next up previous contents index
Next: Ortogonalne matrice drugog reda Up: Ortogonalne matrice Previous: Ortogonalne matrice   Sadržaj   Indeks


Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori ortogonalnih matrica

Neka je $ \lambda$ vlastita vrijednost, a $ \boldsymbol{x}$ pripadni vlastiti vektor ortogonalne matrice $ Q.$ Tada je

$\displaystyle Q\,\boldsymbol{x}=\lambda\,\boldsymbol{x}.$

Konjugirajmo ovu jednakost

$\displaystyle Q\,\bar{\boldsymbol{x}}=\bar{\lambda}\,\bar{\boldsymbol{x}}.$

Zbog svojstva ortogonalnih matrica,

$\displaystyle Q\,\boldsymbol{x}\cdot Q\,\bar{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$

$\displaystyle \lambda\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\lambda}\,\bar{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$

$\displaystyle \vert\lambda\vert^2\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}},$

$\displaystyle \left(\vert\lambda\vert^2-1\right)\,\boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}=0.$

Budući da je

$\displaystyle \boldsymbol{x}\cdot\bar{\boldsymbol{x}}\neq 0,$

slijedi $ \vert\lambda\vert^2=1,$ tj. kompleksan broj $ \lambda$ se nalazi na jediničnoj kružnici u Gaussovoj ravnini. Specijalno, ako je $ \lambda$ realan broj, onda je $ \lambda=1$ ili $ \lambda=-1.$

Pogledajmo sada što se može reći o ortogonalnim matricama drugog i trećeg reda i o preslikavanjima koja one predstavljaju.



2001-10-26