Next: Numerička matematika Up: Rubni problemi Previous: Varijacijske metode Contents Index
Subsections

- Rubni problemi
  - Oscilacije membrane
    - Zakon održanja.
  - Provođenje topline
  - Filtracija
  - Rubni problemi
  - Jedinstvenost rješenja rubnih problema
- Metoda separacije varijabli (Fourierova metoda)
  - Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane
    - Beskonačna membrana s rupom u obliku kruga
    - Kružna membrana s rupom u obliku kruga u sredini
  - Ravnoteža pravokutne membrane
  - Metoda separacije varijabli za nestacionarne probleme
- Varijacijski princip

#
Višedimenzionalni problemi

##
Rubni problemi

###
Oscilacije membrane

Membrana je tanka ploča od krutog materijala. Promatrat ćemo nategnutu membranu silama koje djeluju u ravnini membrane.

Sila djeluje na luk krivulje koja je rub membrane. Zbog krutosti membrane napetost uslijed te sile prenosi se u unutrašnjost, pa tako na svaki komad membrane djeluje napetost na rubu
Tako, u svakoj točki membrane, i za svaki luk kroz točku imamo silu po jedinici duljine luka, kojom vanjski dio membrane djeluje na unutarnji dio. Ta sila se zove kontaktna sila (njezino djelovanje je omogućeno isključivo kontaktom), i paralelna je s ravninom membrane. Pretpostavljamo, radi jednostavnosti, da napetost ne ovisi o vremenu. Osnovna pretpostavka (Cauchyjev aksiom) je da je ta sila ista za sve lukove kroz koji imaju zajednički jedinični vektor normale u točki
Tako ovisi o točki i jediničnom vektoru normale u točki, tj. Ta ovisnost je linearna, pa prema tome, ako je

onda vrijedi

| (2.45)

Prema tome napetost je određena svojim djelovanjem na vektore Neka je

|  |  | (2.46)
|  |  | (2.47)

Time je napetost u točki dana matricom

| (2.48)

Napetost u smjeru vektora možemo izračunati tako da identificiramo radijvektore s vektorstupcima, i da zatim vektorstupac pomnožimo matricom

To isto se dobije, ako uvrstimo (2.46) i (2.47) u (2.45).

Pretpostavljamo da je membrana homogena i izotropno napeta, što ima za posljedicu da napetost djeluje na rubu u smjeru vektora vanjske normale (U tom slučaju je matrica napetosti skalarna)

Tako je

Ako je membrana u ravnoteži, onda ukupna sila na rubu iščezava.

Odatle

i

Budući da to vrijedi za svaki komad membrane imamo

i | (2.49)

Teorem o divergenciji u glasi

gdje je područje u ravnini, rub od koji je po dijelovima glatka krivulja koja samu sebe ne presijeca, vektorsko polje klase na nekoj okolini od i vektorsko polje vanjskih jediničnih normala na

Specijalno, ako je onda je

| (2.50)

Slično

| (2.51)

Ove formule se zovu Gaussove formule.

Dakle, po teoremu o divergenciji, iz (2.49) slijedi

To vrijedi za proizvoljni komad membrane (područje u ), pa po osnovnoj lemi zaključujemo da je

za svaki pa je prema tome

konst.

Osnovnim stanjem membrane smatrat ćemo ravnotežno stanje napete membrane. Ako takvu membranu izvučemo iz položaja ravnoteže, ona se počne gibati (oscilirati, titrati). Vektorska polja koja su nam pri tom interesantna jesu

  - progib membrane u točki u čas (polje pomaka),
  - ukupna količina gibanja membrane po jedinici površine, u točki u čas (površinska gustoća količine gibanja),
  - količina gibanja, koja se u jedinici vremena prenese kroz jedinični luk izvana prema unutra (smjer suprotan smjeru jediničnog vektora vanjske normale ) u točki u čas (linijska gustoća kontaktne sile),
  - količina gibanja po jedinici površine, koja se u jedinici vremena izvana prenese na membranu u točki u čas (površinska gustoća vanjske sile).

Polje je kinematičko polje, a ostala tri polja su dinamička.

####
Zakon održanja.

Ukupna količina gibanja u jedinici vremena komada membrane jednaka je ukupnoj količini gibanja koja se po jedinici vremena izvana prenese na membranu, kroz rub i drukčije.

Promatrat ćemo samo male transverzalne oscilacije, pa je tako

Prvi zakon ponašanja kaže da je gustoća količine gibanja jednaka umnošku gustoće mase i brzine

Drugi zakon ponašanja se izvodi slično kao kod žice.

Vektorsko polje je tangencijalno na membranu i okomito na luk Nadalje pa je Zatim pa je
Uzdužna komponenta kontaktne sile je, zbog pretpostavke o izotropnoj napetosti, uvijek okomita na rub, i po iznosu konstantna, pa nas interesira samo Također ćemo pretpostaviti da vanjska sila djeluje samo u smjeru okomitom na membranu, pa ćemo tako u daljnjem promatrati samo i te veličine ćemo označavati s Imamo dakle drugi zakon ponašanja

Uvrstimo zakone ponašanja u zakon održanja i primijenimo Leibnizovo pravilo o deriviranju pod znakom integrala. Dobivamo

Na prvi integral na desnoj strani primijenimo teorem o divergenciji, pa imamo

pa kad to uvrstimo, prebacimo sve na lijevu stranu i stavimo pod jedan integral, dobivamo

Budući da ova jednakost vrijedi za svaki komad membrane slijedi

tj.

Ova jednadžba se zove valna jednadžba. Ona opisuje male poprečne oscilacije izotropno napete membrane.

U slučaju da nije konstantno, dobili bismo jednadžbu

###
Provođenje topline

Promatrat ćemo provođenje topline kroz tijelo u prostoru. Slično razmatranje se može provesti kad se radi o tankoj ploči u ravnini.

Polja koja u vezi s tim promatramo su sljedeća.

  - temperatura tijela u točki u čas
  - ukupna količina topline po jedinici volumena, u točki u čas
  - količina topline, koja se u jedinici vremena prenese kroz jediničnu površinu izvana prema unutra (smjer suprotan smjeru jediničnog vektora vanjske normale ) u točki u čas
  - količina topline po jedinici volumena, u jedinici vremena, koja se izvana prenese u tijelo u točki u čas

Polje je kinematičko polje, a ostala tri polja su dinamička.

Zakoni ponašanja su

gdje je toplinski kapacitet jedinice volumena, a toplinski koeficijent provođenja. Da bi se toplina prenosila izvana u tijelo, što znači da je mora temperatura vani biti veća, tj. mora biti pa je prema tome

Kad provedemo sličan postupak kao za membranu, uzimajući sada zakon o održanju energije kao polazište, dobivamo jednadžbu provođenja topline

###
Filtracija

Promatrat ćemo filtraciju nestlačive tekućine kroz poroznu sredinu. Polja koja su nam ovdje važna jesu

  - tlak tekućine u točki u čas
  - ukupna masa tekućine po jedinici volumena, u točki u čas
  - masa tekućine, koja se u jedinici vremena prenese kroz jediničnu površinu izvana prema unutra (smjer suprotan smjeru jediničnog vektora vanjske normale ) u točki u čas
  - masa tekućine po jedinici volumena, u jedinici vremena, koja se unese u tijelo (izvori, ponori unutar tijela) u točki u čas

Polje je kinematičko polje, a ostala tri polja su dinamička.

Zakoni ponašanja su

gdje je gustoća mase tekućine, poroznost, tj. omjer praznog prostora i ukupnog volumena porozne sredine, a koeficijent filtracije. U ovom slučaju opću jednadžbu dobivamo iz zakona o održanju mase. Kad uvrstimo zakone ponašanja dobivamo jednadžbu filtracije

Za nestlačivu tekućinu je konstanta, pa bilo kakva derivacija od iščezava. Nadalje, prema Darcyjevom zakonu filtracije (eksperimentalno utvrđenom) vrijedi

gdje je viskoznost tekućine, a permeabilnost porozne sredine. Pod pretpostavkom da su i ove veličine konstantne, dobivamo, kao kod membrane, jednadžbu filtracije

Izostanak derivacije tlaka po vremenu tumačimo tako da se tlak u nestlačivoj tekućini prenosi trenutno. Ovu jednadžbu možemo prepisati u obliku

Jednadžba oblika

se zove Poissonova jednadžba, a jednadžba

Laplaceova jednadžba. Ravnotežna stanja membrane i provođenja i filtracija nestlačive tekućine se opisuju Poissonovom jednadžbom. Ako pri tom nije bilo vanjske sile, topline, mase, onda se ta stanja opisuju Laplaceovom jednadžbom. Poissonova jednadžba je linearna diferencijalna jednadžba, a Laplaceova je njoj pripadna homogena jednadžba. Tako možemo zaključiti da se skup svih rješenja Poissonove jednadžbe može dobiti tako da se jednom partikularnom rješenju Poissonove jednadžbe dodaju sva moguća rješenja Laplaceove jednadžbe. Funkcije koje rješavaju Laplaceovu jednadžbu se zovu harmonijske funkcije. Kad se radi o ravninskim problemima, onda se harmonijske funkcije pojavljuju kao realni i imaginarni dijelovi analitičkih funkcija. To pokazuje da se funkcije kompleksne varijable mogu koristiti kod ravninskih rubnih problema ili onih prostornih koji se mogu svesti na ravninske.

###
Rubni problemi

Imamo tri tipa jednadžbi

  - ravnotežno stanje,
  - valna jednadžba,
  - jednadžba provođenja.

Rubni uvjeti mogu biti zadani tako da je na rubu zadano kinematičko polje tj. da je zadana funkcija ili da je zadano dinamičko polje tj. da je zadana funkcija Iz zakona ponašanja se vidi da zadati na rubu znači zapravo zadati funkciju Napetost na rubu je osnovna pretpostavka i ona ne ulazi u rubne uvjete.

Kažemo da je zadan homogeni Dirichletov uvjet, ako je

Taj uvjet znači u slučaju

a)
  oscilacija membrane, da je rub učvršćen u ravnini membrane,
b)
  provođenja topline, da se rub održava stalno na temperaturi
c)
  filtracije, da je tlak na rubu jednak nuli, što znači da tekućina može slobodno protjecati kroz rub.

Kažemo da je zadan homogeni Neumannov uvjet, ako je

Taj uvjet znači u slučaju

a)
  oscilacija membrane, da ne ulazi (izlazi) nikakva količina gibanja kroz rub; dakle rub nije izvana prisiljen ponašati se na određen način, već se on ponaša onako kako mu diktira sama membrana. Prema tome kažemo da je rub slobodan,
b)
  provođenja topline, da kroz rub ne ulazi (izlazi) nikakva toplina u tijelo; dakle rub je toplinski izoliran,
c)
  filtracije, da kroz rub ne ulazi (izlazi) nikakva masa tekućine u tijelo; dakle rub je nepropusan.

Ako proces nije stacionaran, onda je potrebno odrediti još i početne uvjete. U slučaju valne jednadžbe treba zadati

i

dok u slučaju jednadžbe provođenja dovoljno je zadati samo

Kao kod jednodimenzionalnih problema, koristeći svojstvo linearnosti možemo homogenizirati rubne uvjete.

###
Jedinstvenost rješenja rubnih problema

Laplaceova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Dovoljno je vidjeti da je funkcije oblika zadovoljavaju, za bilo kakve vrijednosti parametara Tako i Poissonova jednadžba ima beskonačno mnogo rješenja. Realna fizikalna situacija je membrana određenog oblika, s određenim uvjetima na rubu. To drastično smanjuje broj rješenja. Razmotrimo sada problem jedinstvenosti rubnog problema

ili

Taj problem ćemo rješavati pomoću energetske jednadžbe. Pomnožimo Poissonovu jednadžbu s i zatim integrirajmo po cijelom području

Za skalarna polja i imamo

Stavimo pa imamo

| (2.52)

Po teoremu o divergenciji

pa nakon uvrštavanja dobivamo energetsku jednadžbu

Teorem 19 Neka je ograničeno područje u Dirichletov rubni problem

ima najviše jedno rješenje.

Dokaz. Zaista, pretpostavimo da su i dva rješenja. Tada funkcija rješava rubni problem

Uvrstimo u energetsku jednadžbu umjesto Imamo

Slijedi

odakle

pa je konstanta. No, povlači tj.

Teorem 20 Neka je ograničeno područje u i neka je zadan Neumannov rubni problem

1.
  Nužan uvjet za postojanje rješenja je

2.
  Bilo koja dva rješenja se razlikuju za konstantu.

Dokaz. 1. Ako je rješenje, onda iz jednadžbe slijedi

Po teoremu o divergenciji slijedi

dakle

Ovaj uvjet izražava činjenicu da vanjska sila i Neumannov rubni uvjet moraju biti pažljivo izabrani, tako da membrana bude u ravnoteži. Kod Dirichletovog uvjeta nije bio potreban toliki oprez, jer je u tom slučaju membrana na rubu učvršćena.
2. Neka su i dva rješenja. Tada funkcija rješava rubni problem

Uvrstimo u energetsku jednadžbu umjesto Imamo

Slijedi

odakle

pa je konstanta. Tako se i razlikuju za konstantu.

##
Metoda separacije varijabli (Fourierova metoda)

###
Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane

Dirichletov problem za ravnotežu kružne membrane glasi

gdje označava krug radiusa a njegov rub, kružnicu radiusa
Prirodno je koordinatni sustav izabrati sukladno geometrijskim karakteristikama područja. Zato u ovom slučaju koristimo polarni koordinatni sustav u ravnini, i to tako da ishodište stavimo u središte kruga.

U polarnom koordinatnom sustavu su koordinate i

pa je

Postavlja se pitanje u što se transformira

kad se pređe na funkciju Po lančanom pravilu

Slično

Iz formula veze koordinatnih sustava slijedi

Kad to uvrstimo u dobivamo

ili drukčije napisano

U daljnjem ćemo umjesto pisati radije pa jednadžba prema tome glasi

| (2.53)

Budući da smo ishodište polarnog koordinatnog sustava postavili u središte kruga, čiji je radius rubni uvjet se može zapisati ovako

Rješenje tražimo u obliku

Uvrstimo u jednadžbu (2.53), dobivamo

Podijelimo s i pomnožimo s pa imamo

gdje je konstanta, jer smo separirali varijable. Imamo

Budući da je periodička funkcija (zbog geometrije problema), mora biti pozitivan, na pr. Slijedi

Opće rješenje druge jednadžbe je

Period funkcije su pa slijedi

Za drugu jednadžbu imamo dakle ova rješenja

Prva jednadžba sada glasi

| (2.54)

Za imamo

što nakon dijeljenja s postaje

U slučaju imamo

Ako je onda nakon još jednog dijeljenja s i integriranja, dobivamo

pa je u tom slučaju opće rješenje

Rješenja za potražimo u obliku

Lako se vidi da je

Prema tome jednadžba (2.54) se svodi na

odakle

pa su tako rješenja jednadžbe (2.54) za

Opće rješenje za je

Budući da se radi o krugu, za koji je rješenja za i ne dolaze u obzir, jer te funkcije teže u kad Tako imamo rješenja

Sve ovo smo dobili direktno iz jednadžbe uz uvažavanje određenih fizikalnih činjenica. Iskoristimo sada rubni uvjet. Nijedno od rješenja ne mora zadovoljavati rubni uvjet. Zato pretpostavimo rješenje rubnog problema u obliku

što se može napisati ovako

Ovo rješenje mora zadovoljavati rubni uvjet

To je Fourierov red funkcije pa slijedi

#### Beskonačna membrana s rupom u obliku kruga

Sada moramo izbaciti rješenja i pa sličnim rezoniranjem dolazimo do rješenja

gdje je, koristeći rubni uvjet,

#### Kružna membrana s rupom u obliku kruga u sredini

U tom slučaju imamo dva rubna uvjeta

gdje je unutrašnji, a vanjski rub. Sada ne smijemo izbaciti niti jedno partikularno rješenje, pa rješenje rubnog problema pretpostavljamo u obliku

Za desnu stranu možemo shvatiti kao Fourierov red funkcije a za kao Fourierov red funkcije Tako imamo

za Za svaki treba riješiti sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice da bi se dobili neodređeni koeficijenti u rješenju.

Primjer 2.22 Neka je dana beskonačna homogena kružna cijev, čiji je unutarnji radius a vanjski Unutarnja stijena cijevi se održava na stalnoj temperaturi a vanjska na temperaturi Naći raspodjelu temperature u tijelu cijevi nakon što se uspostavi toplinska ravnoteža.

Rješenje. Beskonačnost cijevi nam, zajedno s homogenošću omogućuje da na problem gledamo kao na dvodimenzionalni. U tom slučaju se, naime, u svakom poprečnom presjeku uspostavi isto ravnotežno stanje. Problem je prema tome ekvivalentan problemu toplinske ravnoteže unutar prstena, tj. rubnom problemu

Rješenje će biti oblika

gdje je

Rješenja ovih sustava jednadžbi su

za

za

Prema tome rješenje je

### Ravnoteža pravokutne membrane

Rubni problem za ravnotežu pravokutne membrane učvršćene na rubu glasi

gdje je pravokutnik

Pretpostavimo da je i da je

s tim da, zbog pretpostavke o neprekidnosti membrane, mora biti

Pretpostavimo rješenje u obliku

Iz slijedi

gdje je konstanta, jer smo separirali varijable. Odatle

Kao i u 2.3.3 zaključujemo da je negativan, pa možemo pisati

Tako imamo

| (2.55)

Rješenja problema (2.55) jesu funkcije

Druga jednadžba

daje rješenja

Rješenje rubnog problema tražimo u obliku

Iz rubnog uvjeta slijedi

pa je

Iz rubnog uvjeta imamo

Odatle

Ako je uvjet na rubu složeniji, onda se problem rastavlja na nekoliko ovakvih.

Primjer 2.23 Naći ravnotežu pravokutne tanke ploče (membrane) uz sljedeće uvjete na rubu

Rješenje. Treba riješiti problem

Objasnili smo kako se rješava rubni problem za ravnotežu pravokutne membrane u slučaju kad je rubni uvjet homogen na tri od četiri ruba. Ovaj problem ćemo riješiti tako da ga rastavimo na nekoliko problema, od kojih je svaki problem tipa koji smo objasnili.

Prvi korak u tome je da pogodnom, jednostavnom supstitucijom osiguramo da pomak membrane u vrhovima pravokutnika bude Stavimo

i odredimo tako da je

Dobivamo sustav jednadžbi

|  | 0 |
|  | 0 |
|  | 0 |

Rješenje je

Prema tome početni problem smo sveli na sljedeći

Neka je rješenje rubnog problema

rješenje rubnog problema

rješenje rubnog problema

rješenje rubnog problema

Tada je očito

odnosno

###
Metoda separacije varijabli za nestacionarne probleme

Nestacionarni problemi su opisani valnom jednadžbom

ili jednadžbom provođenja

na nekom području Ovdje smo radi jednostavnosti uzeli da su gustoća mase i specifična toplina konstante. Također smo pretpostavili da nema vanjskog utjecaja, tj. da je

Pretpostavimo da je rubni uvjet Dirichletov

Početni uvjeti za valnu jednadžbu neka su

za Ovdje označava područje zajedno s rubom

Osnovna pretpostavka je da se rješenje može predstaviti u obliku produkta

Uvrstimo u jednadžbu, na pr. valnu

i podijelimo s

Budući da smo separirali varijable, i da su one nezavisne, je konstanta.

Pomnožimo ovu jednadžbu s i integriramo po

Imamo (2.52)

jer se poništava na Tako je

Dakle možemo staviti Tako se početna jednadžba raspada na dvije jednadžbe

Rubni uvjet je sada

za

Kako to vrijedi za svaki mora biti na Tako imamo rubni problem

Oni za koje postoji netrivijalno rješenje ovog problema zovu se vlastite vrijednosti, a pripadne funkcije vlastite funkcije ovog rubnog problema.

Neka su i dvije međusobno različite vlastite vrijednosti, i odnosno pripadne vlastite funkcije. Tada

S druge strane, prema drugoj Greenovoj formuli, koja se izvodi iz (2.52),

jer je za Tako je

Budući da je slijedi

Zbog ovog svojstva kažemo da su vlastite funkcije, koje pripadaju različitim vlastitim vrijednostima, međusobno okomite. Opravdanje leži u činjenici da produkt

koji paru funkcija pridružuje broj (skalar), ima sva svojstva skalarnog produkta.

Pretpostavimo sada da su vlastite vrijednosti, a vlastite funkcije rubnog problema. Tada vremenska jednadžba glasi

Rješenja su

Rješenje cijelog rubno-početnog problema tražimo u obliku

Neodređene konstante računamo iz početnih uvjeta, pomoću Fourierovih redova.

Kod jednadžbe provođenja jedina je razlika u vremenskoj jednadžbi. Ona u tom slučaju glasi

pa je

Rješenje cijelog problema se tada traži u obliku

a neodređene konstante se određuju iz početnog uvjeta pomoću Fourierovog reda.

##
Varijacijski princip

Rješavamo rubni problem

|  |  | (2.56)

Svaku funkciju klase takvu da je zovemo dopustivom funkcijom.

Pretpostavimo da je ravnotežni položaj membrane, tj. rješenje gornjeg problema. Da bi se membrana pomakla iz tog položaja, potrebno je izvršiti neki rad. Taj rad ovisi o veličini perturbacije Budući da je u novom položaju membrana i dalje učvršćena na rubu, mora i biti dopustiva funkcija. Rad, koji izvrši vanjska sila uslijed pomaka je

dok je unutrašnji rad membrane

Ako jednadžbu u (2.56) pomnožimo s i integriramo po dobivamo

Ova jednakost izražava Bernoullijev princip sačuvanja rada (energije). Iz prve Greenove formule

slijedi

jer je dopustiva funkcija, pa iščezava na rubu od a s njom i krivuljni integral. Kad to uvrstimo u gornju jednakost, dobivamo

| (2.57)

Možemo zaključiti sljedeće. Ako funkcija rješava rubni problem (2.56), onda za svaku dopustivu funkciju vrijedi (2.57). Također vrijedi i obrat. Ako sa svojstvom zadovoljava (2.57) za svaku dopustivu funkciju onda rješava rubni problem (2.56).

Prvi dio smo dokazali. Treba dokazati obrat. Neka vrijedi (2.57) za svaku dopustivu funkciju i neka je Tada je prema prvoj Greenovoj formuli

Krivuljni integral iščezava, jer je dopustiva funkcija. Tako je

Uvrstimo u (2.57), dobivamo

za svaku dopustivu funkciju Po osnovnoj lemi slijedi

Kao i u jednodimenzionalnom slučaju sada dokazujemo da je Bernoullijev princip ekvivalentan problemu minimizacije funkcionala energije.

Neka je dan funkcional

Pogledajmo čime se odlikuje ako zadovoljava Bernoullijev princip, tj. zadovoljava (2.57). U tu svrhu stavimo gdje je perturbacija ravnotežnog položaja (dopustiva funkcija). Kako je ravnotežni položaj, je dopustiva funkcija, pa je i dopustiva. Imamo

Dakle i pri tom je samo ako je a to znači konst. a kako je na rubu slijedi da je samo ako je Dakle je jedinstvena funkcija sa svojstvom koja minimizira funkcional

Dokažimo sada obrat, tj. da funkcija koja minimizira funkcional i zadovoljava rubni uvjet mora zadovoljavati Bernoullijev princip, tj. (2.57). Pretpostavimo da ima tražena svojstva, i stavimo gdje je perturbacija (funkcija iz klase dopustivih). Funkcional poprima minimum na funkciji pa prema tome funkcija

poprima minimum za Imamo

Ovo je polinom drugog stupnja u koeficijent uz je pozitivan, pa funkcija doista ima minimum u tjemenu. Apscisa tjemena parabole, koja je graf funkcije

je

pa ako se minimum dostiže u tj. u točki s apscisom onda mora biti U našem slučaju slijedi

za svaku dopustivu funkciju Tako smo dokazali da zadovoljava (2.57). Iz svega rečenog možemo zaključiti da vrijedi sljedeće.

Teorem 21 (Varijacijski princip) Da bi funkcija bila rješenje rubnog problema

| (2.58)

nužno je i dovoljno da funkcija zadovoljava taj rubni uvjet i da minimizira funkcional

Next: Numerička matematika Up: Rubni problemi Previous: Varijacijske metode Contents Index