Metoda Runge-Kutta

U metodi Runge-Kutta se također računa $y_{i+1}$ pomoću već poznate vrijednosti $y_i.$ Taj račun je točniji, jer uzima u obzir i neke međuvrijednosti funkcije $f.$ Imamo sljedeći algoritam

Algoritam 10   (Metoda Runge-Kutta) Izaberemo dovoljno velik prirodni broj $n.$ Za zadani korak

$$h = \frac{b-a}{n}$$

računamo niz brojeva $(y_n)$ po formuli

$$y_{i+1} = y_{i} + \frac{1}{6}\,\left(k_1 + 2\,k_2 + 2\,k_3 + k_4\right),\qquad i=0,1,2,\ldots,n-1,$$
gdje je

$$k_1 = h\,f(x_i,y_i)$$

$$k_2 = h\,f\left(x_i + {{\frac{h}{2}}},y_i + {\frac{k_1}{2}}\right)$$

$$k_3 = h\,f\left(x_i + {{\frac{h}{2}}},y_i + {\frac{k_2}{2}}\right)$$

$$k_4 = h\,f(x_i + h,y_i + k_3).$$

Početna vrijednost $y_0$ je određena početnim uvjetom.

Radi bolje preglednosti prilikom računanja se može koristiti sljedeća tabela.

$i$	$x_i$	$y_i$	$h\,f$
0	$x_0=a$	$y_0$	$k_1$	$k_1$
	$x_0+\frac{h}{2}$	$y_0+\frac{k_1}{2}$	$k_2$	$2\,k_2$
	$x_0+\frac{h}{2}$	$y_0+\frac{k_2}{2}$	$k_3$	$2\,k_3$
	$x_0+h$	$y_0+k_3$	$k_4$	$k_4$
				$\frac{1}{6}\,\sum\approx{}y_1-y_0$
$1$	$x_1$	$y_1$	$k_1$	$k_1$
	$x_1+\frac{h}{2}$	$y_1+\frac{k_1}{2}$	$k_2$	$2\,k_2$
	$x_1+\frac{h}{2}$	$y_1+\frac{k_2}{2}$	$k_3$	$2\,k_3$
	$x_1+h$	$y_1+k_3$	$k_4$	$k_4$
				$\frac{1}{6}\,\sum\approx{}y_2-y_1$
$2$	$x_2$	$y_2$	$k_1$	$k_1$
	...	...	...	...

Mathematica program 7   (Metoda Runge-Kutta)

 
f[x_,y_]=;      (* zadavanje f(x,y), ako je y'=f(x,y) *) 
x=;y=;          (* po\1etni uvjet *) 
h=;             (* korak *) 
rj={{x,y}}; 
br=0;           (* po\1etna vrijednost broja\1a *) 
n=;             (* broj koraka *) 
While[br<n, 
k1=h f[x,y]; 
k2=h f[x+h/2,y+k1/2]; 
k3=h f[x+h/2,y+k2/2]; 
k4=h f[x+h,y+k3]; 
br=br+1; 
x=x+h; 
y=y+(k1+2 k2+2 k3+k4)/6; 
rj=Append[rj,{x,y}]]; 
N[rj,10]        (* ispis rezultata s deset znamenaka *)

Primjer 3.18   Riješiti isti zadatak kao u primjeru 3.17 metodom Runge-Kutta.

Rješenje. Primijenimo li gornji program, koji slijedi algoritam metode Runge-Kutta, dobivamo sljedeće točke grafa rješenja.

$x_i$	$y_i$	$e^{x_i}$
0	$1.$	$1.$
$0.1$	$1.105170833$	$1.105170918$
$0.2$	$1.221402571$	$1.221402758$
$0.3$	$1.349858497$	$1.349858808$
$0.4$	$1.49182424$	$1.491824698$
$0.5$	$1.648720639$	$1.648721271$
$0.6$	$1.822117962$	$1.8221188$
$0.7$	$2.013751627$	$2.013752707$
$0.8$	$2.225539563$	$2.225540928$
$0.9$	$2.459601414$	$2.459603111$
$1.$	$2.718279744$	$2.718281828$

Odmah možemo uočiti mnogo bolju točnost nego kod metode Eulera.

Postoji cijela familija metoda zasnovanih na ideji da se podsegment podijeli na još manje dijelove kako bi se izračunala vrijednost u sljedećem čvoru. Sve one nose naziv Runge-Kutta metode. Opisani postupak se najčešće upotrebljava.