Rubni problemi

Imamo tri tipa jednadžbi

$-\Delta\,u = h\hspace{2.4cm}$ - ravnotežno stanje,

$$\rho\,\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = p\,\Delta\,u + f\hspace{1cm}$$ - valna jednadžba,

$$\gamma\,\frac{\partial u}{\partial t} = p\,\Delta\, u + f\hspace{1.2cm}$$ - jednadžba provođenja.

Rubni uvjeti mogu biti zadani tako da je na rubu $\partial\Omega$ zadano kinematičko polje $u,$ tj. da je zadana funkcija $u\vert _{\partial\Omega},$ ili da je zadano dinamičko polje $\psi,$ tj. da je zadana funkcija $\psi\vert _{\partial\Omega}.$ Iz zakona ponašanja se vidi da zadati $\psi$ na rubu znači zapravo zadati funkciju $\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\vert _{\partial\Omega}.$ Napetost na rubu je osnovna pretpostavka i ona ne ulazi u rubne uvjete.

Kažemo da je zadan homogeni Dirichletov uvjet, ako je

$$u\vert _{\partial\Omega} = 0.$$

Taj uvjet znači u slučaju

(a)

oscilacija membrane, da je rub učvršćen u ravnini membrane,

(b)

provođenja topline, da se rub održava stalno na temperaturi $0.$

Kažemo da je zadan homogeni Neumannov uvjet, ako je

$$\left.\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\right\vert _{\partial\Omega} = 0.$$

Taj uvjet znači u slučaju

(a)

oscilacija membrane, da ne ulazi (izlazi) nikakva količina gibanja kroz rub; dakle rub nije izvana prisiljen ponašati se na određen način, već se on ponaša onako kako mu diktira sama membrana. Prema tome kažemo da je rub slobodan,

(b)

provođenja topline, da kroz rub ne ulazi (izlazi) nikakva toplina u tijelo; dakle rub je toplinski izoliran.

Ako proces nije stacionaran, onda je potrebno odrediti još i početne uvjete. U slučaju valne jednadžbe treba zadati

$$u\vert _{t=0},$$   i$$\hspace{1cm}\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right\vert _{t=0},$$

dok je u slučaju jednadžbe provođenja dovoljno zadati samo

$$u\vert _{t=0}.$$

Kao kod jednodimenzionalnih problema, koristeći svojstvo linearnosti možemo homogenizirati rubne uvjete.