Next: Sustavi običnih diferencijalnih jednadžbi Up: Matrice i sustavi jednadžbi Previous: Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi Contents Index
Subsections

- Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori
- Dijagonalizacija simetrične matrice
  - Dijagonalizacija simetrične matrice. Različite vlastite vrijednosti.
  - Dijagonalizacija simetrične matrice. Opći slučaj.
  - Hamilton-Cayleyev teorem za simetrične matrice.
- Ortogonalne matrice
  - Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori ortogonalnih matrica
  - Ortogonalne matrice drugog reda
    - 1. slučaj.
    - 2. slučaj.
    - Zaključak.
  - Ortogonalne matrice trećeg reda
    - 1. slučaj.
    - 2. slučaj.

# Problem vlastitih vrijednosti i vlastitih vektora matrice

##
Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori

Definicija 13 Neka je kvadratna matrica reda Za broj kažemo da je vlastita (svojstvena) vrijednost matrice a za vektor kažemo da je vlastiti (svojstveni) vektor matrice ako vrijedi

Skup svih vlastitih vrijednosti matrice se zove spektar matrice

Na slici 1.15 je prikazano nekoliko vektora i njihovih slika dobivenih djelovanjem matrice Uočite razliku između djelovanja na vektore i na ostale vektore. Slike vektora i su ostale na pravcima određenim s tim vektorima (original i slika su kolinearni), dok druge vektore matrica zakreće.

Figure 1.15: Djelovanje matrice drugog reda na vektore u ravnini.

Neka je

Tada je također

Dakle, ako je vlastiti vektor za vlastitu vrijednost onda je i svaki s njim kolinearan vektor također vlastiti vektor koji pripada istoj vlastitoj vrijednosti. (Na slici 1.15 su crticama označeni pravci čija svaka točka predstavlja vrh nekog vlastitog vektora. Na jednom pravcu leže vlastiti vektori koji pripadaju vlastitoj vrijednosti a na drugom oni koji pripadaju vlastitoj vrijednosti )

Jednadžba se može drukčije napisati kao

Da se nađe vlastiti vektor, potrebno je riješiti ovu matričnu jednadžbu. Ako je i ta jednadžba se može napisati kao sustav linearnih algebarskih jednadžbi

|  | 0 |
|  | 0 | (1.5)

Ovo je homogen sustav i on ima netrivijalno rješenje, ako i samo ako je determinanta sustava jednaka nuli. Dakle,

Ako raspišemo ovu determinantu i jednadžbu pomnožimo s dobivamo algebarsku jednadžbu -tog reda

Ova jednadžba se zove karakteristična jednadžba matrice Polinom na lijevoj strani se zove karakteristični polinom matrice Pri tom je

Poznato je da algebarska jednadžba -tog reda ima općenito kompleksnih rješenja, računajući njihovu kratnost. Ta rješenja su vlastite vrijednosti.

Uvrštavanjem pojedinog rješenja u gornji homogeni sustav, dobivamo sustav jednadžbi koji, zbog toga što je homogen i što je determinanta jednaka nuli, ima beskonačno mnogo rješenja. To je u skladu s činjenicom da je svaki vektor, kolinearan s vlastitim vektorom, također vlastiti. Budući da vlastite vrijednosti mogu biti kompleksni brojevi, kao rješenja tog sustava možemo dobiti vektore čije su komponente kompleksni brojevi. Nas će prvenstveno interesirati slučaj kada su vlastite vrijednosti i vlastiti vektori realni.

Primjer 1.24 Nađimo vlastite vrijednosti i vlastite vektore matrice

Rješenje. Karakteristična jednadžba je

Vlastite vrijednosti su dakle

Za pripadni vlastiti vektor dobivamo (iz (1.5)) kao rješenje sustava

|  | 0 |
|  | 0 |
|  | 0 |

Iz druge jednadžbe imamo Uvrstimo u treću i dobivamo Tako je vlastiti vektor

Za imamo sustav

|  | 0 |
|  | 0 |
|  | 0 |

Rješenja su pa je vlastiti vektor

Za imamo sustav

|  | 0 |
|  | 0 |
|  | 0 |

Rješenja su pa je vlastiti vektor

Na slici 1.16 se vide vlastiti vektori i njihove slike.

Figure 1.16: Vlastiti vektori i njihove slike (različite vlastite vrijednosti).

Prvi vektor je preslikan u samog sebe. Isto se događa sa svakim drugim radijvektorom, kolinearnim s prvim vektorom. Drugi se preslika u sebi suprotan, što se događa i sa svakim s njim kolinearnim radijvektorom. Treći se preslika u dvostruko dulji (rastegne se), što se događa i sa svakim s njim kolinearnim radijvektorom. Vektor koji ne leži niti na jednom od pravaca određenih ovim vektorima, biva preslikan u vektor koji nije kolinearan sa svojim originalom.

Teorem 8 (Hamilton-Cayley) Ako je polinom

karakteristični polinom matrice onda je tj.

Dokaz.

##
Dijagonalizacija simetrične matrice

Kako smo ranije definirali, matrica je simetrična, ako je tj. ako je

Ako je matrica simetrična, onda vrijedi

za svaki par vektora

Teorem 9 Vlastite vrijednosti simetrične matrice su realni brojevi.

Dokaz. Neka je simetrična matrica, njezina vlastita vrijednost, i pripadni vlastiti vektor. Tada je

Ako konjugiramo ovu jednakost, i uzmemo u obzir da je jer su elementi matrice realni brojevi, dobivamo

Odatle

Zbog simetričnosti matrice imamo

Tako je

tj.

Zbog skalarni produkt ne može biti jednak nuli, pa slijedi

Teorem 10 Vlastiti vektori simetrične matrice koji pripadaju različitim vlastitim vrijednostima, su međusobno okomiti.

Dokaz. Neka je vlastita vrijednost, i njoj pripadni vlastiti vektor matrice Također, neka je vlastita vrijednost, i njoj pripadni vlastiti vektor. Neka je Tada je i Odatle

Zbog simetričnosti matrice imamo

Tako je

tj.

Kako je slijedi

tj. vlastiti vektori su međusobno okomiti.

Primjer 1.24 pokazuje da ovaj teorem ne vrijedi općenito. U tom primjeru kosinusi kuteva između vlastitih vektora iznose približno a kutevi u radijanima iznose približno odnosno

####
Dijagonalizacija simetrične matrice. Različite vlastite vrijednosti.

Neka je simetrična matrica, i neka su njezine vlastite vrijednosti međusobno različite. Tada ima međusobno okomitih vlastitih vektora i vrijedi

Neka je

i neka je matrica, čiji su stupci vektori

Budući da su njezini stupci međusobno okomiti vektori, različiti od nulvektora, oni su linearno nezavisni, i prema tome je matrica regularna.

Imamo

Matrica je dijagonalna s vlasitim vrijednostima matrice na glavnoj dijagonali. Ako ovu jednadžbu pomnožimo s lijeva s dobivamo

####
Dijagonalizacija simetrične matrice. Opći slučaj.

U općem slučaju se može dogoditi da neke vlastite vrijednosti budu višestruke. Razmotrimo sljedeći primjer.

Primjer 1.25 Naći vlastite vrijednosti i vlastite vektore matrice

Rješenje. Vlastite vrijednosti su

Za imamo vlastiti vektor

tj. vlastitih vektora ima beskonačno mnogo ali su svi međusobno kolinearni.

Za imamo (iz (1.5))

0 |  | 0 |
|  | 0 |

Odavde je proizvoljan, i pa je vlastiti vektor

| (1.6)

tj. vlastitih vektora ima beskonačno mnogo ali sada su oni linearne kombinacije od dva linearno nezavisna vektora. Kako imamo slobodu izbora, možemo izabrati bilo koja dva međusobno okomita vektora, tako da i u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti imamo međusobno okomite vlastite vektore.

Formula (1.6) se može shvatiti kao parametarske jednadžbe ravnine u prostoru, koja prolazi ishodištem i razapeta je vektorima

Dakle svaki radijvektor u toj ravnini je vlastiti, s vlastitom vrijednošću

Na slici 1.17 je šatirana ravnina u kojoj je svaki vektor vlastiti s vlastitom vrijednošću i također je povučen pravac na kojem je svaki vektor vlastiti s vlastitom vrijednošću

Figure 1.17: Vlastiti vektori i njihove slike (višestruke vlastite vrijednosti).

Općenito se događa sljedeće. -struka vlastita vrijednost simetrične matrice vodi na sustav jednadžbi koji ima beskonačno mnogo rješenja određenih pomoću parametara. Izborom ovih parametara tako da jedan bude a ostali dobivamo linearno nezavisnih vektora. Ako tako napravimo za svaku višestruku vlastitu vrijednost, i dodamo vlastite vektore koji pripadaju jednostrukim vlastitim vrijednostima, dobit ćemo linearno nezavisnih vlastitih vektora simetrične matrice Od njih kao stupaca formiramo matricu Ona je regularna, i vrijedi

Pomnožimo s lijeva matricom i dobit ćemo, kao i prije

Definicija 14 Neka je regularna matrica i neka je

Tada kažemo da su matrice i slične. Ako među matricama sličnim matrici postoji dijagonalna, onda kažemo da se matrica može dijagonalizirati. Dijagonalizacija matrice je postupak nalaženja one regularne matrice koja ima svojstvo da je dijagonalna matrica.

U skladu s ovom definicijom, možemo zaključiti da se proizvoljna simetrična matrica može dijagonalizirati. U slučaju kad su vlastite vrijednosti međusobno različite, dijagonalizacija se vrši pomoću matrice čiji su stupci međusobno okomiti vlastiti vektori matrice

No, i u slučaju višestrukih vlastitih vrijednosti matrica se može izabrati tako da su joj stupci međusobno okomiti. Doista, ako su linearno nezavisni vlastiti vektori, onda su vektori dobiveni po formulama

međusobno okomiti, i svaki od njih je vlastiti pripadajući istoj vlastitoj vrijednosti. Ovaj postupak se zove Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije.

Ideja Gram-Schmidtovog postupka ortogonalizacije je jednostavna i prirodna. Prvi vektor ostavimo na miru. Njime je određen pravac. Drugi vektor projiciramo ortogonalno na taj pravac, i zatim tu projekciju odbijemo od drugog vektora. Time naravno dobivamo vektor koji je okomit na vektor na koji smo projicirali (sl. 1.18). S tako dobivenim vektorima razapnemo ravninu. Treći vektor projiciramo ortogonalno na tu ravninu, i odbijemo projekciju od njega. Time smo dobili vektor okomit na ravninu (sl. 1.19), itd.

Figure 1.18: Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije u ravnini.

Figure 1.19: Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije u prostoru.

Ako međusobno okomite vlastite vektore normiramo (podijelimo s njihovom duljinom), onda matrica čiji su stupci vektori postaje ortogonalna. U tom slučaju je pa je

####
Hamilton-Cayleyev teorem za simetrične matrice.

Dijagonalizacija simetrične matrice nam omogućava da teorem 8 dokažemo za simetrične matrice elegantno.

Uočimo najprije da je

Odatle

Indukcijom se može dokazati da općenito vrijedi

za

Prema tome i za proizvoljni polinom vrijedi

Neka je sada karakteristični polinom matrice Budući da su vlastite vrijednosti matrice slijedi za svaki U tom slučaju je dijagonalna matrica na desnoj strani nulmatrica, pa je

##
Ortogonalne matrice

Pogledajmo kako djeluje ortogonalna matrica na prostoru Iz

slijedi da čuva skalarni produkt. Ako stavimo dobivamo

odakle

tj. ortogonalna matrica čuva duljinu vektora. Također

pa prema tome ortogonalna matrica čuva i kuteve do na predznak, jer je kosinus kao parna funkcija neosjetljiv na predznak.

Budući da je ortogonalna matrica je regularna i Nadalje, iz svojstava determinante (Binet-Cauchyjevog teorema) slijedi

Prema tome je

###
Vlastite vrijednosti i vlastiti vektori ortogonalnih matrica

Neka je vlastita vrijednost, a pripadni vlastiti vektor ortogonalne matrice Tada je

Konjugirajmo ovu jednakost

Zbog svojstva ortogonalnih matrica,

Budući da je

slijedi tj. kompleksan broj se nalazi na jediničnoj kružnici u Gaussovoj ravnini. Specijalno, ako je realan broj, onda je ili

Pogledajmo sada što se može reći o ortogonalnim matricama drugog i trećeg reda i o preslikavanjima koja one predstavljaju.

###
Ortogonalne matrice drugog reda

Ortogonalne matrice drugog reda možemo shvatiti kao funkcije (linearne operatore) koje preslikavaju u Neka je

proizvoljna ortogonalna matrica drugog reda. Ona preslikava kanonsku bazu u svoje stupce.

Prema tome stupci su međusobno okomiti, i njihova duljina jednaka je pa se pripadne točke nalaze na jediničnoj kružnici.

Uočimo prvi od njih. Prema upravo rečenom, postoji takav da je

Figure 1.20: Djelovanje ortogonalne matrice u ravnini.

Budući da je drugi stupac okomit na prvi, pripadna točka se nalazi na jediničnoj kružnici na pravcu okomitom na radijvektor koji pripada prvom stupcu. Takvih točaka imamo dvije, kao što se vidi na sl. 1.20.

####
1. slučaj.

Radijvektor koji pripada točki zatvara kut prema pozitivnom dijelu osi i prema tome

Tako imamo matricu

koja predstavlja rotaciju u ravnini oko ishodišta za kut

U ovom slučaju je očito

Nadalje

To je kvadratna jednadžba koja nema realnih rješenja, osim u slučajevima kad je ili U tim slučajevima rotacija je identično preslikavanje ili simetrija u odnosu na ishodište. Dakle, možemo zaključiti da rotacija u ravnini za kut nema realnih vlastitih vektora, što je geometrijski jasno.

####
2. slučaj.

Radijvektor koji pripada točki zatvara kut s pozitivnim dijelom osi pa imamo

Matrica je sada

simetrična je, pa se može dijagonalizirati. Karakteristična jednadžba je

Vlastite vrijednosti su a vlastiti vektori su

Ako formiramo matricu od ovih vektora, onda je

U ovom slučaju se radi o simetriji u ravnini u odnosu na pravac čiji je koeficijent smjera (sl. 1.21).

Figure 1.21: Simetrija u ravnini.

U ovom slučaju je očito

####
Zaključak.

Ortogonalne matrice drugog reda se dijele u dvije klase. U jednoj su one čija je determinanta jednaka i one predstavljaju rotacije u ravnini oko ishodišta. U drugoj su one čija je determinanta jednaka one su simetrične, i predstavljaju simetrije oko pravaca kroz ishodište.

###
Ortogonalne matrice trećeg reda

Ortogonalne matrice trećeg reda možemo shvatiti kao funkcije koje preslikavaju u Vektor u možemo identificirati s uređenom trojkom realnih brojeva, dakle točkom u prostoru, a prema tome i s radijvektorom u prostoru.

Neka je ortogonalna matrica trećeg reda. Njezin karakteristični polinom je polinom trećeg reda s realnim koeficijentima, pa ima točno jedan ili točno tri realna korijena (kompleksni korijeni u tom slučaju dolaze u konjugiranim parovima). Realni korijeni mogu biti samo ili

####
1. slučaj.

Ako su sva tri korijena realni, onda se može pokazati da je matrica simetrična, i tada se ona može dijagonalizirati, pa dobivamo jedan od sljedećih oblika

Te matrice predstavljaju redom identitet, simetriju u odnosu na ravninu kroz ishodište (sl. 1.22), simetriju u odnosu na pravac kroz ishodište (sl. 1.23), simetriju u odnosu ishodište (sl. 1.24).

Figure 1.22: Simetrija u odnosu na ravninu.

Figure 1.23: Simetrija u odnosu na pravac.

Figure 1.24: Simetrija u odnosu na ishodište.

####
2. slučaj.

Ako je samo jedna realna vlastita vrijednost, onda postoji vektor takav da je

Neka je okomit na Tada

pa se vidi da matrica preslikava vektore koji su okomiti na u vektore koji su i dalje okomiti na To znači da točke u ravnini kroz ishodište okomitoj na pravac kroz radijvektor pridružen vektoru ostaju nakon preslikavanja u toj ravnini. Preslikavanje u toj ravnini se može opisati ortogonalnom matricom drugog reda. Ta matrica nema realne vlastite vrijednosti, jer bi ih u protivnom matrica imala više od jedne. Tako ova matrica drugog reda predstavlja rotaciju. Dakle, u ovom slučaju imamo ove tipove

Te matrice predstavljaju rotaciju u prostoru oko osi kroz ishodište (sl. 1.25) i rotaciju u prostoru oko osi kroz ishodište zajedno sa simetrijom u odnosu na ravninu rotacije (sl. 1.26).

Figure 1.25: Rotacija oko osi kroz ishodište.

Figure 1.26: Simetrija u odnosu na ravninu i rotacija oko osi okomite na tu ravninu.

Uočite da smo i u slučaju ortogonalnih matrica trećeg reda dobili samo rotacije i simetrije.

Next: Sustavi običnih diferencijalnih jednadžbi Up: Matrice i sustavi jednadžbi Previous: Sustavi linearnih algebarskih jednadžbi Contents Index