Građevinski fakultet

Sveučlišta u Zagrebu

NATKRIVANJE PARABOLIČKIM KONOIDOM

Studenti: Sanja Filipan i Hrvoje Kvasnička

Mentor: Dr. sc. Sonja Gorjanc dipl. prof.

Šk. god.: 2000/01

Zagreb, 2. 5. 2001.

SADRŽAJ

Uvod 1

1.      Krivulje i plohe realnog projektivnog prostora 3
1.1. Prošireni Euklidski prostor E³ kao model projektivnog prostora P³       3
1.1.1. Aksiomi projektivne geometrije         4
1.1.2. Prošireni Euklidski prostor    4
1.2. Geometrijske figure prostora E³           51.2.1. Krivulje        6
1.2.2. Plohe            8

2.      Pravčaste plohe    11
2.1. Uvodno o pravčastim plohama 11
2.2. Pravčaste plohe 3. stupnja       13
2.2.1. Klasifikacija pravčastih ploha 3. stupnja        14

3.      Parabolički konoid           16
3.1. Konstruktivni pristup    16
3.2. Analitički pristup          17
3.2.1. Jednadžbe konoida   20
3.2.2. Tangencijalna ravnina i normala plohe            20
3.3. Crtanje paraboličkog konoida u programu Mathematica         21
3.3.1. Zapisivanje jednadžbi plohe u programu Mathematica          21
3.3.2. Grafički prikaz plohe 23
3.3.3. Prikaz tangencijalne ravnine u regularnoj točki plohe 27

4. Natkrivanje paraboličkim konoidom 29

Zaključak 43
Literatura 44

UVOD

Povijesni pregled graditeljstva pokazuje dominaciju ravnih i uglatih formi. Poznata drevna zdanja nisu u sebi sadržavala elemente oblih formi. Ako su one i bile upotrebljavane, to je ostalo bez tragova.

Pojava oblih formi u graditeljstvu prati znanstvene i tehničke dosege velikih civilizacija. S jedne strane, grčka civilizacja, iz tradicionalnih razloga, zadržava kao standard konstruktivnog rješenja sustav stupova i ravnih greda. Rimska kultura nastavlja primijenjivati poznata rješenja, ali donosi i nova, najčešće polukružne lukove te bačvaste i križnorebraste svodove. S druge strane, na Istoku se razvijaju kupolaste građevine s kulminacijom u bizantskom graditeljstvu. To je uvod u daljnje širenje oblih formi. Srednji vijek nastavlja upotrebljavati rješenja kasnog rimskog graditeljsva te se upotreba oblih formi očituje u bačvastim svodovima i apsidama. Nešto kasnije, zahtjevi vertikalizma i prostornosti donose u praksu upotrebu križnorebrastih svodova. Razdoblje renesanse oslobađa se tradicionalnosti te u znanstvenom zamahu objedinjuje sva poznata konstruktivna rješenja.

Društveni i ekonomski razvoj osnovna su pretpostavka razvoju graditeljstva, jer omogućavaju inovacije. U tom smislu od renesanse pa do 19. stoljeća stvoreni su uvjeti za pojavu novih rješenja. Ona su se najprije skrivala u starim formama (historicizam), no ubrzani tehnički razvoj u prvi plan dovodi konstrukciju, što se jasno očituje u estetici secesije.

Povezivanje forme, konstrukcije i funkcije u cjelinu zahtjev je moderne arhitekture. Ta cjelina ostvaruje se visokim stupnjem tehnologije u izvedbi objekta. Moderna arhitektura sagledava problem cjeline iz više smjerova. Tako se po bogatsvu oblika i formi izdvajaju organska arhitektura i arhitektura plastične invencije. Objekti se izvode od prenaprgnutog betona - na oblikovanu željeznu mrežu izliven beton stvara nepravilne ljuske te od aluminijske mreže s umetnutim plastičnim pločama.

Predlošci za nove oblike ponovno se traže u geometriji koja nudi njihovu matematičku definiciju kao daljnji uvjet tehničkoj obradi. Poznavanje geneze geometrijskih struktura rezultira nastankom velikog broja različitih oblih formi od kojih samo neke odgovaraju zahtjevu estetike i konstrukcije, a zahtijev funkcije dolazi posljednji. Takav redoslijed u rješavanju bitnih komponenti jednog objekta nepoznat je u dotadašnjoj arhitekturi. Ona je, polazeći od namjene, oblikovala neku cjelinu komponiranjem poznatih oblika (rješivih). Geometrijske forme podnose metričke modifikacije što će zadovoljiti u konačnosti i krajnji cilj - funkciju. Takav pristup razvija geometriju kao primijenjenu geometriju. Oble forme-plohe koje se upotrebljavaju u graditeljstvu proizvodi su projektivne geometrije. Algebarske pravčaste plohe 2. reda (jednoplošni i parabolički hiperboloid) najprije su bile primijenjene, kao samostalni objekti, ili kao dijelovi cjeline. U primjeni su se, od algebarskih pravčastih ploha, našli još samo konoidi 3. i 4. reda.

Rijetka primjena oblih formi kroz povijest bila je uvjetovana tradicionalnim konstruktivnim ograničenjima. Kako je ondašnja građevina bila rezultat zahtjeva svog doba, tako se danas rijetka upotreba oblih formi može shvatiti kao nedostatak zahtjeva ili njihove prezentacije.

Radnja Natkrivanje paraboličkim konoidom ima cilj pokazati nastajanje jedne algebarske pravčaste plohe 3. reda prema metričkim zahtjevima te prikazati raznolikost oblika, koja se postiže variranjem osnovnog modela, u mogućoj primjeni natkrivanja pravokutnog tlocrta. U grafičkoj obradi korišten je program Mathematica 4.0. Osim brze grafičke obrade program omogoćuje sagledavanje plohe u perspektivi pa stoga i njeno vizualno prepoznavanje.

1. KRIVULJE I PLOHE REALNOG PROJEKTIVNOG PROSTORA

1.1 PROŠIRENI EUKLIDSKI PROSTOR E³ KAO MODEL PROJEKTIVNOG PROSTORA P³

Geometrija se razvila iz čovjekove potrebe za opisom figura u prirodi te računanjem njihove površine i volumena. Drevne su civilizacije razvijale geometriju na spoznajnoj razini. Grčki matematičar Euklid (oko 300. g.pr.n.e) iznio je dotadašnja znanja na aksiomatskoj osnovi i tako ustanovio geometriju kao znanost. Euklid intuitivno stvara geometrijski sustav odabirom osnovnih pojmova (točka, pravac, ravnina) i relacija (incidencija) te primjenom formiranih aksioma na njih. Iz Euklidovog sustava aksioma posebno se izvaja V. postulat, poznat kao problem paralela: Ako pravac siječe druga dva pravca tako da oni zatvaraju s njme dva kuta čiji je zbroj manji od dva prava kuta, tada se na toj strani dva pravca sijeku. Taj je postulat dvije tisuće godina intrigirao znanstvenike, jer je problem paralela bacio sumnju u njegovu aksiomatsku vrijednost. U 19. st. pokazano je da se zaista radi o aksiomu, što je potvrdilo bit Euklidove geometrije, to jest da danom točkom prolazi točno jedan pravac paralelan s danim pravcem. Istodobno se problemu pristupilo sa suprotnim rješenjima, što je dovelo do stvaranja neeuklidskih geometrija.

Stvoriti geometriju znači na odabrane osnovne pojmove i relacije primijeniti sustav aksioma, promotriti posljedice koje proizlaze iz tog odnosa te ih izraziti kao teoreme. Geometrija i njen prostor nisu unaprijed zadani, već nastaju kao logički sklop pojmova i aksioma. Da bi to bilo moguće, sustav aksioma mora biti neproturiječan, potpun i nezavisan ([2], str.25).

1.1.1 AKSIOMI PROJEKTIVNE GEOMETRIJE

Osnovni pojmovi geometrije projektivnoga prostora su točka, pravac i ravnina, a osnovna relacija je incidencija (ležati na, prolaziti kroz, sjeći u). Veze među njima dane su sljedećim aksiomima:

Postoje točka i pravac koji nisu incidentni;
Svaki je pravac incidentan s najmanje tri različite točke;
Bilo koje dvije različite točke incidentne su s točno jednim pravcem;
Ako su A, B, C i D četiri različite točke, takve da AB siječe CD, tada AC siječe BD;
Ako je ABC ravnina tada postoji barem jedna točka koja ne leži u ravnini ABC.
Bilo koje dvije različite ravnine imaju barem dvije zajedničke točke;
Tri dijagonalne točke potpunog četverovrha ne mogu biti kolinearne;
Ako neki projektivitet na pravcu ima tri različite invarijantne točke, onda je svaka točka tog pravca invarijanta.

Primijenimo li na točke i pravce samo prva četiri aksioma nastaje geometirija projektivne ravnine ([2], str.26).

U projektivnoj geometriji vrijedi princip dualnosti. Naime, ako je u projektivnoj ravnini istinita neka tvrdnja onda je istinita i ona koja iz nje nastaje kada pojmovi točka i pravac zamijene mjesta. U prostoru, istinita tvrdnja nastaje ako mjesta zamijene pojmovi točka i ravnina (u prostoru je pojam pravca dualan sam sebi) ([2], str.37).

1.1.2 PROŠIRENI EUKLIDSKI PROSTOR

U projektivnom prostoru svake se dvije ravnine sijeku, a u projektivnoj ravnini svaka se dva pravca sijeku. Stoga, da bi euklidski prostor postao modelom projektivnoga prostora potrebno ga je nadopuniti beskonačno dalekim elementima u kojima se sijeku paralelne ravnine i paralelni pravci. Proširenje se vrši na sljedeći način: Svakom se pravcu dodaje jedna beskonačno daleka točka u kojoj ga sijeku svi s njim paralelni pravci. Svaka se ravnina nadopunjuje jednim beskonačno dalekim pravcem u kojem je sijeku sve s njom paralelne ravnine. Sve beskonačno daleke točke svih pravaca jedne ravnine leže na njenom beskonačno dalekom pravcu, a svi beskonačno daleki pravci svih ravnina u prostoru leže u beskonačno dalekoj ravnini ([1], str.1).

Tako prošireni euklidski prostor je projektivan. Naziva se još i realnim projektivnim prostorom. Svaka ravnina tog prostora je realna projektivna ravnina, a geometriju takve ravnine možemo opisati kao proučavanje invarijanata centralnog projiciranja.

Projektivna geometrija u svojoj osnovi ne koristi mjeru (udaljenost točaka i veličinu kuteva). Mjera je karakteristika euklidske geometrije, a u građevinarstvu je neophodna. Stoga ćemo u ovome radu prošireni euklidski prostor koristiti za izvođenje općenitih zaključaka o prostornim figurama (krivuljama i plohama), njihovoj konstrukciji i načinu nastajanja, dok ćemo za konkretne primjere koji imaju primjenu u graditeljstvu koristiti euklidski prostor u kojem za sve elemente (konačne) vrijedi euklidska metrika. Konačne elemente prikazivat ćemo u Kartezijevom koordinatnom sustavu i primijenjivati metodu njemu odgovarajuće analitičke geometrije. Uvođenje homogenih Kartezijevih koordinata, koje omogućuju analitički opis proširenog euklidskog prostora, za ovaj rad nije nužno.

1.2 GEOMETRIJSKE FIGURE PROSTORA E³

Povezivanjem osnovnih elemenata nastaju geometrijske figure. Ako je povezivanje uvjetovano samo relacijom incidencije, nastaju jednostavne geometrijske figure. Neke od njih su:

niz točaka (p) – sve točke incidentne s pravcem p;
pramen pravaca (P) – svi pravci neke ravnine incidentni s točkom P;
pramen ravnina [p] – sve ravnine incidentne s pravcem p.

Neke složenije geometrijske figure su:

· ravninske krivulje – skup od ∞¹ neprekinuto povezanih točaka ili pravaca u ravnini;

· ploha – skup od ∞² neprekinuto povezanih točaka ili ravnina u prostoru;

· prostorna krivulja – skup od ∞¹ neprekinuto povezanih točaka ili ravnina u prostoru.

Krivulje i plohe klasificiraju se na matematičke i grafičke. Grafičke figure ne mogu se definirati matematičkim zakonom. Matematičke krivulje i plohe, s obzirom na zakon koji ih definira, mogu biti algebarske i transcendentne. U daljnjem radu promatrat će se samo algebarske figure, budući da je radnja usmjerena prema opisu algebarske plohe koja će biti uzorak građevinskog elementa. Zbog potrebe za mjerom, figure će se opisivati u Kartezijevom koordinatnom sustavu ([1], str.1.).

1.2.1 KRIVULJE

Krivulje su složene geometrijske tvorevine. Dijele se na prostorne i ravninske ([1], str.3.,135.).

Definicija

Algebarska prostorna krivulja je svaki skup od ∞¹ točaka u prostoru čije Kartezijeve koordinate zadovoljavaju dvije algebarske jednadžbe tri varijable.

Definicija

Algebarska ravninska krivulja je svaki skup od ∞¹ točaka u ravnini čije Kartezijeve koordinate zadovoljavaju algebarsku jednadžbu dviju varijabli.

Pravac je u ravninskom Kartezijevom koodrinatnom sustavu određen linearnom jednadžbom dviju varijabli. U prostoru ga određuju dvije linearne jednadžbe od tri varijable. Rješenja sustava jednadžbi pravca i krivulje mogu biti realna ili u parovima konjugirano imaginarna, pa govorimo o realnim ili imaginarnim sjecištima pravca i krivulje. Ako se dva realna rješenja podudaraju, tj. dva realna sjecišta pravca i kruvulje padnu zajedno u točku T, pravac nazivamo tangentom krivulje, a točku T njezinim diralištem.

Algebarske ravninske i prostorne krivulje razvrstavaju se prema redu i razredu ([1], str.3,135).

Definicija

Red algebarske prostorne krivulje jednak je broju sjecišta (realnih i imaginarnih) te krivulje s bilo kojom ravninom u prostoru.

Red je jednak produktu stupnjeva algebarskih jednadžbi krivulje.

Definicija

Red algebarske ravninske krivulje jednak je broju sjecišta (realnih i imaginarnih) te krivulje i bilo kojeg pravca njezine ravnine.

Red je jednak stupnju algebarske jednadžbe ravninske krivulje.

Definicija

Razred algebarske ravninske krivulje jednak je broju realnih i imaginarnih tangenata koje se na nju mogu položiti iz neke točke njezine ravnine.

Imaginarne tangenta dodiruju krivulju u imaginarnim točkama.

Ukoliko je red jednak razredu krivulja ima stupanj, to je broj jednak njenom redu, odnosno razredu.

Sve krivulje 2. reda uvijek su i 2. razreda pa se govori o krivuljama 2. stupnja, odnosno konikama. U proširenoj euklidskoj ravnini E² klasificiraju se s obzirom na to da li su im beskonačno daleke točke realne ili imaginarne. Ako beskonačno daleki pravac ravnine siječe koniku u dvije različite realne točke, ona je hiperbola (dvije asimptote dodiruju hiperbolu u beskonačno dalekim točkama). Parabola je konika kojoj je beskonačno daleki pravac tangenta (diralište te tangente je beskonačno daleka točka na osi parabole). Ako beskonačno daleki pravac siječe koniku u paru konjugirano imaginarnih točaka, ona je elipsa. Slika 1. prikazuje hiperbolu i parabolu s istaknutim nosiocima beskonačno dalekih točaka te elipsu za koju ta sjecišta nisu realna. Kružnica je specijalni slučaj elipse. To su nedegenerirane krivulje 2. stupnja. Degenerirani slučajevi nastaju kada se konika raspada na dva pravca ([1], str.4).

Slika 1. Krivulje drugog stupnja

Dvostruka točka krivulje je ona točka kroz koju krivulja prolazi dva puta. Analogno tome mogu postojati i druge višestruke točke krivulje. O broju takvih točaka ovisi hoće li se krivulja raspasti na više krivulja nižih redova. ([1], str.135)

1.2.2 PLOHE

Definicija

Algebarska ploha je skup od ∞² točaka čije Kartezijeve koordinate zadovoljavaju algebarsku jednadžbu od tri varijable.

Linearna jednadžba od tri varijable određuje ravninu. Rješenje sustava jednadžbi ravnine i plohe je algebarska jednadžba krivulje čiji je red jednak redu plohe ([1],str.98,101).

U bilo kojoj točki plohe skup tangenata na sve krivulje plohe koje prolaze tom točkom čini ravninu koju nazivamo tangencijalnom ravninom plohe s diralištem u toj točki.

Svojstva koja opisuju algebarsku plohu su red, razred i stupanj.

Definicija

Red algebarske plohe jednak je broju realnih i imaginarnih probodišta bilo kojeg pravca prostora s tom plohom, uz uvjet da pravac nije incidentan sa zadanom plohom.

Definicija

Razred algebarske plohe jednak je broju realnih i imaginarnih tangencijalnih ravnina položenih nekim pravcem prostora na tu plohu, uz uvjet da pravac nije incidentan sa zadanom plohom.

Analogno kao i kod krivulja, stupanj je broj koji proizlazi iz jednakosti reda i razreda. ([1],str.98,101)

Sljedeći crteži ilustriraju navedena svojstva geometrijskih figura. Slika 2 prikazuje kuglu čiji je presjek s bilo kojom ravninom kružnica. Bilo koji pravac ravnine te kružnice siječe kružnicu u dvije točke.

Slika 2. Presjek kugle i ravnine.

Slika 3 prikazuje kuglu - plohu 2. razreda, na koju je kroz neki pravac prostora moguće postaviti najviše dvije realne tangencijalne ravnine.

Slika 3. Tangencijalne ravnine kugle.

Prodor kugle i valjka, dviju ploha 2. stupnja, je prostorna krivulja 4. reda prikazana na Slici 4.

Slika 4. Prodorna krivulja kugle i valjka.

2. PRAVČASTE PLOHE

2.1 UVODNO O PRAVČASTIM PLOHAMA

Definicija

Pravčasta ploha je skup ∞¹ pravaca prostora neprekinuto povezanih po nekom zakonu ([1], str.171).

Pravčaste plohe nastaju na sljedeće načine:

klizanjem pravca po nekoj prostornoj krivulji. Pravac koji klizi naziva se izvodnicom ili generatrisom, a krivulja po kojoj kliže, ravnalicom ili grebenom plohe;
povezivanjem triju krvulja (ravnalica) transverzalama.

Ako su za ravnalice odabrane algebarske krivulje, nastaje algebarska ploha. Za ovaj prikaz bitne su samo plohe koje nastaju povezivanjem triju algebarskih ravnalica transverzalama. Njihova se konstrukcija može izvesti na sljedeći način: Neka su zadane krivulje k₁, k₂ i k₃. Na krivulji k₁ uoči se točka A koja se pravcima spoji sa svim točkama krivulje k₂, čime je formiran stožac F. Krivulja k₃ probada stožac F u konačnom broju točaka. Jednim tako dobivenim probodištem prolazi izvodnica stošca F, a to je ujedno i transverzala krivulja k₁, k₂ i k₃. Taj se postupak ponavlja za ostale točke krivulje k₁ čime je formiran jednoparametarski skup izvodnica i. Sve takve izvodnice i tvore pravčastu plohu (Slika 5).

Istaknimo neke važne činjenice ([4], str.180, [5], str.276):

Teorem (o redu pravčaste plohe)

Ako su algebarske krivulje k₁, k₂ i k₃ redova n₁, n₂ i n₃ i ako se krivulje k₁ i k₂ sjeku u s₃točaka, krivulje k₁ i k₃ u s₂, a krivulje k₂ i k₃ u s₁točaka, tada je pravčasta ploha zadana krivuljama k₁, k₂ i k₃ reda:

R = 2 n₁n₂n₃ – (s₃n₃ + s₂n₂ + s₁n₁).

Slika 5. Konstrukcija izvodnica pravčaste plohe.

Svaka algebarska pravčasta ploha ima stupanj, tj. red je jednak razredu.

Pravčaste plohe mogu biti razmotive i nerazmotive ili vitopere. Vitopere pravčaste plohe ne mogu se razmotati u ravninu jer su im svake dvije neizmjerno blize izvodnice mimosmjerni pravci.

Definicija

Konoid je pravčasta ploha kojoj je jedna ravnalica beskonačno daleki pravac. Ravnina u kojoj se nalazi beskonačno daleka ravnalica zove se direkcijska ravnina. Sve izvodnice plohe paralelne su s tom ravninom (Slika 6) ([1], str.174).

Slika 6. Nastajanje konoida.

2.2 PRAVČASTE PLOHE 3. STUPNJA

Prema teoremu o redu pravčaste plohe, pravčasta ploha 3. stupnja nastat će ako je jedna ravnalica krivulja 2. stupnja, a preostale dvije mimosmjerni pravci od kojih jedan siječe krivulju 2. stupnja u jednoj točki:

R=2^.2^.1^.1-1=3.

Stoga se pravčasta ploha 3. stupnja zadaje sljedećim ravnalicama:

c – krivulja 2. stupnja u ravnini a te pravci d i l takvi da pravac d siječe krivulju c u točki O, a pravac l probada ravninu a u točki koja ne leži na ravnalici c.

Izvodnice plohe konstruiraju se u ravninama pramena [d] ili [l] na sljedeći način:

Svaka ravnina pramena [l] siječe koniku c u dvije točke, a ravnalicu d u jednoj točki. Spajanjem tih točaka dobivaju se dvije izvodnice (Slika 7). Budući da iz svake točke pravca d izlaze dvije izvodnice, pravac d je dvostruki pravac plohe. Ravnine pramena [l] koje dodiruju koniku c u samo jednoj točki nazivaju se torzalnim ravninama, a izvodnice u njima torzalnim pravcima (Slika 8). Na pravcu d torzalni pravac određuje kuspidalnu točku. Ravnine pramena [l] koje se nalaze izvan torzalnih ravnina sijeku krivulju drugog reda u imaginarnim točkama pa u njima nema realnih izvodnica plohe (Slika 9).

Slika 7 Slika 8 Slika 9

Svaka ravnina pramena [d] siječe i koniku c i pravac l u po jednoj točki čija je spojnica izvodnica plohe. Transverzale koje prolaze točkom O nisu izvodnice plohe. Svakom točkom pravca l prolazi samo jedna izvodnica, stoga je pravac l jednostruki pravac plohe (Slika 10).

Slika 10.

2.2.1. KLASIFIKACIJA PRAVČASTIH PLOHA 3. STUPNJA S OBZIROM NA MEĐUSOBNI POLOŽAJ RAVNALICA

S obzirom na položaj pravčaste ravnalice l prema krivulji c i pravcu d izvode se tri slučaja ([4], str.182.; [3], str.43):

ravnalica l probada eksterior krivulje c;
ravnalica l probada interior krivulje c;
ravnalice l i d se podudaraju.

U prvom slučaju postoje dvije ravnine pramena [l] koje dodiruju koniku c. To su torzalne ravnine u kojima leže dva realna torzalna pravca koji u sjecištima s dvostrukim pravcem d daju dvije kuspidalne točke (Slika 8).

U drugom slučaju sve ravnine pramena [l] sijeku koniku c realno u dvije točke, ploha nema torzalnih pravaca niti kuspidalnih točaka (Slika 11).

Slika 11.

Treći slučaj obuhvaća tzv. Cayleyeve plohe. Pravčaste ravnalice l i d se podudaraju, pa ploha ima jedan torzalni pravac koji se podudara s dvostrukim pravcem d (Slika 12).

Slika 12. Cayleyeva ploha.

3. PARABOLIČKI KONOID

Za konstruktivnu i analitičku obradu odabran je samo jedan parabolički konoid koji će se kasnije primijeniti za natkrivanje pravokutnoga tlocrta.

Jedna ravnalica je parabola p, druga ravnalica je beskonačno daleki pravac d^∞ određen direkcijskom ravninom d koja je paralelna s osi parabole, a treća ravnalica je pravac l okomit na direkcijsku ravninu i paralelan s ravninom parabole. Odabrani konoid je ploha 3. stupnja jer se parabola p i pravac d^∞ sijeku u beskonačno dalekoj točki njezine osi (Slika 13).

Slika 13. Ravnalice paraboličkog konoida.

3.1 KONSTRUKTIVNI PRISTUP

Ploha će se formirati postavljanjem pramena ravnina kroz pravac l ili kroz pravac d^∞.

U prvom slučaju promatra se pramen ravnina [l]. Svaka ravnina siječe parabolu u dvije točke. Izvodnice plohe prolaze tim točkama i paralelne su s direkcijskom ravninom, budući da sijeku njen beskonačno daleki pravac. Pravac l je jednostruki pravac plohe, jer iz svake njegove točke izlazi po jedna izvodnica (Slika 14). Pravac d^∞ je dvostruki pravac, jer se dobivene izvodnice sijeku beskonačno daleko u dvostrukoj točki te ravnalice. Ravnina postavljena ravnalicom l i tjemenom T parabole je torzalna ravnina i određuje torzalni pravac koji siječe beskonačno daleki pravac u kuspidalnoj točki. Druga torzalna ravnina je ravnina pramena l paralelna s ravninom parabole koja dodiruje parabolu u njenoj beskonačno dalekoj točki. Drugi torzalni pravac je beskonačno daleki pravac te ravnine, jer je druga točka koja ga određuje njegovo sjecište s beskonačno

dalekom ravnalicom (Slika 15).

Slika 14. Izvodnice u ravnini pramena [l]. Slika 15. Torzalni pravci.

U drugom slučaju odabire se pramen ravnina beskonačno dalekog pravca d^∞. To su sve ravnine paralelne s direkcijskom ravninom d. Svaka od njih siječe i parabolu p i pravac l u po jednoj točki (Slika 16). Spojnica tih točaka je izvodnica plohe. Ponovno vidimo da je pravac l jednostruki pravac, jer svakom njegovom točkom prolazi samo jedna izvodnica.

Slika 16. Izvodnica u ravnini pramena [d^∞].

3.2 ANALITIČKI PRISTUP

Odabrani parabolički konoid formiraju transverzale triju ravnalica: parabole p, beskonačno dalekog pravca d^∞ (određen direkcijskom ravninom okomitom na ravninu parabole), pravca l (paralelan s ravninom parabole i okomit na direkcijsku ravninu). U Kartezijevom koordinatnom sustavu svaka ravnalica ima pripadnu algebarsku jednadžbu.

Parabola je krivulja drugog stupnja. U kartezijevom koordinatnom sustavu O(x,y), u slučaju kad je os parabole paralelna s osi y, koordinate njenih točaka zadovoljavaju algebarsku jednadžbu dviju varijabli sljedećeg oblika:

p...	y=ax²+bx+c, a, b, cÎR, a≠0.

Ako su zadane koordinate triju točaka i os parabole moguće je, u Kartezijevom koordinatnom sustavu, jednoznačno odrediti parabolu. Kroz dvije zadane točke (ako je zadana i ravnina paralelna s osi parabole) moguće je u prostoru postaviti ∞² parabola. Naime, odabirom treće točke u prostoru određena je ravnina u kojoj leži parabola zadana tim točkama te njezina os, što znači da su zadane četiri točke konike i tangenta u jednoj od njih čime je konika jednoznačno određena. Ukoliko se jedna od zadanih točaka prozove parametrom, koji varira u zadanoj ravnini, moguće je promatrati ∞¹ parabola. Promatra se parabola u ravnini zy zadana tjemenom točkom T(0,0,-a), aÎR i sjecištima s osi y Y₁(0,1,0) i Y₂(0,-1,0), (Slika 17). Slijedi pripadna parametarska jednadžba:

p...	x=0
	z= a(y²- 1), aÎR, a≠0.	(1)

Beskonačno daleki pravac d^∞ određen je direkcijskom ravninom. Odabrana je ravnina xz (Slika 17). Sve točke ravnine xz zadovoljavaju jednadžbu:

y=0.

(2)

Treća ravnalica je pravac l. Budući da je paralelan s ravninom yz, x koordinate svih točaka su konstantne. Pravac je zadan i uvjetom okomitosti, s obzirom na ravninu xz, pa je z koordinata konstantna. S ova dva uvjeta opisano je ∞² pravaca u prostoru. Uzme li se pravac čija je koordinata z=0, preostaje ∞¹ pravaca u prostoru, što omogućuje uvođenje parametra b. Dakle, dobiven je pravac čije sve točke imaju koordinatu x=b. Parametar b varira po skupu realnih brojeva čime se varira udaljenost ravnalice l u odnosu na yz- ravninu parabole (Slika 17). Slijedi parametarski zapis ravnalice l:

l...	x=b, bÎR, b≠0
	z=0.	(3)

Slika 17. Položaj ravnalica u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Parabolički konoid formiraju njegove izvodnice koje su određene probodištima ravnina iz pramena jedne pravčaste ravnalice s preostale dvije ravnalice. Kao što je već pokazano, moguća su dva konstruktivna načina formiranja plohe. Odabrat će se pramen ravnina beskonačno dalekog pravca d^∞. Pravac d^∞ leži u xz ravnini pa su sve ravnine njegovog
pramena paralelne s ravninom xz. Određene su jednadžbom:

Ravnina y=k siječe parabolu p u točki P_k, a pravac l u točki L_k_. Rješenje sustava jednadžbi ravnine y=k i parabole p je točka P_k(0,k,a(k²-1)). Rješenje sustava jednadžbi ravnine y=k i pravca l je točka L_k(b,k,0).

Izvodnica i_k plohe Y je određena točkama P_k(0,k,a(k²-1)) i L_k(b,k,0), (Slika 18). Promatra se izvodnica i_k u ravnini xz te se određuje eksplicitna jednadžba:

Slika 18. Izvodnica u ravnini pramena [d^∞].

3.2.1. JEDNADŽBE KONOIDA

Iz jednadžbe izvodnice i_k plohe Y direktno slijedi jednadžba plohe. Uvrštavanjem y=k u jednadžbu (4), dobiva se eksplicitni oblik jednadžbe plohe:

Implicitni oblik jednadžbe plohe izvodi se iz eksplicitnog:

Budući da je ploha funkcija triju varijabli, moguće je svaku od njih izraziti kao funkciju dvaju parametara: X(u,v), Y(u,v), Z(u,v), gdje su u,v Î R. Za promatranu plohu Y uvest će se parametri x i y, gdje je x=u i y=v. Parametarske jednadžbe konoida Y su:

Sustav ravnina paralelnih sa ravninom yz siječe parabolički konoid u sustavu parabola. Sustav ravnina zadan je jednadžbom :

Rješenje sustava jednadžbi (6) i x=s daje parabolu p:

3.2.2 TANGENCIJALNA RAVNINA I NORMALA PLOHE

Sve ravnine prostora koje prolaze regularnom točkom plohe sijeku plohu u krivuljama. U svakoj od tih ravnina moguće je, u uočenoj točki, postaviti tangentu na dobivenu krivulju. Skup svih tangenata svih presječnih krivulja tvori tangencijalnu ravninu u toj točki plohe ([6]).

Opći oblik jednadžbe tangencijalne ravnine plohe Y, zadane funkcijom F(x,y,z)=0, u regularnoj točki T₀(x₀,y₀,z₀) je :

Konoid Y zadan je implicitnom jednadžbom (6), tj.

Pripadne parcijalne derivacije funkcije F po varijablama x, y, z su:

Dakle, pripadna jednadžba tangencijalne ravnine u točki T₀(x₀, y₀, z₀) glasi:

ili

Opći vektorski oblik jednadžbe normale plohe Y, zadane funkcijom F(x,y,z)=0, u regularnoj točki T₀(x₀,y₀,z₀), je:

Za promatrani parabolički konoid jednadžba normale glasi:

3.3 CRTANJE PARABOLIČKOG KONOIDA U PROGRAMU MATHEMATICA

Mathematica je softverski paket za rješavanje simboličkih i numeričkih problema, koji se upotrebljava kao numerički i simbolički kalkulator, kao kompjuterski jezik i, što je nama u ovom slučaju najzanimljivije, kao pomagalo za grafički prikaz podataka i funkcija.

Sljedeći primjeri su pisani u trenutno aktualnoj verziji Mathematice, 4.0.

3.3.1 ZAPISIVANJE JEDNADŽBI PLOHE U PROGRAMU MATHEMATICA

Plohe se u programu Mathematica izražavaju njihovim jednadžbama i crtaju uz pomoć odgovarajućih naredbi za pojedini oblik jednadžbe. Neke naredbe koje ćemo koristiti zahtijevaju podršku grafičkih paketa koji se ne učitavaju automatski pri pokretanju programa, stoga ih je potrebno pozvati prije nego koristimo te naredbe:

In[1]:=<<Graphics`ParametricPlot3D`

<<Graphics`ContourPlot3D`

Dalje je potrebno prevesti ranije izvedene jednadžbe konoida u oblik kakvim se one zapisuju u programu Mathematica. Parametarski oblik se može zapisati na sljedeći način:

In[3]:= KonoidPar[a_,b_][x_,y_]:={x,y,a/b(y^2-1)(b-x)}

KonoidPar je funkcija koja za zadane parametre sadrži vrijednosti uređene trojke koje odgovaraju koordinatama jedne točke konoida u Kartezijevom koodrinatnom sustavu. a i b su konstantni parametri konoida. z koordinata se dobiva računanjem vrijednosti funkcije varijabilnih parametara x i y koji su jednaki odgovarajućim vrijednostima koordinata točke.

Implicitni oblik jednadžbe plohe sadržava uvjet da vrijednost funkcije triju varijabli, koje odgovaraju koordinatama jedne točke plohe, za svaku uređenu trojku mora biti jednaka nuli. Funkciju definiramo na sljedeći način:

In[4]:= KonoidImp[a_,b_][x_,y_,z_]:=a*x*y^2-a*b*y^2-a*x+b*z+a*b

I ovdje su a i b konstantni parametri plohe, a x, y, i z vrijednosti koordinata jedne točke konoida.

U eksplicitnom obliku je vrijednost funkcije varijabli x i y jednaka z koordinati točke konoida. Taj se izraz u Mathematici može zapisati ovako:

In[5]:= KonoidExp[a_,b_][x_,y_]:=a/b(y^2-1)(b-x)

Funkcija KonoidExp u ovom slučaju računa vrijednost z koordinate iz zadanih vrijednosti korištenih parametara i varijabli.

3.3.2 GRAFIČKI PRIKAZ PLOHE

Svaka vrsta zapisa jednadžbe plohe u Mathematici ima pripadajuću naredbu za grafički prikaz.

Ako se radi o trodimenzionalnom objektu, što je u našem primjeru slučaj, za grafički prikaz figure zapisane parametarskim oblikom jednadže koristi se naredba ParametricPlot3D. Za prikaz plohe iz ranije definiranog parametarskog oblika jednadže, naredbu ćemo pisati ovako:

In[6]:= ParametricPlot3D[Evaluate[KonoidPar[-2,3][x,y]],{x,0,3},{y,1,1},

ViewPoint -> {-3,3,3}]

Naredbom Evaluate određujemo da prije crtanja treba računati vrijednosti funkcije koju prikazujemo grafički. KonoidPar označava funkciju koju prikazujemo i čije vrijednosti treba računati. Kako smo tu funkciju zadali sa četiri parametra, ovdje treba zadati njihove vrijednosti kako bismo dobili sliku željenog konoida. -2 i 3 su redom vrijednosti konstantnih parametara a i b, a x i y su varijabilni parametri čije se vrijednosti uzimaju iz intervala zadanih u vitičastim zagradama. ViewPoint 3D je opcija kojom se određuju koordinate točke gledišta na sliku koja se prikazuje. Nakon izvršavanja naredbe dobivamo željenu sliku:

Out[6]=-Graphics3D-

Primjećujemo da program iscrtava dva sistema ravninskih krivulja na plohi.

Za prikazivanje plohe preko njene implicitne jednadžbe koristi se naredba ContourPlot3D. Budući da je KonoidImp funkcija od pet parametara, u naredbi ContourPlot3D trebamo definirati vrijednosti konstantnih i intervale varijabilnih parametara:

In[7]:=ContourPlot3D[

Evaluate[KonoidImp[-2,3][x,y,z]],{x,0,3},{y,-1,1},{z,0,2},

PlotPoints->{6,6,6}, ViewPoint->{-3,3,3}]

Opcijom PlotPoints određujemo korak varijable te tako postižemo glatkoću prikaza. Nakon kraćeg čekanja, dobivamo sliku:

Out[7]=-Graphics3D-

Kod ovakvog prikaza program iscrtava sisteme krivulja paralelnih sa sve tri koordinatne ravnine.

Preostao nam je prikaz plohe preko njene jednadžbe eksplicitnog oblika. Za takav prikaz se koristi naredba Plot3D:

In[8]:=Plot3D[Evaluate[KonoidExp[-2,3][x,y]],{x,0,3},{y,-1,1},

ViewPoint->{-3,3,3}]

Out[8]=-Graphics3D-

Sintaksa i zadavanje parametara su isti kao kod naredbi koje su već objašnjene.

Uz ove standardne prikaze konoida, korištenjem raznih naredbi, u programu Mathematica možemo dobiti i različite zanimljivije prikaze. Tako, primjerice, koristeći naredbu Table, možemo dobiti niz dijelova plohe koji, kad se prikažu na istoj slici, daju rešetkasti prikaz konoida. Kod zadavanja naredbe zadajemo korak (razmak među dijelovima plohe) i širinu pojedinog dijela. Zadavanjem konstantnog intervala varijable x i isprekidanog intervala varijeble y dobivamo prvo prugasti prikaz konoida, s prugama paralelnima s osi x:

In[9]:=Show[

Table[

ParametricPlot3D[

Evaluate[KonoidPar[-2,3][x,y]],{x,0,4.87,4},{y,i,i+0.02,0.02},

ViewPoint->{-3,-3,3},DisplayFunction->Identity],{i,-1,1,0.1}],

DisplayFunction->$DisplayFunction]

Out[9]=-Graphics3D-

Na analogni način dobivamo pruge paralelne s y osi:

In[10]:=Show[ Table[ ParametricPlot3D[

Evaluate[KonoidPar[-2,3][x,y]],{x,i,i+0.08,0.1},{y,-1,1,0.1},

ViewPoint->{-3,-3,3}],{i,0,5,0.31}]]

Out[10]=-Graphics3D-

Koristeći naredbu Show možemo predhodna dva prikaza prikazati na istoj slici. Kako bi se konoid bolje vidio, maknut ćemo koordinatne i druge osi koje se po defaultu crtaju s plohom. To se postiže opcijama Boxed->False i Axes->False.

In[11]:=Show[%,%%,Boxed->False,Axes->False]

Out[11]=-Graphics3D-

3.3.3 PRIKAZ TANGENCIJALNE RAVNINE U REGULARNOJ TOČKI PLOHE

U Mathematici možemo efektno prikazati i tangencijalnu ravninu u zadanoj točki plohe. Da bi se to postiglo, jednako kao i kod prikaza plohe, potrebno je definirati jednadžbu te ravnine pa već prije izvedenu jednadžbu tangencijalne ravnine konoida prevodimo u parametarski zapis koji prepoznaje Mathematica:

In[12]:=

TangRavPar[a_,b_][x0_,y0_,z0_][x_,y_]:=

{x,y,-(a(y0^2-1)*x+2*a*y0*(x0-b)*y+(a*x0*(1-y0^2)+2*a*y0^2*(b-x0)-b*z0))/b}

U ovoj jednadžbi je, osim parametara konoida, potrebno zadati i koordinate točke konoida u kojoj želimo prikazati tangencijalnu ravninu. Radi jednostavnosti, odabrana je točka T(1,-0.5,1) pa se naredba za grafički prikaz zadaje na sljedeći način:

In[13]:=ParametricPlot3D[Evaluate[TangRavPar[-2,3][1,-0.5,1][x,y]], {x,0,6,6},{y,-1,1,2},ViewPoint->{-3,-5,4},DisplayFunction->Identity]

Da bi prikaz dobio smisao, potrebno je nacrtati konoid zadan istim parametrima:

In[14]:=ParametricPlot3D[Evaluate[KonoidPar[-2,3][x,y]],

{x,0,6},{y,-1,1},ViewPoint->{-3,-5,4}, DisplayFunction->Identity]

i prikazati konoid i pripadajuću tangencijalnu ravninu na istoj slici:

In[15]:=Show[%,%%,Boxed->False,Axes->False,DisplayFunction->$DisplayFunction]

Out[15]=-Graphics3D-

Tangencijalna ravnina siječe plohu po izvodnici kojoj pripada zadana točka T i po krivulji drugog reda, u ovom slućaju, po hiperboli. Kako bi se dobila jasnija predodžba o izgledu i položaju presječne krivulje ravnine i plohe, korištenjem programa Mathematica, dobivamo sljedeći prikaz:

Slika 19. Tangencijalna ravnina, normala, izvodnica i presječna krivulja u općoj točki paraboličkog konoida.

4. NATKRIVANJE PARABOLIČKIM KONOIDOM

Ovaj rad prikazuje parabolički konoid, koji pripada skupini jednostavnijih pravčastih ploha (stošci, valjci, hiperboloidi i neki konoidi). One se često primijenjuju u izvedbenim rješenjima, a zanimljivost rješenja može se postići slaganjem osnovnih oblika.

Upotreba pravčastih ploha u graditeljstvu je česta, jer osim što su algebarski definirane, posjeduju sljedeće osobine:

· pravčaste plohe su relativno jednostavnije geneze od općih;

· njihova je pravčasta struktura vrlo prikladna za građenje, lako se izvode oplata i armatura;

· one dopuštaju izvedbu u različitim materijalima (armirani beton, drvo, lim, itd.);

· same po sebi, a posebno u kombinacijama, vrlo su bogatih formi;

· lako se kombiniraju međusobno (po pravcima- izvodnicama ili po ravnalicama), ali i s općim plohama, posebno s onima višeg reda, na kojima postoje realni pravci;

· prostor zatvoren pravčastom plohom ima riješenu površinsku odvodnju ([4],str.171).

Na sljedećim je slikama dano nekoliko idejnih rješenja za natkrivanje paraboličkim konoidom. Jedan ili dva konoida mogu se koristiti samostalno, a mogu tvoriti element čijim se slaganjem formira ploha za natkrivanje.

Navedeni primjeri mogu se pratiti, zajedno s naredbama, i na priloženom CD-u (natkrivanje1.nb, natkrivanje2.nb, natkrivanje3.nb). Kako bismo postigli što bolji dojam prostornosti, neki od primjera su i animirani (animacija1.nb, animacija2.nb, animacija3.nb).

ZAKLJUČAK

Radnja Natkrivanje paraboličkim konoidom daje uvid u nastajanje jedne geometrijske forme - paraboličkog konoida - i ideje njezine primjene kao svoda nad nekim pravokutnim tlocrtom. Kako bi parabolički konoid funkcionirao kao svod bilo ga je potrebno dimenzionirati te stoga prethodno i metrički definirati. Na taj način parabolički konoid podnosi dimenzioniranje.

Da bismo došli do konačne predodžbe budućeg svoda, koristili smo tri pristupa: sintetičko-konstruktivni, analitički i računalni. Primjeri svodova nacrtani su u programu

Mathematica 4.0. Oni se mogu pratiti i na priloženom CD-u koji nosi i njihove animacije.