Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu
Osnove inženjerske informatike II (Mathematica)
5. predavanje

Limesi  i  derivacije

Limesi nizova i funkcija

Limes niza ili funkcije Mathematica  računa pomoću funkcije Limit.
Sintaksa je sljedeća:
Limit[ izraz, x->(Subscript[x, 0])]
Beskonačnu vrijednost ∞ u Mathematici zapisujemo Infinity.

Primjeri 1

(Underscript[lim  , n->∞])(n/(n+1))

Limit[n/(n+1),n->Infinity]

(Underscript[lim  , n->∞])(((1+(1/n)))^n)

Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity]

Primjeri 2

(Underscript[lim  , x->0])((sin x)/x)

Limit[Sin[x]/x,x->0]

Plot[Sin[x]/x,{x,-10,10}]

(Underscript[lim  , x->+∞])(e^x), (Underscript[lim  , x->-∞])(e^x)

Limit[Exp[x],x->Infinity]

Limit[Exp[x],x->-Infinity]

Lijevi i desni limes funkcije Mathematica računa pomoću opcije  Direction.
Sintaksa je sljedeća:
Limit[ f(x), x->(Subscript[x, 0]) , Direction->1] za limes s lijeve strane tj.  (Underscript[lim  , x->(Subscript[x, 0])-0])f(x)
Limit[ f(x), x->(Subscript[x, 0]) , Direction->-1] za limes s desne strane tj.  (Underscript[lim  , x->(Subscript[x, 0])+0])f(x)

Primjer 3

Plot[Tan[x],{x,0,Pi},AspectRatio->1]

Limit[Tan[x],x->Pi/2,Direction->1]

Limit[Tan[x],x->Pi/2,Direction->-1]

ZADATAK

Odredite asimptote grafa funkcije  f(x)=(((x^2)-2x+8)/(x-3)).

Podsjetite se:

• Ako je  (Underscript[lim  , x->a])f(x)=∞, tada je pravac x=a vertikalna asimptota grafa fukcije f.

• Ako postoje limesi   (Underscript[lim  , x->-∞])((f(x))/x)=(Subscript[k, 1]), 
                                  (Underscript[lim  , x->-∞])(f(x)-(Subscript[k, 1])x)=(Subscript[b, 1]) 
tada je pravac y=(Subscript[k, 1])x+ (Subscript[b, 1])   lijeva kosa asimptota grafa funkcije f.
U slučaju da je  (Subscript[k, 1])=0 tada je pravac y=(Subscript[b, 1]) lijeva horizontalna asimptota grafa funkcije f.

• Ako postoje limesi   (Underscript[lim  , x->+∞])((f(x))/x)=(Subscript[k, 2]), 
                                  (Underscript[lim  , x->+∞])(f(x)-(Subscript[k, 2])x)=(Subscript[b, 2]) 
tada je pravac y=(Subscript[k, 2])x+ (Subscript[b, 2])   desna kosa asimptota grafa funkcije f.
U slučaju da je  (Subscript[k, 2])=0 tada je pravac y=(Subscript[b, 2]) desna horizontalna asimptota grafa funkcije f.

f[x_]:=(x^2-2x+8)/(x-3)

Plot[f[x],{x,-12,12}]

Očito je pravac x=3 vertikalna asimptota.

Limit[f[x],x->3,Direction->1]

Limit[f[x],x->3,Direction->-1]

Pravac y=x+1 je kosa asimptota.

Limit[f[x]/x,x->Infinity]

Limit[f[x]-x,x->Infinity]

Limit[f[x]/x,x->-Infinity]

Limit[f[x]-x,x->-Infinity]

Plot[{f[x],x+1},{x,-12,12}]

Clear[f]

Derivacije funkcija jedne varijable

U Mathematicu  su ugrađena pravila za deriviranje i derivacije svih standardnih funkcija.
Derivacije se računaju pomoću Mathematica funkcije D.
Ako je f funkcija jedne varijable (npr. x) sintaksa je sljedeća:
D[ f(x), x]  računa 1. derivaciju od f po x
D[ f(x), x,x]  ili  D[ f, {x,2}]   računa 2. derivaciju od f po x
........
D[ f(x), {x,n}]   računa n-tu derivaciju od f po x

Primjeri 1

D[Sin[x]*Cos[x],x]

D[Sin[x]*Cos[x],{x,4}]

D[ArcTan[x],x]

D[Log[1/(x+1)],{x,6}]

D[x^n,x]

D[x^n,{x,5}]

Primjeri 2

Mathematica funkcije može tretirati simbolički (ne moraju biti eksplicitno zadane).
Tada je i rezultat u simboličkom obliku.

D[f[x],x]

D[f[x],x,x]

D[f[x],{x,n}]

Provjerimo formule za računanje derivacije produkta, kvocijenta i složene funkcije.

D[f[x]*g[x],x]

D[f[x]/g[x],x]

D[f[g[x]],x]

ZADATAK

Odredite ekstreme funkcije 
f(x)= (((x^2)+ 7)/(x+4))

Podsjetite se:

1. korak: 
Definirati ćemo gornju funkciju.
Izračunati ćemo prvu derivaciju i pomoću NSolve odrediti ćemo njene nultočke. 
Dobit ćemo x koordinate stacionarnih točaka.

Clear[f];
f[x_]:=(x^2+7)/(x+4);
derf=D[f[x],x]
stac=NSolve[derf==0,x]

Stacionarne točke imaju x koordinate  jednake:

xi=x/.stac

Kao pomoćni Mathematica korak nacrtajmo graf funkcije za x∈[–15;10].

Plot[f[x],{x,-15,10},AspectRatio->1,Ticks->{xi,f[xi]}]

2. korak: 
Izračunati ćemo drugu derivaciju i odrediti njenu vrijednost za gorenje x-eve.
Ako je vrijednost druge derivacija pozitivne (negativna)  funkcija u stacionarnoj točki ima minimum (maksimum)

D[f[x],{x,2}]/.stac

Za prvi x druga derivacija je negativna pa f(x) ima, za taj x, maksimum.
Za drugi x druga derivacija je pozitivna pa f(x) ima, za taj x, minimum.

Kao kontrolni korak provjerimo da li nam to odgovara grafu.

3. korak: 
Odrediti ćemo y koordinate ekstrema te konačno točke ekstrema.

yi=f[x]/.stac

Točke ekstrema su

exs=Table[{xi[[i]], yi[[i]]} , {i,1, Length[xi]} ]

Zaključak: 
    u prvoj točki funkcija ima maksimum,
    a u drugoj točki funkcija ima minimum.

Uredimo Mathematica prikaz grafa funkcije za x∈[–15;10].

slika 1

Plot[f[x],{x,-15,10},AspectRatio->1,AxesLabel->{x,"y=f[x]"},PlotLabel->GRAF]

slika 2

graf1=Plot[f[x],{x,-15,10},AspectRatio->1,AxesLabel->{x,"y=f(x)"},PlotStyle->{Red,Thick}]

slika 3

Show[graf1,
Graphics[{AbsolutePointSize[6],Point[exs[[1]]],Point[exs[[2]]]}]
]

Derivacije funkcija više varijabli

Za funkcije dvije ili više varijabli Mathematica računa parcijalne derivacije.
Neka je npr. f funkcija dviju varijabli, tada 
D[ f(x,y), x]  računa 1. parcijalnu derivaciju od f po x, tj. ((∂f)/(∂x))
D[ f(x,y), y]  računa 1. parcijalnu derivaciju od f po y, tj. ((∂f)/(∂y))

D[ f(x,y), x,x]  ili  D[ f(x,y), {x,2}]   računa 2. parcijalnu derivaciju od f po x, tj. (((∂^2)f)/(∂(x^2)))
D[ f(x,y), x,y]    računa 2. mješovitu parcijalnu derivaciju od f po x i y,  tj.  (((∂^2)f)/(∂x∂y))
........
D[ f(x,y), {x,m},{y,n}]   računa (((∂^(m+n))f)/(∂(x^m)∂(y^n))).
Na istom se principu gradi i sintaksa za računanje parcijalnih derivacija za funkcije od tri ili više varijabli.

Primjeri

D[f[x,y],x]

D[f[x,y],y]

D[f[x,y],x,x]

D[f[x,y],y,y]

D[f[x,y],x,y]

D[f[x],x,y]==D[f[x],y,x]

D[f[x,y],{x,n}]

D[f[x,y],{x,m},{y,n}]

D[f[x,y],{x,m},{y,n}]==D[f[x,y],{y,n},{x,m}]

ZADATAK

Odredite ekstreme funkcije  f(x, y) = (x^2)+ (y^2) -2 x + 2y nad područjem  (-5,5)×(-5,5).

1. korak:
Definirati ćemo funkciju i naći njene parcijalne dereivacije po x i po y.
Stacionarne točke ćemo dobiiti kao rješenje sustava jednadžbi 
((∂f)/(∂x))=0,  ((∂f)/(∂y))=0.

Clear[f];
f[x_,y_]:=x^2+y^2-2x+2y;
fpox=D[f[x,y],x];
fpoy=D[f[x,y],y];
stac=NSolve[{fpox==0,fpoy==0},{x,y}]

2. korak:
Formirati ćemo izraz
(((∂^2)f)/((∂^2)x))·(((∂^2)f)/((∂^2)y))- ((((((∂^2)f)/(∂x ∂y))))^2)
i u njega ćemo uvstiti x i y koordinate dobivene stacionarne točke.
Ako dobijemo pozitivan broj, funkcija u stacionarnoj točki ima ekstrem.
I to, za (((∂^2)f)/((∂^2)x))>0 (ili  (((∂^2)f)/((∂^2)y))>0) minimum, odnosno za  (((∂^2)f)/((∂^2)x))<0 (ili  (((∂^2)f)/((∂^2)y))<0)  maksimum.

fpoxx=D[f[x,y],x,x];
fpoxy=D[f[x,y],x,y];
fpoyy=D[f[x,y],y,y];
fpoxx*fpoyy-fpoxy^2/.stac

fpoxx=D[f[x,y],x,x]/.stac

fpoxx=D[f[x,y],y,y]/.stac

Funkcije ima minimum za točku (1,-1).

3. korak:
Odredimo z koordinatu točke ekstema i napišimo njezine koordinate.

f[x,y]/.stac

Zaljučak: Funkcija ima jednu ekstremalnu točku i to je (1,-1,-2) . U toj točki funkcija ima minimum.

Nacrtajmo graf funkcije s istaknutim minimumom.

slika  1

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5}]

slika  2

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},BoxRatios->{1,1,1}]

slika  3

Show[%,
Graphics3D[{AbsolutePointSize[7],Point[{1,-1,-2}]}],
Background->GrayLevel[0.7]]

Notebook izradili: Sonja Gorjanc, Vladimir Benić