Next: Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi Up: Matrice i sustavi jednadžbi Previous: Matrice i sustavi jednadžbi Contents Index
Subsections

- Matrice
  - Operacije s matricama
    - Zbrajanje matrica.
    - Množenje matrice brojem.
    - Množenje matrica.
    - Transponiranje.
    - Linearna nezavisnost.
- Kvadratne matrice
  - Determinanta
    - Svojstva determinanti.
  - Inverzna matrica
    - Svojstva skupa regularnih matrica.
- Vektori
  - Skalarni produkt.
  - Produkt matrice i vektora.
- Baza

# Vektori i matrice

## Matrice

Definicija 1 Shemu brojeva

zovemo pravokutnom matricom tipa (m,n) ili jednostavno matricom tipa (m,n).

Ako je onda kažemo da je kvadratna matrica reda .

Elementi čine i-ti redak čine j-ti stupac; dakle je element matrice, koji se nalazi u -tom retku i -tom stupcu.

S označavamo skup svih matrica tipa Ako je onda se piše umjesto

Matricu ćemo kraće zapisivati ovako

###
Operacije s matricama

Za dvije matrice

kažemo da su jednake ako je

#### Zbrajanje matrica.

Zbrajati možemo samo matrice istog tipa. Neka su

Zbroj je matrica tipa

#### Množenje matrice brojem.

Umnožak matrice i broja je matrica istog tipa kao i

Zbog svojstava zbrajanja i množenja brojeva, operacije zbrajanja matrica i množenja matrice brojem očito imaju sljedeća svojstva.

1.
2.
3.
  Postoji takav da je
  (To je matrica tj. za svaki ),
4.
  postoji takav da je
  (To je matrica ),
5.
6.
7.
8.

S obzirom na to da su u skupu dane dvije operacije, zbrajanje i množenje brojem, i da te operacije imaju navedenih osam svojstva, skup zovemo vektorskim prostorom.

#### Množenje matrica.

Matrica tipa i matrica tipa se mogu pomnožiti tim redom samo ako je tj. ako je broj stupaca prve matrice jednak broju redaka druge matrice. U tom slučaju možemo indeks zamijeniti s pa je

Produkt je matrica tipa

Množenje matrica ima ova svojstva.

1.
2.
3.
4.
  Postoji kvadratna matrica odgovarajućeg reda takva da je i također kvadratna matrica odgovarajućeg reda takva da je

Matrica se zove jedinična matrica. Njezini elementi su za svaki te za Pomoću Kroneckerovog simbola

| (1.1)

možemo kratko zapisati jediničnu matricu kao

Produkt nije komutativan, tj. ne vrijedi općenito Naime, kod produkta je nužno da broj stupaca matrice bude jednak broju redaka matrice dok je u produktu nužno da broj redaka matrice bude jednak broju stupaca matrice Tako se može dogoditi da jedan produkt postoji, a drugi ne.

#### Transponiranje.

Neka je dana matrica tipa

Matrica, koja se iz dobije kad reci postanu stupci, označava se sa ona je tipa i zove se transponirana matrica matrice Dakle,

Transponiranje se prema operacijama s matricama odnosi kako slijedi.

1.
2.
3.
4.

#### Linearna nezavisnost.

Operacije, koje su dane u omogućavaju da pravimo linearne kombinacije matrica. Neka su dane matrice istog tipa, i brojevi Linearnom kombinacijom matrica zovemo matricu

| (1.2)

Brojeve zovemo koeficijentima linearne kombinacije (1.2).

Definicija 2 Za matrice kažemo da su linearno nezavisne, ako

U protivnom kažemo da su linearno zavisne.

## Kvadratne matrice

Definicija 3 U kvadratnoj matrici reda elementi čine glavnu dijagonalu. Zbroj elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice zovemo trag matrice i pišemo Dakle,

Kvadratne matrice imaju redaka koliko i stupaca, pa se mogu množiti u bilo kojem poretku, no i u tom slučaju produkt nije komutativan kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 1.1 Neka su dane matrice

dakle

Definicija 4 Neka je kvadratna matrica. Matrica se zove

-
  dijagonalna matrica, ako je tj. ako su joj elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli,
-
  skalarna matrica, ako je tj. ako je dijagonalna i ako su joj elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki,
-
  gornja trokutasta, ako su joj elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli,
-
  donja trokutasta, ako su joj elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli.

Skalarna matrica je dijagonalna, dok obrat naravno ne vrijedi. Nulmatrica i jedinična matrica su skalarne matrice. Dapače, svaka skalarna matrica ima oblik

Budući da je za svaku kvadratnu matricu bilo koja skalarna matrica komutira sa svakom matricom

Definicija 5 Neka je kvadratna matrica. Matrica se zove

-
  simetrična matrica, ako je
-
  antisimetrična matrica, ako je
-
  ortogonalna matrica, ako je

Elementi na glavnoj dijagonali antisimetrične matrice su nule. Svaka kvadratna matrica se može na jedinstven način razložiti na zbroj simetrične i antisimetrične marice:

Da je simetrična, a antisimetrična matrica, lako se vidi upotrebom gornjih svojstava.1.1.1

###
Determinanta

Definicija 6 Neka je dana kvadratna matrica reda Determinantom matrice zovemo broj

gdje je determinanta one matrice -og reda koja se dobije kad se u matrici prekriže -ti redak i -ti stupac, pomnožena s tj.
Broj se zove algebarski komplement matričnog elementa Determinantu matrice reda ćemo kraće zvati determinantom -tog reda.

Ova definicija svodi računanje determinanti -tog reda na računanje determinanti -og reda, ovih opet po istoj formuli na računanje determinanti -og reda, itd. Tako dolazimo na kraju do determinanti trećeg ili drugog reda koje znamo izračunati

Računanje determinante po ovoj formuli je nepraktično, jer se s povećanjem reda jako povećava broj determinanti drugog ili trećeg reda koje treba izračunati. Zato ćemo navesti neka svojstva determinanti koja mogu bitno pojednostavniti njihovo računanje.

#### Svojstva determinanti.

1.
  Ako su svi elementi nekog retka ili stupca nule, onda je determinanta jednaka nuli.
2.
  Ako su ispod ili iznad glavne dijagonale nule, onda je determinanta jednaka produktu brojeva na glavnoj dijagonali.
3.
  Ako dva stupca ili dva retka zamijene mjesta, onda determinanta mijenja znak.
4.
  Ako su dva stupca ili dva retka jednaka, onda je determinanta jednaka nuli.
5.
  Ako nekom stupcu ili retku dodamo linearnu kombinaciju preostalih stupaca ili redaka, onda se determinanta ne mijenja.
6.
  Determinanta se množi brojem tako da se neki redak ili stupac pomnoži tim brojem.
7.
  (Binet-Cauchyjev teorem) Determinanta produkta dvije matrice jednaka je produktu determinanti, tj.

8.
  Ako je neki stupac ili redak linearna kombinacija preostalih stupaca ili redaka, onda je determinanta jednaka nuli.
9.

Primjer 1.2 Riješite jednadžbu

Rješenje. Da se vidi o kojoj algebarskoj jednadžbi se radi, treba izračunati determinantu. Umjesto računanja determinante po definiciji, jednostavnije je koristiti svojstva determinante. Množenjem prvog retka s i dodavanjem drugom, trećem i četvrtom retku, dobivamo

Da izbjegnemo minuse pomnožimo drugi, treći i četvrti redak s Time se promijeni predznak determinante, ali kako se radi o jednadžbi u kojoj je na desnoj strani to nema utjecaja na rezultat. Zatim nastavimo slično s drugim, trećim i četvrtim retkom sa svrhom da ispod glavne dijagonale dobijemo nule, kao bismo je po svojstvu 2 lako izračunali . Na kraju dobivamo

Prema tome jednadžba je

i rješenje je

### Inverzna matrica

Definicija 7 Neka je dana matrica Matrica sa svojstvom

se zove inverzna matrica matrice i piše se Kvadratna matrica, koja ima inverznu, se zove regularna. Kvadratna matrica, koja nema inverznu, se zove singularna.

Teorem 1 Inverzna matrica, ukoliko postoji, jedinstvena je.

Dokaz. Neka je Pretpostavimo da su i njoj inverzne matrice. Tada je

Pomnožimo ovu jednakost s desne strane s Dobivamo

Dakle,

####
Svojstva skupa regularnih matrica.

1.
  Produkt regularnih matrica je regularna matrica i vrijedi
2.
  Jedinična matrica je regularna, i
3.
  za svaki
4.
5.
6.
  Ako je regularna matrica, onda je

Nulmatrica množena s bilo kojom matricom daje nulmatricu, pa tako ne postoji njezin inverz. Dakle, nulmatrica je singularna. No to nije jedina singularna matrica kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 1.3 Matrica

nema inverznu.

Rješenje. Iz primjera 1.1 se vidi da je

Pretpostavimo da postoji inverz matrice Tada je

tj.

što je u kontradikciji s definicijom jednakosti matrica.

Može se dokazati da vrijedi

za svaki No, ako algebarske komplemente elemenata jednog retka množimo s elementima drugog retka i zbrojimo, dobivamo nulu

za

To slijedi odatle što je lijeva strana jednaka determinanti u kojoj je umjesto -tog retka napisan -ti. Tako u determinanti imamo dva retka jednaka, pa je ona jednaka nuli. Dakle za svaki vrijedi

Na lijevoj strani ove jednakosti se nalazi -ti element produkta matrice i matrice Vidimo da je

tj.

Odgovarajuće formule vrijede ako se uzmu stupci matrice umjesto redaka, pa se može slično dobiti formula

Odavde je jasno da je

Matrica se zove adjunkta matrice

Na temelju ove diskusije može se zaključiti da vrijedi i obrat 6. svojstva skupa regularnih matrica 1.1.2. Tako vrijedi

6'. Matrica je regularna ako i samo ako je

## Vektori

Definicija 8 -torku realnih brojeva

zovemo vektorstupcem, a

vektorretkom. Uglavnom ćemo raditi s vektorstupcima, pa ćemo njih jednostavno zvati vektorima. Kraće ćemo ih zapisivati

Skup svih vektorstupaca ćemo označavati s a svih vektorredaka s

Kako je vektor u zadan s dva realna broja, od kojih se zna koji je prvi, a koji drugi, možemo identificirati s uređenim parom realnih brojeva, dakle točkom u ravnini, a prema tome i s radijvektorom u ravnini.

Figure 1.1: Vektorstupac u kao vektor u ravnini

Vektor u je zadan s tri realna broja, od kojih se zna koji je prvi, koji je drugi, a koji je treći. Tako možemo identificirati s uređenom trojkom realnih brojeva, dakle točkom u prostoru, a prema tome i s radijvektorom u prostoru.

Figure 1.2: Vektorstupac u kao vektor u prostoru

Kao što smo vidjeli je vektorski prostor. Tako su i i vektorski prostori.

Budući da su vektori ustvari jednostupčaste matrice, znamo ih zbrajati i množiti brojem. Također znamo što je vektor 0 i taj vektor zovemo nulvektorom.

Operacije, koje su dane u omogućavaju da pravimo linearne kombinacije vektora. Neka su dani vektori istog tipa, i brojevi Linearnom kombinacijom vektora zovemo vektor

| (1.3)

Brojeve zovemo koeficijentima linearne kombinacije (1.3).

Definicija 9 Za vektore kažemo da su linearno nezavisni, ako

0

U protivnom kažemo da su linearno zavisni.

Primjer 1.4 Neka su dana tri vektora

Tada je

Kako su koeficijenti u linearnoj kombinaciji različiti od ti vektori su linearno zavisni.

Na slici 1.3 su vektori u ravnini reprezentirani radijvektorima, i pokazano je kako linearna kombinacija iščezava.

Figure 1.3: Linearna zavisnost vektora

Pokušajte se uvjeriti crtežom da linearna kombinacija dva od njih, na pr. daje samo u slučaju da su koeficijenti linearne kombinacije jednaki

Primjer 1.5 Ispitati linearnu nezavisnost sljedećih vektora u odnosu na parametre i

Rješenje. Jednakost

vodi na sustav jednadžbi

|  | 0 |
|  | 0 |
|  | 0 |

Slijedi Ostaju tri jednadžbe s tri nepoznanice. Eliminiramo nepoznanicu Ostaju dvije jednadžbe s nepoznanicama i

|  | 0 |

Odatle dobivamo jednu jednadžbu

Ako je onda je i zatim i kad se s tim vratimo u početni sustav dobivamo i Dakle, za

vektori su linearno nezavisni.

U protivnom, ako je

onda može biti proizvoljan broj, prema tome i različit od Tako su, u tom slučaju, vektori linearno zavisni.

####
Skalarni produkt.

U možemo definirati skalarni produkt na sljedeći način.

Definicija 10 Neka su i proizvoljni vektori u Skalarni produkt vektora i je broj (skalar)

Vektore možemo shvatiti kao jednostupčaste matrice. U tom slučaju se skalarni produkt može zapisati kao

Skalarni produkt ima sljedeća svojstva.

1.
2.
3.
4.
5.
  ako i samo ako je

U vektorskom prostoru radijvektora (usmjerenih dužina) smo pomoću skalarnog produkta računali duljine vektora, kuteve između njih, i prema tome rješavali određene geometrijske probleme. Koristeći skalarni produkt to možemo sada i u Tako kažemo da je duljina vektora

a kut između vektora i se računa iz formule

Pomoću skalarnog produkta vektora možemo kraće zapisati umnožak dvije matrice. Označimo s -ti redak matrice a s -ti stupac matrice Iz uvjeta za postojanje produkta matrica slijedi da ti vektori imaju jednak broj elemenata, tj. oni pripadaju istom vektorskom prostoru, pa se mogu skalarno množiti. Prema definiciji umnoška matrica možemo pisati

####
Produkt matrice i vektora.

Neka je matrica tipa i proizvoljan vektor. Vektor možemo shvatiti kao jednostupčastu matricu, te možemo pomnožiti i Dobivamo

ili raspisano

Dakle je vektor u Tako množenje matricom tipa možemo shvatiti kao funkciju koja preslikava vektore iz u vektore iz

Primjer 1.6 Na pr. matrica

djeluje kao preslikavanje iz u Na slici 1.4 su prikazani vektorstupci

kad radijvektori. Slika 1.5 predstavlja njihove slike nakon djelovanja matrice (nakon množenja s matricom).

Figure 1.4: Vektori u

Figure 1.5: Slike vektora iz

To preslikavanje je linearno, jer vrijedi

za bilo koje brojeve i bilo koje vektore

Definicija 11 Neka su i dva vektorska prostora, i neka je funkcija sa svojstvom

za svaki par vektora i za svaki par brojeva Takvu funkciju zovemo linearnim operatorom.

U skladu s ovom definicijom, matricu tipa možemo smatrati linearnim operatorom s prostora u prostor

Slike 1.6 i 1.7 pokazuju kako djeluje matrica

kao preslikavanje iz u kad vektorstupce

identificiramo s radijvektorima.

Figure 1.6: Vektori u

Figure 1.7: Slike vektora iz

##
Baza

Definicija 12 Neka je vektorski prostor. Bazom u vektorskom prostoru zovemo uređenu -torku vektora ako su ti vektori

1.
  linearno nezavisni,
2.
  razapinju vektorski prostor , tj. ako se svaki vektor iz može napisati kao linearna kombinacija vektora

Vidjeli smo da se vektorstupci u i mogu identificirati s radijvektorima, i prema tome crtati u ravnini i prostoru. U ravnini, preciznije u vektorskom prostoru radijvektora u ravnini, bilo koja dva nekolinearna vektora čine bazu. Na slici 1.8 se vidi kao se vektor može prikazati kao linearna kombinacija dva nekolinearna vektora

Figure 1.8: Baza u

Također, u vektorskom prostoru radijvektora u prostoru bilo koja tri nekomplanarna vektora čine bazu. Na slici 1.9 se vidi kao se vektor može prikazati kao linearna kombinacija tri nekomplanarna vektora

Figure 1.9: Baza u

Primjer 1.7 Neka su zadani vektori u

Ovi vektori čine bazu u i ta baza se zove kanonska baza u

Rješenje. Zaista,

i također

povlači Prema tome ovi vektori razapinju i linearno su nezavisni.

Primjer 1.8 Neka su zadane matrice u

One čine bazu u i ta baza se zove kanonska baza u

Rješenje. Zaista,

i također

povlači Prema tome ovi vektori razapinju i linearno su nezavisni.

Teorem 2 Svaki vektor se na jedinstven način prikazuje kao linearna kombinacija vektora baze.

Dokaz. Neka je vektorski prostor, neka je baza u i neka je proizvoljan. Zbog drugog svojstva baze imamo

Pretpostavimo da je također

Tada je

Zbog linearne nezavisnosti baze, slijedi

Dakle, nije moguće da ima dva različita prikaza u u odnosu na izabranu bazu.

Teorem 3 [1, str. 141] Neka je u vektorskom prostoru dano međusobno različitih vektora i neka se svaki od njih može napisati kao linearna kombinacija od vektora Tada su vektori linearno zavisni.

Dokaz. Teorem ćemo dokazati matematičkom indukcijom. Za tvrdnja vrijedi, jer iz i slijedi

odakle

pa su vektori linearno zavisni. Ako je onda se ne može dijeliti s no u tom slučaju je pa su vektori linearno zavisni jer vrijedi

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj Dokažimo da tvrdnja vrijedi i za Po pretpostavci imamo

Kad bi svaki koeficijent uz bio jednak nuli, onda bismo imali situaciju da su vektori linearne kombinacije od vektora, pa bi po pretpostavci indukcije bili linearno zavisni. Stoga možemo pretpostaviti da je na primjer Pomnožimo prvu jednadžbu s i dodajmo je drugoj. Time vektor iščezne iz druge jednadžbe. Zatim, pomnožimo prvu jednadžbu s i dodajmo je trećoj. Time vektor iščezne iz treće jednadžbe, itd. Nakon tog postupka druga, treća i ostale jednadžbe izgledaju ovako

Po pretpostavci indukcije slijedi da su vektori linearno zavisni. Pri tom je

To znači da postoje brojevi od kojih je barem jedan različit od nule, takvi da je

odnosno vrijedi

za barem jedan različit od nule, pa su prema tome vektori linearno zavisni. Kako su time ispunjene pretpostavke aksioma matematičke indukcije, tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj

Posljedice.

1.
  Svaka četiri vektora u su linearno zavisna.
2.
  Ako su vektori iz linearno nezavisni, onda je
3.
  Ako je svaki vektor iz linearna kombinacija vektora onda su vektori linearno nezavisni, i prema tome čine bazu.
4.
  Svaka baza u vektorskom prostoru ima jednaki broj elemenata. (Broj vektora u bazi se zove dimenzija prostora i označava s )
5.

Next: Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi Up: Matrice i sustavi jednadžbi Previous: Matrice i sustavi jednadžbi Contents Index