next up previous contents index
Next: Jednadžba provođenja Up: Metoda konačnih diferencija Previous: Metoda konačnih diferencija   Sadržaj   Indeks


Jednadžba ravnoteže

Neka je dan rubni problem

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 41203
\begin{cases}
\Delta\,u(x,y) =...
... u(x,y) = g(x,y),& \text{na $\partial{}\Omega{},$}
\end{cases} \end{displaymath}

gdje je $ f$ neprekidna funkcija na $ {\Omega{}},$ a $ g$ neprekidna na rubu $ \partial{}\Omega{}.$

Područje $ \Omega{}$ prekrijemo mrežom koju dobijemo tako da segmente na osi $ x$ i osi $ y$ podijelimo ekvidistantno na podsegmenate. Tako imamo

$\displaystyle h = \frac{b-a}{n},\hspace{1cm}k = \frac{d-c}{m}.$

Broj $ h$ se zove korak mreže po $ x$ osi, a $ k$ korak mreže po $ y$ osi. Tako imamo točke podjele

$\displaystyle x_i = a + i\,h,\quad i=0,1,2,\ldots{},n\hspace{1cm}y_j = c + j\,k,\quad
j=0,1,2,\ldots{},m$

na osima. Točku s koordinatama

$\displaystyle (x_i,y_j) = (a + i\,h,c + j\,k)$

zovemo $ ij$-tim čvorom mreže. Čvor zovemo unutrašnjim, ako je $ 1\leqslant{}i\leqslant{}n-1$ i $ 1\leqslant{}j\leqslant{}m-1.$ U protivnom kažemo da je čvor rubni. Stavimo

$\displaystyle u(x_i,y_j) = u_{i\,j},\hspace{1cm}f(x_i,y_j) = f_{i\,j}.$

Kao i u slučaju običnih derivacija, aproksimacije parcijalnih derivacija možemo dobiti pomoću Taylorove formule za funkcije od dvije varijable. Tako imamo

% latex2html id marker 41241
$\displaystyle \frac{\partial{}^2u(x_i,y_j)}{\parti...
..._j)}{\partial{}y^2} \approx{}
\frac{u_{i\,j-1} -2\,u_{i\,j} +u_{i\,j+1}}{k^2}.$

Neka je $ ij$ unutrašnji čvor. Tada diferencijalnu jednadžbu u tom čvoru možemo zamijeniti algebarskom jednadžbom

$\displaystyle \frac{u_{i-1\,j} -2\,u_{i\,j} +u_{i+1\,j}}{h^2} + \frac{u_{i\,j-1}
-2\,u_{i\,j} +u_{i\,j+1}}{k^2} = f_{i\,j}.$

\includegraphics{m3mkd2dim.eps}
Ako je čvor $ ij$ rubni, onda imamo

$\displaystyle u_{i\,j} = g_{i\,j}.$

Time smo dobili onoliko linearnih algebarskih jednadžbi koliko imamo nepoznanica $ u_{i\,j}.$ Rješavati treba samo sustav jednadžbi unutrašnjih čvorova. Pretpostavimo, radi jednostavnosti, da su $ a,b,c,d,n,m$ takvi da je $ h=k.$ Tada, nakon množenja s $ h^2,$ jednadžba $ ij$-tog čvora postaje

$\displaystyle u_{i\,j-1}+u_{i-1\,j} -4\,u_{i\,j} +u_{i+1\,j} + u_{i\,j+1} =
h^2\,f_{i\,j}.$

Vidimo da u svakom retku matrice ima najviše pet elemenata različitih od nule. Na sljedećoj slici su istaknuti oni čvorovi, čije vrijednosti funkcije $ u$ dolaze u jednadžbi, i upisani su koeficijenti kojima ih treba množiti.
\includegraphics{m3mkdravn.eps}
Jednadžbe trebamo na neki način poredati. To možemo učiniti tako da poredamo čvorove. Njih možemo poredati na različite načine. Jedan od njih je poredak kao na slici
% latex2html id marker 26699
\includegraphics{m3mkd2dimporedak.eps}
Dakle

$\displaystyle 1\,1,\quad 2\,1,\quad 1\,2,\quad 3\,1,\quad 2\,2,\quad
1\,3,\quad4\,1,\quad3\,2,\quad2\,3,\quad1\,4,\quad\ldots{}\ .$

Stavimo

% latex2html id marker 41270
$\displaystyle u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} =...
...= u_{1\,2},\quad
u_{\text{\footnotesize\ding{195}}} = u_{3\,1},\quad \ldots\ .$

Na taj način dobivamo sljedeći sustav linearnih algebarskih jednadžbi

% latex2html id marker 41271
$\displaystyle -4\,u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{193}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{194}}}$ $\displaystyle = h^2\,f_{1\,1} - g_{1\,0} - g_{0\,1}$    
% latex2html id marker 41273
$\displaystyle u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} -...
...93}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{195}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{196}}}$ $\displaystyle = h^2\,f_{2\,1} - g_{2\,0}$    
% latex2html id marker 41275
$\displaystyle u_{\text{\footnotesize\ding{192}}} -...
...94}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{196}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{197}}}$ $\displaystyle = h^2\,f_{1\,2} - g_{0\,2}$    
% latex2html id marker 41277
$\displaystyle u_{\text{\footnotesize\ding{193}}} -...
...95}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{198}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{199}}}$ $\displaystyle = h^2\,f_{3\,1} - g_{3\,0}$    
% latex2html id marker 41279
$\displaystyle u_{\text{\footnotesize\ding{193}}} +...
...96}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{199}}} + u_{\text{\footnotesize\ding{200}}}$ $\displaystyle = h^2\,f_{2\,2}$    
$\displaystyle \ldots$      

Prilikom izbora poretka treba paziti na to da matrica dobivenog sustava jednadžbi bude što uža.


next up previous contents index
Next: Jednadžba provođenja Up: Metoda konačnih diferencija Previous: Metoda konačnih diferencija   Sadržaj   Indeks
2001-10-26