForm\`E\&_\/E\)= \(TraditionalForm\`F\&_\/F\)= \(TraditionalForm\`G\&_\/G\) = (m^2)(u, v),					(12)
odnosno
	\(TraditionalForm\`E\&_ = E\)(m^2),  \(TraditionalForm\`F\&_ = F\)(m^2),  \(TraditionalForm\`G\&_ = G\)(m^2),
onda je preslikavanje f : S ⟶ \(TraditionalForm\`S\&_\) konforno, i obratno.
(Kraće: Nužan i dovoljan uvijet da preslikavanje bude konformno je relacija (12).)
Dokaz.
Kut između slika krivulja  (Subscript[u, 1]) = (Subscript[u, 1])(v) i  (Subscript[u, 2]) = (Subscript[u, 2])(v) plohe S uz uvijet (12):
	
	cos \(ω\&_\)= ((\(E\&_\)(Subscript[du, 1])(Subscript[du, 2]) + \(F\&_\)((Subscript[du, 1])dv + (Subscript[du, 2])dv) + \(G\&_\)(dv^2))/((Sqrt[\(E\&_\)(Subscript[du, 1]^2) + 2\(F\&_\)(Subscript[du, 1])dv + \(G\&_\)(dv^2)])(Sqrt[\(E\&_\)(Subscript[du, 2]^2) + 2\(F\&_\)(Subscript[du, 2])dv + \(G\&_\)(dv^2)])))=
	
	=((E (m^2)(Subscript[du, 1])(Subscript[du, 2]) + F (m^2)((Subscript[du, 1])+(Subscript[du, 2]))dv + G (m^2)(dv^2))/((Sqrt[E (m^2)(Subscript[du, 1]^2) + 2F (m^2)(Subscript[du, 1])dv+ G (m^2)(dv^2)])(Sqrt[E (m^2)(Subscript[du, 2]^2) + 2F (m^2)(Subscript[du, 2])dv+ G (m^2)(dv^2)])))= cos ω
Obrat se dokazuje obrnutim putem.◼
	
Napomena: Konformno preslikavanje se još zove i sličnost u malom jer su infinitezimalne figure plohe S i \(TraditionalForm\`S\&_\) zbog uvijeta (11) međusobno slične.
Mjerilo konformnog preslikavanja:
	((d((\(s\&_\))^2))/(ds^2))=(m^2)(u,  v).						(13)
	
Ortogonalna mreža i konformno preslikavanje.
Koordinatna mreža na obje plohe je ortogonalna tj. F = \(TraditionalForm\`F\&_\) = 0. Neka je γ  krivulja na plohi S dana jednadžbom
	(Overscript[((Subscript[r, 1])), ⟶]) = (Overscript[((Subscript[r, 1])), ⟶])[u(t), v(t)], 
s vektorom tangente
	(Overscript[((Subscript[t, 1])), ⟶])=((d (Overscript[( (Subscript[r, 1])), ⟶]))/dt)=\(∂\(r\_1\)\&⟶\/∂u\)(du/dt)+\(∂\(r\_1\)\&⟶\/∂v\)(dv/dt),   odnosno
	\(TraditionalForm\`\(t\_1\)\&⟶ = \((\(r\_1\)\&⟶)\)\_u\ u\& . \  + \ \((\(r\_1\)\&⟶)\)\_v\ v\& . \).
Neka je u - krivulja na plohi S dana s   (Overscript[((Subscript[r, 2])), ⟶]) = (Overscript[((Subscript[r, 2])), ⟶])[u(t), (Subscript[v, o])],  i  vektorom tangente \(TraditionalForm\`\(t\_2\)\&⟶ = \((\(r\_2\)\&⟶)\)\_u\ u\& . \).
Za kut α između tih krivulja imamo:
	cos α=\(\(E\ u\& . \^2\)\/\(\(\@\(E\ u\& . \^2\)\) \@\(E\ u\& . \^2\  + \ G\ v\& . \^2\)\) = \(\(\@E\) u\& . \)\/\@\(E\ u\& . \^2\  + \ G\ v\& . \^2\)\),
	
	sin α=\(\@\(1 - \(E\ u\& . \^2\)\/\(E\ u\& . \^2\  + \ G\ v\& . \^2\)\) = \@\(\(\(\ \)\(G\ v\& . \^2\)\)\/\(E\ u\& . \^2\  + \ G\ v\& . \^2\)\)\), 
odakle slijedi
	tg α=((sin α)/(cos α))=(Sqrt[(G/E)])(dv/du).					(14)
Zbog (14) možemo reći da je pri preslikavanju (uz uvijet F = \(TraditionalForm\`F\&_\) =0) deformacija kuteva dane sa:
	((tg \(α\&_\))/(tg α))=\(\@\(G\&_\/E\&_\)\/\@\(G\/E\)\).						(15)
Kod konformnog preslikavanja:
	((tg \(α\&_\))/(tg α))=1.							(16)

Ekvivalentno ili ekviarealno preslikavanje

Uvjeti preslikavanja.
Neka su dane su plohe S i \(TraditionalForm\`S\&_\). Pripadni elementi površina su:
	dS=(Sqrt[EG-(F^2)])du dv, 	\(d  S\&_\)=\(\@\(\(E\&_\) G\&_\  - \ F\&_\^2\)\)du dv.
Preslikavanje f : S ⟶ \(TraditionalForm\`S\&_\) je ekvivalentno ako je 
	dS = d\(TraditionalForm\`S\&_\), 							(17)
a znamo da je
	dS = d\(TraditionalForm\`S\&_\) ⟺ EG-(F^2) = \(TraditionalForm\`\(E\&_\) G\&_\  - \ F\&_\^2\).
Time smo dobili nužan i dovoljan uvijet da bi preslikavanje f bilo ekvivalentno.

Površinsko mjerilo preslikavanja
Površinsko mjerilo preslikavanja okoline O točke A na plohi S u okolinu \(TraditionalForm\`O\&_\) točke \(TraditionalForm\`A\&_\) na \(TraditionalForm\`S\&_\) definira se izrazom
	\(TraditionalForm\`M = \(\(\(lim\)\(\ \)\)\+\(S⟶0\)\) 
          S\&_\/S\),	    M=((\(d  S\&_\))/dS),	   M=(Sqrt[((\(\(E\&_\) G\&_\  - \ F\&_\^2\))/(EG-(F^2)))]).		(18)
Kod ekvivalentnog preslikavanja:
	M = 1.								(19)		
Napomena: Preslikavanje se zove ekvivalentno i onda ako je M = C (C = const.>0).

Primjeri[1, str.210-218].
Preslikavanje ploha ima važnu primjenu pri izradi geografskih karata.
U kartografiji i geografiji (zemljopisu) potrebno je preslikati ("proicirati") sferu u ravninu.
Dani su i primjeri kako konstruirati kartu koja bi što vjernije prikazala okolinu oko sjevernog pola.

sadržaj