Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu
Osnove inženjerske informatike II (Mathematica)
6. vježbe

Integrali

Neodređeni integrali

Zadatak 1.

Koju funkciju treba derivirati da se dobije funkcija  f(x)=(e^(x+1))cos(4x)? 
Provjerite, koristeći derivaciju, dobiveni rezultat.

Uputa: Tražena funkcije se dobije integriranjem zadane funkcije f(x).

Integrate[Exp[x+1]*Cos[4x],x]

D[%,x]//Simplify

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Koju funkciju treba derivirati da se dobije funkcija  f(x)=(x^3)arctg x? Provjerite, koristeći derivaciju, dobiveni rezultat.

Integrate[x^3*ArcTan[x], x]

D[%,x]//Simplify

Zadatak 2.

Izračunajte ∫(((x^2)-(a^2))/((x^2)+(b^2)))dx  i deriviranjem provjerite dobiveni rezultat.

Integrate[(x^2-a^2)/(x^2+b^2),x]

D[%,x]//Simplify

Određeni integrali

Zadatak 1.

Brzina  v  matrijalne točke, ovisna o vremenu t, zadana je formulom v(t)=0.3·cos(t/2)+0.5.
Koliki put prijeđe matrijalna točka od (Subscript[t, 1])=0.2 do (Subscript[t, 2])=1?

Uputa: Put je jedank određenom integralu brzine od (Subscript[t, 1]) do (Subscript[t, 2]).

v[t_]:=0.3*Cos[t/2]+0.5

Integrate[v[t], {t, 0.2, 1}]

Zadatak 2.

Odredite duljinu luka  grafa funkcije f(x)=sin2x nad segmentom [0,(π/4)]. Rezultat prikažite pomoću 50 znamenki.

Uputa: Duljina luka krivulje y=f(x) nad segmentom [a,b] jednaka je (∫_a^b) (Sqrt[1+(((f'(x)))^2)])dx.

der=D[Sin[2x], x];

luk= Integrate[Sqrt[1+der^2], {x, 0, Pi/4}];

N[luk, 50]

Zadatak 3.

. Definirajte funkciju  f(x)=x+sin((x^2)+5).
. Crtanjem grafa funkcije f(x) na segmentu [0, 4]  provjerite da je funkcije pozitivna na  segmentu [1, 3].

f[x_] := x+Sin[x^2+5]

Plot[f[x], {x, 0, 4}]

. Pomoću opcije Filling->Axis obojite dio ravnine omeđen s osi x, vertikalama x=1 i x=3, te grafom funkcije f. Upotrijebite opciju AxesOrigin->{0,0}, tako da se osi x i y sijeku u ishodištu.

Plot[f[x], {x, 1,3},Filling->Axis,AxesOrigin->{0,0}]

. Izračunajte površinu obojenog dijela, tj. od grafa do osi x nad segmentom [1,3].
Uputa: Ako je funkcija pozitivna na zadanom segmentu onda je površina jednaka određenom integralu funkcije nad tim segmentom.

Integrate[f[x],{x,1, 3}]// N

Zadatak 4.

a)  Definirajte funkciju  h(x)=3-x-sin(x^2) i nacrtajte njezin graf nad segmentom [0,2.5].

h[x_]:=-x-Sin[x^2]+3

Plot[h[x], {x, 0, 2.5}]

b) Odredite volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom dijela ravnine od grafa funkcije h(x)=3-x-sin(x^2) do x osi nad segmentom [0,2.5],  oko osi y.
Uputa: Rotacijski volumen jednak  je  (Subscript[V, y]) = 2π (∫_a^b) x·h(x)dx.

2Pi*Integrate[x*h[x], {x, 0, 2.5}]

d) Pomoću funkcije RevolutionPlot3D, nacrtajte plohu koja nastaje rotacijom gornjeg grafa oko osi y.

RevolutionPlot3D[h[t], {t, 0, 2.5}]

e) Odredite volumen rotacijskog tijela koja nastaje rotacijom dijela ravnine od grafa funkcije h(x)=3-x-sin(x^2) do x osi nad segmentom [0,2.5],  oko osi x.
Uputa: Rotacijski volumen jednak je (Subscript[V, x]) = π (∫_a^b)(((h(x)))^2)dx.

Pi*Integrate[h[x]^2, {x, 0, 2.5}]

f) Pomoću funkcije RevolutionPlot3D, nacrtajte plohu koja nastaje rotacijom gornjeg grafa oko osi  x.

RevolutionPlot3D[{h[t],t}, {t, 0, 2.5}]

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Sila f,  ovisna o x, zadana formulom f(x) = 0.4·sin(2x+1)+9.81, vrši rad po x osi od (Subscript[x, 1])=0.1 do (Subscript[x, 2])=0.8. Koliki je taj rad?

Uputa: Rad je jednak određenom integralu sile od (Subscript[x, 1]) do (Subscript[x, 2]).

Integrate[0.4*Sin[2x+1]+9.81, {x, 0.1, 0.8}]

Zadatak 2.

Crtanjem grafa funkcije g(x)=(x^2)+ln((x^2)+3) na segmentu [0, 2.5]  provjerite da je funkcije pozitivna na  segmentu [1, 2].

g[x_] := x^2+Log[x^2+3]

Plot[g[x], {x, 0, 2.5}]

Obojite dio ravnine omeđen s osi x, vertikalama x=1 i x=2, te grafom funkcije g.

Plot[g[x], {x, 1,2},Filling->Axis,AxesOrigin->{0,0}]

Odredite površinu od grafa do x osi nad segmentom [1, 2] (točnu i približnu vrijednost).

Integrate[g[x], {x, 1, 2}]

NIntegrate[g[x], {x, 1, 2}]

Zadatak 3.

a) Nacrtajte graf funkcije  f(x)=x+(e^(3x)) nad segmentom [0,1].

Plot[x+Exp[3x], {x, 0, 1}]

b) Odredite volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom dijela ravnine od grafa funkcije f(x)=x+(e^(3x)) do x osi nad segmentom [0,1],  oko osi y.
c) Rezultat prikažite pomoću 30 znamenki.
Uputa: Rotacijski volumen jednak  je  (Subscript[V, y]) = 2π (∫_a^b) x·f(x)dx.

voly= 2Pi*Integrate[x(x+Exp[3x]), {x, 0, 1}]

N[voly, 30]

d) Pomoću funkcije RevolutionPlot3D, nacrtajte plohu koja nastaje rotacijom gornjeg grafa oko osi y.

RevolutionPlot3D[t+Exp[3t], {t, 0, 1}]

e) Odredite volumen rotacijskog tijela koja nastaje rotacijom dijela ravnine od grafa funkcije f(x)=x+(e^(3x)) do x osi nad segmentom [0,1],  oko osi x.
Uputa: Rotacijski volumen jednak je (Subscript[V, x]) = π (∫_a^b)(((f(x)))^2)dx.

vol= Pi*Integrate[(x+Exp[3x])^2, {x, 0, 2}]

f) Pomoću funkcije RevolutionPlot3D, nacrtajte plohu koja nastaje rotacijom gornjeg grafa oko osi  x.

RevolutionPlot3D[{t+Exp[3t],t}, {t, 0, 1},BoxRatios->{1,1,1}]

Diferencijalne jednadžbe

Naredba DSolve

Zadatak 1.

Pomoću naredbe DSolve riješite sljedeće diferencijalne jednadžbe:

xy'=2y-x

DSolve[x*y'[x]==2y[x]-x,y[x],x]

y'cosx+ysinx-1=0  za početni uvjet  y(0)=2

DSolve[{y'[x]Cos[x]+y[x]Sin[x]-1==0,y[0]==2},y[x],x]

y''-y=(e^x)

DSolve[y''[x]-y[x]==Exp[x],y[x],x]//FullSimplify

y''-y=(e^x)  za početne uvjete  y'(1)=e, y(0)=0.

DSolve[{y''[x]-y[x]==Exp[x],y'[1]==E,y[0]==0},y[x],x]

Funkciju koja je rješenje možemo dobiti ovako (pogodno za partikularna rješenje)

r=DSolve[{y''[x]-y[x]==Exp[x],y'[1]==E,y[0]==0},y[x],x];
rjesenje[t_]:=y[x] /. r[[1]] /. x->t
rjesenje[t]
rjesenje[0.7]

Plot[rjesenje[t], {t,0, 1}]

Drugi način, pomoću "čiste funkcije".

r2=DSolve[{y''[x]-y[x]==Exp[x],y'[1]==E,y[0]==0},y,x]
rjesenje2:=y /. r2[[1]] ;
rjesenje2[t]
rjesenje2[0.7]

Plot[rjesenje2[t], {t,0, 1}]

(x+y)dx+(x+2y)dy=0

DSolve[(x+y[x])+(x+2y[x])y'[x]==0,y[x],x]//FullSimplify

Zadaci za vježbu

Zadatak 1.

Riješite sljedeće diferencijalne jednadžbe:

xy'=2x-x za početni uvjet  y(1)=2

DSolve[{x*y'[x]==2y[x]-x,y[1]==2},y[x],x]

y''+y=sinx

DSolve[y''[x]+y[x]==Sin[x],y[x],x]//FullSimplify

dy+y=2(e^x)dx   za početni uvjet  y(0)=3.

DSolve[{y'[x]+y[x]==2Exp[x],y[0]==3},y[x],x]

Notebook izradili: Vladimir Benić i Sonja Gorjanc