Next: Višedimenzionalni problemi Up: Rubni problemi Previous: Fourierova metoda Contents Index
Subsections

- Varijacijski princip
  - Egzistencija rješenja
- Varijacijski račun

#
Varijacijske metode

##
Varijacijski princip

Neka je zadan rubni problem ravnoteže žice

| (2.30)

i pretpostavimo da je ravnotežni položaj. Pretpostavljamo da je proizvoljni pomak iz položaja ravnoteže žice određen neprekidnom funkcijom klase takvom da je
Nazovimo sve takve funkcije dopustivima. Funkciju ćemo zvati perturbacijom ravnotežnog stanja (položaja). Naglasimo da je pomak od ravnotežnog stanja a ne od osi
Ako jednadžbu iz (2.30) pomnožimo s i integriramo duž žice, dobit ćemo

Parcijalno integrirajmo prvi integral

Zbog i slijedi

| (2.31)

Jednakost (2.31) predstavlja Bernoullijev princip sačuvanja rada. Prvi član je rad kontaktne sile koja se opire deformaciji iz ravnotežnog stanja. Drugi član je rad sile otpora, a treći rad vanjske sile čija je gustoća Bernoullijev princip tvrdi da je ukupni rad vanjskih i unutarnjih sila na perturbaciji ravnotežnog položaja jednak Drugim riječima, ako žicu perturbiramo, svaki komadić žice prijeđe neki put iz ravnotežnog stanja. Vanjske sile na tom putu izvrše neki rad. Rad uslijed sile napetosti žice, koja nastoji vratiti žicu u ravnotežni položaj jednak je po apsolutnom iznosu radu vanjskih sila, ali suprotnog predznaka. Tako je suma svih radova jednaka nuli. Možemo zaključiti sljedeće. Ako rješava zadani rubni problem, onda vrijedi jednakost (2.31) za svaku dopustivu funkciju (perturbaciju)

Pretpostavimo da je funkcija takva da je i da zadovoljava uvjet (Bernoullijev princip)

za svaku dopustivu funkciju Integrirajmo parcijalno prvi član na lijevoj strani. Dobivamo

Za dopustivu funkciju to je, zbog

| (2.32)

Ovo vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i takvu za koju je Za takvu ova jednakost postaje

odnosno

Lema 2 Neka je neprekidna funkcija na i neka je

za svaku funkciju takvu da je Tada je tj. za svaki

Dokaz. Ako je onda zbog neprekidnosti funkcije postoji točka blizu točke takva da je Isto možemo zaključiti i za desni rub Odatle slijedi da je dovoljno dokazati tvrdnju leme za
Pretpostavimo suprotno, da postoji takav da je Tada, zbog neprekidnosti funkcije postoji interval oko točke takav da je za svaki Izaberimo neprekidnu funkciju tako da je za svaki i da je za svaki

Tada je

što je u kontradikciji s pretpostavkom u iskazu leme. Prema tome nije moguće da bude u nekoj točki Na sličan način se dokazuje da nije moguće da bude Prema tome je za svaki

Na temelju ove leme zaključujemo da je nužno

| (2.33)

Dakle zadovoljava diferencijalnu jednadžbu. Po pretpostavci zadovoljava homogeni kinematički uvjet Dokažimo na kraju da zadovoljava i dinamički uvjet Zbog (2.33), jednadžba (2.32) se sada svodi na

Kako ona vrijedi za svaku dopustivu funkciju, vrijedi i za takvu za koju je Osim toga je pa prema tome mora biti

Možemo zaključiti sljedeće. Ako zadovoljava Bernoullijev princip, i onda rješava rubni problem (2.30).

Tako smo dokazali sljedeći teorem.

Teorem 17

1.
  Neka je funkcija rješenje rubnog problema

  | (2.34)

  Tada vrijedi

  | (2.35)

  za svaku dopustivu funkciju
2.
  Neka je funkcija neka je i neka funkcija zadovoljava uvjet (2.35) za svaku dopustivu funkciju Tada rješava rubni problem (2.34).

Primijetimo da se u drugoj tvrdnji zahtijeva od funkcije samo zadovoljavanje kinematičkog rubnog uvjeta, dok dinamički rubni uvjet, nužno slijedi iz činjenice da zadovoljava Bernoullijev princip.

Promatrajmo i dalje rubni problem (2.34). Stavimo

gdje je ravnotežni položaj, perturbacija, a rezultanta. Svakom takvom rezultantnom položaju možemo pridružiti broj

| (2.36)

Prema tome tu se radi o funkciji koja funkcijama pridružuje brojeve (kao na pr. kod Riemannovog integrala). Takva funkcija se zove funkcional. Prvi integral je unutrašnja potencijalna energija uslijed deformacije žice, drugi integral je potencijalna energija vanjske sile, dok je treći integral potencijalna energija elastične sile otpora. Zato se ovaj funkcional zove funkcional energije.

Interesira nas čime se odlikuje ravnotežno stanje , među svim mogućim funkcijama u odnosu na ponašanje funkcionala zadanog formulom (2.36). Neka je dopustiva funkcija. Podsjetimo da to znači da je klase i da je Neka je U formulama, koje slijede, nećemo pisati varijablu radi kratkoće.

Drugi član je nenegativan zato jer je takva podintegralna funkcija, a treći je nula zbog Bernoullijevog principa. Tako imamo

Dakle možemo zaključiti sljedeće. Od svih rezultanti ona rezultanta, koja predstavlja ravnotežni položaj, pridaje funkcionalu najmanju vrijednost. Za funkciju na kojoj funkcional poprima najmanju vrijednost kažemo da minimizira funkcional Tako smo dokazali prvu tvrdnju sljedećeg teorema.

Teorem 18 (Varijacijski princip, Dirichletov princip)

1.
  Neka je funkcija rješenje rubnog problema (2.34). Tada minimizira funkcional
2.
  Neka je funkcija neka je i neka minimizira funkcional Tada je rješenje rubnog problema (2.34).

Dokažimo drugu tvrdnju (obrat prve). Pretpostavimo da minimizira funkcional tj. da je za proizvoljnu dopustivu funkciju Ako je dopustiva funkcija, onda je i za neki dopustiva. Stavimo

Tako vidimo da je polinom drugog stupnja u varijabli Graf polinoma drugog stupnja je parabola. Kako je koeficijent uz pozitivan parabola ima u svom tjemenu minimum. Apscisa tjemena je Da bi se minimum dogodio za što se mora desiti jer smo pretpostavili da je mora nužno biti To znači da mora biti

Dopustiva funkcija je bila proizvoljna, pa prema tome ova jednakost vrijedi za svaku dopustivu funkciju Osim toga pretpostavka je da je Odatle, po Bernoullijevom principu slijedi da rješava rubni problem (2.34).

Primijetimo na kraju da teorem 18 izražava poznati mehanički princip da je ravnotežno stanje fizikalnog sustava ono stanje u kojem je njegova potencijalna energija minimalna.

### Egzistencija rješenja

Rješenje rubnog problema treba biti funkcija iz S druge strane za funkciju koja minimizira funkcional energije dovoljno je da bude iz

Sljedeći primjer pokazuje da rubni problem ne mora imati rješenja, dok za pripadni funkcional energije postoji funkcija koja ga minimizira. Radi jednostavnosti promatrat ćemo rubni problem u kojem je konstanta, i

Primjer 2.19 Neka je gustoća vanjske sile dana formulom

Rubni problem

| (2.37)

nema rješenja.

Problem minimizacije pripadnog funkcionala

uz rubne uvjete ima rješenje, tj. postoji funkcija takva da je i da je za svaku isto takvu funkciju

Rješenje. Rubni problem ne može imati rješenje, jer ako funkcija rješava rubni problem, onda je

neprekidna funkcija na što nije istina.

Da bismo našli funkciju koja minimizira funkcional, integrirajmo jednadžbu u (2.37) po području od do

Zbog uvjeta na rubu, prvi član iščezava, pa je

| (2.38)

gdje je

Nakon što integriramo (2.38) od 0 do i uzmemo u obzir uvjet dobivamo

Funkcija je neprekidna, pa je tako

Pokažimo sada da ova funkcija minimizira pripadni funkcional energije. Stavimo gdje je proizvoljna dopustiva funkcija.

Jedino drugi član ovisi o i on je nenegativan. Najmanju vrijednost poprima onda kada je No tada je const. pa zbog je Pri tom minimum iznosi Prema tome funkcija doista minimizira funkcional S druge strane nema tangentu u pa ne postoji na Tako ne može biti rješenje rubnog problema (2.37).

Primjer 2.20 Naći skalarnu funkciju na segmentu koja minimizira funkcional

| (2.39)

uz početni uvjet i izračunati minimum funkcionala

Rješenje. Stavimo

gdje je proizvoljna dopustiva funkcija (neprekidno derivabilna i ), a proizvoljan broj.

Da bi minimizirala dani funkcional, mora imati minimalnu vrijednost za No, je polinom drugog stupnja u njegov graf je parabola, pa se minimalna vrijednost dostiže u tjemenu. Apscisa tjemena je

Kako se minimum ostvaruje za nužno mora biti U ovom slučaju je

Slijedi

Drugi integral parcijalno integriramo

pa imamo, zbog

| (2.40)

Ova jednakost vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i za svaku takvu za koju je Zaključujemo da je

za svaku takvu funkciju Odatle slijedi

Prema tome integral u (2.40) iščezava, pa je

za svaku dopustivu funkciju, pa i za takve za koje je Slijedi

Dakle, problem minimizacije funkcionala (2.39) vodi na rješavanje rubnog problema

Rješenje je

Minimalna vrijednost funkcionala, uz zadani poz1etni uvjet je

##
Varijacijski račun

U 2.4.1 smo razmatrali problem minimizacije funkcionala energije određenog rubnog problema. Ovdje ćemo razmatrati problem minimizacije općenitijeg funkcionala.

Neka je dana neprekidno derivabilna funkcija od tri varijable

Neka je i Tada imamo kompoziciju funkcija (složenu funkciju) od jedne varijable

U vezi s tom funkcijom možemo promatrati sljedeći funkcional

Ovo je općenitiji funkcional od onih koje smo promatrali. Na pr. ako stavimo

onda kompozicija kao gore daje funkcional energije (2.36).

Osim same formule, važno je odrediti domenu funkcionala. Kao što se iz formule vidi, funkcional pridružuje funkciji broj. Važno je definirati kojem skupu funkcija pripada To naravno ovisi o problemu o kojem se radi. Pretpostavimo da je funkcional definiran na skupu

Skup je vektorski prostor, jer je bilo koja linearna kombinacija elemenata iz opet element iz Elemente iz ćemo zvati dopustivim funkcijama.

Posebno nas interesiraju funkcije na kojima funkcional poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost. Svaka takva funkcija se zove ekstremala. Nađimo sada uvjet koji treba ispunjavati funkcija da bude ekstremala funkcionala U tu svrhu stavimo gdje je dopustiva funkcija.

je funkcija od i za ona ima ekstrem. Budući da je funkcija

neprekidno derivabilna, to znači da mora biti

| (2.41)

Kako je neprekidno derivabilna, imamo

Preciznije

Zbog (2.41) imamo

| (2.42)

Jednom parcijalno integrirajmo drugi integral

Funkcija je dopustiva, pa je Tako imamo

Kad to uvrstimo u (2.42), dobivamo

| (2.43)

Ova jednakost vrijedi za svaku dopustivu funkciju, pa i za takve za koje je Za takve dopustive funkcije imamo

Na osnovu leme 2 slijedi

ili kraće

| (2.44)

Ako se s time vratimo u jednadžbu (2.43), te zbog proizvoljnosti dopustive funkcije uzmemo takvu da je slijedi da mora vrijediti također

Ova jednakost se zove prirodni uvjet na rubu

Jednadžba (2.44) se zove Eulerova diferencijalna jednadžba za dani funkcional. Dakle, da bi funkcija bila ekstremala funkcionala nužno mora zadovoljavati pripadnu Eulerovu diferencijalnu jednadžbu. To je nužan uvjet, ali ne i dovoljan. Dovoljne uvjete ovdje nećemo razmatrati. Napomenimo da se iz prirode problema često može zaključiti da li ekstremala postoji ili ne. Ako postoji, i ima neprekidne derivacije dovoljno visokog reda, onda je dovoljno naći rješenje Eulerove jednadžbe, koje zadovoljava rubne uvjete.

Primjer 2.21 Problem brahistohrone. Interesira nas koji oblik putanje treba izabrati tako da se za najkraće vrijeme, u polju sile teže, stigne iz točke u točku
Krivulja s tim svojstvom se zove brahistohrona.2.1

Rješenje. Zakon o sačuvanju energije glasi

konst.

Nadalje

Predznak dolazi stoga što smo pozitivni dio osi okrenuli prema dolje. Tako je

konst.

U točki je i pa slijedi da je konstanta jednaka nuli. Odatle

jer ćemo u daljnjem visinu označavati s Zadatak je naći funkciju

S druge strane brzina je

Odatle je

pa je vrijeme gibanja po krivulji

Od svih puteva treba izabrati onaj uz koji ovaj funkcional poprima najmanju vrijednost uz uvjete

Budući da konstanta ne utječe na to da li je ekstremala ili ne, možemo uzeti

Budući da u ne dolazi eksplicitno Eulerova jednadžba glasi

S druge strane

jer je izraz u zagradi upravo lijeva strana Eulerove jednadžbe. Dakle

Odatle

U našem slučaju

tj.

Stavimo

gdje je parametar.

pa je

Sada treba izraziti kao funkciju od pa ćemo tako dobiti parametarski određenu traženu krivulju.

Isto tako

Tako je

Odatle

Mora biti da bi istovremeno i težili k nuli. Stavimo Tada je

dok je

Konstanta se određuje iz preostalog rubnog uvjeta ili preciznije Ove parametarske jednadžbe predstavljaju cikloidu.

Next: Višedimenzionalni problemi Up: Rubni problemi Previous: Fourierova metoda Contents Index