Next: Rubni problemi Up: Matrice i sustavi jednadžbi Previous: Problem vlastitih ... Contents Index
Subsections

- Uvod
- Sustav običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda
- Sustavi s konstantnim koeficijentima
- Metode rješavanja
  - Svođenje na jednu jednadžbu višeg reda
  - Eulerova metoda
  - Dijagonalizacija matrice sustava

# Sustavi običnih diferencijalnih jednadžbi

## Uvod

Primjer 1.26 Neka su dvije mase spojene oprugama za fiksnu točku kao na slici 1.27.

Figure 1.27: Sustav od dva harmonijska oscilatora: a) ravnotežni položaj, b) u nekom trenutku

Ako zanemarimo otpor sredstva i težinu, onda za male oscilacije (u okviru kojih vrijedi Hookeov zakon) imamo

Brojevi i su pozitivni i oni karakteriziraju opruge. Oscilacije ovog sistema će biti potpuno zadane ako definiramo u čas početne položaje i početne brzine:

Stavimo . Dobivamo sustav diferencijalnih jednadžbi

uz početni uvjet

Osim što ovaj primjer pokazuje kako modeliranje konkretnog fizikalnog problema dovodi do sustava diferencijalnih jednadžbi, on pokazuje također kako se sustav u kojem se pojavljuju derivacije višeg reda može svesti na sustav u kojem dolaze samo prve derivacije. Cijena za to je povećanje broja jednadžbi, no to pokazuje da se možemo ograničiti na razmatranje sustava u kojima dolaze samo prve derivacije.

Primjer 1.27 Dajmo jedan općenitiji primjer. Neka je fizikalni sustav u nekom vremenskom trenutku u potpunosti zadan s veličina, koje opisujemo kao funkcije vremena Pretpostavimo zatim da brzina promjene tih veličina ovisi samo o njima samima. To se matematički izražava ovako

Ponašanje sustava ovisi još o stanju u kojem se nalazi u početnom trenutku. To zadajemo početnim uvjetom za svaku veličinu

Posebno interesantne su one vrijednosti za koje je

Tada je

brzina promjene veličina jednaka je nuli, pa se sustav nalazi u ravnoteži. Pitanje je da li je ta ravnoteža stabilna. To ispitujemo na taj način da sustav pomaknemo malo iz položaja ravnoteže i ustanovimo što se događa. Stavimo

i uvrstimo u diferencijalne jednadžbe

Uz dodatni uvjet da funkcije imaju neprekidne derivacije, možemo primijeniti teorem srednje vrijednosti

gdje je stanje sustava između stanja i Budući da su pomaci iz ravnotežnog stanja maleni, možemo umjesto staviti Tako imamo, uzimajući u obzir da je

gdje je

##
Sustav običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda

Definicija 15 Sustav diferencijalnih jednadžbi oblika

gdje su , za , neprekidne funkcije na nekom intervalu u zovemo sustavom običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda.

Riješiti ovaj sustav znači naći funkcije neprekidno derivabilne na intervalu takve da zadovoljavaju svaku od jednadžbi u sustavu. Uređena -torka funkcija se zove rješenje.

Cauchyev problem ili problem početnog uvjeta jeste problem da se za dani i proizvoljne brojeve nađe rješenje sustava tako da vrijedi

Ako stavimo

onda se sustav može zapisati kao

| (1.7)

Također Cauchyev problem možemo pisati u obliku

| (1.8)

Teorem 11 Neka su neprekidne funkcije na za . Neka je i . Tada Cauchyev problem

ima jedno i samo jedno rješenje.

Dokaz.

##
Sustavi s konstantnim koeficijentima

Elementi matrice , funkcije se zovu koeficijenti. Ako su koeficijenti konstantni, onda su elementi matrice brojevi, pa imamo sustav

| (1.9)

uz početni uvjet

| (1.10)

Ovaj sustav se zove sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda s konstantnim koeficijentima.

Ako je , tj. ako je , onda se sustav zove homogen, u protivnom sustav se zove nehomogen.

Primjer 1.28 Sustavi u primjerima 1.26 i 1.27 sustavi su homogeni s konstantnim koeficijentima. Pri tom u primjeru 1.26 imamo Cauchyjev problem, koji se matrično može zapisati na sljedeći način.

gdje je

Kod sustava u primjeru 1.27 je matrica sustava

gdje je radi kratkoće stavljeno

Označimo s skup svih rješenja nehomogenog sustava, a s pripadnog homogenog sustava.

Teorem 12 Neka je prozvoljno (partikularno) rješenje nehomogenog sustava. Tada je

gdje označava skup .

Dokaz. 1. Neka rješava nehomogeni sustav, a pripadni homogeni sustav

| (1.11)

To znači

Odatle

pa prema tome rješava nehomogeni sustav. To znači da je .
2. Neka je , tj neka vrijedi

Budući da je također , slijedi

dakle rješava pripadni homogeni sustav. Tako postoji takav da je

tj.

Prema tome . Iz 1. i 2. slijedi .

Teorem 13 Neka je dan homogen sustav (1.11) od jednadžbi s nepoznatih funkcija. Skup svih rješenja sustava je -dimenzionalni vektorski prostor.

Dokaz. Dokažimo najprije da je vektorski prostor. Neka su dva rješenja sustava (1.11) i .

Prema tome linearna kombinacija funkcija iz je funkcija iz Tako je nulfunkcija u i za svaki je također i Ostala svojstva iz definicije vektorskog prostora slijede iz svojstava zbroja dvije funkcije i množenja funkcije brojem.
Dokažimo sada da je -dimenzionalan. Neka je vektorstupac, koji na -tom mjestu ima 1 a ostalo su nule. Iz teorema 11 slijedi da Cauchyev problem

ima jedno i samo jedno rješenje, recimo . Za dobivamo tako rješenja . Tvrdimo da rješava Cauchyev problem

Iz prvog dijela dokaza slijedi da rješava sustav. Funkcija zadovoljava i početni uvjet, jer

Svako rješenje zadovoljava neki početni uvjet, pa je prema tome svako rješenje linearna kombinacija od . To znači da dimenzija od nije veća od . Da je dimenzija točno bit će dokazano ako utvrdimo da su linearno nezavisni. Neka je

Linearna kombinacija na lijevoj strani je rješenje sustava. Zatim

jer je , dok s druge strane

Odatle slijedi

Na temelju ovog i prethodnog teorema zaključujemo da je

proizvoljne konstante

Dakle, da se nađe skup svih rješenja nehomogenog sustava, potrebno je naći bazu prostora , tj. linearno nezavisnih rješenja pripadnog homogenog i jedno rješenje nehomogenog sustava.

##
Metode rješavanja

Ovdje ćemo upoznati neke metode rješavanja sustava linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda s konstantnim koeficijentima

i pripadnog Cauchyjevog problema

###
Svođenje na jednu jednadžbu višeg reda

Jedna od metoda se sastoji u tome da se višestrukim deriviranjem jednadžbi izbace sve nepoznate funkcije osim jedne. Na taj način dolazimo do jedne linearne diferencijalne jednadžbe -tog reda, koju zatim rješavamo poznatim metodama.

Primjer 1.29 Treba naći opće rješenje sustava

|  |  | (1.12)

Rješenje.

| (1.13)

Iz prve jednadžbe izračunamo , uvrstimo u drugu i zatim iz druge uvrstimo u (1.13). Dobivamo

Opće rješenje ove jednadžbe je

Uvrštavanjem u prvu jednadžbu možemo naći :

Dakle

pa vidimo da je

Specijalno, ako je početni uvjet

uvrštavanjem u opće rješenje dobivamo

i prema tome rješenje je

To rješenje vidimo na sljedećoj slici

Figure 1.28: Rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi, uz zadani početni uvjet.

###
Eulerova metoda

Druga metoda, Eulerova, se sastoji u tome da se rješenje pripadnog homogenog sustava pretpostavi u obliku

gdje je

Uvrštavanje u (1.11) daje

pa dolazimo do poznatog problema da za matricu nađemo vlastite vrijednosti i vlastite vektore. Taj problem smo rješavali za simetrične i ortogonalne matrice. Sada međutim matrica može biti proizvoljna. Problem egzistencije i nalaženja vlastitih vrijednosti i vlastitih vektora za proizvoljnu matricu nije tako jednostavan, pa to otežava diskusiju.

Primjer 1.30 Riješimo primjer 1.29 na ovaj način.

Rješenje. Najprije promatramo pripadni homogeni sustav

tj.

Uvrstimo

Dobivamo sustav jednadžbi

|  | 0 |

Ovo je homogen sustav i on ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je determinanta sustava jednaka nuli. To vodi na kvadratnu jednadžbu

Slijedi . Za imamo

rješenje je pa za dobivamo vektor

Za analogno pa za dobivamo vektor

Rješenje homogenog sustava je tako

Partikularno rješenje dobivamo varijacijom konstanti

Uvrstimo ovo u (1.12). Dobivamo sustav

Cramerovim pravilom nalazimo

Integracijom dobivamo

Dakle

što smo i trebali dobiti.

Ako sustav rješavamo Eulerovom metodom, onda se može dogoditi da neka vlastita vrijednost od ima kratnost veću od 1. Tada razlikujemo dva slučaja.

a) Vlastitoj vrijednosti je pridruženo onoliko linearno nezavisnih vlastitih vektora kolika ja njena kratnost.

b) Vlastitoj vrijednosti pripada manje linearno nezavisnih vlastitih vektora nego što je njena kratnost.

Pogledajmo na primjerima kako se ti problemi rješavaju.

Primjer 1.31 Treba naći opće rješenje sustava

Rješenje. Matrica sustava je i prema tome očigledno je kratnosti 2. Nadalje, svaki vektor je vlastiti, pa možemo naći dva linearno nezavisna vlastita vektora. Tu se dakle radi o slučaju a), pa je rješenje

gdje su i proizvoljne konstante.

Primjer 1.32 Treba naći opće rješenje sustava

Rješenje. Matrica sustava je pa je kratnosti 2. Traženje vlastitih vektora nas vodi do sustava

odakle za slijedi proizvoljan. Dakle vlastiti su vektori oblika Ti vektori čine jednodimenzionalan vektorski prostor, pa ne postoje dva linearno nezavisna vektora. To je prema tome slučaj b). Riješimo taj zadatak prvom metodom. Deriviranje prve jednadžbe dovodi do

pa je fundamentalni sustav rješenja Tako je

Pomoću iz prve jednadžbe nađemo

To možemo pisati u obliku

Primjer 1.33 Riješiti sustav

Rješenje. Ovaj sustav ima rješenja

tj.

Neki put se ne mogu lagano eliminirati sve nepoznate funkcije osim jedne kao što se to radi u prvoj metodi. Pokušajte na primjer riješiti objema metodama slijedeći primjer

U posljednjim primjerima smo rješavali homogene sustave radi jednostavnosti. Da su bili nehomogeni, varijacijom konstanti dobili bismo partikularno rješenje.

###
Dijagonalizacija matrice sustava

Sustav

možemo vrlo elegantno riješiti, ako se matrica može dijagonalizirati. Pretpostavimo da je to moguće, i da je

Da bismo dobili dijagonalnu matricu pomnožimo jednadžbu s s lijeva.

gdje smo stavili

Ovaj sustav, kad se raspiše, svodi se na nezavisnih jednadžbi

Svaka od ovih jednadžbi je linearna diferencijalna jednadžba 1. reda, čije rješenje je

Konstanta se izračuna iz početnog uvjeta, koji je sada

Kad tako dobijemo rješenje nađemo iz formule

Ova metoda omogućava elegantno rješavanje, ako je matrica simetrična. Neke nesimetrične matrice se također mogu dijagonalizirati, kao što pokazuje primjer 1.24. Riješimo sada metodom dijagonalizacije upravo jedan takav primjer sustava diferencijalnih jednadžbi.

Primjer 1.34 Riješimo sljedeći sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda s konstantnim koeficijentima metodom dijagonalizacije.

Rješenje. Matrica sustava je

U primjeru 1.24 smo ustanovili da su vlastite vrijednosti Vlastiti vektori su

Tako imamo

Zatim

Tako se sustav raspada na tri nezavisne linearne diferencijalne jednadžbe 1. reda.

Svaku od njih riješimo, na pr. po formuli za rješenje linearne diferencijalne jednadžbe 1. reda. Rješenje je

Da dobijemo rješenje zadanog sustava, trebamo naći To znači

tj.

Na sljedećoj slici su dani grafovi rješenja uz zadani početni uvjet

koje je

Figure 1.29: Rješenje sustava uz navedeni početni uvjet.

No postoje matrice koje se ne mogu dijagonalizirati. Najjednostavniji oblik na koji se proizvoljna matrica može svesti je Jordanova forma. U slučaju međusobno različitih vlastitih vrijednosti Jordanova forma je dijagonalna matrica s vlastitim vrijednostima na glavnoj dijagonali, dok u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti, na pr. trostruke vlastite vrijednosti Jordanova forma matrice trećeg reda je jedna od sljedeće tri matrice

Detaljnije o Jordanovoj formi u [4].

Next: Rubni problemi Up: Matrice i sustavi jednadžbi Previous: Problem vlastitih ... Contents Index