LABORATORIJSKE VJEŽBE MATEMATIKA 1.
ISPITATI TOK I NACRTATI GRAF FUNKCIJE jedne varijable

Zadatak: graf fun. 1 var.

Ispitaj tok  funkcije f(x)= (((x^2) + x + 1)/(x - 1))

Rjesenje

Domena

<< Algebra`InequalitySolve`

Clear[uvjet];
uvjet = (x - 1 > 0 || x - 1 < 0)

Clear[domena];
domena = InequalitySolve[uvjet, x];

Print["Domena funkcije je skup svih x \
takvih da ",  domena]

Clear[tprekida];
tprekida = {1};

Print[" Točke prekida su: x= ",  
      tprekida[[1]]]

tockeprekidacrta = {Point[{tprekida[[1]], 0}]};

Nultočke funkcije

Clear[f];
f[x_]=(((x^2) + x + 1)/(x - 1));

Clear[tnul];
tnul = FindRoot[f[x] == 0, {x, -3, -1, 2}][[1, 
          2]]

Clear[noProblem];
noProblem = False

If[noProblem,  Print[" Nultočke su: x= " , tnul], 
      Print["Nema nultočke!"]]

Asimptote

vertikalne asimptote

Clear[vasimpsdesna];
vasimpsdesna[n_] := 
      Limit[f[x], x ->  tprekida[[n]], 
        Direction -> -1]

Clear[vasimpslijeva];
vasimpslijeva[n_] := 
      Limit[f[x], x ->  tprekida[[n]], 
        Direction -> 1]

If[vasimpsdesna[1] == ∞ || 
        vasimpsdesna[1] == -∞, 
      Print["Vertikalna asimptota  x=",  
        tprekida[[1]], " Limes s desna je ", vasimpsdesna[1] ]; 
      crta = True, 
      Print[ " Limes s desna u točki prekida x=" , 
        tprekida[[1]], " je ", vasimpsdesna[1]]]

If[
      vasimpslijeva[1] == ∞ || 
        vasimpslijeva[1] == -∞, 
      Print["Vertikalna asimptota  x=",  
        tprekida[[1]], " Limes s lijeva  je ", vasimpslijeva[1] ]; 
      crta = True, 
      Print[ " Limes s lijeva u točki prekida x=" , 
        tprekida[[1]], " je ", vasimpslijeva[1]]]

If[crta, 
        crticevert = {Line[{{tprekida[[1]], -3}, {tprekida[[1]], 
                  3}}]}];

Horizontalna asimptota

Clear[hasimpplus];
hasimpplus = Limit[f[x], x ->  ∞]

Clear[hasimpminus];
hasimpminus = Limit[f[x], x ->  -∞]

If[hasimpplus ∈  Reals, 
      Print["Horizontalna  asimptota u +∞ je  y=",  
        hasimpplus]; crta = True, 
      Print["Nema horizontalne asimptote!"]]

If[hasimpminus ∈  Reals, 
      Print["Horizontalna  asimptota u -∞ je  y=",  
        hasimpminus]; crta = True, 
      Print["Nema horizontalne asimptote!"]]

If[crta, 
        crticehor = {Line[{{-60, hasimpminus}, {60, 
                  hasimpplus}}]}];

Kosa asimptota

Clear[kkosaasimpplus];
kplus = 
        Limit[f[x]/x, x ->  ∞];
If[kplus  =!=  ∞  || kplus  =!= -∞, 
        lplus = Limit[f[x] -  kplus*x, x ->  ∞]; 
        kosaplus = kplus*x + lplus; 
        Print["Kosa asimptota u ∞ je pravac y=",  kosaplus]; 
        crta = True, 
        Print["Nema kose asimptote u ∞!"]];

Clear[kkosaasimpminus];
kminus = 
        Limit[f[x]/x, 
          x -> - ∞];
If[kminus  =!=  ∞  || kminus  =!= -∞, 
        lminus = Limit[f[x] -  kminus*x, x ->  ∞]; 
        kosaminus = kminus*x + lminus; 
        Print["Kosa asimptota u -∞ je pravac y=",  kosaminus]; 
        crta = True, 
        Print["Nema kose asimptote u -∞!"]];

If[crta, 
        crticekosa = 
          Plot[{kosaplus, kosaminus}, {x, -10, 10}]];

Stacionarne točke

Prva derivacija funkcije f

fd1[x_] = (∂_x) f[x]

FullSimplify[%]

Druga derivacija funkcije f

fd2[x_] = (∂_x) fd1[x]

Teeća derivacija

fd3[x_] = (∂_x) 
        fd2[x]

FullSimplify[%]

Stacionarne točke

Clear[tstacionarne];
tstacionarne = 
NSolve[fd1[x] == 0, x]

Clear[noProblem];
noProblem = True;

Clear[crtaekst];
If[noProblem, 
      Print["Stacionarne točke su :",  
        tstacionarne, "! To su moguće točke ekstrema! "]; 
      crtaekst = True, 
      Print["Nema stacionarnih točaka!  Ne tra\:017eimo ekstreme \
!"]]

fd2[tstacionarne[[1, 1, 2]]]

Clear[Ispis];
Ispis[n_] := 
        Print["U točki x=",  
            tstacionarne[[n, 1, 
                2]],  " funkcija ima lokalni maksimum",  
            f[tstacionarne[[n, 1, 2]]]] /; 
          fd2[tstacionarne[[n, 1, 2]]] < 0;
Ispis[n_] := 
        Print["U točki x=",  
            tstacionarne[[n, 1, 
                2]],  " funkcija ima lokalni minimum",  
            f[tstacionarne[[n, 1, 2]]]] /; 
          fd2[tstacionarne[[n, 1, 2]]] > 0;
Ispis[n_] := 
        Print["U točki x=",  
            tstacionarne[[n, 1, 
                2]],  " funkcija nema lokalni ekstrem"] /; 
          fd2[tstacionarne[[n, 1, 2]]] == 0;

Ispis[1]

Ispis[2]

If[crta, 
        tockeekstremacrta = {Point[{tstacionarne[[1, 1, 2]], 
                f[tstacionarne[[1, 1, 2]]]}], 
            Point[{tstacionarne[[2, 1, 2]], 
                f[tstacionarne[[2, 1, 2]]]}]}];

Točke infleksije

Clear[tinfleksije];
tinfleksije = FindRoot[fd2[x] == 0, {x, 1, 1, 2}][[1, 
          2]]

Clear[noProblem];

    noProblem = False;

Clear[ispitinfdomena, ispitinf];
ispitinfdomena =  
        domena /.  x -> tinfleksije;
ispitinf =  (fd3[tinfleksije] > 0  || 
            fd3[tinfleksije] < 0 );

If[ispitinfdomena == True  &&  ispitinf == True  &&  
        noProblem, 
      Print["Točka infleksije je x=",  tinfleksije], 
      Print["Nema točaka infleksije!"]]

Graf

kriv = 
        Plot[f[x], {x, -20, 20}, AspectRatio -> 1];

\(\(\(Show[kriv\ , crticekosa, 
      Graphics[{{Hue[0.3]}, {Hue[0.9]}, {AbsolutePointSize[10], Hue[0.5], 
            tockeprekidacrta}, {AbsolutePointSize[10], Hue[0.6], 
            tockeekstremacrta}, {Dashing[{ .02,  .02}], Hue[0.4], 
            crticevert}}], Axes -> False, AspectRatio -> 1, 
      Background -> GrayLevel[0.9], 
      ImageSize -> {500, 
          600}, 
DisplayFunction -> $DisplayFunction, 
      Frame -> True, \ 
      PlotLabel -> "graf funkcije"]\)\(
\)\(
\)
    \)\)

Zadatak: graf fun. 1 var.

Ispitaj tok  funkcije f(x)=(1/(1 + exp ((1/x)))).

Rjesenje

Domena

<< Algebra`InequalitySolve`

Clear[uvjet];
uvjet = (x > 0 || x < 0)

Clear[domena];
domena = InequalitySolve[uvjet, x];

Print["Domena funkcije je skup svih x \
takvih da ",  domena]

Clear[tprekida];
tprekida = {0};

Print[" Točke prekida su: x= ",  
      tprekida[[1]]]

tockeprekidacrta = {Point[{tprekida[[1]], 0}]};

Nultočke funkcije

Clear[f];
f[x_] = (1/(1 + Exp[(1/x)]));

Clear[tnul];
tnul = FindRoot[f[x] == 0, {x, -1, 1, 1}][[1, 
          2]]

Clear[noProblem];
noProblem = False

If[noProblem,  Print[" Nultočke su: x= " , tnul], 
      Print["Nema nultočke!"]]

Asimptote

vertikalne asimptote

Clear[vasimpsdesna];
vasimpsdesna[n_] := 
      Limit[f[x], x ->  tprekida[[n]], 
        Direction -> -1]

Clear[vasimpslijeva];
vasimpslijeva[n_] := 
      Limit[f[x], x ->  tprekida[[n]], 
        Direction -> 1]

If[vasimpsdesna[1] == ∞ || 
        vasimpsdesna[1] == -∞, 
      Print["Vertikalna asimptota  x=",  tprekida[[1]] ], 
      Print[ "Limes s desna u točki prekida x=" , 
        tprekida[[1]], " je ", vasimpsdesna[1]]]

If[vasimpslijeva[1] == ∞ || 
        vasimpslijeva[1] == -∞, 
      Print["Vertikalna asimptota  x=",  tprekida[[1]] ], 
      Print[ "Limes s lijeva u točki prekida x=" , 
        tprekida[[1]], " je ", vasimpslijeva[1]]]

tockevasimpcrta = {Point[{tprekida[[1]], 
              vasimpsdesna[1]}], 
          Point[{tprekida[[1]], vasimpslijeva[1]}]};

Horizontalna asimptota

Clear[hasimpplus];
hasimpplus = Limit[f[x], x ->  ∞]

Clear[hasimpminus];
hasimpminus = Limit[f[x], x ->  -∞]

Print["Horizontalna  asimptota u +∞ je  y=",  
      hasimpplus]

Print["Horizontalna  asimptota u -∞ je  y=", 
      hasimpminus]

crticehor = {Line[{{-60, hasimpminus}, {60, 
                hasimpplus}}]};

Stacionarne točke

Prva derivacija funkcije f

fd1[x_] = (∂_x) f[x]

FullSimplify[%]

Druga derivacija funkcije f

fd2[x_] = (∂_x) fd1[x]

Teeća derivacija

fd3[x_] = (∂_x) 
        fd2[x]

FullSimplify[%]

Stacionarne točke

Clear[tstacionarne];
tstacionarne = 
FindRoot[
          fd1[x] == 0, {x, -1, -1, 1}][[1, 2]]

Clear[noProblem];
noProblem = False;

If[noProblem, 
      Print["Stacionarne točke su :",  
        tstacionarne, "! To su moguće točke ekstrema! "], 
      Print["Nema stacionarnih točaka!  Ne tra\:017eimo ekstreme \
!"]]

Točke infleksije

Clear[tinfleksije];
tinfleksije = FindRoot[fd2[x] == 0, {x, 1, 1, 2}][[1, 
          2]]

Clear[noProblem];

    noProblem = False;

Clear[ispitinfdomena, ispitinf];
ispitinfdomena =  
        domena /.  x -> tinfleksije;
ispitinf =  (fd3[tinfleksije] > 0  || 
            fd3[tinfleksije] < 0 );

If[ispitinfdomena == True  &&  ispitinf == True  &&  
        noProblem, 
      Print["Točka infleksije je x=",  tinfleksije], 
      Print["Nema točaka infleksije!"]]

Graf

kriv = 
        Plot[f[x], {x, -50, 50}, AspectRatio -> 1];

\(\(\(Show[kriv, 
      Graphics[{{AbsolutePointSize[10], Hue[0.5], 
            tockeprekidacrta}, {AbsolutePointSize[10], Hue[0.7], 
            tockevasimpcrta}, {Dashing[{ .02,  .02}], Hue[0.1], crticehor}}], 
      Axes -> False, AspectRatio -> 1, 
      Background -> GrayLevel[0.7], 
      ImageSize -> {500, 
          600}, 
DisplayFunction -> $DisplayFunction, 
      Frame -> True, \ 
      PlotLabel -> "graf funkcije"]\)\(
\)\(
\)
    \)\)

Zadatak: graf fun. 1 var.

Ispitaj tok funkcije f(x) = ln(((e + x))^((1/x))) .

Rjesenje

Domena

<< Algebra`InequalitySolve`

Clear[uvjet];
uvjet = x + E > 0 && (x > 0 || x < 0)

Clear[domena];
domena = InequalitySolve[uvjet, x];

Print["Domena funkcije je skup svih x \
takvih da ",  domena]

tprekida = {0};
tprekida = 
      Append[tprekida, Solve[x + E == 0, x][[1, 1, 
            2]]]

Print[" Točke prekida su: ",  tprekida]

tockeprekidacrta = {Point[{tprekida[[1]], 0}], 
          Point[{tprekida[[2]], 0}]};

Nultočke funkcije

f[x_] = Log[(E + x)^(1/x)]

tnul = FindRoot[f[x] == 0, {x, -1}][[1, 2]]

Print["Nultočka funkcije je " , tnul]

tockenulcrta = {Point[{tnul, 0}]};

Asimptote

vertikalne asimptote

Clear[vasimpsdesna];
vasimpsdesna[n_] := 
      Limit[f[x], x ->  tprekida[[n]], 
        Direction -> -1]

Clear[vasimpslijeva];
vasimpslijeva[n_] := 
      Limit[f[x], x ->  tprekida[[n]], 
        Direction -> 1]

vasimpsdesna[1]

Print["Vertikalna asimptota  x=",  
      tprekida[[1]] ,  ";limes s desna u točki prekida je \
", vasimpsdesna[1]]

vasimpslijeva[1]

Print["Vertikalna asimptota  x=",  
      tprekida[[1]] ,  ";limes s lijeva u točki prekida je \
", vasimpslijeva[1]]

vasimpsdesna[2]

Print["Vertikalna asimptota  x=",  
      tprekida[[2]] ,  ";limes s desna u točki prekida je \
", vasimpsdesna[1]]

crticevert = {Line[{{tprekida[[1]], -3}, {tprekida[[1]], 
                3}}], Line[{{tprekida[[2]], -3}, {tprekida[[2]], 
                3}}]};

Horizontalna asimptota

Clear[hasimpplus];
hasimpplus = Limit[f[x], x ->  ∞]

Clear[hasimpminus];
hasimpminus = Limit[f[x], x ->  -∞]

Print["Horizontalna  asimptota u +∞ je  y=",  
      hasimpplus]

Print["Horizontalna  asimptota u -∞ je  y=", 
      hasimpminus]

crticehor = {Line[{{-4, hasimpminus}, {10, 
                hasimpplus}}]};

Stacionarne točke

Prva derivacija funkcije f

fd1[x_] = (∂_x) Log[(E + x)^(1/x)]

FullSimplify[%]

Druga derivacija funkcije f

fd2[x_] = (∂_x) fd1[x]

Teeća derivacija

fd3[x_] = (∂_x) 
        fd2[x]

FullSimplify[%]

Stacionarne točke

Clear[tstacionarne];
tstacionarne = 
FindRoot[
          fd1[x] == 0, {x, -E + 0.01, -E + 0.01, 3}][[1, 
          2]]

Clear[ispitstac];
ispitstac =  domena /.  x -> tstacionarne

If[ispitstac == True, 
      Print["Stacionarne točke su :",  
        tstacionarne, "! To su moguće točke ekstrema! "], 
      Print["Nema stacionarnih točaka!  Ne tra\:017eimo ekstreme \
!"]]

Točke infleksije

Clear[tinfleksije];
tinfleksije = FindRoot[fd2[x] == 0, {x, -E + 0.5}][[1, 
          2]]

Clear[ispitinfdomena, ispitinf];
ispitinfdomena =  
        domena /.  x -> tinfleksije;
ispitinf =  (fd3[tinfleksije] > 0  || 
            fd3[tinfleksije] < 0 );

If[ispitinfdomena == True  &&  ispitinf == True, 
      Print["Točka infleksije je :",  tinfleksije], 
      Print["Nema točaka infleksije!"]]

tockeinfcrta = {Point[{tinfleksije, 0}]};

Graf

kriv = 
        Plot[f[x], {x, -E, 10}, AspectRatio -> 1.5];

\(\(\(Show[kriv, 
        Graphics[{{AbsolutePointSize[10], Hue[0.7], 
              tockenulcrta}, {AbsolutePointSize[10], Hue[0.5], 
              tockeprekidacrta}, {AbsolutePointSize[10], Hue[0.2], 
              tockeinfcrta}, {Dashing[{ .02,  .02}], Hue[0.7], 
              crticevert}, {Dashing[{ .02,  .02}], Hue[0.1], crticehor}}], 
        Axes -> False, AspectRatio -> 1.5, 
        Background -> GrayLevel[0.7], 
        ImageSize -> {500, 
            500}, 
DisplayFunction -> $DisplayFunction, Frame -> True, \ 
        PlotLabel -> "graf funkcije"];\)\(
\)\(
\)
    \)\)