Next: Obične diferencijalne jednadžbe Up: Numerička matematika Previous: Rješavanje sustava jednadžbi Contents Index
Subsections

- Lagrangeov interpolacijski polinom
  - Ocjena greške
- Metoda najmanjih kvadrata
- Numerička integracija
  - Trapezna formula
  - Simpsonova formula
  - Gaussova kvadratura

# Aproksimacija funkcije i numerička integracija

##
Lagrangeov interpolacijski polinom

Neka je dana funkcija i međusobno različite točke u Želimo aproksimirati funkciju polinomom koji u izabranim točkama ima iste vrijednosti kao funkcija Ovako postavljen problem ima mnogo rješenja. Međutim, ako zahtijevamo da stupanj polinoma bude najviše onda imamo samo jedno rješenje, što upravo tvrdi sljedeći teorem.

Teorem 27 Neka je dana vrijednost

funkcije Tada postoji jedan i samo jedan polinom stupnja najviše takav da je

Dokaz. Neka su polinomi stupnja najviše takvi da je

gdje je Kroneckerov simbol 1.1. Tada je

traženi polinom. Doista,

Konstruirajmo sada polinome Polinom ima nultočke Polinom minimalnog stupnja s tim svojstvom ima oblik

Broj je neodređen. Njega određujemo iz uvjeta tj.

Tako je

pa je

Dakle

Jedinstvenost ovog polinoma slijedi ovako. Pretpostavimo da je također polinom stupnja najviše takav da je Tada je polinom stupnja najviše i ima nultočku. Jedna od posljedica Osnovnog teorema algebre tvrdi da je tada tj. za svaki Dakle za svaki tj.

Polinom

| (3.13)

se zove Lagrangeov interpolacijski polinom funkcije za točke

###
Ocjena greške

Radi jednostavnosti pretpostavimo da je

Teorem 28 Neka funkcija osim uvjeta iz teorema 27 zadovoljava još uvjet da ima -vu neprekidnu derivaciju. Neka je proizvoljan, i neka je najmanji segment koji sadrži točke Tada postoji takav da je

| (3.14)

Dokaz. Ako je za neki onda nemamo što dokazivati, jer su tada obje strane u (3.14) jednake nuli. Zato pretpostavimo da je i za svaki Stavimo, radi kraćeg zapisa

Formirajmo pomoćnu funkciju

| (3.15)

gdje je

Imamo

Također je

Tako funkcija ima međusobno različite nultočke u Prema Rolleovom teoremu njezina derivacija ima barem nultočku u druga derivacija mora imati barem nultočaka u -va derivacija ima barem jednu nultočku u Neka je jedna od tih točaka, u kojima se poništava. Derivirajmo (3.15) (po jer je varijabla, dok smatramo fiksnim) puta i uvrstimo Budući da je polinom stupnja najviše slijedi Zatim, je polinom -vog stupnja, koeficijent uz je pa je Tako imamo

odnosno

Odatle

Iz ovog teorema proizlazi sljedeća ocjena greške. Neka je

Tada za svaki vrijedi

| (3.16)

Primjer 3.14 Naći Lagrangeov interpolacioni polinom za funkciju uzimajući da je

zatim pomoću njega naći približnu vrijednost i ocijeniti grešku.

Rješenje. Po formuli (3.13) imamo

Odatle

Ocijenimo sada grešku.

Dakle, prema formuli (3.16), greška koju pri tom činimo nije veća od

##
Metoda najmanjih kvadrata

Na sljedećoj slici je funkcija, zadana svojim vrijednostima u nekoliko točaka, interpolirana polinomom prvog stupnja (pravac) i polinomom drugog stupnja (crtkana linija) u smislu metode najmanjih kvadrata.

Lagrangeov polinom veoma dobro aproksimira funkciju lokalno, u izabranim točkama, dok izvan tih točaka aproksimacija može biti vrlo loša. Sada ćemo upoznati metodu najmanjih kvadrata, metodu pomoću koje možemo zadanu funkciju aproksimirati drugom funkcijom određenog tipa globalno, tako da u izvjesnom smislu njihova međusobna udaljenost bude što manja, bez obzira na to što se funkcije možda neće poklapati niti u jednoj točki.

Pretpostavimo najprije da su vrijednosti funkcije poznate samo u nekim točkama. Neka su dane točke i neka su pripadne vrijednosti funkcije Želimo naći onu funkciju određenog tipa s neodređenim parametrima koja najbolje aproksimira funkciju To možemo učiniti na sljedeći način.

Izračunamo sumu kvadrata razlika funkcija i

i zatim tražimo neodređene parametre iz uvjeta da kao funkcija tih parametara ima minimalnu vrijednost.

Ako je funkcija zadana u svim točkama nekog segmenta onda se funkcija definira pomoću integrala

Klase funkcija iz kojih biramo funkciju su obično polinomi prvog stupnja polinomi drugog stupnja eksponencijalne funkcije itd.

Na pr. ako želimo naći polinom prvog stupnja najbliži funkciji čije su nam vrijednosti poznate u točkama onda je

| (3.17)

Nužan uvjet za ekstrem funkcije je

dakle

Kad sredimo ovaj sustav jednadžbi, dobijemo

Iz njega izračunamo i Iz prirode problema jasno je da funkcija ima samo minimum, pa tako određeni parametri doista daju najbolju aproksimaciju funkcioje

Kad se funkcija traži u obliku eksponencijalne, logaritamske i slično, onda se na ovaj način u pravilu dobije sustav nelinearnih jednadžbi. Takve sustave je teže rješavati nego linearne. Obično se nekim operacijama nad funkcijama (na pr. logaritmiranjem) pojednostavni klasa funkcija u kojoj tražimo aproksimaciju. No, parametri koje tako dobijemo nisu najbolji mogući u smislu metode najmanjih kvadrata.

Primjer 3.15 Neka su funkcija i točke kao u primjeru 3.14. Interpolirati funkciju polinomom drugog stupnja, ali metodom najmanjih kvadrata, i pomoću njega približno naći

Rješenje. Neka je

polinom koji u smislu metode najmanjih kvadrata interpolira podatke

Sada formulu (3.17) treba napisati u obliku

Ova funkcija ovisi o tri varijable, pa je nužan uvjet za ekstrem

Kad uvrstimo poznate veličine i sredimo, dobivamo sustav jednadžbi

Rješenje je pa je traženi polinom

##
Numerička integracija

Zadatak je izračunati integral

Umjesto da integriramo podintegralnu funkciju, što često nije moguće, ili zahtijeva puno posla, integriramo polinom, koji interpolira funkciju u odgovarajućim točkama. Numerički to radimo na sljedeći način. Segment podijelimo na podsegmente točkama

Radi jednostavnosti i određenosti postupka podjela se uzme ekvidistantnom. U tim točkama interpoliramo funkciju Lagrangeovim polinomom, i zatim integriramo polinom. Tako dobiven broj predstavlja približnu vrijednost zadanog integrala. Dakle

Ako uvrstimo Lagrangeov polinom (3.13), imamo

| (3.18)

Da bismo razmatranje učinili neovisnim o segmentu svedimo ga supstitucijom na fiksni segment To možemo učiniti afinom funkcijom (polinomom prvog stupnja) čiji je graf pravac kroz točke i
Jednadžba tog pravca je

odnosno

Supstitucija čuva ekvidistantnost, pa je

ekvidistantna podjela segmenta na podsegmenata. Tom supstitucijom formula (3.18) prelazi u

gdje je

| (3.19)

Vidimo da ponderi ne ovise o segmentu, niti o funkciji, već samo o broju

Iz formule (3.14) slijedi da je greška koju pri tom činimo

gdje je

Točka nam nije poznata, pa za ocjenu greške moramo uzeti maksimum ove derivacije na segmentu

gdje je

Specijalno za imamo Zatim,

pa je

gdje je

Za imamo tri točke podjele Pretpostavimo da je podjela ekvidistantna, tj. da je Tada je

Kad bismo ponovili postupak kao gore, dobili bismo ocjenu reda veličine No, ta se ocjena može poboljšati. Zbog činjenice da je funkcija simetrična u odnosu na točku njezin integral po segmentu iščezava. U tom slučaju se funkcija može interpolirati s polinomom 4. stupnja, tako da se točka uzme kao dvostruka. O tome kako se to radi ovdje nećemo govoriti. Primijetimo samo da zbog integriranja polinoma 4. stupnja ocjena postaje reda veličine Može se pokazati de je ona

gdje je

###
Trapezna formula

U slučaju iz formule (3.19) imamo pa su ponderi

Prema tome formula glasi

| (3.20)

uz ocjenu greške

Općenito je greška ove aproksimacije velika. Zato dijelimo segment na podsegmente, i na svakom od njih posebno koristimo ovu formulu. Radi jednostavnosti uzimamo ekvidistantnu podjelu. Neka je dakle

i

gdje je Ako na svaki od podsegmenata, čija je duljina primijenimo formulu (3.20), dobivamo

odnosno

| (3.21)

Formula (3.21) se zove trapezna formula.

Ocjena greške se dobije zbrajanjem grešaka na pojedinim podsegmentima. Tako imamo

gdje je

Za ovu ocjenu trebalo bi mnogo puta ( puta) ocjenjivati drugu derivaciju i to na raznim podsegmentima, što nije jednostavno. Zato radije ocjenu napravimo jednom za cijeli segment i uzmemo u obzir da je za svaki

Tako imamo ocjenu

###
Simpsonova formula

U slučaju iz formule (3.19) imamo pa su ponderi

Prema tome formula glasi

uz ocjenu greške

gdje je

Kao i kod trapezne formule, točniji rezultat ćemo dobiti, ako segment podijelimo na podsegmente, i na svakom od njih posebno koristimo ovu formulu. Radi jednostavnosti uzimamo ekvidistantnu podjelu. Budući da na svakom podsegmentu uzimamo još srednju točku, podsegmenata imamo zapravo Neka je dakle

i

Sada primjenjujemo približnu formulu na parovima susjednih podsegmenata i to tako da srednja točka bude točka s neparnim indeksom. Tako dobivamo formulu

odnosno

koja se zove Simpsonova formula.
Diskusija kao kod trapezne formule nas dovodi do ocjene greške

Primjer 3.16 Pomoću numeričke integracije izračunati približno broj na pet decimala točno.

Rješenje. Najprije sjetimo se da je i Odatle

Dakle

pa treba izračunati ovaj integral na pet decimala točno. Račun ćemo provesti na dva načina, pomoću trapezne i pomoću Simpsonove formule.

1. Podintegralna funkcija je

njezina druga derivacija je

a treća

Kako treća derivacija nema nula u intervalu druga derivacija je na tom intervalu monotona. Računanjem vrijednosti na rubovima lako se vidi da ona raste i to od do To znači da je Dakle imamo ocjenu greške za trapeznu formulu

Budući da tražimo točnost prvih pet decimala, mora biti

tj.

Prema tome treba segment podijeliti na podsegmenata.

2. Pomoću Simpsonove formule račun ide ovako. Četvrta derivacija je

a peta

Peta derivacija se poništava u ali je u toj točki pozitivna, pa ima u minimum. Tako četvrta derivacija pada na intervalu od 0 do i zatim raste na intervalu od do Imamo

Dakle i prema tome treba biti

odakle Budući da je broj segmenata potreban za Simpsonovu formulu paran, minimalni koji treba uzeti je Kad se provede potreban račun dobije se

### Gaussova kvadratura

Trapezna i Simpsonova formula su koristile ekvidistantnu podjelu. Točke podjele su bile jednoliko razmještene na segmentu. Te formule u pravilu računaju točno integrale polinoma najviše onog stupnja kojeg je bio interpolacioni polinom. Tako trapezna formula računa točno integrale polinoma do uključivo prvog stupnja.

Postavlja se pitanje da li postoje formule koje računaju točno integrale stupnja višeg nego što je interpolacioni polinom. Takve formule postoje i zovu se Gaussove kvadraturne formule. U tim formulama točke podjele nisu više ekvidistantno raspoređene. Točke podjele ćemo u daljnjem zvati čvorovima.

Kvadraturna formula općenito je oblika

| (3.22)

Zbog svojstva linearnosti integrala, kvadraturna formula koja računa točno potencije do uključivo stupnja računat će točno i njihove linearne kombinacije, tj. polinome do uključivo -tog stupnja. Dakle, pretpostavimo da greška prilikom računanja potencija do uključivo stupnja iščezava

Tako imamo jednadžbu za nepoznanica Općenito sustav treba imati onoliko jednadžbi koliko ima nepoznanica, da bismo imali jedinstveno rješenje. Ne ulazeći dublje u tu problematiku, primijetimo da u ovom slučaju to znači da treba biti Dakle, u principu, s kvadraturnih točaka se mogu rješavati točno integrali polinoma stupnja najviše

Umjesto rješavanja gornjeg sustava, za određivanje čvorova i težina koristimo ideju koja potječe od C. F. Gaussa, a osniva se na sljedećem razmatranju.

Neprekidne funkcije na čine vektorski prostor obzirom na uobičajene operacije zbrajanja funkcija i množenja funkcije brojem. Svakom paru takvih funkcija možemo pridružiti broj

Funkcija, koja uređenom paru pridružuje ima svojstva

1.
2.
3.
4.
5.

pa se zato zove skalarni produkt. To nam omogućava da govorimo o međusobno ortogonalnim funkcijama, njihovoj duljini itd.

Vratimo se sada na naš problem. Da diskusija ne bi ovisila o području integracije, prijeđimo na segment supstitucijom

Tada je

gdje je

Iz formule (3.22) slijedi

Neka su tražene kvadraturne točke. Po pretpostavci, kvadraturna formula je točna za polinome do uključivo -og stupnja. Prema tome

za S druge strane suma iščezava, jer se za svaki jedan faktor poništava. To znači, da je polinom

okomit na polinome a prema tome i na njihove linearne kombinacije, tj. na sve polinome stupnja najviše Takvi polinomi se zovu Legendreovi polinomi. Točke Gaussove kvadrature su upravo korijeni (nule) tih polinoma. Nađimo Legendreove polinome. U tu svrhu ortogonalizirajmo polinome Gram-Schmidtovim postupkom

Tako na segmentu imamo točke kvadrature

| 0 |  |  |
|  | 0 |  |

Težine jednostavno možemo izračunati na sljedeći način. Gaussova kvadratura računa točno polinome do uključivo -og stupnja. Neka su polinomi sa svojstvom

To su polinomi koji su se pojavili prilikom Lagrangeove interpolacije. Njihov stupanj je pa Gaussova kvadratura računa njihove integrale točno. To znači

tj.

Nultočke Legendreovihovih polinoma uglavnom su iracionalni brojevi, pa uzimajući vrijednosti iz gornje tablice, činimo grešku zamjenjujući iracionalan broj decimalnim. Tako ipak ne dobivamo apsolutnu točnost. No, barem smo uklonili grešku koja se odnosi na zamjenu integrala kvadraturnom formulom.

Next: Obične diferencijalne jednadžbe Up: Numerička matematika Previous: Rješavanje sustava jednadžbi Contents Index