Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu
Osnove inženjerske informatike II (Mathematica)
2. vježbe

Liste, vektori i matrice

Vektorski račun

1. zadatak

Definirajte u Mathematici vektore
  (OverVector[a]) = 2.(OverVector[i]) + 3.(OverVector[j]) + (OverVector[k])  
  (OverVector[b])= -(OverVector[i]) + 5.(OverVector[j]) +4.(OverVector[k])
a zatim izračunajte: 
1.  2(OverVector[a]) + (OverVector[b]);
2.  (OverVector[a]) - 2(OverVector[b]);
3.  skalarni umnožak  (OverVector[a])·(OverVector[b]); 
4. vektorski  umnožak  (OverVector[a])×(OverVector[b]).

a={2., 3., 1}
b={-1, 5., 4.}

2*a+b

a-2*b

a.b

Cross[a,b]

2. zadatak

Za vektore  (OverVector[a]) i (OverVector[b]), definirane u 1. zadatku, izračunajte:
1. modul vektora  (OverVector[a]) 
2. kut (u stupnjevima) izmedju (OverVector[a]) i (OverVector[b]).
3. Otklonite vrijednosti pridružene varijablama a i b.

Podsjetnik:
  • Modul vektora (OverVector[a]) se može računati po formuli  |(OverVector[a])| =(Sqrt[ (OverVector[a]) · (OverVector[a])]).
  • Kosinus kuta između vektora (OverVector[a]) i (OverVector[b])  računamo po formul  (((OverVector[a]) · (OverVector[b]))/(|(OverVector[a])||(OverVector[b])|)).
  • Ako znamo kosinus nekog kuta, tada ćemo kut dobiti primjenom funkcije ArcCos.
 • Množenje kuta u stupnjevim s konstantom Degree pretvara kut u radijane, a dijeljenje kuta u radijanima s Degree pretvara kut u stupnjeve.

Sqrt[a.a]

koskuta = (a.b)/(Sqrt[a.a]*Sqrt[b.b])
kut = ArcCos[koskuta] 
kut/Degree

Clear[a,b]

Zadaci za vježbu

Definirajte u Mathematici vektore u prostoru
  (OverVector[a]) = (OverVector[i]) + 3(OverVector[j]) + 2.1(OverVector[k])  
  (OverVector[b])= -(OverVector[i]) + 5.3(OverVector[j]) 
a zatim izračunajte: 
                                       
1.  vektor (OverVector[c])= 3(OverVector[a]) -4(OverVector[b]);
 rješenje:   (OverVector[c]) =7(OverVector[i]) -12.2(OverVector[j]) + 6.3(OverVector[k]) 

2.  module vektora (OverVector[a]) i (OverVector[b]);
 rješenje:  |(OverVector[a])| =3.79605,  |(OverVector[b])| =5.39351

3.  skalarni umnožak  (OverVector[a])·(OverVector[b]);
 rješenje:   14.9

4.  kut između vektora (OverVector[a]) i (OverVector[c]), rezultat izrazite u stupnjevima;
rješenje:  106.249°

5.  vektorski  umnožak  (OverVector[a])×(OverVector[b]);
rješenje:  (OverVector[a])×(OverVector[b])=-11.13(OverVector[i]) -2.1(OverVector[j]) + 8.3(OverVector[k])

6.  površinu paralelograma što ga određuju vektori   (OverVector[a]) i (OverVector[b]).
rješenje: 14.042
Uputa: Formula za površinu paralelograma određenog vektorima (OverVector[u]) i (OverVector[v]) je  |(OverVector[u])×(OverVector[v])|,  tj. ta je površina jednaka modulu vektorskog umnoška.

a={1, 3, 2.1};
b={-1, 5.3,0};

c=3a-4b

Sqrt[a.a]
Sqrt[b.b]

a.b

ArcCos[a.c/(Sqrt[a.a]*Sqrt[c.c])]*1/Degree

Cross[a,b]

Sqrt[%.%]

Clear[a,b,c]

Matrični račun

1. zadatak

Napišite matrice

a = (({{2., 3., -1.}, {4., 1., 0}, {-2., 5., 1.}}))

 b=(({{0, 2., 1.}, {1., 1.5, 2.}, {0, 4., 2.}})).
 
  Pomoću MatrixForm prikažite ih u standardnom matričnom obliku, a zatim 
  1.  izračunajte  3a -2b
  2.  izračunajte  a·b
  3. izračunajte inverznu matricu one matrice kojoj je determinanta različita od nule.
      Rezultat prikažite u matričnom obliku.
  4. Otklonite vrijednosti pridružene varijablama a i b.

a={{2., 3., -1.}, {4., 1., 0}, {-2., 5., 1.}};
b={{0., 2., 1.}, {1., 1.5, 2.}, {0, 4., 2.}};

MatrixForm[a]
b // MatrixForm

3*a-2*b

a.b

Det[a]
Det[b]

Inverse[a] // MatrixForm

Clear[a,b]

2. zadatak

Koristeći matrice, odredite rješenje sustava linearnih jednadžbi
   2*x - y +3z = 9
   3*x +y -  z  = 2
    x   +2*y-z = 2

Uputa: Ako je sustav zapisan matrično  Ax=b i ako je det(A)≠0 onda je x=(A^(-1))b

a={{2, -1, 3}, {3, 1, -1}, {1, 2, -1}}
b={9, 2, 2}

Det[a]

x=Inverse[a].b

Clear[a]

Zadaci za vježbu

Zadatak 1

Definirajte u Mathematici matrice a i b

a = (({{2.`, 3.`, -1.`, 0}, {4.`, 1.`, 0, 2.`}, {-2.`, 5.`, 1.`, 4.`}, {-1.`, 5.`, 2.`, 4.`}}))

 b=(({{0.`, 2.`, 1.`, 1.5`}, {2.`, 0.5`, 1.`, 1.5`}, {1.`, 1.5`, 2.`, 3.`}, {3.`, 0, 4.`, 2.`}})),
 
 a zatim izračunajte:
 
 1.  matricu a.b i prikažite ju u matričnoj formi;	
 rješenje: (({{5.`, 4.`, 3.`, 4.5`}, {8.`, 8.5`, 13.`, 11.5`}, {23.`, 0.`, 21.`, 15.5`}, {24.`, 3.5`, 24.`, 20.`}}))
 
 2. determinantu matrice a;	
 rješenje: 84
 
 3.  inverznu matricu matrice a;
  rješenje: (({{0.07142857142857138`, 0.1428571428571429`, -0.2142857142857142`, 0.1428571428571428`}, {0.26190476190476186`, -0.1428571428571428`, -0.11904761904761899`, 0.1904761904761904`}, {-0.07142857142857162`, -0.1428571428571427`, -0.7857142857142855`, 0.8571428571428569`}, {-0.2738095238095237`, 0.2857142857142856`, 0.48809523809523797`, -0.3809523809523808`}}))
 
 4.  transponiranu matricu matrice b.
  rješenje: (({{0.`, 2.`, 1.`, 3.`}, {2.`, 0.5`, 1.5`, 0}, {1.`, 1.`, 2.`, 4.`}, {1.5`, 1.5`, 3.`, 2.`}}))

a={{2., 3., -1.,0}, {4., 1., 0,2}, {-2., 5., 1.,4},{-1,5,2,4}};
b={{0., 2., 1.,1.5}, {2., 0.5, 1.,1.5}, {1.,1.5,2.,3.},{3.,0,4.,2.}};

MatrixForm[a]
b // MatrixForm

a.b//MatrixForm

Det[a]

Inverse[a] // MatrixForm

Transpose[b]//MatrixForm

Clear[a,b]

Zadatak 2

Koristeći matrice, odredite rješenje sustava linearnih jednadžbi

      x         +2 z  = 4
   2 x  +   y +2 z  = 2
 –2 x  +2 y  –   z  = 5
 
 rješenje: x=-(22/7), y=(8/7), z=(25/7)
 
Uputa: Ako je sustav zapisan matrično, u obliku  Ax=b i ako je det(A)≠0, onda je x=(A^(-1))b

a={{1, 0, 2}, {2, 1, 2}, {-2, 2, -1}}
b={4,2,5}

Det[a]

x=Inverse[a].b

Clear[a,b,x]

Dodatak

Liste I

Varijablama a i b pridružite tročlane liste brojeva.
Neka Mathematica pri tome ne ispisuje output.

a={1,2,3};
b={-1,-2,-3};

1. Izračunajte njihov zbroj, razliku, produkt i kvocijent.

a+b

a-b

a*b

a/b

2. Izračunajte n-tu potenciju liste a i potencirajte listu a listom b;

a^n

a^b

3. Izračunajte listu približnih vrijednosti koje funkcija cos poprima na elementima liste a;

Cos[a]//N

4. Otklonite vrijednosti pridružene varijablama a i b i provjerite da ste to učinili.

Clear[a,b]
a
b

Zadatak za vježbu

1.  Ako su a i b tročlane liste brojeva 3,5.4 i 7, odnosno 1,-3.2 i 0, izračunajte   3(a^b)-5(b^3).
 rješenje: {4,163.854,3}

a={3,5.4,7};
b={1,-3.2,0};

3a^b-5b^3

Clear[a,b]

Liste I - naredbe Table i TableForm

1. Pomoću naredbe Table ispišite tablicu svih parnih prirodnih brojeva manjih od 87.

Table[i, {i, 2, 87, 2}]

2. Ispišite listu vrijednosti funkcije cos na brojevima 0-π, s korakom (π/6).

Table[Cos[u],{u,0,Pi,Pi/6}]

3. Ispišite gornji rezultat u obliku tablice.

%//TableForm

4. Formirajte tablicu parova (x, cos(x)-x) za 0⩽x⩽π/2 s korakom 0.1.
Rezultat prikažite pomoću funkcije TableForm.
Iz tablice očitajte u kojemo podintervalu funkcija cos(x)-x mijenja predzak tj. u
kojem podintervalu se nalazi njezina nultočka (ili drukčije rečeno: gdje je rješenje jednadžbe cos(x)=x).

Table[{x, Cos[x]- x}, {x, 0 , Pi/2., 0.1}] // TableForm

Zadatak za vježbu

1. Pomoću naredbe Table formirajte tablicu vrijednosti  (i^2) kada i ide od 3 do 14 s korakom 2.		 rješenje: {9,25,49,81,121,169}

Table[i^2, {i, 3, 14, 2}]

Liste II

1. Varijabli a pridružite dvodimenzionalnu listu 3×2.
2. Prikažite a u obliku tablice.
3. Pomnožite a  s listom {1,2,3}.
4. Otklonite vrijednost pridruženu varijabli a.

a={{1,2},{c,d},{x,y}}

a//TableForm

a*{1,2,3}

Clear[a]

Liste II - naredbe Table i TableForm

1. Pomoću naredbe Table napravite tablicu množenja za prvih 5 prirodnih brojeva.

Table[i*j,{i,1,5},{j,1,5}]//TableForm

2. Formirajte dvodimenzionalna tablicu čiji su elementi (1/i)+(1/j), ako  i=1,2,3,  a  j=1,2,3,4. Koristite TableForm

Table[1/i+1/j, {i,1,3}, {j, 1, 4}]  // TableForm

Zadatak za vježbu

1. Formirajte dvodimenzionalna tablicu čiji su elementi (1/i)+(1/j) ako  i=1,2,3,  a  j=1,2,3,4. Koristite naredbu TableForm		
rješenje:    ({{1, (1/2), (1/3), (1/4)}, {(1/2), (1/4), (1/6), (1/8)}, {(1/3), (1/6), (1/9), (1/12)}})

Table[1/i*1/j, {i,1,3},{j, 1,4}]//TableForm

Notebook izradili: Vladimir Benić i Sonja Gorjanc