Next: Varijacijske metode Up: Rubni problemi Previous: Rubni problemi Contents Index
Subsections

- Vlastite funkcije i vlastite vrijednosti
- Fourierovi redovi
  - Konvergencija.
  - Neparne i parne funkcije.
- Slobodne oscilacije žice
  - Interpretacija rješenja.
  - Homogenizacija rubnih uvjeta.
- Prisilne oscilacije
- Provođenje topline kroz štap

#
Fourierova metoda ili metoda separacije varijabli

##
Vlastite funkcije i vlastite vrijednosti

Valna jednadžba

opisuje oscilacije žice, longitudinalne oscilacije štapa i torzijske oscilacije štapa. Pretpostavimo da ne djeluje vanjska sila, da su i konstante, i neka su zadani homogeni rubni uvjeti.

| (2.17)

gdje je Budući da su oscilacije u pravilu periodična gibanja u odnosu na vrijeme, potražimo rješenja ovog rubnog problema u obliku

ili

Imamo

dok je

Uvrstimo u jednadžbu

i ako uzmemo u obzir rubne uvjete

dobivamo sljedeći rubni problem za običnu diferencijalnu jednadžbu

| (2.18)

gdje je Ovo je obična linearna homogena diferencijalna jednadžba 2. reda. Njezina karakteristična jednadžba je

pa je opće rješenje

odakle, pomoću Eulerove formule

dobivamo opće rješenje

Iz slijedi pa je

Iz slijedi

Dakle imamo zapravo diskretan skup vrijednosti za

Za dobivamo trivijalno rješenje (nulfunkciju), a negativni -ovi ne daju ništa novo, jer je sinus neparna funkcija. Tako imamo

Brojevi se zovu vlastite vrijednosti, a pripadne funkcije

se zovu vlastite funkcije rubnog problema (2.18).

Tako rješenja problema (2.17) imaju oblik

ili

Primjer 2.10 Naći vlastite vrijednosti i vlastite funkcije rubnog problema

Rješenje. Kao u (2.18) opće rješenje jednadžbe je

Iz slijedi pa je

Iz slijedi

Odatle

pa je

Tako su vlastite vrijednosti

Vlastite funkcije su

Primjer 2.11 Naći vlastite vrijednosti i vlastite funkcije rubnog problema

Rješenje. Opće rješenje jednadžbe je

Iz slijedi

Iz slijedi

odnosno

| (2.19)

To je transcendentna (nije algebarska) jednadžba. Takve se jednadžbe u pravilu ne mogu elementarno rješavati, i gotovo uvijek se moramo zadovoljiti s približnim rješenjem. O približnom rješavanju jednadžbi bit će riječi u trećem poglavlju 3.2. Ovdje napomenimo samo toliko da za imamo približno

Figure: Rješenja jednadžbe

Tako su približne vlastite funkcije

Figure 2.7: Vlastite funkcije

##
Fourierovi redovi

Rješavajući valnu jednadžbu, uvaživši rubne uvjete, dobili smo rješenja oblika

ili

Problem oscilacija žice je potpuno zadan tek kad zadamo još i početne uvjete. Na pr.

Općenito niti jedna od funkcija ne zadovoljava početne uvjete. Zato rješenje tražimo u obliku linearne kombinacije. Funkcije su linearno nezavisne, i ima ih beskonačno mnogo, pa linearna kombinacija postaje beskonačni red

Ako je rješenje koje zadovoljava početne uvjete, onda mora biti

Da li postoje takvi da vrijedi ova jednakost? Za kakve funkcije postoje takvi da vrijedi ova jednakost? Ovakva pitanja i još mnoga druga dovode nas do pojma Fourierovih redova.

Funkcije

su periodične, i period je broj takav da vrijedi

Odatle slijedi

Svaka od ovih funkcija ima period jer je višekratnik perioda također period, pa se nadamo da pomoću njih možemo prikazati svaku periodičku funkciju perioda No, pomoću njih se mogu prikazati samo neparne funkcije, jer je neparna funkcija. To ograničenje izbjegavamo tako da dodamo i odgovarajuće kosinusne funkcije. Uz tu pretpostavku imamo

tj.

| (2.20)

gdje su koeficijenti neodređeni. Da bismo koeficijente odredili tako da vrijedi ova jednakost, koristimo jedno važno svojstvo trigonometrijskih funkcija

Svojstvo izraženo formulama, u kojima je desna strana jednaka nuli, se zove ortogonalnost trigonometrijskih funkcija, a formule se zovu formule ortogonalnosti.

Sada računamo koeficijente tako da (2.20) množimo redom s

i

i zatim integriramo po segmentu duljine perioda, na pr. Zbog svojstva ortogonalnosti dobivamo

Da bi ove formule imale smisla, nužno je da bude integrabilna funkcija na segmentu U tom slučaju su koeficijenti

| (2.21)

Red oblika

se zove trigonometrijski red, a brojevi se zovu koeficijenti trigonometrijskog reda. Trigonometrijski red je dan čim su dani njegovi koeficijenti. No, ako su koeficijenti trigonometrijskog reda dani formulama (2.21), onda se red zove Fourierov red funkcije a koeficijenti se zovu Fourierovi koeficijenti.

Do sada smo stalno imali na umu periodičku funkciju perioda Pretpostavimo da je funkcija definirana na skupu koji sadrži da je integrabilna na i da nije periodička. U tom slučaju također možemo izračunati Fourierove koeficijente i prema tome imamo Fourierov red. Budući da svaka funkcija u tom redu ima period i red će predstavljati periodičku funkciju perioda i to onu koja se iz dane dobije periodičkim proširenjem njezine restrikcije na segmentu na cijeli Reći ćemo da je to red funkcije na

####
Konvergencija.

Detaljnije o tome, a i o Fourierovim redovima općenito v. [8]. Problemi konvergencije Fourierovih redova su vrlo složeni. Posebno je to zbog toga što smo kod računanja Fourierovih koeficijenata funkcije integralom ulazili pod beskonačnu sumu, što je općenito nedopustiva operacija. Istaknimo ovdje da, ako je funkcija neprekidna, onda njezin Fouriereov red konvergira u svakoj točki iz i to k vrijednosti funkcije u toj točki, pa za takvu funkciju doista možemo pisati

Figure 2.8: Grafovi prvih deset parcijalnih suma Fourierovog reda funkcije na intervalu

Ako funkcija ima prekid prve vrste u tj. ako postoje limesi s lijeva i s desna ali nisu jednaki, onda njezin Fourierov red konvergira k aritmetičkoj sredini limesa s lijeva i limesa s desna

Isto tako se ponaša Fourierov red na rubovima, ako se prilikom proširenja po periodičnosti dogodi skok prve vrste na rubovima.

Primjer 2.12 Nađimo Fourierov red funkcije na intervalu Rješenje. Potrebno je izračunati Fourierove koeficijente po formulama (2.21). Period je pa bismo trebali integrirati od do ali ne ovu funkciju, već onu, koja se iz ove dobije proširenjem po periodičnosti (nacrtajte periodičko proširenje!). To bi bilo nespretno, jer se proširenje ne može opisati jednom formulom. Iz periodičnosti slijedi, da prilikom integracije nisu bitne donja i gornja granica, već samo duljina područja integracije. Zato integriramo od 0 do

pa je tako Fourierov red

####
Neparne i parne funkcije.

Ako je neparna funkcija, onda je

pa je

Također

pa je na sličan način

za

Tako Fourierov red neparne funkcije sadrži samo sinuse

Vrijedi i obrat. U ovom redu je svaki član neparna funkcija, pa ako ovaj red predstavlja neku funkciju, onda je ona također neparna.

Osim toga

pa je

Slično bismo u slučaju parnosti funkcije dobili pa je Fourierov red takve funkcije oblika

s tim da je

Primjer 2.13 Treba naći Fourierov red po kosinusima funkcije na intervalu Rješenje. Tu se radi o proširenju po parnosti prvog brijega sinusne funkcije. Period je pa su Fourierovi koeficijenti

Za

dok je

Tako je Fourierov red

Primjer 2.14 Naći Fourierov red funkcije

na segmentu

Rješenje. Svaki sumand od je potencija ili produkt potencija trigonometrijskih funkcija perioda što je upravo duljina segmenta na kojem želimo napisati Fourierov red. U tom slučaju je dovoljno svaki od sumanada napisati pomoću linearne kombinacije trigonometrijskih funkcija višestrukog srgumenta.

Odatle

Dakle

a ostali Fourierovi koeficijenti su jednaki nuli.

##
Slobodne oscilacije žice

Pod slobodnim oscilacijama žice podrazumijevamo oscilacije, koje nastaju uslijed početnih uvjeta, a bez utjecaja vanjske sile. Tako je pa imamo sljedeći rubno-početni problem

| (2.22)

Pretpostavimo rješenje u obliku funkcije

Ova pretpostavka je ključna za metodu koju ćemo sada opisati, a zove se Fourierova metoda ili metoda separacije varijabli. Uz ovu pretpostavku jednadžba postaje

| (2.23)

a rubni uvjeti

odakle slijedi

jer za barem jedan U protivnom bismo imali za svaki pa bi žica mirovala, što nije moguće ako je početnim uvjetima izvučena iz položaja ravnoteže.

U jednadžbi (2.23) možemo separirati varijable dijeleći je s

Lijeva strana ove jednadžbe ovisi samo o a desna samo o Kako su varijable i nezavisne, slijedi

gdje je konstanta. Tako imamo sljedeći rubni problem

Pomnožimo ovu jednadžbu s i integrirajmo po po segmentu

Parcijalno integrirajmo integral na lijevoj strani, i uvrstimo rubne uvjete

pa je

Odavde slijedi da je pa možemo staviti Tako imamo rubni problem

| (2.24)

Ovaj problem smo već riješili u 2.3.1, i dobili

Za svaki imamo po jednu jednadžbu za

pa je opće rješenje

odnosno

Tako imamo niz rješenja

međutim nijedno od njih, u općem slučaju, ne zadovoljava početne uvjete. Općenito će tek beskonačni red

| (2.25)

zadovoljiti početni uvjet. Ovdje su neodređeni koeficijenti, koje određujemo pomoću početnih uvjeta.

Suma u ovoj formuli je Fourierov red neparne funkcije definirane na segmentu Budući da se na podudara s funkcijom to znači da je to Fourierov red funkcije koja je iz dobivena proširenjem po neparnosti s na
Tako je

Iskoristimo i drugi početni uvjet

Kao gore imamo

odnosno

Iz ovog razmatranja vidimo da je za upotrebu Fourierove metode nužno imati početne uvjete koji se mogu razložiti u Fourierov red.

Primjer 2.15 Naći slobodne oscilacije napete homogene žice, duljine učvršćene na rubovima, ako je početna brzina jednaka nuli, a početni pomak kao na slici.

Rješenje. Budući da nema vanjske sile, i da su uvjeti na rubu homogeni, vlastite vrijednosti i vlastite funkcije su kao u rubnom problemu (2.22). Vidjeli smo da se u tom slučaju rješenje može pretpostaviti u obliku (2.25). Pri tom su nepoznati koeficijenti Fourierovi koeficijenti početnog pomaka, a su, do na faktor, Fourierovi koeficijenti početne brzine. Kako je početna brzina slijedi za Ostaje izračunati po formuli

Tako su koeficijenti

pa je rješenje

####
Interpretacija rješenja.

Budući da je

postoji takav da je

pa je

Tako je

Za imamo

U odnosu na varijablu ova funkcija ima temeljni period

To znači da rubne točke i miruju, i zbog toga se zovu čvorovi, a ostale se gibaju sinkrono s frekvencijom

i s amplitudom

Za imamo

U odnosu na varijablu ova funkcija ima temeljni period

To znači da su sada čvorovi točke i Ostale se gibaju sinkrono s frekvencijom

i s amplitudom

Za imamo čvorove frekvencija titranja je

itd.

Ovakva titranja se zovu stojni valovi. Stvarno slobodno titranje je superpozicija ovakvih titranja. Kad se radi o napetoj žici, ona prilikom titranja proizvodi ton. Broj se zove frekvencija osnovnog tona, a ostale frekvencije se zovu frekvencije viših harmonika. Amplitude viših harmonika vrlo brzo opadaju prema nuli. Njihova distribucija daje boju proizvedenom tonu. Primijetimo na kraju da je frekvencija osnovnog tona

Primjer 2.16 Naći oscilacije napete homogene žice, duljine učvršćene na rubovima, u sredstvu s otporom proporcionalnim brzini, ako su početni uvjeti kao u primjeru 2.15.

Rješenje. Rubni i početni uvjeti su kao u primjeru 2.15, a jednadžba glasi

Stavimo i podijelimo s Dobivamo

Varijable su separirane, pa je svaka strana ove jednakosti konstanta. Kao i ranije zaključujemo da je ta konstanta negativna, i da su vlastite vrijednosti

i vlastite funkcije

Vremenska jednadžba sada glasi

Ovo je obična linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima. Pretpostavka vodi na karakterističnu jednadžbu

Rješenja su

Ako je tj. ako je otpor dovoljno velik, onda nema osciliranja. Pretpostavimo da je otpor dovoljno malen tako da je Tada je

Tako je

što se pomoću Eulerove formule može napisati kao

Stavimo

Tada je rješenje oblika

Koeficijenti i se računaju kao i u primjeru 2.15.

Faktor teži k nuli kad Zato titranje postaje sve slabije kako raste. Tako imamo prigušene oscilacije.

####
Homogenizacija rubnih uvjeta.

Želimo riješiti problem slobodnih oscilacija žice uz zadane nehomogene rubne uvjete.

| (2.26)

Najprije homogeniziramo rubne uvjete kao u 2.3.3. Na taj način homogeniziramo rubne uvjete, ali se pojavi nehomogena diferencijalna jednadžba

| (2.27)

Sada homogeniziramo jednadžbu na sljedeći način.

Rješenje pretpostavljamo u obliku

gdje je rješenje stacionarnog rubnog problema

Uvrstimo u jednadžbu. Budući da ne ovisi o imamo

jer je

Rubni uvjeti ostaju isti, a početni uvjeti se mijenjaju

pa je tako početni položaj

a početna brzina ostaje

jer ne ovisi o Tako smo problem sveli na homogenu jednadžbu i homogene rubne uvjete, što smo već riješili.

##
Prisilne oscilacije

Ako je zadana vanjska sila po jedinici duljine onda treba riješiti sljedeći rubni problem

| (2.28)

gdje je

Uzimajući u obzir rezultate prethodne točke, 2.3.3, rješenje (2.28) možemo pretpostaviti u obliku

Ovom formom rješenja pretpostavljamo da se rješenje može razviti u red po vlastitim funkcijama rubnog problema. Neodređene funkcije određujemo pomoću jednadžbe i početnih uvjeta. Kad uvrstimo u jednadžbu, dobivamo

odnosno

Za svaki ovo je Fourierov red po sinusima za funkciju shvaćenu kao funkciju od Neka je

gdje je

Slijedi

Nadalje

pa je

Analogno

pa je

Tako imamo familiju diferencijalnih jednadžbi s početnim uvjetima

i svaka daje jedno rješenje što zatim uvrstimo u formulu za

Primjer 2.17 Riješiti rubno-početni problem

Rješenje. Imamo

Dakle diferencijalne jednadžbe za koeficijent glase

Budući da su početni uvjeti homogeni, početni uvjeti za ovu familiju diferencijalnih jednadžbi su također homogeni

Rješenja su

pa je rješenje problema

##
Provođenje topline kroz štap

Neka su i (v. 2.1.4) konstante, i neka je Tada je rubno-početni problem provođenja zadan kako slijedi

| (2.29)

Rješenje tražimo u obliku

Uz ovu pretpostavku jednadžba postaje

Podijelimo s Dobivamo

Negativnost ove konstante se dokazuje kao kod valne jednadžbe (v. 2.3.3). Na isti način kao kod valne jednadžbe iz rubnih uvjeta dobivamo

S druge strane

Rješenje ove jednadžbe je

Tako je

Ove funkcije rješavaju jednadžbu, i zadovoljavaju rubne uvjete. No da bi bio zadovoljen i početni uvjet, treba rješenje pretpostaviti u obliku beskonačnog reda (v. 2.3.3)

Početni uvjet daje

Dakle su Fourierovi koeficijenti funkcije proširene po neparnosti s na Tako je

Neka je jednadžba nehomogena

gdje je toplina po jedinici duljine podijeljena s toplinskim kapacitetom jedinice duljine štapa Uz iste rubne i početne uvjete rješenje pretpostavljamo u obliku

Neodređene koeficijente ćemo odrediti tako da zadovoljava jednadžbu i početni uvjet.

odnosno

Lijeva strana je Fourierov red, ako shvatimo kao parametar. Pretpostavimo da je

gdje je

Slijedi

Početni uvjet nam daje

tj.

Tako smo dobili familiju diferencijalnih jednadžbi s pripadnim početnim uvjetima, čija rješenja daju neodređene koeficijente.

Primjer 2.18 Naći raspodjelu temperature u homogenom tankom štapu, duljine bočno toplinski izoliranom, ako se na lijevom kraju održava temperatura a na desnom se mijenja s vremenom po formuli Početna temperatura štapa je

Rješenje. Rubno-početni problem glasi

Najprije treba homogenizirati rubne uvjete. Očito funkcija

zadovoljava homogene rubne uvjete. Pripadni rubno-početni problem za je

Sada homogeniziramo jednadžbu. Stavimo

gdje je rješenje problema

Rješenje ovog problema je

Na taj način smo homogenizirali rubne uvjete i jednadžbu, ali se nehomogenost pojavila u početnom uvjetu. Tako rješava sljedeći rubno-početni problem

pa je rješenje rubnog problema za

Rješenje početnog problema je

dakle

Next: Varijacijske metode Up: Rubni problemi Previous: Rubni problemi Contents Index