Ravnoteža žice.

Ako vanjsko djelovanje ne ovisi o vremenu, ili ako se ono mijenja s vremenom tako sporo da žica poprimi konačni položaj prije nego se djelovanje izmijeni, onda je ustvari

$$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} = 0,$$

tj. $u$ ne ovisi o vremenu, i žica zauzima ravnotežni položaj. Jednadžba ravnoteže žice je

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' + f_y(x) = 0.$$

Ako se žica nalazi u nekom sredstvu, onda je jednadžba ravnoteže

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' - q(x)\,u(x) + f_y(x) = 0.$$

Jednadžbe ravnoteže su obične linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda, pa imaju beskonačno mnogo rješenja koja ovise o dvije proizvoljno odabrane konstante. O uvjetima koje treba zadati da bismo dobili rješenje u skladu s konkretnim problemom govorit ćemo kasnije.

Primjer 2.3   Naći jednadžbu ravnotežnog položaja homogene teške žice, gustoće mase $\rho,$ napete silom od $p=20\,N$ u polju sile teže, koja djeluje okomito na žicu.

Rješenje. Jednadžba ravnoteže žice je

$$\left(p(x)\,u'(x)\right)' + f_y(x) = 0.$$

Pri tom je $f_y(x)=f(x)=-\rho\,g,$ a $p(x)=20.$ Prema tome jednadžba je

$$u''(x) = \frac{\rho\,g}{20}.$$

Sada ćemo bez izvoda dati matematičke modele za još neke jednodimenzionalne fizikalne pojave.