###
Elementarne transformacije

Elementarnim transformacijama nad matricom zovemo sljedeće operacije:

<#28900#>1.<#28900#>
  zamjena dva retka (dva stupca) u matrici,
<#28901#>2.<#28901#>
  množenje proizvoljnog retka (stupca) brojem <#1515#>različitim od nule<#1515#>,
<#28902#>3.<#28902#>
  množenje proizvoljnog retka (stupca) matrice brojem, i dodavanje bilo kojem drugom retku (stupcu) matrice.

Ako je matrica #tex2html_wrap_inline28904# dobivena iz matrice #tex2html_wrap_inline28906# primjenom jedne ili više elementarnih operacija, onda pišemo #math521#

#tex2html_wrap_indisplay28908#

i kažemo da je matrica #tex2html_wrap_inline28910# ekvivalentna matrici #tex2html_wrap_inline28912# Kako pokazuju sljedeći primjeri, ove operacije se mogu ostvariti množenjem matrice regularnim matricama s lijeva ili s desna.

Primjer 1.11 #math522#

#tex2html_wrap_indisplay28915#

#math523#

#tex2html_wrap_indisplay28917#

Dakle, množeći matricu s lijeva jediničnom matricom u kojoj su zamijenjeni drugi i treći redak, dobili smo matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i treći redak. Množeći matricu s desna jediničnom matricom u kojoj su zamijenjeni drugi i treći stupac, dobili smo matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i treći stupac.

Primjer 1.12 #math524#

#tex2html_wrap_indisplay28920#

#math525#

#tex2html_wrap_indisplay28922#

Dakle, množeći matricu s lijeva jediničnom matricom u kojoj je treći redak pomnožen brojem #tex2html_wrap_inline28924# (različitim od nule), dobili smo matricu u kojoj je treći redak pomnožen brojem #tex2html_wrap_inline28926# Množeći matricu s desna jediničnom matricom u kojoj je drugi stupac pomnožen brojem #tex2html_wrap_inline28928# (različitim od nule), dobili smo matricu u kojoj je drugi stupac pomnožen brojem #tex2html_wrap_inline28930#

Primjer 1.13 #math526#

#tex2html_wrap_indisplay28933#

#math527#

#tex2html_wrap_indisplay28935#

Dakle, množeći matricu s lijeva jediničnom matricom u kojoj smo prvi redak pomnožili brojem #tex2html_wrap_inline28937# i dodali četvrtom, dobili smo matricu u kojoj je prvi redak pomnožen brojem #tex2html_wrap_inline28939# dodan četvrtom retku. Množeći matricu s desna jediničnom matricom u kojoj smo treći stupac pomnožili brojem #tex2html_wrap_inline28941# i dodali prvom, dobili smo matricu u kojoj je treći stupac pomnožen brojem #tex2html_wrap_inline28943# dodan prvom stupcu.

Zaključak.

<#28952#>1.<#28952#>
  Što želimo učiniti s recima matrice #tex2html_wrap_inline28945# učinimo to s recima jedinične matrice i s tako dobivenom matricom množimo matricu #tex2html_wrap_inline28947# s lijeva.
<#28953#>2.<#28953#>
  Što želimo učiniti sa stupcima matrice #tex2html_wrap_inline28949# učinimo to sa stupcima jedinične matrice i s tako dobivenom matricom množimo matricu #tex2html_wrap_inline28951# s desna.

Ove intervencije na jediničnoj matrici dovode do regularnih matrica. Zaista, ako jediničnu matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i treći redak (stupac) pomnožimo s istom takvom s lijeva (s desna), dobit ćemo jediničnu matricu. Ako jediničnu matricu u kojoj je treći redak (stupac) pomnožen brojem #tex2html_wrap_inline28955# pomnožimo s lijeva (s desna) s jediničnom matricom u kojoj je treći redak (stupac) pomnožen brojem #math528##tex2html_wrap_inline28957# dobit ćemo jediničnu matricu. Ako jediničnu matricu u kojoj je trećem retku (stupcu) dodan prvi pomnožen s #tex2html_wrap_inline28959# pomnožimo s lijeva (s desna) s jediničnom matricom u kojoj je trećem retku (stupcu) dodan prvi pomnožen s #tex2html_wrap_inline28961# dobit ćemo jediničnu matricu. Ove matrice koje vrše elementarne operacije zvat ćemo elementarnim matricama. Gaussov i Gauss-Jordanov postupak eliminacije se može provoditi tako da se nad proširenom matricom sustava provode elementarne operacije, ali samo s recima. Vršeći elementarne operacije nad stupcima, pobrkali bismo nepoznanice do te mjere da više ne bismo znali što smo na kraju izračunali.