3.3.1. Prostorne algebarske krivulje

Skup od \(\infty^1\) neprekinuto povezanih točaka prostora koje ne leže u jednoj ravnini nazivamo prostornom krivuljom. Ima mnogo različitih vrsta takvih krivulja (primjerice, putanje različitih gibanja), ali ćemo se baviti isključivo algebarskim prostornim krivuljama koje nastaju kao presjeci dviju algebarskih ploha. Nazivat ćemo ih prodorima ili prodornim krivuljama tih ploha.

Algebarske prostorne krivulje su skupovi točaka prostora čije \(\small (x,y,z)\) koordinate zadovoljavaju dvije algebarske jednadžbe \(\small F_1(x,y,z)=0\) i \(\small F_2(x,y,z)=0\). Takva je krivulja skup točaka koje leže na plohama zadanim tim jednadžbama. Razvrstavamo ih prema njihovu redu (razvrstavaju se i po razredima, ali ćemo takva razmatranja na ovoj razini izostaviti).
  • Red prostorne algebarske krivulje jednak je broju njezinih točaka koje leže u bilo kojoj ravnini prostora.
    Te točke mogu biti realne ili imaginarne.
  • Red prostorne algebarske krivulje koja je prodorna krivulja dviju algebarskih ploha redova \( n\) i \( m\) je \(\mathbf {n\cdot m}\).\( ^*\)
\( ^*\) Ovdje bi se moglo pogrešno zaključiti da ne postoje algebrske prostorne krivulje čiji je red jednak nekom prim broju, primjerice reda 3.
Takve se krivulje pojavljuju kao dijelovi raspada prodorne krivulje dviju ploha. Za 3. red ćemo kasnije navesti i primjere.
Slika 1: Prostorna krivulja 3. reda Slika 2: Jednodijelna prostorna krivulja 4. reda Slika 3: Dvodijelna prostorna krivulja 4. reda

Algebarske prostorne krivulje mogu imati višestruke točke (dvostruke, trostruke...). Kao i kod ravninskih krivulja i ovdje je broj dvostukih točaka ograničen i ako krivulja ima veći broj dvostrukih točaka od ”dozvoljenog”, raspada se na krivulje nižih redova.

Maksimalan broj dvostrukih točaka prave prostorne algebarske krivulje \(\small n-\)tog reda je:
  • \(\small \frac{(n-2)^2}{4}\), za \(\small n\) paran

  • \(\small \frac{(n-1)(n-3)}{4}\), za \(\small n\) neparan.
Ako krivulja \(\small n-\)tog reda ima više od tog broja dvostrukih točaka, ona se raspada na krivulje nižih redova tako da zbroj redova krivulja u raspadu bude \( \small n\).

Dvostruka točka prodorne krivulje

Neka je \(\small k\) prodorna krivulja ploha \(\small \Phi\) i \(\small \Psi\) i neka je \(\small T\in k\) regularna točka ploha \(\small \Phi\) i \(\small \Psi\).
  • Točka \(\small T\) je dvostruka točka krivulje \(\small k\), ako plohe \(\small \Phi\) i \(\small \Psi\) imaju u njoj zajedničku tangencijalnu ravninu (slika 4).
  • Ako je neka točka dvostruka točka plohe, bit će dvostruka točka i svake prodorne krivulje koja kroz nju prolazi (slika 5).
Slika 4 Slika 5


Tangenta prodorne krivulje

Kako dirna ravnina plohe sadrži tangente svih krivulja koje leže na plohi i prolaze tom točkom, možemo zaključiti:

  • Tangenta prodorne krivulje u njenoj regularnoj točki je presječnica dirnih ravnina ploha u toj točki.






Animacija 1





Sonja Gorjanc - 3DGeomTeh - Razvojni projekt Sveučilišta u Zagrebu