Množenje matrica.

Matrica $A=[a_{ij}]$ tipa $(m,n)$ i matrica $B=[b_{lk}]$ tipa $(p,q)$ se mogu pomnožiti tim redom samo ako je $p=n,$ tj. ako je broj stupaca prve matrice jednak broju redaka druge matrice. U tom slučaju možemo indeks $l$ zamijeniti s $j,$ pa je

$$A=[a_{ij}],\hspace{1cm}B=[b_{jk}],$$

Produkt $AB$ je matrica tipa $(m,q)$

$$A\,B=\left[c_{ik}\right]= \left[\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,b_{jk}\right].$$

Množenje matrica ima ova svojstva.

1. $(A\,B)\,C=A\,(B\,C),\hspace{1cm} \forall A, B, C.$
2. $(A+B)\,C=A\,C+B\,C,\hspace{1cm} \forall A, B, C.$
3. $A\,(B+C)=A\,B+A\,C,\hspace{1cm} \forall A, B, C.$
4. Postoji kvadratna matrica odgovarajućeg reda $I,$ takva da je $I\,A=A,\;\;\forall A,$ i također kvadratna matrica odgovarajućeg reda $I,$ takva da je $A\,I=A,\;\; \forall A.$

Matrica $I$ se zove jedinična matrica. Njezini elementi su $a_{ii}=1,$ za svaki $i,$ te $a_{ij}=0,$ za $i\neq j.$ Pomoću Kroneckerovog simbola

$$\delta_{ij}= \begin{cases}1, & \text{ako je } i=j \\ 0, & \text{ako je $i\neq j$} \end{cases}$$ (1.1)

možemo kratko zapisati jediničnu matricu kao

$$I=[\delta_{ij}].$$

Produkt nije komutativan, tj. ne vrijedi općenito $A\,B=B\,A.$ Naime, kod produkta $A\,B$ je nužno da broj stupaca matrice $A$ bude jednak broju redaka matrice $B,$ dok je u produktu $B\,A$ nužno da broj redaka matrice $A$ bude jednak broju stupaca matrice $B.$ Tako se može dogoditi da jedan produkt postoji, a drugi ne.