Next: Rubni problemi Up: Rubni problemi Previous: Rubni problemi Contents Index
Subsections

- Poprečne oscilacije žice
  - Zakon održanja količine gibanja
  - Zakoni ponašanja
    - Ravnoteža žice.
- Longitudinalne oscilacije grede (štapa)
  - Zakoni ponašanja.
- Torzijske oscilacije valjka
  - Zakoni ponašanja.
- Provođenje topline kroz štap
  - Zakoni ponašanja.
- Filtracija kroz cijev
  - Zakoni ponašanja.
  - Jednadžba.
  - Nestlačivi fluid.
  - Slabo stlačiv fluid.
  - Idealni plin.

#
Jednadžbe

##
Poprečne oscilacije žice

Promatrat ćemo gibanje napete žice duljine koje nastaje uslijed nekog vanjskog djelovanja. Pretpostavit ćemo da vanjsko djelovanje nije tako veliko da dolazi do plastičnih deformacija ili do kidanja žice. Ako se progib ne mijenja s vremenom, onda govorimo o ravnoteži žice. U protivnom govorimo o oscilacijama žice.

Figure 2.1: Polje pomaka

U vezi s gibanjem žice imamo sljedeća vektorska polja od dvije varijable, definirana na s vrijednostima u Prva varijabla je varijabla položaja a druga varijabla vremena

  - progib žice u točki u čas (polje pomaka),
  - ukupna količina gibanja po jedinici duljine, u točki u čas (gustoća (linearna) količine gibanja)
  - količina gibanja, koja se u točki prenese s desna na lijevo u jedinici vremena u čas (kontaktna sila),
  - količina gibanja po jedinici duljine, koja se u jedinici vremena izvana prenese na žicu u točki u čas (gustoća (linearna) vanjske sile).

Prvo vektorsko polje se zove kinematičko polje, i ono opisuje progib žice. Ostala tri polja se zovu dinamička polja. Pri tom drugo vektorsko polje opisuje ukupnu količinu gibanja. Treće vektorsko polje opisuje količinu gibanja koja nastaje tako što se uslijed neprekidnosti žice i njezine napetosti količina gibanja desnog dijela žice preko točke prenosi na lijevi dio. Četvrto vektorsko polje opisuje količinu gibanja koja nastaje uslijed djelovanja vanjske sile (gravitacija i sl.).

###
Zakon održanja količine gibanja

Uočimo proizvoljan komad žice

Ukupna količina gibanja tog dijela žice u čas je

a ukupna količina gibanja komada žice po jedinici vremena je derivacija ukupne količine gibanja po vremenu

Količina gibanja po jedinici vremena komada žice u čas uslijed djelovanja vanjske sile je

Količina gibanja koja se po jedinici vremena prenese na u čas na desnom rubu, u točki je

a količina gibanja koja se po jedinici vremena prenese na u čas na lijevom rubu, u točki je

jer smo za pozitivan smjer prenošenja količine gibanja duž žice izabrali smjer s desna na lijevo.

Figure 2.2: Kontaktna sila na rubovima

Ukupna količina gibanja po jedinici vremena komada jednaka je zbroju količina gibanja po jedinici vremena uslijed djelovanja preostalog dijela žice i uslijed djelovanja vanjske sile. Dakle

Ova jednadžba se zove jednadžba balansa ili zakon održanja količine gibanja. (Uočite da se ovdje radi o poznatom fizikalnom zakonu da je promjena količine gibanja nekog tijela u jedinici vremena jednaka zbroju sila koje djeluju na tijelo.)

Pretostavka da je ukupna količina gibanja po jedinici vremena

neprekidna funkcija, što fizikalno znači da se brzina promjene količine gibanja neprekidno mijenja (neprekidnost sile), omogućava da primijenimo Leibnizovo pravilo za deriviranje pod znakom integrala. Zatim, ako još

shvatimo kao jednu stranu Newton-Leibnizove formule (osnovne formule integralnog računa), onda imamo

odnosno

Naglasimo da ovaj izvod vrijedi za proizvoljan segment žice

Lema 1 (Osnovna lema) Neka je skalarna funkcija neprekidna na i neka je

za svaki par brojeva

Tada je tj. za svaki

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da postoji takav da je (Slično ide dokaz uz pretpostavku ) Zbog neprekidnosti funkcije postoji takav da

To znači da je za
Ako izaberemo onda je

što je u kontradikciji s pretpostavkom u teoremu.

Podintegralna funkcija

je vektorska. Iščezavanje njezinog integrala na proizvoljnom segmentu povlači iščezavanje integrala svake skalarne komponente na tom segmentu. To, prema osnovnoj lemi povlači da je svaka skalarna komponenta nulfunkcija. Slijedi

| (2.1)

Ova jednadžba predstavlja zakon održanja količine gibanja u diferencijalnom obliku.

Ovo je opća jednadžba koja vrijedi za bilo kako napetu žicu od bilo kakvog materijala. Karakteristike materijala i način na koji je žica napeta opisuju se vezama između gore navedenih vektorskih polja. Te veze se zovu zakoni ponašanja.

###
Zakoni ponašanja

Označimo s linearnu gustoću mase žice u točki u čas Linearna gustoća mase je masa po jedinici duljine. Tada je količina gibanja po jedinici duljine u točki u čas jednaka umnošku mase po jedinici duljine u točki i brzine u točki u čas Tako imamo prvi zakon ponašanja

Usvojimo sada sljedeća pojednostavljenja. Pretpostavljamo da se gibanje odvija u ravnini i to tako da je

tj. tako da je komponenta progiba u smjeru osi jednaka nuli. U skladu s ovom pretpostavkom možemo progib smatrati skalarnim poljem

Promatrat ćemo male progibe žice, tako da možemo pretpostaviti da je

za svaki

U tom slučaju ćemo reći da je deformacija mala. Odatle

odnosno

To znači da je apsolutni prirast progiba u odnosu na progib u ishodištu vrlo malen prema duljini žice.

Figure 2.3: Kontaktna sila pri malim deformacijama

Budući da je deformacija mala, možemo pretpostaviti da je kontaktna sila u točki kolinearna s jediničnim tangencijalnim vektorom na progib žice u točki tj.

Funkcija se zove napetost žice u točki u čas U daljnjem ćemo pretpostavljati da napetost ne ovisi o vremenu, i da je u svakoj točki pozitivna, tj. da je

za svaki

Tako je

Progib možemo shvatiti kao krivulju u ravnini s parametrizacijom gdje je

Figure 2.4: Progib kao krivulja u ravnini.

Tada je

Budući da je možemo zanemariti pa imamo

odnosno imamo drugi zakon ponašanja

Vanjska sila po jedinici duljine djeluje u ravnini pa možemo pisati

Figure 2.5: Vanjska sila po jedinici duljine

Ako se s ovim vratimo u diferencijalnu jednadžbu (2.1), imamo

što se raspada na dvije skalarne jednadžbe

Prva jednadžba omogućava izračunavanje napetosti žice. Da bi napetost bila neovisna o vremenu, nužno mora biti neovisno o vremenu. Tako imamo

| (2.2)

Integrirajmo ovu jednadžbu

Ako vanjska sila djeluje poprečno na žicu, onda je pa je tj. napetost je konstantna, i jednaka napetosti na desnom rubu. Ako vanjska sila ima komponentu u smjeru osi različitu od nule, onda napetosti na desnom rubu treba dodati još doprinos od vanjske sile po jedinici duljine.

Druga jednadžba

| (2.3)

se zove valna jednadžba. To je parcijalna diferencijalna jednadžba. Napetost izračunamo iz prve jednadžbe, je zadano time što je zadana vanjska sila po jedinici duljine. je zadana linijska gustoća mase žice. Nepoznanica u jednadžbi je progib Osnovni problem je, dakle, izračunati iz valne jednadžbe. Ako pretpostavimo da je napetost konstantna duž žice, valna jednadžba poprima oblik

Također je prirodno pretpostaviti da je Tada možemo podijeliti jednadžbu s pa imamo

gdje je sila po jedinici duljine i po jedinici gustoće mase u smjeru osi (U ovom slučaju to je akceleracija vanjske sile u smjeru osi ) Ako žica oscilira u nekom sredstvu koje pruža otpor gibanju, onda treba uzeti u obzir silu otpora. Budući da su oscilacije male, može se pretpostaviti da sredstvo reagira kao elastično, tj. da je sila otpora po jedinici duljine proporcionalna progibu i suprotnog smjera gdje je za faktor proporcionalnosti. U tom slučaju imamo jednadžbu oscilacija

Primjer 2.1 Homogena teška žica, gustoće mase duljine razapeta je između točaka na zemlji i na visini kao na slici.
Naći napetost žice u svakoj točki, ako je žica napeta u točki napetošću

Rješenje. Kad kažemo teška žica, mislimo na to da se njezina težina ne može zanemariti. To znači da na žicu djeluje vanjska sila, sila teža. U izvodu jednadžbi mi smo koristili linearnu gustoću vanjske sile (silu po jedinici duljine). Ona je ovdje u svakoj točki po iznosu a po smjeru okomita je prema površini zemlje.

Postavimo koordinatni sustav tako da os prolazi žicom. Gustoća sile se može rastaviti na komponentu koja djeluje duž žice i onu drugu koja je okomita na žicu. Napetosti pridonosi samo komponenta duž žice.

Iz slike vidimo (pomoću sličnosti trokuta) da je

Integrirajmo jednadžbu (2.2) od 0 do

Ako žica nije homogena, onda treba znati gustoću mase kao funkciju od tj. tada nije konstanta, već funkcija od pa je tada

Primjer 2.2 Izvesti jednadžbu malih oscilacija napete žice u sredstvu s otporom, koji je proporcionalan brzini. Rješenje. Budući da se radi o malim oscilacijama, možemo usvojiti ona pojednostavnjenja i zanemarivanja, koja smo usvojili kod izvoda valne jednadžbe (2.3). Dakle, možemo pretpostaviti da žica oscilira u smjeru okomitom na njezin ravnotežni položaj. U tom smjeru se javlja i sila otpora, no kako se ona opire kretanju, ona djeluje suprotno od smjera kretanja. Postavimo koordinatni sustav tako da žica u ravnoteži leži na osi Tada se kretanje događa u smjeru osi pa imamo jednadžbu za napetost

U smjeru osi osim vanjske sile po jedinici duljine i kontaktne sile imamo još i silu otpora po jedinici duljine

Prema tome sada valna jednadžba glasi

odnosno

#### Ravnoteža žice.

Ako vanjsko djelovanje ne ovisi o vremenu, ili ako se ono mijenja s vremenom tako sporo da žica poprimi konačni položaj prije nego se djelovanje izmijeni, onda je ustvari

tj. ne ovisi o vremenu, i žica zauzima ravnotežni položaj. Jednadžba ravnoteže žice je

Ako se žica nalazi u nekom sredstvu, onda je jednadžba ravnoteže

Jednadžbe ravnoteže su obične linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda, pa imaju beskonačno mnogo rješenja koja ovise o dvije proizvoljno odabrane konstante. O uvjetima koje treba zadati da bismo dobili rješenje u skladu s konkretnim problemom govorit ćemo kasnije.

Primjer 2.3 Naći jednadžbu ravnote9nog položaja homogene teške žice, gustoće mase napete silom od u polju sile teže, koja djeluje okomito na žicu.

Rješenje. Jednadžba ravnoteže žice je

Pri tom je a Prema tome jednadžba je

Sada ćemo bez izvoda dati matematičke modele za još neke jednodimenzionalne fizikalne pojave.

## Longitudinalne oscilacije grede (štapa)

Promatrat ćemo longitudinalne oscilacije grede koje nastaju djelovanjem longitudinalne sile na gredu. Greda je kruto tijelo, pa nije nužno da bude napeta da bi oscilirala. Budući da su sve sile, pa i pomaci u smjeru središnje osi grede, koja neka bude os vektorska polja možemo zamijeniti skalarnima. Imamo ova polja u vidu

  - longitudinalni pomak poprečnog presjeka grede u točki u čas
  - ukupna količina gibanja po jedinici duljine, u točki u čas
  - količina gibanja, koja se kroz poprečni presjek u točki prenese u jedinici vremena s desna na lijevo u čas
  - količina gibanja po jedinici duljine, koja se u jedinici vremena izvana prenese na gredu u točki u čas

#### Zakoni ponašanja.

Prvi zakon ponašanja je isti kao kod žice

a drugi zakon ponašanja je zapravo Hookeov zakon

gdje je Youngov modul elastičnosti, a površina poprečnog presjeka grede. U ovom slučaju je

pa imamo jednadžbu longitudinalnih oscilacija grede

Jednadžba ravnoteže grede uslijed uzdužnog djelovanja vanjske sile je

##
Torzijske oscilacije valjka

Pretpostavljamo da os valjka ostaje na miru, a da se poprečni presjeci zakreću u svojoj ravnini. Imamo ova polja u vidu

  - kut zakreta poprečnog presjeka valjka u točki u čas
  - zakretni moment po jedinici duljine valjka u točki u čas
  - zakretni moment, koji se u jedinici vremena prenese s desna na lijevo kroz poprečni presjek u točki u čas
  - zakretni moment po jedinici duljine, koji se u jedinici vremena izvana prenese na gredu u točki u čas

Zakretni moment također zadovoljava zakon održanja, pa na sličan način kao kod oscilacija žice dolazimo do jednadžbe

#### Zakoni ponašanja.

Prvi zakon ponašanja je u ovom slučaju formula koja opisuje zakretni moment pomoću kuta, odnosno preciznije pomoću kutne brzine

je moment inercije poprečnog presjeka u odnosu na točku u kojoj os valjka probada poprečni presjek.

Drugi zakon ponašanja glasi

gdje je modul smicanja. Tako je

jednadžba torzijskih oscilacija valjka kružnog presjeka.

U slučaju valjka kružnog presjeka radiusa imamo

##
Provođenje topline kroz štap

Provođenje topline kroz štap je pojava koju ne vidimo. Informaciju o provođenju topline dobivamo mjerenjem temperature. Temperaturu mjerimo metrom, kao duljinu dužine. To nam omogućava fizikalna pojava da se tijela prilikom zagrijavanja šire, pa ono što mi mjerimo kao temperaturu je mjerenje duljine stupca žive u termometru. Tako u vezi s provođenjem topline kroz štap imamo sljedeća polja.

  - temperatura poprečnog presjeka štapa u točki u čas
  - ukupna količina topline po jedinici duljine, u točki u čas
  - količina topline, koja se u jedinici vremena prenese s desna na lijevo kroz poprečni presjek u točki u čas
  - količina topline po jedinici duljine, koja se u jedinici vremena izvana prenese na gredu u točki u čas

Toplina je jedan oblik energije, pa zadovoljava zakon o održanju energije. Tako i u ovom slučaju vrijedi opća jednadžba

####
Zakoni ponašanja.

Količina topline po jedinici duljine štapa je proporcionalna temperaturi

gdje je faktor proporcionalnosti toplinski kapacitet jedinice duljine štapa.

Drugi zakon ponašanja je poznat kao Fourierov zakon, koji kaže da je količina topline koja u jedinici vremena prijeđe s desna na lijevo proporcionalna razlici temperature po jedinici duljine

gdje je koeficijent provođenja. Iz ove formule slijedi da je

Ako sve to uzmemo u obzir, dobivamo iz opće jednadžbe

Primijetimo da je ova jednadžba drukčija od prethodnih po tome što se ovdje pojavljuje prva parcijalna derivacija po umjesto druge.

##
Filtracija kroz cijev

Cijev je ispunjena poroznom sredinom. Izvana nailazi određena masa fluida, u cijevi se također nalazi neki fluid, pa nas interesira kretanje fluida u takvim uvjetima kroz cijev. Ta pojava se zove filtracija. Kretanje je moguće zato jer je sredina porozna. Poroznost se mjeri omjerom volumena praznog prostora u poroznoj sredini i ukupnog volumena porozne sredine. Taj omjer označavamo s i zovemo ga poroznošću materijala. Filtracija koja nas zanima događa se obično duboko pod površinom zemlje (kretanje podzemnih voda, crpljenje nafte utiskivanjem vode pod pritiskom u jednoj bušotini da bi se na drugoj crpila), pa se proces može mjeriti tako da spustimo sondu u cijev i da mjerimo tlak u poprečnom presjeku cijevi. Tako imamo ova polja.

  - tlak u poprečnom presjeku cijevi u točki u čas
  - ukupna masa fluida po jedinici duljine, u točki u čas
  - masa fluida, koja se u jedinici vremena prenese s desna na lijevo kroz poprečni presjek u točki u čas
  - masa fluida po jedinici duljine, koja se u jedinici vremena izvana unese u cijev u točki u čas

Budući da je ovdje u igri masa, i da vrijedi zakon o održanju mase, i u ovom slučaju vrijedi opća jednadžba

####
Zakoni ponašanja.

Ako s označimo linearnu gustoću fluida, imamo

gdje je poroznost. općenito ovisi o tlaku, no za različite fluide ta ovisnost je vrlo različita. Na primjer imamo nestlačive fluide (voda, nafta), slabo stlačive, pa do idealnih plinova kod kojih je

Drugi zakon kaže da je masa fluida koja po jedinici vremena prijeđe s desna nalijevo proporcionalna razlici tlakova po jedinici duljine

gdje je Ovdje je viskoznost fluida, a je permeabilnost (propustljivost) porozne sredine. Ova formula je poznata kao Darcyjev zakon.

####
Jednadžba.

Uvrstimo li zakone ponašanja u opću jednadžbu, dobivamo

Bitna razlika u odnosu na jednadžbe kod prethodnih pojava je u tome da je to nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba. Nelinearnost se ogleda u tome da se i njegove derivacije ne pojavljuju u jednadžbi u linearnoj kombinaciji, već se pojavljuje i i No u određenim slučajevima se jednadžba pojednostavnjuje.

####
Nestlačivi fluid.

konst. pa je Tako imamo

Ovdje se ne pojavljuje derivacija po vremenu, što je odraz činjenice da se u nestlačivom fluidu tlak prostire trenutno.

####
Slabo stlačiv fluid.

Kod slabo stlačivog fluida je gdje je recipročna vrijednost prostornog modula elastičnosti. Pri tom je Tada je

Kad se radi o malim promjenama polja tlaka, je mala veličina, pa se može zanemariti. Tako imamo jednadžbu

####
Idealni plin.

Kod idealnog plina je pa nakon uvrštenja u jednadžbu imamo

odnosno

Next: Rubni problemi Up: Rubni problemi Previous: Rubni problemi Contents Index