Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu
Osnove inženjerske informatike II (Mathematica)
5. vježbe

Limesi i derivacije

Limesi nizova i funkcija

Zadatak 1.

Izračunajte (Underscript[lim  , n->∞])(((2^(n+1))+(3^(n+1)))/((2^n)+(3^n)))

Limit[(2^(n+1)+3^(n+1))/(2^n+3^n),n->Infinity]

Zadatak 2.

Zadana je funkcija   f(x)= ((sin(x))/(|x|)).   
Funkcija, očigledno, nije definirana za x=0. Odredite njezin  limes s lijeva i s desna kada x→0.

Limit[Sin[x]/Abs[x],x->0,Direction->1]
Limit[Sin[x]/Abs[x],x->0,Direction->-1]

Rezultat: limesi s lijeva i s desna su različiti. Limes s lijeva iznosi -1, a s desna 1.

Nacrtajte graf funkcije f nad segmentom [-5,5].

Plot[Sin[x]/Abs[x],{x,-5,5}]

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Izračunajte (Underscript[lim  , n->∞])((((-1))^(n+1))/n)

Limit[(-1)^(n+1)/n,n->Infinity]

Izračunajte (Underscript[lim  , x->1])lnx·ln(x-1)

Limit[Log[x]*Log[x-1],x->1]

Izračunajte (Underscript[lim  , x->∞])x·sin(a/x) i nacrtajte graf dunkcije x·sin(3/x) nad segmentom [-6,6].

Limit[x*Sin[a/x],x->Infinity]

Plot[x*Sin[3/x],{x,-6,6}]

Zadatak 2.

- Definirajte funkciju   f(x)=((x^3)/((x^2)-1)).
- Odredite vertikalne asimptote te funkcije.
- Pokažite da graf funkcije ima jednu kosu asimptotu i odredite njezinu jednadžbu.
- Nacrtajte graf funkcije f  i njegove asimptote nad segmentom [-4,4].
Neka je okvir slike kvadratni.
- Uklonite vrijednost funkcije f.

Uputa:  Pravac y=kx+l je kosa asimptota ako je  k=(lim_(x→±∞)) ((f(x))/x) i  l=(lim_(x→±∞))( f(x)-k·x).

f[x_]:=x^3/(x^2-1);

Limit[f[x]/x,x->1,Direction->1]

Limit[f[x]/x,x->1,Direction->-1]

Limit[f[x]/x,x->-1,Direction->1]

Limit[f[x]/x,x->-1,Direction->-1]

Verikalne asimptote su  x=±1.

k1=Limit[f[x]/x,x->Infinity]
l1=Limit[f[x]-k1*x,x->Infinity]

k2=Limit[f[x]/x,x->-Infinity]
l2=Limit[f[x]-k2*x,x->-Infinity]

Kosa asimptota je y=x.

Plot[{f[x],x},{x,-4,4},AspectRatio->1]

Clear[f]

Zadatak 3.

- Definirajte funkciju   f(x)=((x^2)/(Sqrt[(x^2)+1])).
- Odredite njezine kose asimptote, posebno za x→+∞ , a posebno za x→ –∞.
- Provjerite da se dobiju dvije različite asimpote.
- Nacrtajte graf funkcije f  i njegove asimptote nad segmentom [-4,4].
Neka jedinice na osima budu jednake.
- Uklonite vrijednost funkcije f.

Uputa:  Pravac y=kx+l je kosa asimptota ako je  k=(lim_(x→±∞)) ((f(x))/x) i  l=(lim_(x→±∞))( f(x)-k·x).

f[x_]:=x^2/Sqrt[x^2+1];

k1=Limit[f[x]/x,x->Infinity]
l1=Limit[f[x]-k1*x,x->Infinity]

Desna kosa asimptota, za x→+∞ , je y=x.

k2=Limit[f[x]/x,x->-Infinity]
l2=Limit[f[x]-k2*x,x->-Infinity]

Lijeva kosa asimptota, za x→ –∞, je y=–x.

Plot[{f[x],x,-x},{x,-5,5},AspectRatio->Automatic]

Clear[f]

Derivacije funkcija jedne varijable

Zadatak 1

Za funkciju  g(x)=((sinx)/(x+1)) izračunajte:
- prvu, drugu i treću derivaciju,
- numeričku vrijednost njezine pete derivacije u x=6.

g[x_]:=Sin[x]/(x+1)

D[g[x],x]

D[g[x],{x,2}]

D[g[x],{x,3}]

D[g[x],{x,5}]/.{x->6}//N

Clear[g]

Zadatak 2.

Pomoću funkcije Manipulate prikažite prvih 15 derivacija funkcije  h(x)=lnx.

h[x_]:=Log[x]

Manipulate[D[h[x],{x,i}],{i,1,15,1}]

Clear[h]

Zadatak 3.

Odredite ekstreme funkcije 
f(x)= (((x^2)+ 8)/(x-2))

1. korak:
- Definirajte gornju funkciju.
- Izračunajte prvu derivaciju te funkcije. 
- Pomoću NSolve odredite  nultočke dobivene derivacije.
Dobit ćete x koordinate stacionarnih točaka.

Clear[f];
f[x_]:=(x^2+8)/(x-2);
derf=D[f[x],x];
stac=NSolve[derf==0,x]

Stacionarne točke imaju x koordinate(Subscript[x, 1])=5.4641 i(Subscript[x, 2])=–1.4641.

2. korak:
- Izračunajte vrijednost druge derivacije funkcije f za stacionarne točke.
- Zaključite za koji x funkcija f ima minimum, a za koji maksimum.

D[f[x],{x,2}]/.stac

Za(Subscript[x, 1])=5.4641 druga derivacija je pozitivna paf(x)ima,za tajx, minimum.
Za(Subscript[x, 2])=–1.4641 druga derivacija je negativna paf(x)ima,za tajx, maksimum.

3. korak: 
- Odredite y koordinate ekstrema, te konačno točke ekstrema.

f[x]/.stac

Zaključak: 
    u točki  (5.4641;  10.9282)   funkcija ima minimum,
    a u točki  (-1.4641;  -2.9282)  funkcija ima maksimum.

Za provjeru, nacrtajte graf funkcije za x∈[–10;10].

Plot[f[x],{x,-10,10},AspectRatio->1]

Zadaci za vježbu

Zadatak 1

Za funkciju  g(x)=x·sin(lnx-(π/2)) izračunajte:
- prvu i drugu  derivaciju te pojednostavnite dobivene izraze pomoću naredbe Simplify,
- numeričku vrijednost  pete derivacije u x=7.

D[x*Sin[Log[x]-Pi/4],x]

%//Simplify

D[x*Sin[Log[x]-Pi/4],x,x]

%//Simplify

D[x*Sin[Log[x]-Pi/4],{x,5}]/.x->7//N

Zadatak 2.

Odredite ekstreme funkcije f(x)= (x/((x^2)+4)) i nacrtajte graf s istaknutim minimumom i maksimumom.

Clear[f];
f[x_]:=x/(x^2+4);
derf=D[f[x],x];
stac=NSolve[derf==0,x]

D[f[x],{x,2}]/.stac

f[x]/.stac

graf=Plot[x/(4+x^2),{x,-15,10},AspectRatio->1,Ticks->{{-2,2},{-0.25,0.25}}]

Show[graf,Graphics[{Hue[1],PointSize[0.01],Point[{-2,-0.25}],Point[{2,0.25}]}]]

Zadatak 3.

Matrijalna točka giba se tako da joj brzina v ovisi o vremenu t po formuli:  v(t)=0.1·sin(2t+1)+0.5.
Nalaženjem ekstrema odredite trenutak (Subscript[t, 0])∈(0,1)  u kojem matrijalna točka počinje usporavati. 

Uputa: Ako za t = (Subscript[t, 0]) matrijalna točka počinje usporavati to znači da lijevo od (Subscript[t, 0]) brzina raste, a desno pada, tj. brzina u (Subscript[t, 0]) ima maksimum. Zadatak se svodi na nalaženje maksimuma funkcije v(t) u intervalu (0; 1).

1. Definirajmo funkciju v(t), odredimo prvu derivaciju v'(t) i nađimo njenu nultočku pomoću funkcije FindRoot.
Aproksimativnu nultočku, koja nam treba za primjenu funkcije FindRoot, naći ćemo crtanjem grafa derivacije.

v[t_] := 0.1*Sin[2t+1] + 0.5;
der = D[v[t], t];
Plot[der, {t, 0, 1}]

rj = FindRoot[der, {t, 0.3}]

2. Ispitajmo prirodu ekstrema pomoću druge derivacije

D[v[t], t, t]  /. rj

Druga derivacija je negativna pa v(t) ima maksimum.

3. Traženi trenutak t je:

t   /. rj

Derivacije funkcija više varijabli

Zadatak 1

Za funkciju  f(x,y)= ((sinx)/((y+6))) izračunajte:
- ((∂f)/(∂x))  i  ((∂f)/(∂y)),
- (((∂^2)f)/(∂(x^2))).(((∂^2)f)/(∂(y^2)))-((((((∂^2)f)/(∂xy))))^2) u točki (0,-3).

Nacrtajte graf funkcije f nad područjem (-5,10)×(-3,3)

Clear[f]

f[x_,y_]:=Sin[x]/(y+6)

D[f[x,y],x]

D[f[x,y],y]

D[f[x,y],x,x]*D[f[x,y],y,y]-(D[f[x,y],x,y])^2/.{x->0,y->-3}//N

Plot3D[Sin[x]/(y+6),{x,-5,10},{y,-3,3}]

Zadatak za vježbu

Zadatak 1

Za funkciju  f(x,y)= sin (x·y) izračunajte prve i druge parcijalne derivacije i nacrtajte graf  nad područjem (-π,π) ×(-(π/2),(π/2)).

Clear[f]
f[x_,y_]:=Sin[x*y]
D[f[x,y],x]
D[f[x,y],y]
D[f[x,y],x,x]
D[f[x,y],x,y]
D[f[x,y],y,y]

Plot3D[f[x,y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi/2,Pi/2}]

Notebook izradili: Vladimir Benić i Sonja Gorjanc